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ESTATÍSTICA APLICADA.pdf

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2 ├4 4├ 6 6├ 8 8├10 10├ 12 
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 
N○ de Famílias 5 10 14 8 3 
 
Nesse caso, as classes são representadas pelos seus pontos médios, portanto: 
 
 
Classes Fi xi x i Fi 
 1
n
i i
i
X F
X
n

 
 
i iX F
X
n

 
APOGEU – Educação Continuada a Distância 
 
13 
 
 
2 ├ 4 
 
4 ├ 6 
 
6 ├ 8 
 
8 ├10 
 
10├12 
 
5 
 
10 
 
14 
 
8 
 
3 
 
 
3 
 
5 
 
7 
 
9 
 
11 
 
15 
 
50 
 
98 
 
72 
 
33 
∑ 40 268 
 
 
i iX F
X
n

 =
268
40
 
 
 
6,7X 
 
 
Como a renda familiar foi dada em milhares, pode–se dizer que a renda média desse grupo de 
40 famílias é de $ 6.700,00. 
 
16. Média Geral 
 
Sejam 
1, 2, 3,......., kX X X X
 as médias aritméticas de k séries e n1, n2, n3, nk os números de termos 
destas séries, respectivamente. A média aritmética da série formada pelos termos das k séries é dada 
pela fórmula: 
 
 
1 1 2 2
1 2
...
...
k k
k
n X n X n X
X
n n n
  

  
 
 
 
Exemplo: Sejam as séries: 
 
1) 4, 5, 6, 7, 8 em que n1 = 5 e 
1X
 = 6 
2) 1, 2, 3 em que n2=3 e 
2X
 = 2 
3) 9, 10, 11, 12, 13 em que n3=5 e 
3X
 = 11 
 
 
Então, a média geral das séries, utilizando fórmula acima será: 
APOGEU – Educação Continuada a Distância 
 
14 
 
 
 5 . 6 + 3 . 2 + 5 . 11 
X
= ––––––––––––––––– = 7 
 5 + 3 + 5 
 
17. Média Geométrica 
 
Sejam X1 , X2 ,.X3,.....Xn , valores de X, associados às freqüências absolutas F1, F2 , F3..... 
Fn , respectivamente. A média geométrica de X é definida por: 
 
 
 
 
 
 
 
Em particular, se F1 = F2 = F3 = ... = Fn = 1, tem – se: 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: calcular a média geométrica dos valores 3, 6, 12, 24, 48. 
Logo: 
 
 
 Mg =
5 3 6 12 24 48   
 
 
 Mg = 
5 248.832 
 

 Mg = 12 
 
 
18. Média harmônica 
 
Sejam X1 , X2 ,.X3,.....Xn valores de X, associados às freqüências absolutas F1, F2 , F3.... 
Fn; respectivamente. 
 
A média harmônica de X é definida por: 
 
 
1 2
11 2
.....
n
n i
in i
n n
Mh
F FF F
x x x x
 
   
 
 
Em particular, se F1 = F2 = F3 = ... Fn = 1, tem – se: 
 
 
Mg =
1 2 3
1 2 3
. . ...... n
F F F F
n
nX X X X
 
 
Mg = 
1 2 3
. . ......n
nx x x x
 
APOGEU – Educação Continuada a Distância 
 
15 
 
11 2
1 1 1 1
....
n
in i
n n
Mh
x x x x
 
   
 
 
 
Exemplo: calcular a média harmônica para 2, 5, 8. 
 Então: 
 
3
3,64
1 1 1
2 5 8
Mh  
 
 
 
19. Mediana 
 
Colocado em ordem crescente, mediana (
x
) é o valor que divide amostra, ou população, em duas 
partes iguais. Assim. 
 
 0 50% 100 % 
 ├–––––––––––––│––––––––––––┤ 
 
x
 
 
 20. Cálculo da Mediana – Variável Discreta 
 
Se n for ímpar a mediana será a média entre os elementos centreis (de ordem 
1
2
n 
 ,Caso n seja par a mediana será a média entre os elementos centrais 
(de ordem 
2
n
 e 
2
n
+ 1). 
 
 
Exemplos: 
 
a) Dada a distribuição : 
 
 
Xi Fi Fac 
 
1 
2 
3 
4 
 
 
1 
3 
5 
2 
 
1 
4 
9 
11 
APOGEU – Educação Continuada a Distância 
 
16 
 
 
 
 

 Contém o 6° elemento 
 
n = 11, n é impar logo (
x
) será o elemento 
de ordem 
1
2
n 
 ou seja 
11 1
2

=6° 
 
Será, portanto, o sexto elemento. Para identificá-lo, abre-se a coluna da Freqüência acumulada 
Crescente (Fac ). 
 
 21. Cálculo da Mediana – Variável contínua 
 
1° Passo: Calcula-se a ordem 
2
n
.Como a variável é contínua, não se preocupe se n e par ou ímpar. 
 
2° Passo: Pela Fac identifica-se a classe que contém a mediana (classe Md). 
 
3° Passo: Utiliza-se a fórmula. 
. 
.
2
Md
Md
n
f h
x l
F
 
 
  

 
 
em que: 
 
 FMd = limite inferior da classe Md . 
 n = tamanho da amostra ou número de elementos. 
 ∑f = soma das freqüências anteriores á classe Md. 
 h= amplitude da classe Md 
 Fmd =freqüência da classe Md. 
 
Exemplo: dada a distribuição amostral, calcular a mediana. 
 
Classes 
 
Fi Fac 
35├ 45 5 5 
45├55 12 17 
55├65 18 35 
65├75 14 49 
75├85 6 55 
85├95 3 58 
 

 
 
58 
 
 ∑ 11 
APOGEU – Educação Continuada a Distância 
 
17 
 
1° Passo: Calcula-se 
2
n
. Como n = 58, temos 
58
2
=29° 
 
2° Passo: Identifica-se a classe Md pela Fac. Neste caso, a classe Mo 
É a 3º. 
 
3° Passo: aplica-se a fórmula: 
 
 
.
2
Md
Md
n
f h
x l
F
 
 
  

 
 
 
No caso 
 
55; 58; 17; 10; 18.
MdMd
n f hl F    
 Logo: 
 
 
58
17 .10
2
55 61,67
18
x
 
 
   
 
 
22. Quartis 
 
Os quartis dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais. Assim: 
 
 0% 25% 50% 75% 100% 
 ├————–––│—————–│——————│——————┤ 
 Q1 Q2 Q3 
 
Q1 = 1° quartil ,deixa 25 % dos Elementos. 
Q2 = 2° quartil, coincide com a mediana, deixa 50% dos elementos. 
Q3 = 3° quartil, deixa 75% dos elementos. 
 
Eis as fórmulas para os cálculos de Q1 e Q3 para o caso de variáveis contínuas. 
 
Determinação de Q1: 
 
1° Passo: Calcula-se 
4
n
 
 
2°Passo: Identifica-se a classe Q1 pela Fac. 
 
3°Passo: Aplica-se a fórmula: 
 
APOGEU – Educação Continuada a Distância 
 
18 
 
 
1
1
1
.
4
Q
Q
n
f h
Q l
F
 
 
  

 
 
 
Determinação de Q3: 
 
1°Passo: calcula-se 
3
4
n
 
2°Passo: Identifica-se a classe Q3 pela Fac 
 
3°Passo: Aplica-se a fórmula: 
 
 
3
3
3
3
.
4
Q
Q
n
f h
Q l
F
 
 
  

 
 
 
Exemplo: Dada a distribuição, determinar os quartis (Q1 e Q3) e mediana. 
 
 
 
 
 
Classe Q1 → 
 
Classe Md → 
 
Classe Q3 → 
 
1°Passo: n = 56 
 Q1 = ? 
x
= ? Q3=? 
 
 
56
14
4 4
n
  