ESTATÍSTICA APLICADA.pdf

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EDUCAÇÃO CONTINUADA A DISTÂNCIA 
FACULDADE APOGEU 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA APLICADA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quadra 29 Lotes 39/43 
Setor Central Gama - DF 
(61) 3484-7097 / 3033-1874 
www.faculdadeAPOGEU.com.br 
SUMÁRIO 
APOGEU – Educação Continuada a Distância 
 
2 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO ................................................................................................................................... 3 
 
1. SERIE CRONOLÓGICA, TEMPORAL, EVOLUTIVA OU HISTÓRICA ........................................ 3 
 
2. SERIE GEOGRAFIA OU DE LOCALIZAÇÃO. .............................................................................. 3 
 
3. SÉRIE ESPECÍFICA ......................................................................................................................... 3 
 
4. DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS. ............................................................................................ 4 
 
5. GRÁFICOS ....................................................................................................................................... 4 
 
6. REPRESENTAÇÃO DA AMOSTRA ............................................................................................... 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
APOGEU – Educação Continuada a Distância 
 
3 
 
 
Estatística descritiva se constitui num conjunto de técnicas que objetivam descrever, analisar e 
interpretar os dados numéricos de uma população ou amostra. 
 
1. SERIE CRONOLÓGICA, TEMPORAL, EVOLUTIVA OU HISTÓRICA. 
 
É a série estatística em que os dados são observados segundo a época de ocorrência. Exemplo: 
 
Vendas da companhia Alfa – 1970 – 1977 
 
 Ano Vendas (em $1.0000,00) 
 
 1970 
 1971 
 1972 
 1973 
 1974 
 1975 
 1976 
 1977 
 
 
 2.181 
 3.948 
 5.642 
 7.550 
 10.009 
 11.728 
 18.873 
 29.076 
 
 
2. SERIE GEOGRAFIA OU DE LOCALIZAÇÃO. 
 
É a série estatística em que os dados são observados segundo a localidade de ocorrência. 
Exemplo: 
 
 
INAMPS – Empresas fiscalizadas em 1973 
 
 Regiões Empresas fiscalizadas 
 
 Norte 
 Nordeste 
 Sudeste 
 Sul 
 Centro-Oeste 
 
 
 7.495 
 107.783 
 281.207 
 53.661 
 15.776 
 
 
 
3. SÉRIE ESPECÍFICA: 
 
É a série estatística em que os dados são agrupados segundo a modalidade de ocorrência. 
Exemplo: 
 
 
Matrícula no Ensino de Terceiro Grau 
Brasil – 1975 (clico básico) 
 
APOGEU – Educação Continuada a Distância 
 
4 
 
Área de ensino matriculas 
 
Ciências Biológicas 
Ciências Exatas e Tecnologia 
Ciências Agrárias 
Ciências Humanas 
Letras 
Artes 
Duas ou mais áreas 
 
 
32.109 
65.949 
2.419 
148.842 
9.883 
7.464 
16.323 
 
 
4. DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS. 
 
È a série estatística em quem os dados são agrupados com suas respectivas freqüências 
absolutas. Exemplos: 
 
a) Número de Acidentes por Dia na Rodovia X em Janeiro de 1977 
 
Numero de acidentes pro dia Numero de dias 
 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
 
10 
7 
4 
5 
3 
2 
 
 
b) Altura dos alunos da Classe em Março de 1977. 
 
Altura (m) Numero de alunos 
 
1,50 - 1,60 
1,60 - 1,70 
1,70 - 1,80 
1,80 – 1,90 
 
 
5 
15 
17 
3 
 
5. GRÁFICOS 
 
A representação gráfica das séries estatísticas tem por finalidade representar os resultados 
obtidos, permitindo chegar-se a conclusões sobre a evolução do fenômeno ou sobre como se relacionam 
os valores de série. Não há uma única maneira de representar graficamente uma série estatística. A 
escolha do gráfico mais apropriado ficará a critério do analista. Contudo, os elementos simplicidade, 
clareza e veracidade devem ser considerados quando da elaboração de um gráfico. 
 
Eis os principais tipos gráficos. 
APOGEU – Educação Continuada a Distância 
 
5 
 
 
1. Gráficos em Colunas 
 
População Brasileira – 1940 – 1970 
 
Ano População 
 
1940 
1950 
1960 
1970 
 
 
41.236.315 
51.944.397 
70.119.071 
93.139.037 
 
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1940 1950 1960 1970 ano 
Po
pu
la
çã
o 
do
 B
ra
si
l (
m
ilh
õe
s)
 
 
2. Gráfico em Barras 
 
 É semelhante ao gráfico em colunas, porém os retângulos são dispostos horizontalmente. Eis 
uma configuração: 
 
 
 
APOGEU – Educação Continuada a Distância 
 
6 
 
 
3. Gráficos em Setores 
 
É a representação gráfica de uma série estatística, em um círculo por meio de setores. É 
utilizado principalmente quando se pretende comparar cada valor da série com o total. Para construí-lo, 
divide-se o circulo em setores cujas áreas serão proporcionadas aos valores da série. Essa divisão poderá 
ser obtida pela solução da regra de três. 
 
 
 
 
 
 Exemplo: 
 
Receita do Município X de 1975 a 1977 
 
Anos Receita (em Cr$1.000.000,00) 
 
1975 
1976 
1977 
Total 
 
 
90 
120 
150 
360 
 
Para 1975: 360 – 360º 
 90 – x° x°=90º 
 
Para 1976: 360 – 360º 
 120 – x° x°=120° 
 
Para 1977: 360 – 360 
 150 – x° x°=150° 
 
Receita do Município X 
 
1975
1976
1977
 
total________360° 
 
Parte ________ X º 
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7 
 
 
4. Gráfico Polar 
 
É a representação da uma série por meio de um polígono. Geralmente presta-se para 
apresentação de séries temporais. Para construí–lo, divide-se uma circunferência em tantos arcos iguais 
quantos forem os dados a representar. Pelos pontos de divisas traçam – se raios. Em cada raio é 
representado um valor da série, marcando – se um ponto cuja distância ao centro é diretamente 
proporcional a esse valor. 
 
5. Distribuição de Freqüências 
 
Eis alguns conceitos fundamentais: 
 
5.1 População 
 
É um conjunto de indivíduos ou objetos que apresentam pelo menos uma característica em 
comum. A população pode ser finitaou infinita. Na prática ,quando uma população é finita ,com um 
número grande de elementos, considera-se como população infinita. 
 
5.2 Amostra 
 
Considerando-se a impossibilidade na maioria das vezes, do tratamento de todos os elementos 
da população, retira – se uma amostra. Para os propósitos dessa apresentação admite-se que uma 
amostra já tenha sido escolhida de conformidade com alguma técnica de amostragem. 
 
5.3 Variável Discreta e Variável Contínua 
 
A variável é discreta quando assume valores em pontos da reta real. Exemplo: 
 Número de erros em um livro: 0, 1, 2, 3, 4,5... 
 
Por outro lado, quando a variável pode assumir teoricamente qualquer valor em certo intervalo 
da reta real, ela será uma variável contínua. Exemplo: peso de alunos, pois, teoricamente, um indivíduo 
poderá ter 50,5kg; 50,572 kg; 50,585 kg. 
 
6. REPRESENTAÇÃO DA AMOSTRA 
 
A seguir são apresentados os procedimentos para a representação das distribuições de freqüências. 
 
1. Dados Brutos 
APOGEU – Educação Continuada a Distância 
 
8 
 
O conjunto dos dados numéricos obtido após a critica dos valores coletados constitui-se nos dados 
brutos. Assim: 24 – 23 – 22 – 28 - 35 – 21 – 23 – 33 – 34 – 24 – 21 – 25 – 36 – 26 – 22 – 30 – 32 – 25 
– 26 – 33 – 34 – 21 – 31 – 25 – 31 - 26 – 25 – 35 – 33 – 31 são exemplos de dados brutos. 
 
2. Rol 
 
É o arranjo dos dados brutos em ordem crescente ou decrescente. Assim: 21 - 21- 21- 22 – 22 – 23 - 23 - 
24 – 25 – 25 – 25 – 25 – 26 – 26 – 26 – 28 – 30 – 3 1 – 31 - 32 - 33-33 - 34 - 34 - 34 – 35 – 35 - 36 
constituem o rol. 
 
3. Amplitude total ou “Range” (R) 
 
É a diferença entre o maior e o menor valor observados. No exemplo . R= 36 – 21 = 15. 
 
4. Freqüência absoluta (Fi) 
 
É o número de vezes que o elemento aparece na amostra. Ou o número de elementos 
pertencentes a uma classe. No exemplo, F(21) = 3. 
 
5. Distribuição de freqüência 
 
É o arranjo dos valores e suas respectivas freqüências. Assim, a distribuição de freqüência para 
o exemplo será: 
 
X i F i 
21 
22 
23 
24 
25 
26 
28 
30 
31 
32 
33 
34 
35 
3 
2 
2 
1 
4 
3 
1 
1 
3 
1 
3 
3 
2 
APOGEU – Educação Continuada a Distância 
 
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo de distribuição 
 de freqüências de uma 
variável discreta ( tipo A ). 
 
 
 Observe: 1. X representa a variável 
2. ∑ Fi = n 
3. n = tamanho da amostra. 
 
Exemplo de distribuição de freqüências para variável contínua: 
Seja Xi peso de 100 indivíduos: 
 
 
 
Exemplo da 
Distribuição de 
Freqüências de uma 
Variável contínua 
(tipo B) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Número de classes (K) 
 
Não Há uma fórmula exata para o cálculo do número de classes. 
A) k = 5 para n ≤ 25 e k 
 n
, para n>25. 
B) Fórmula de Sturges k 

 1 + 3,22 log n, em que n = tamanho da amostra. Exemplo: seja n = 49, 
então: 
 
 K +
49
 =7 ou k

 1 + 3,22 log 49

 7. 
36 1 
∑ 30 
Classe F i 
45 ├ 55 
 
 55├ 65 
 
65├75 
 
75├ 95 
 
85├ 95 
15 
 
30 
 
35 
 
15 
 
5 
 
∑ 100 
 
APOGEU – Educação Continuada a Distância 
 
10 
 
7. Amplitude das classes (h) 
h 

 R ÷ K 
 
 Assim como no caso do numero de classes (k), a amplitude das classes (h) deve ser aproximada para o 
maior inteiro. Assim, se k 

 6, 4, usa – se k =7 ou h 

 1, 7, usa-se h = 2. 
 
8. limites das classes 
 
Existem diversas maneiras de expressar os limites das classes. Eis algumas: 
 
a) 10 ├┤ 12: compreende todos os valore entre 10 e 12: 
 
b) 10 ├ 12 compreendem todos os valores de 10 a 12, excluindo o 12; 
 
c) Limite aparente 10 – 12; limite real 9,5 – 11,5; 
 
d) 10 ┤ 12 compreendem todos os valores, excluindo o 10. 
 
Usaremos a forma expressa no exemplo b. 
 
 9. Pontos médios das classes 
 
É a media aritmética o limite superior e o limite inferior da classe assim se a classe for 10 ├ 
12, teremos: 
 
 
 X i = 10 12
2
 = 11, como ponto médio da classe. 
 
 
10. Freqüência absoluta acumulada (Fac) 
 
È a soma das freqüências dos valores inferiores ou iguais ao valor dado. Exemplo: 
 
X i F i Fac 
 
0 
1 
2 
 
3 
5 
2 
 
3 
8 
10 
 
 ∑ 10 
 
11. Freqüência Relativa (fi). 
 
A freqüência relativa de um valor é dada por fi =
i F
n
 ,ou seja, é a porcentagem daquele valor na 
amostra. Exemplo: 
APOGEU – Educação Continuada a Distância 
 
11 
 
X i F i fi 
 
1 
2 
3 
 
 
5 
7 
2 
 
5 14
 
1/2 
1/7 
 
 ∑ 14 1 
 
Note: ∑ fi = 1. Assim 1/ 2 =50% dos elementos correspondem ao 2. 
 
 
12. Histograma 
 
É a representação gráfica de uma distribuição de freqüências por meio de retângulos 
justapostos. 
 
13. Polígono de freqüências 
 
É a representação gráfica de uma distribuição de freqüência por meio de um polígono. 
Exemplo: (histogramas e polígonos de freqüências). 
 
14. Média Aritmética - Dados não Agrupados 
 
Sejam X1, X2,... Xn, , portanto “n” valores da variável X. A média aritmética simples de X representada 
por 
X
 e definida por : 
 
 
 
 
 
 
 Ou simplesmente 
 
 
 
 em que n é o número de elementos do conjunto. 
Exemplo: Determinar a média aritmética simples dos valores: 3, 7, 8, 10, 11. 
 
 x
X
n

 = 3 7 8 10 11
5
   
 
7,8X 
 
 
 
15. Média Aritmética – Dados Agrupados 
 
 
 
X
= 1
n
i
i
X
n

 
 
 
 x
X
n

 
APOGEU – Educação Continuada a Distância 
 
12 
 
Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de freqüência usaremos a média aritmética dos 
valores x1, x2... x n, ponderados pelas respectivas a Freqüências absolutas: F1, F2, F3... F n. Assim: 
 
 
 
 
 Ou 
 
 
 
 Exemplos: 
 
a) Dada a seguinte distribuição: 
 
 x i │ 1 2 3 4 
 –––––– ––––––––––––––– 
 Fi │ 1 3 5 1 
 
 
Determinar à média. 
 
Um dispositivo prático para esse cálculo é a composição da seguinte tabela: 
 
 
x i Fi x i Fi 
 
1 
2 
3 
4 
 
 
1 
3 
5 
1 
 
1 
6 
15 
4 
 ∑ 10 26 
 
i iX F
X
n

 =
26
10
=2,6 
 
Lembre-se de que ∑ Fi = n 
 
Exemplo: Determinar à média da distribuição: 
 
Renda Familiar 
(milhares de $)2 ├4 4├ 6 6├ 8 8├10 10├ 12 
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 
N○ de Famílias 5 10 14 8 3 
 
Nesse caso, as classes são representadas pelos seus pontos médios, portanto: 
 
 
Classes Fi xi x i Fi 
 1
n
i i
i
X F
X
n

 
 
i iX F
X
n

 
APOGEU – Educação Continuada a Distância 
 
13 
 
 
2 ├ 4 
 
4 ├ 6 
 
6 ├ 8 
 
8 ├10 
 
10├12 
 
5 
 
10 
 
14 
 
8 
 
3 
 
 
3 
 
5 
 
7 
 
9 
 
11 
 
15 
 
50 
 
98 
 
72 
 
33 
∑ 40 268 
 
 
i iX F
X
n

 =
268
40
 
 
 
6,7X 
 
 
Como a renda familiar foi dada em milhares, pode–se dizer que a renda média desse grupo de 
40 famílias é de $ 6.700,00. 
 
16. Média Geral 
 
Sejam 
1, 2, 3,......., kX X X X
 as médias aritméticas de k séries e n1, n2, n3, nk os números de termos 
destas séries, respectivamente. A média aritmética da série formada pelos termos das k séries é dada 
pela fórmula: 
 
 
1 1 2 2
1 2
...
...
k k
k
n X n X n X
X
n n n
  

  
 
 
 
Exemplo: Sejam as séries: 
 
1) 4, 5, 6, 7, 8 em que n1 = 5 e 
1X
 = 6 
2) 1, 2, 3 em que n2=3 e 
2X
 = 2 
3) 9, 10, 11, 12, 13 em que n3=5 e 
3X
 = 11 
 
 
Então, a média geral das séries, utilizando fórmula acima será: 
APOGEU – Educação Continuada a Distância 
 
14 
 
 
 5 . 6 + 3 . 2 + 5 . 11 
X
= ––––––––––––––––– = 7 
 5 + 3 + 5 
 
17. Média Geométrica 
 
Sejam X1 , X2 ,.X3,.....Xn , valores de X, associados às freqüências absolutas F1, F2 , F3..... 
Fn , respectivamente. A média geométrica de X é definida por: 
 
 
 
 
 
 
 
Em particular, se F1 = F2 = F3 = ... = Fn = 1, tem – se: 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: calcular a média geométrica dos valores 3, 6, 12, 24, 48. 
Logo: 
 
 
 Mg =
5 3 6 12 24 48   
 
 
 Mg = 
5 248.832 
 

 Mg = 12 
 
 
18. Média harmônica 
 
Sejam X1 , X2 ,.X3,.....Xn valores de X, associados às freqüências absolutas F1, F2 , F3.... 
Fn; respectivamente. 
 
A média harmônica de X é definida por: 
 
 
1 2
11 2
.....
n
n i
in i
n n
Mh
F FF F
x x x x
 
   
 
 
Em particular, se F1 = F2 = F3 = ... Fn = 1, tem – se: 
 
 
Mg =
1 2 3
1 2 3
. . ...... n
F F F F
n
nX X X X
 
 
Mg = 
1 2 3
. . ......n
nx x x x
 
APOGEU – Educação Continuada a Distância 
 
15 
 
11 2
1 1 1 1
....
n
in i
n n
Mh
x x x x
 
   
 
 
 
Exemplo: calcular a média harmônica para 2, 5, 8. 
 Então: 
 
3
3,64
1 1 1
2 5 8
Mh  
 
 
 
19. Mediana 
 
Colocado em ordem crescente, mediana (
x
) é o valor que divide amostra, ou população, em duas 
partes iguais. Assim. 
 
 0 50% 100 % 
 ├–––––––––––––│––––––––––––┤ 
 
x
 
 
 20. Cálculo da Mediana – Variável Discreta 
 
Se n for ímpar a mediana será a média entre os elementos centreis (de ordem 
1
2
n 
 ,Caso n seja par a mediana será a média entre os elementos centrais 
(de ordem 
2
n
 e 
2
n
+ 1). 
 
 
Exemplos: 
 
a) Dada a distribuição : 
 
 
Xi Fi Fac 
 
1 
2 
3 
4 
 
 
1 
3 
5 
2 
 
1 
4 
9 
11 
APOGEU – Educação Continuada a Distância 
 
16 
 
 
 
 

 Contém o 6° elemento 
 
n = 11, n é impar logo (
x
) será o elemento 
de ordem 
1
2
n 
 ou seja 
11 1
2

=6° 
 
Será, portanto, o sexto elemento. Para identificá-lo, abre-se a coluna da Freqüência acumulada 
Crescente (Fac ). 
 
 21. Cálculo da Mediana – Variável contínua 
 
1° Passo: Calcula-se a ordem 
2
n
.Como a variável é contínua, não se preocupe se n e par ou ímpar. 
 
2° Passo: Pela Fac identifica-se a classe que contém a mediana (classe Md). 
 
3° Passo: Utiliza-se a fórmula. 
. 
.
2
Md
Md
n
f h
x l
F
 
 
  

 
 
em que: 
 
 FMd = limite inferior da classe Md . 
 n = tamanho da amostra ou número de elementos. 
 ∑f = soma das freqüências anteriores á classe Md. 
 h= amplitude da classe Md 
 Fmd =freqüência da classe Md. 
 
Exemplo: dada a distribuição amostral, calcular a mediana. 
 
Classes 
 
Fi Fac 
35├ 45 5 5 
45├55 12 17 
55├65 18 35 
65├75 14 49 
75├85 6 55 
85├95 3 58 
 

 
 
58 
 
 ∑ 11 
APOGEU – Educação Continuada a Distância 
 
17 
 
1° Passo: Calcula-se 
2
n
. Como n = 58, temos 
58
2
=29° 
 
2° Passo: Identifica-se a classe Md pela Fac. Neste caso, a classe Mo 
É a 3º. 
 
3° Passo: aplica-se a fórmula: 
 
 
.
2
Md
Md
n
f h
x l
F
 
 
  

 
 
 
No caso 
 
55; 58; 17; 10; 18.
MdMd
n f hl F    
 Logo: 
 
 
58
17 .10
2
55 61,67
18
x
 
 
   
 
 
22. Quartis 
 
Os quartis dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais. Assim: 
 
 0% 25% 50% 75% 100% 
 ├————–––│—————–│——————│——————┤ 
 Q1 Q2 Q3 
 
Q1 = 1° quartil ,deixa 25 % dos Elementos. 
Q2 = 2° quartil, coincide com a mediana, deixa 50% dos elementos. 
Q3 = 3° quartil, deixa 75% dos elementos. 
 
Eis as fórmulas para os cálculos de Q1 e Q3 para o caso de variáveis contínuas. 
 
Determinação de Q1: 
 
1° Passo: Calcula-se 
4
n
 
 
2°Passo: Identifica-se a classe Q1 pela Fac. 
 
3°Passo: Aplica-se a fórmula: 
 
APOGEU – Educação Continuada a Distância 
 
18 
 
 
1
1
1
.
4
Q
Q
n
f h
Q l
F
 
 
  

 
 
 
Determinação de Q3: 
 
1°Passo: calcula-se 
3
4
n
 
2°Passo: Identifica-se a classe Q3 pela Fac 
 
3°Passo: Aplica-se a fórmula: 
 
 
3
3
3
3
.
4
Q
Q
n
f h
Q l
F
 
 
  

 
 
 
Exemplo: Dada a distribuição, determinar os quartis (Q1 e Q3) e mediana. 
 
 
 
 
 
Classe Q1 → 
 
Classe Md → 
 
Classe Q3 → 
 
1°Passo: n = 56 
 Q1 = ? 
x
= ? Q3=? 
 
 
56
14
4 4
n
  56
28
2 2
n
  
 
3
42
4
n
 
 
 
 
2°Passo: Pela Fac identifica-se a classe Q1, classe Md e classe Q3. 
 
3°Passo: Uso das fórmulas 
 
Classes Fi Fac 
 
7 ├ 17 
 
17├ 27 
 
27 ├ 37 
 
37 ├ 47 
 
47 ├ 57 
 
6 
 
15 
 
20 
 
10 
 
5 
 
 
6 
 
21 
 
41 
 
51 
 
56 
 
 ∑ 56 
APOGEU – Educação Continuada a Distância 
 
19 
 
Para Q1 temos: 
11
17, 56, 6; 10, 15
QQ
n f hl F    
 
Para 
x
 temos: 
27, 56, 21; 10, 20.
MdMd
n f hl F    
 
 
Para Q3 temos: 
33
37, 56, 41; 10, 10.
QQ
n f hl F    
 
 Logo: 
 
 
 
1
56
6 .10
4
17 22,33.
15
Q
 
 
   
 
 
 
 
56
21 .10
2
27 30,5
20
x
 
 
   
 
3
3.56
41
4
37 .10 38
10
Q
 
 
    
 
Diante desses resultados, pode-se afirmar que, nesta distribuição, tem-se; 
 
 25 % 25% 25% 25% 
 ├————–––│—————–│—————–│–—————┤ 
 7 22,33 30,5 38 57 
 
 
23. Decis 
 
Continuando o estudo das medidas separatrizes, mediana e quartis, tem- se os decis. 
São os valores que dividem a série em 10partes iguais. 
 
1° Passo: calcula-se 
.
10
i n
, em que i = 1,2,3,4,5,6,7,8 e 9. 
 
2°Passo: Identifica-se a classe
iD
, pela Fac. 
 
3°Passo Aplica-se a fórmula: 
 
 
 
.
.
10
i
i
i D
D
i n
f h
F
lD
 
 
  

 
APOGEU – Educação Continuada a Distância 
 
20 
 
Em que : 
 
 
 
iDl
= limite inferior da classe
iD
 = 1, 2, 3,…9 
 n = tamanho da amostra 
 h = amplitude da amostra 
iD
 
 
DiF
 = freqüência da classe 
iD
 
 ∑f = soma das freqüências anteriores à classe 
ID
 
 
 
24. Percentis 
 
São as medidas que dividem a amostra em 100 partes iguais. O cálculo de um percentil é dado 
por: 
 
 
1° Passo: calcula-se 
.
100
i n
, em que i = 1,2,3....98,99. 
 
2°Passo: pela Fac identifica-se a classe 
iP
 
 
3°Passo: usa – se a fórmula. 
 
 
 
.
.
100
i
i
i P
p
i n
f h
lP
F
 
 
  

 
 
em que : 
 
 
ipl
 = limite da classe
iP
, em que i = 1,2,3....99 
 n = tamanho da amostra 
 
f
 = soma das freqüência anteriores á classe 
iP
 
 h = amplitude da classe 
iP
 
i
pF
= freqüência da classe 
iP
 
 
 
25. A Moda (Mo) 
 
Denominamos moda o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores. 
 
 
26. Dados não agrupados 
 
APOGEU – Educação Continuada a Distância 
 
21 
 
Quando lidamos com valores não-agrupados, a moda é facilmente reconhecida; basta, de 
acordo com a definição, procurar o valor que mais se repete. 
 
 A série de dados: 7,8,9,10,10,10,11,12,13,15 tem moda igual a 10 . 
 
27. Dados agrupados 
 
 P ara dados agrupados em classes, há diversas fórmulas para o cálculo da moda. 
 
a) 1° processo: fórmula de Czuber 
 
1° Passo: 
Identificar-se a classe modal (aquela que possui maior freqüência) 
 
2° Passo: 
 Aplica-se fórmula; 
 
 
 
 
Em que: 
 
 
l
= limite inferior da classe modal 
 
1
= diferença entre a freqüência da classe modal e a imediatamente anterior 
 
2
= diferença entre a freqüência da classe modal e a imediatamente posterior 
 
 h = amplitude da classe. 
 
Exemplo: Determinar a moda para a distribuição. 
 
Classes 0 ├ 1 1├ 2 2 ├ 3 3 ├ 4 4 ├ 5 ∑ 
 Fi 3 10 17 8 5 43 
 
1° Passo: indica-se a classe modal. No caso, trata-se da 3° classe 2├ 3 
2° Passo: aplica-se a fórmula: 
 
 
 
 
em que: 
 
 
l
= 2 
 
1
= 17 – 10 = 7 
 
2
= 17 – 8 = 9 
 h = 1 
 
Portanto: 
 
 
* 1
1 2
.
o
l hM

 
 
 
 
* 1
1 2
.
o
l hM

 
 
 
APOGEU – Educação Continuada a Distância 
 
22 
 
7
2 .1 2,44
7 9oM
  

 
b) 2° processo: fórmula de Pearson 
3 2oM x X 
 
 
Ou seja, a moda é aproximadamente a diferença entre o triplo da mediana e o dobro da média. 
Essa fórmula dá uma boa aproximação quando a distribuição apresenta razoável simetria em relação a 
média. 
 
27) Medidas de Dispersão 
 
São mediadas estatísticas utilizadas para avaliar o grau de variabilidade ou dispersão, dos 
valores em torno de média. Servem para medir a representatividade da média. 
 
 Dispersão 
 
 ←––––––––––––––––→ 
 
 ––––––––––––––––––––––––│––––––––––––––––––––––––––– 
 
X
 x 
 
Sejam as séries: 
 
a) 20,20,20 
b) 15,10,20,25,30 
 
Tem – se : 
aX
 = 20 e 
bX
 = 20 
 
Observe: Apesar de as séries terem médias iguais, na série ¨a ¨ não se tem dispersão, enquanto 
os valores da série “b” apresentam dispersões em torno da média 20. Assim, a média é muito mais 
representativa para a série “a” do que para série “b”. 
 
28) Amplitude Total 
 
É a diferença entre o maior e o menor dos valores da série. 
 
 
m x mimR X Xá 
 
 
 
Exemplo: Para a série 10,12,20,22,25,33,38 
 
 R= 38 – 10 = 28 
APOGEU – Educação Continuada a Distância 
 
23 
 
29) Desvio Médio 
 
Desde que se deseja medir a dispersão os dados em relação à média parece interessante a 
análise dos desvios em torno da média, isto é,analisar os desvios: 
 
 ii Xd X 
 
 
mas a soma de todos os desvios é igual a zero . isto é: 
 
 
  0ii Xd X   
 
 
Logo será preciso encontra uma maneira de se trabalha com os desvios sem que a soma de 
zero. Dessa forma define-se desvio médio como: 
 
 .
M
i X iii X Fd FD
n n


 
 
 
30) Variância 
 
Neste caso considera-se o quadrado de cada desvio 
 
2
i
XX 
, evitando com isso que ∑d = 0. Assim, 
a definição da variância populacional é dada por: 
 
 
2 2
2 . .i i iiX
N N
X F d F    
 
 
Trata – se da média aritmética dos quadrados dos desvios . 
 
Observação: 1 .
2
 indica variância populacional e lê –se sigma ao quadrado . 
 2 . 
X
da fórmula é média da população . 
 
Para o caso do cálculo da variância amostral é conveniente o uso da seguinte fórmula 
 
 
 
2
2 .
1
i i
X
n
X F
S




 
 
 Como você deve ter notado, as diferenças entre as fórmulas são : para o caso da variância 
populacional: 
2
, utiliza-se a média populacional
 X
, tendo como denominador o tamanho da 
população : N. Para o cálculoda variância amostral: S2, utiliza-se a média amostral 
 X
,tendo como 
APOGEU – Educação Continuada a Distância 
 
24 
 
denominador o tamanho da amostra menos um: (n – 1). Fórmulas práticas para os cálculos das 
variâncias. 
 
2
22 1 i i
i iN N
X F
X F
 
  
 
 


 ou  
2
22 1
1
i i
i i
S
n n
X F
X F
 
  
 
 


 
 
Que foram obtidas por transformações nas respectivas fórmulas originais. 
 
31) Desvio Padrão 
 
Para o cálculo do desvio-padrão deve-se primeiramente determinar o valor da variância e, em 
seguida, extrair a raiz quadrada desse resultado. 
 
2 
 É o desvio-padrão populacional. 
 
2s s
 é o desvio - padrão amostral 
 
 
32) Coeficiente de Variação 
 
Trata-se de uma medida relativa de dispersão útil para a comparação em termos relativos do 
Grau de concentração em torno da média de séries distintas. É dado por: 
 
.100CV
X


 ou
.100
S
CV
X

 
 
Onde: 

= desvio – padrão populacional 
 
X
= média populacional 
 S = desvio-padrão amostral 
 
X
= média amostral 
 
O coeficiente de variação é expresso em porcentagens. 
 
Exemplo: Numa empresa, o salário médio dos homens é de $4.000.00, com desvio – padrão de 
$1.500,00, e o das mulheres é em média de $3.000,00, com desvio – padrão. 
de $1.200,00. Então: 
 
 Para os homens 
.100CV
X


 =
1500
100 37,5%
4000
x 
 
 
Para as mulheres 
.100CV
X


=
1200
100 40%
3000
x 
 
APOGEU – Educação Continuada a Distância 
 
25 
 
Logo, podemos concluir que os salários das mulheres apresentam maior dispersão relativa que 
os dos homens. 
 
Diz-se que a distribuição possui pequenas variabilidades (dispersão) quando o coeficiente der até 10 %; 
média dispersão quando estiver acima de 10% até. 
20%; e grande dispersão quando superar 20%. Alguns analistas consideram: 
 
 Baixa dispersão: CV ≤ 15 % 
 Média dispersão: 15% < CV < 30% 
 Alta dispersão: CV ≥ 30 % 
 
33) Números índices 
 
Números – índice ou, simplesmente, índice é a relação entre dois estados de uma variável ou 
de um grupo de variáveis, suscetível de variar tempo ou espaço ( ou de grupo de indivíduos para 
grupo de indivíduos). 
 
34) Relativos de Preços 
 
Quando queremos analisar a variação no preço (ou na quantidade ou no valor ) de um só bem, 
basta expressar tal variação em termos percentuais, obtendo o que denominamos relativo de preço ( de 
quantidade ou de valor). 
 
Assim, representando por ( 0) época – base e por (t) época atual, temos: 
 
Po : preço n época – base; 
Pt : preço n época atual. 
 
 (Po, t é o relativo de preço ) 
 
 
0,
0
100t
t
xPP
P

 
 
 
Do mesmo modo, obtemos: 
 
0,
0
100t
t
x
q
q
q

 (relativo de quantidade ) 
 
APOGEU – Educação Continuada a Distância 
 
26 
 
0,
0
100t
t
xVV
V

 (relativo de valor ) 
 
35) Elos de Relativos 
 
Vários relativos formam elos quando cada um deles é calculado tomando como base o anterior: São os 
relativos de base móvel. 
 
Assim, se um bem apresentou, no período de 1991 a 1994, respectivamente os preços de R$ 240, 
R$300, R$360, R$540, os elos relativos são: 
 
 P92 300 
P91,92 = ––––– x 100 = ––––– x 100 = 1,25 x 100 = 125 
 P91 240 
 
 P93 360 
P92,93 = ––––– x100 = ––––– x 100 = 1,2 x 100 = 120 
 P92 300 
 
 P94 540 
P93,94 = ––––– x100 = ––––– x 100 = 1,5 x 100 = 150 
 P93 360 
 
 
35) Relativos em Cadeia 
 
Os relativos em cadeia é o índice de base fixa: todos os relativos são calculados tomando-se uma 
determinada época como base. 
 
Utilizando como exemplo pos dados do item anterior e considerando 1991. Como ano-base, obtemos: 
 
 P92 300 
P91,92 = ––––– x 100 = ––––– x 100 = 1,25 x 100 = 125 
 P91 240 
 
 
 P93 360 
P91,93 = ––––– x 100 = ––––– x 100 = 1,5 x 100 = 150 
 P91 240 
 
 
 P94 540 
P91,94 = ––––– x 100 = ––––– x 100 = 2,25 x 100 = 225 
 P91 240 
APOGEU – Educação Continuada a Distância 
 
27 
 
36) índices Agregativos 
 
A variação de preços exige um índice que sintetize a variação dos preços de um conjunto de bens 
(agregado). Para atingir esse objetivo, lançamos mão de um novo tipo de índice: o índice agregativo. 
 
37) índices Agregativos Simples 
 
Um modo de determinar o índice agregativo simples é calcular a média aritmética dos relativos, obtendo 
o índice médio de relativos. 
 
Assim, dada a tabela abaixo: 
 
 
Bens 
Relativos 
 
1994 
De preço 
 
1995 
 
A(m) 
B(kg) 
C (ℓ) 
 
100 
100 
100 
 
 
150 
125 
160 
 ∑ = 300 ∑= 435 
 
Temos, lembrando que n =3: 
 
 435 
 Ip= –––– → Ip = 145% 
 3 
 
39) índice agregativo ponderado 
 
Para o calculo do índice agregativo ponderado, há varias fórmulas: de Laspeyres, de Paasche, 
de Fisher etc. 
40) Fórmula de Laspeyres ou método da época – base 
 
Ponderando os relativos de preço Pt, onde Pt é o preço na época atual e Po é o preço 
 ––– 
 Po 
na época – base , pelos valores (preços x quantidades ) do ano – base Po qo , obtemos a fórmula de 
Laspeyres. 
 
 
0,
0
0 0
.
.
t
P t
p q
L
p q



 
 
 
 
Exemplo: 
APOGEU – Educação Continuada a Distância 
 
28 
 
 
1) Sabendo que o preço de determinado produto era de R$ 50 em 1994 R$60 em 1995, determine o 
relativo de preço em 1995, tomando como base o ano de 1994. (E comum a notação 1994 = 100 para 
indicar que o ano de 1994 é tomado como base). 
 
Temos: 
 P94 = 50 e P95=60. 
 
Logo: 
 P95 60 
 P94, 95= —— x 100 = –––– x 100= 1,20 x 100 = 120. 
 P 94 50 
 
Daí: 
 
 P94, 95 = 120% 
 
Esse resultado nos permite afirmar que o preço do produto em 1994 e 1995 sofreu um aumento 
de: 
 
 120- 120 = 20% 
 
 
Exemplo: 
 
1) Considerando a tabela: 
 
 
Bens 
 
1993 
p q 
1994 
p q 
A 
B 
C 
20 4 
40 3 
15 8 
28 3 
56 3 
30 12 
Calcule o índice ponderado para preço, empregando a fórmula de laspeyres e tomando 1993 = 100 : 
 
Lembrando que: 
 
 ∑ p94. q 93 
 Lp 93,94 = ––––––––––––∑ p93. q93 
 
 
Temos: 
 (28x4) + (56x3) + (30x 8) 112 + 168 + 240 520 
Lp 93,94 = ––––––––––––––––––––––––– = ––––––––––––––– = –––– = 
 (20 x 4) + (40 x 3 ) + (15x 8 ) 80 + 120 + 120 320 
 
= 1,625 ou 162,5%