Polinômios e Equações Algébricas - Abramo Hefez.pdf

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Livro: Polinômios e Equações Algébricas
Autores: Abramo Hefez
Maria Lúcia Torres Villela
Capítulo 1: Os Números Complexos
Sumário
1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 A Álgebra dos Números Complexos . . . . . . . 3
3 Representação Geométrica . . . . . . . . . . . . . 9
4 A Raiz Quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5 Forma Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6 Extração de Raízes n-ésimas . . . . . . . . . . . . 29
7 Raízes da Unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
8 Breve História dos Números . . . . . . . . . . . . 41
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Seção 1 Introdução 1
1 Introdução
Jerônimo Cardan (Itália, 1501-1576), um dos mais destacados matemá-
ticos do Renascimento, em 1545, achou a resposta
α = 5+
√
−15 e β = 5−
√
−15,
para o problema de determinar dois números cuja soma vale 10 e cujo produto
vale 40.
De fato, os números procurados são as raízes da equação do segundo grau
x2 − 10x+ 40 = 0,
que produz as soluções acima, quando resolvida pela fórmula resolvente das
equações do segundo grau.
Mas, na época em que vivia Cardan, só se conheciam os números reais
e, portanto, as raízes quadradas de números negativos eram consideradas
inexistentes, logo essas soluções eram tidas como absurdas. Naqueles tem-
pos, a situação era ainda mais dramática, pois os matemáticos tinham até
dificuldade em operar com os números negativos.
O que é notável, é que se operarmos formalmente com essas raízes, como
se tivessem as propriedades aritméticas da adição e da multiplicação dos
números reais e convencionarmos que
(
√
−15)2 = −15,
podemos mostrar, sem dificuldade, que
α+ β = 10 e α · β = 40.
Podemos ainda escrever esses �números� na forma
α = 5+
√
15
√
−1, β = 5−
√
15
√
−1,
que quando somados dão 10 e quando multiplicados dão 40, desde que con-
vencionemos que (
√
−1)2 = −1.
Façamos um outro experimento. Para determinar dois números cuja
soma vale 10 e cujo produto vale 26, devemos resolver a equação
x2 − 10x+ 26 = 0,
cujas raízes são 5 +
√
−1 e 5 −
√
−1. Novamente, se adicionarmos e
multiplicarmos esse �números�, obtemos os números 10 e 26.
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2 Os Números Complexos Cap. 1
Portanto, não parece ser uma simples coincidência que se consiga dessa
forma resolver as equações que não têm soluções reais, a custo de introduzir
novos �números� que são da forma a+ b
√
−1, onde a e b são números reais
e
√
−1 é um símbolo sujeito à seguinte regra operatória:
(
√
−1)2 = −1.
A ideia de tratar esses novos entes como números sem as áspas foi de
Rafael Bombelli (1726-1772), outro matemático renascentista italiano como o
seu contemporâneo Cardan. Motivado pelo trabalho de Cardan e pelo esforço
desse em compreender o caso irredutível da equação cúbica (cf. Capítulo 5),
Bombelli começou a estudar esses números por volta de 1550, estabelecendo
as seguintes regras operatórias:
(
√
−1)(
√
−1) = −1, (−
√
−1)(
√
−1) = 1,
(−
√
−1)(−
√
−1) = −1, −1(
√
−1) = −
√
−1,
bem como as fórmulas para a sua adição e multiplicação:
(a+ b
√
−1) + (c+ d
√
−1) = (a+ c) + (b+ d)
√
−1,
(a+ b
√
−1) · (c+ d√−1) = (ac− bd) + (ad+ bc)√−1.
Os resultados desses estudos foram publicados por Bombelli em 1572 no
livro L'Algebra, onde, também, pela primeira vez, foram estabelecidas as
regras operatórias com os números negativos.
Um fato que intrigou Cardan até o final de sua vida foi que equações do
terceiro grau da forma x3 = 15x + 4, quando resolvida pelas fórmulas que
levam o seu nome, e que estudaremos no Capítulo 5, dava a solução
3
√
2+
√
−121+
3
√
2−
√
−121.
Por outro lado, uma verificação direta mostra que 4 é raiz da equação. Por-
tanto,
3
√
2+ 11
√
−1+
3
√
2− 11
√
−1 = 4.
Por mais que tentasse, Cardan não conseguia evitar nas suas fórmulas o
uso dos radicais quadráticos de números negativos para expressar soluções
reais de algumas equações do terceiro grau como esta. Portanto, tinha que
passar por soluções �absurdas� para expressar soluções verdadeiras.
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Seção 2 A Álgebra dos Números Complexos 3
Vejamos, neste exemplo, a proposta de Bombelli para lidar com tal situ-
ação: (
2+
√
−1)3 = 23 + 3 · 22√−1+ 3 · 2(√−1)2 + (√−1)3
= 8+ 12
√
−1− 6−
√
−1
= 2+ 11
√
−1,(
2−
√
−1)3 = 23 − 3 · 22√−1+ 3 · 2(−√−1)2 + (−√−1)3
= 8− 12
√
−1− 6+
√
−1
= 2− 11
√
−1.
Portanto,
3
√
2+ 11
√
−1+
3
√
2− 11
√
−1 = (2+
√
−1) + (2−
√
−1) = 4.
O tratamento formal dos números da forma a + b
√
−1, dado por Bom-
belli, não satisfazia minimamente os matemáticos da época, que os olhavam
com muita desconfiança, admitindo-os apenas como artifício de cálculo, sem
uma existência efetiva, tendo o próprio Cardan como feroz oponente. Os ma-
temáticos da época, pela influência da cultura helenística predominante na
área, relutavam em aceitar entidades matemáticas que não tivessem algum
significado geométrico. Esse significado geométrico foi delineado no final do
Século 18, início do Século 19. Retornaremos a esse assunto na Seção 3.
2 A Álgebra dos Números Complexos
Leonhard Euler (Suiça, 1707-1783), em 1777, denotou o �número�
√
−1
por i e determinou várias propriedades dos números introduzidos por Bom-
belli, sendo dele a sua representação polar que estudaremos na Seção 5. O
fato de chamar
√
−1 de i já ajuda a desfazer sofismas que surgiam ao atri-
buir, incorretamente, a esse número propriedades similares aos dos números
reais, no que tange a operação de radiciação. Um exemplo de um tal sofisma
é a seguinte prova de que −1 = 1:
−1 =
√
−1 · √−1 =
√
(−1)(−1) =
√
1 = 1.
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4 Os Números Complexos Cap. 1
A desconfiança dos matemáticos sobre esses números foi se desfazendo a
partir do surgimento, com os trabalhos de Caspar Wessel (Noruega, 1745-
1818), de 1797 e de Jean Robert Argand (Suiça, 1768-1822), de 1806, da sua
representação geométrica e de suas operações. Carl Friedrich Gauss (Alema-
nha, 1777-1855), em 1831, batizou esses números de números complexos e
contribuiu para a sua plena aceitação por meio dos seus trabalhos realizados
entre 1828 e 1832, onde os utilizou para provar novos e profundos resultados
em Teoria dos Números.
Daqui por diante, denotaremos o conjunto dos números complexos por C,
com os quais operaremos aditivamente e multiplicativamente com as regras
usuais da aritmética real, acrescidas da regra: i2 = −1.
Assim, seguindo Bombelli, e na notação de Euler, temos:
(a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i,
(a+ bi) · (c+ di) = (ac− bd) + (ad+ bc)i.
As fórmulas acima nos definem duas operações em C que serão ainda
chamadas de adição e de multiplicação.
Portanto, um número complexo z = a + bi se decompõe numa soma de
duas parcelas a e bi, onde os números reais a e b são chamados de parte
real e parte imaginária de z, respectivamente. Se z = a + bi, utilizaremos
as notações:
a = Re(z) e b = Im(z).
Da maneira como definimos os números complexos, apenas como expres-
sões formais, temos forçosamente que
a+ bi = a ′ + b ′i ⇐⇒ a = a ′ e b = b ′.
Um número complexo escrito na forma a+ bi, com a e b números reais,
será dito na forma normal.
Se escrevermos um número complexo da forma a+ 0i, com a real, abre-
viadamente, como a, vemos que o corpo dos números reais R se realiza como
subconjunto de C e que as operações, acima definidas em C,quando restritas
a esse conjunto, apenas reproduzem a adição e a multiplicação em R. Temos
então que
R ⊂ C = {a+ bi ; a, b ∈ R e i2 = −1}, onde i ∈ C\R.
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Seção 2 A Álgebra dos Números Complexos 5
Os números complexos 0 = 0 + 0i e 1 = 1 + 0i, chamados de zero e um,
destacam-se, pois têm as seguintes propriedades:
z+ 0 = z e z · 1 = z, para todo z ∈ C.
Para todo número complexo z = a+bi, existe z ′ ∈ C, tal que z+ z ′ = 0,
a saber,
z ′ = (−a) + (−b)i = −a− bi,
chamado de simétrico de z.
Não é difícil mostrar (faça-o) que as operações de adição e multiplicação
de números complexos, acima definidas, possuem as propriedades a seguir,
para quaisquer z, z ′, z ′′ ∈ C.
Comutativas: z+ z ′ = z ′ + z, z · z ′ = z ′ · z;
Associativas: z+ (z ′ + z ′′) = (z+ z ′) + z ′′, z · (z ′ · z ′′) = (z · z ′) · z ′′;
Distributiva: z · (z ′ + z ′′) = z · z ′ + z · z ′′.
Certamente, a validade dessas propriedades não é surpreendente, pois as
definições das operações em C foram construídas imaginando que elas vales-
sem, além de se apoiarem nas operações de R, onde valem tais propriedades.
O que pode ser um pouco mais surpreendente é que todo número com-
plexo z = a+ bi não nulo (i.e. z 6= 0), tem um inverso multiplicativo.
De fato, queremos achar z ′ = a ′ + b ′i tal que z · z ′ = 1. Escrevendo essa
condição mais explicitamente, temos
1 = z · z ′ = (aa ′ − bb ′) + (ab ′ + ba ′)i,
o que nos fornece o seguinte sistema de duas equações lineares nas incógnitas
a ′ e b ′: 
aa ′ − bb ′ = 1
ab ′ + ba ′ = 0,
que resolvido (faça os cálculos) fornece a seguinte solução:
a ′ =
a
a2 + b2
e b ′ = −
b
a2 + b2
,
o que faz sentido, já que a2 + b2 6= 0, pois assumimos z = a + bi 6= 0; ou
seja, que a 6= 0, ou b 6= 0.
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6 Os Números Complexos Cap. 1
O (único) inverso multiplicativo de um número complexo não nulo z será
denotado por z−1 ou por
1
z
. Portanto, pelo que fizemos acima, temos que se
z = a+ bi 6= 0, então
1
z
=
a
a2 + b2
−
b
a2 + b2
i.
Assim, temos que C é um corpo que contém o corpo dos números reais
R e onde se pode extrair uma raiz quadrada de um número real qualquer
(inclusive negativo).
De fato, dada a equação x2 = a, onde a ∈ R e a < 0, existe um único
número real positivo b =
√
|a|, tal que b2 = −a > 0, temos que x1 =
i
√
|a| e x2 = −i
√
|a| são soluções da equação proposta, chamadas de raízes
quadradas complexas de a.
Agora, a equação ax2 + bx + c = 0, com a, b, c ∈ R, a 6= 0 e ∆ =
b2 − 4ac < 0 passa a ter as seguintes raízes em C:
x1 =
−b+ i
√
−∆
2a
e x2 =
−b− i
√
−∆
2a
.
Na Seção 4, mostraremos que também é possível extrair raízes quadradas
de quaisquer números complexos e, mais ainda, que qualquer equação da
forma αx2 + βx+ γ = 0, onde α,β, γ ∈ C e α 6= 0, tem solução em C.
Para terminar esta seção, vamos definir formalmente a noção de corpo
que foi mencionada acima.
Dado um conjunto K, representamos por K×K o produto cartesiano de K
com ele próprio. Uma operação (?) em K é por definição apenas uma função
? : K× K −→ K
(a, b) 7−→ a ? b .
Seja K um conjunto com duas operações (+) e (·), chamadas de adi-
ção e multiplicação, respectivamente. Diremos que K é um corpo, se estas
operações possuirem as seguintes propriedades:
1) As operações de adição e de multiplicação são comutativas, isto é,
quaisquer que sejam os elementos a e b em K, tem-se que
a+ b = b+ a e a · b = b · a.
2) As operações de adição e de multiplicação são associativas, isto é,
quaisquer que sejam os elementos a, b e c em K, tem-se que
a+ (b+ c) = (a+ b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c.
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Seção 2 A Álgebra dos Números Complexos 7
3) As operações de adição e de multiplicação possuem elementos neutros,
isto é, existem elementos 0 e 1 em K tais que, para qualquer elemento
a em K, se tenha
a+ 0 = a e a · 1 = a.
4) A multiplicação é distributiva com relação à adição, isto é, quaisquer
que sejam a, b e c em K, tem-se que
a · (b+ c) = a · b+ a · c.
5) Todo elemento a de K possui um simétrico, isto é, existe a ′ em K em
K tal que a+ a ′ = 0.
6) Todo elemento não nulo b de K possui um inverso, isto é, existe b ′ tal
que b · b ′ = 1.
Por exemplo, temos que Q, R e C são corpos. Nos Capítulos 3 e 6,
veremos inúmeros outros exemplos de corpos.
Prova-se que os elementos 0, 1, a ′ e b ′, com as propriedades acima, são
únicos (veja Problema 2.13).
Usualmente, denotamos a · b por ab, denotamos o elemento a ′ da Pro-
priedade (5) por −a e o elemento b ′ da Propriedade (6) por b−1, ou por
1
b .
Finalmente, se as operações (+) e (·) de K possuirem todas as proprie-
dades acima, exceto, eventualmente, a propriedade (6), diremos que K é um
anel. Portanto, todo corpo é um anel. Outros exemplos de anéis são o con-
junto dos inteiros Z, com as operações usuais de adição e de multiplicação,
e os anéis de polinômios que estudaremos no Capítulo 3.
Em um anel, definimos
a− b = a+ (−b),
e chamamos esta nova operação de subtração.
Um anel A que possua a propriedade
∀a, b ∈ A, a · b = 0 =⇒ a = 0 ou b = 0,
é chamado de domínio de integridade. Equivalentemente, A é um domínio
de integridade se, e somente se,
∀a, b ∈ A \ {0}, tem-se que a · b 6= 0.
Exemplos de domínios de integridade são: Z, Q, R, C e os anéis de classes
residuais Zp, com p primo (cf. [3], Volume 1). Exemplos de anéis que não
são domínios de integridade são os anéis Zm, com m um número natural
composto.
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8 Os Números Complexos Cap. 1
Problemas
2.1 Determine as raízes das equação x2 = −18.
2.2 Determine as raízes da equação x2 − 5x + 9 = 0, escrevendo-as na sua
forma normal.
2.3 Demonstre as propriedades comutativa e associativa da adição e da
multiplicação de números complexos.
2.4 Demonstre a propriedade distributiva da multiplicação em relação à
adição para os números complexos.
2.5 Escreva os números complexos, abaixo, na sua forma normal e calcule
as suas partes real e imaginária.
a) (1+ i)2; b) (1− i)2; c)
(
−
1
2
+
√
3
2
i
)3
;
d)
1+ i
i
+
i
1− i
; e)
5+ 2i
5− 2i
; f) (2+ i)(5+ 3i)(1− 4i).
2.6 Calcule os inversos dos seguintes números complexos, colocando-os na
sua forma normal:
a) i; b)
1+ i
1− i
; c)
2+ i
1− i
+
3+ 2i
1+ i
.
2.7 Resolva as equações
a)
1+ i
1− i
= z+ i; b) (1+ 2i)(iz− 3) = 2− i.
2.8 Determine os números reais a e b para que a propriedade abaixo se
verifique.
a) (a− 2) · b+ (b2 − 1)i = i;
b) (a2 − 4) + (a− 2)(b2 − 1)i seja um número complexo não real;
c) (b2 − 4) + (a2 − 1)(b+ 2)i seja um número real.
2.9 Mostre que
in =

1, se n ≡ 0 mod 4
i, se n ≡ 1 mod 4
−1, se n ≡ 2 mod 4
−i, se n ≡ 3 mod 4.
2.10 Calcule
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Seção 3 Representação Geométrica 9
a) 5i127 + 3i82 − 7i37 + i16;
b) 1+ i+ i2 + · · ·+ in−1, para todo valor de n ∈ N, n ≥ 1.
2.11 Sejam z e w números complexos. Mostre que z ·w = 0 se, e somente
se, z = 0 ou w = 0.
2.12 Considere Un(C) = {α ∈ C ; αn = 1}, onde n ≥ 1 é um número natural.
Mostre que
a) Un(C) 6= ∅;
b) Se α e β ∈ Un(C), então α · β ∈ Un(C);
c) Se α ∈ Un(C), então α−1 ∈ Un(C);
d) Se α ∈ Un(C), então α` ∈ Un(C), para todo ` ∈ Z.
2.13 Mostre que os elementos 0, 1, o simétrico a ′ de um elemento a e o
inverso b ′ de um elemento não nulo b, que aparecem na definição de corpo
são únicos.
Sugestão Suponha que a ′′ (respectivamente, b ′′) seja um outro simétrico
de a (respectivamente, inverso de b), mostre que a ′ = a ′′(respectivamente,
b ′ = b ′′).
2.14 Mostre que em um corpo K vale a propriedade de integridade:
a · b = 0 se, e somente se, a = 0 ou b = 0.
Sugestão Suponha que a · b = 0 e que a 6= 0. Multiplique ambos os
membros da igualdade por a−1 e utilize as demais propriedades de corpo
para mostrar que b = 0.
3 Representação Geométrica
A representação geométrica dos números complexos, que hoje conhece-
mos, é devida ao matemático amador Franco-Suiço Jean-Robert Argand,
que numa monografia
1
publicada de forma anônima, em Paris em 1806, ba-
seado numa engenhosa extensão da teoria das proporções, introduz a ideia
de representar um número complexo como um ente provido de grandeza ab-
soluta e de direção no plano, em suma, um vetor no plano e interpreta a
multiplicação por i como sendo uma rotação por um ângulo de 90o.
Em linguagem mais atual, o que há de essencial em um número complexo
z = a + bi é o par ordenado (a, b) de números reais. Portanto, seguindo
1
Essai sur une manière de representer les quantités imaginaire dans les constructions
géométriques
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10 Os Números Complexos Cap. 1
Argand, vamos representar geometricamente os elementos de C como pontos
de R2.
Figura 1: Representação de números complexos por pontos do plano.
Como, por definição dos números complexos, temos que
a+ bi = a ′ + b ′i ⇐⇒ (a, b) = (a ′, b ′),
essa associação entre C e R2, do ponto de vista da teoria dos conjuntos, é
perfeita. Poderíamos definir C como sendo R2, munido das seguintes opera-
ções:
(a, b) + (a ′, b ′) = (a+ a ′, b+ b ′),
(a, b) · (a ′, b ′) = (aa ′ − bb ′, ab ′ + ba ′).
A soma acima corresponde simplesmente à soma dos vetores com ponto
inicial O = (0, 0) e pontos finais A = (a, b) e A ′ = (a ′, b ′). Na seguinte
figura o paralelogramo com lados adjacentes OA e OA ′ tem diagonal OC e os
pontos do plano A, A ′ e C = (a+a ′, b+b ′) correspondem, respectivamente,
a z = a+ bi, a z ′ = a ′ + b ′i e a sua soma z+ z ′ = (a+ a ′) + (b+ b ′)i.
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Seção 3 Representação Geométrica 11
Figura 2: Regra do paralelogramo para a soma z + z ′.
O produto em R2, como apresentado acima, parece um tanto estranho,
mas também tem uma interpretação geométrica que ficará mais clara na
Seção 5.
Dado um número complexo z = a+ bi, definimos o seu conjugado como
sendo o número complexo z = a − bi, que corresponde geometricamente ao
simétrico de z com respeito ao eixo horizontal.
Figura 3: z = a + bi e z = a − bi.
A conjugação tem as seguintes propriedades:
(i) z = 0 se, e somente se, z = 0;
(ii) z = z, para todo z ∈ C;
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12 Os Números Complexos Cap. 1
(iii) z = z se, e somente se, z ∈ R;
(iv) z±w = z±w;
(v) z ·w = z ·w;
(vi) se z 6= 0, então z−1 = (z)−1;
(vii) Re(z) =
z+ z
2
e Im(z) =
z− z
2i
.
As provas dessas propriedades são simples e deixaremos parte delas como
exercício. Faremos apenas as de (iii) e (v) como exemplos.
(iii) Seja z = a + bi. Se a + bi = z = z = a − bi, então b = −b, logo
2b = 0; assim, b = 0 e z = a+ 0i ∈ R. Reciprocamente, se z = a ∈ R, então
z = a = z.
(v) Sejam z = a+ bi e w = a ′ + b ′i, logo
z ·w = (aa ′ − bb ′) + (ab ′ + ba ′)i = (aa ′ − bb ′) − (ab ′ + ba ′)i.
Por outro lado,
z ·w = (a− bi)(a ′ − b ′i) = (aa ′ − bb ′) − (ab ′ + ba ′)i,
provando a igualdade em (v). 2
O módulo de um número complexo z = a + bi é o número real não
negativo |z| =
√
a2 + b2. A interpretação geométrica do módulo de z é o
módulo do vetor de origem em (0, 0) e de extremidade (a, b), daí o nome
módulo.
Figura 4: z = a + bi e |z| =
√
a2 + b2.
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Seção 3 Representação Geométrica 13
O módulo tem as seguintes propriedades:
(i) z · z = |z|2, para todo z ∈ C;
(ii) |z| = |z| = |− z|, para todo z ∈ C;
(iii) Re(z) ≤ |Re(z)| ≤ |z| e Im(z) ≤ |Im(z)| ≤ |z|.
(iv) |z ·w| = |z| · |w|, para quaisquer z,w ∈ C.
Estas propriedades são fáceis de verificar, sendo que as propriedades (ii)
e (iii) são geometricamente óbvias. Faremos as demonstrações de (iii) e (iv)
e deixaremos as outras como exercício.
(iii) Seja z = a+ bi. Então, Re(z) = a ≤ |a| = |Re(z)| e
a ≤ |a| =
√
|a|2 =
√
a2 ≤
√
a2 + b2 = |z|.
(iv) Usando as propriedades (i) do módulo, (v) da conjugação, a comutativi-
dade e associatividade da multiplicação de números complexos e, novamente,
a propriedade (i) do módulo temos
|z ·w|2 = (z ·w) · (z ·w) = (z ·w) · (z ·w)
= (z · z) · (w ·w) = |z|2 · |w|2 = (|z| · |w|)2 .
Assim, |z ·w| = |z| · |w|. 2
O módulo tem a seguinte propriedade, chamada de desigualdade trian-
gular :
|z+w| ≤ |z|+ |w|, para quaisquer z,w ∈ C.
Esta desigualdade é geometricamente óbvia, como se pode verificar na figura
abaixo, pois o comprimento de um lado de um triângulo é menor do que
a soma dos comprimentos dos outro dois lados. Mais ainda, a igualdade
ocorre na desigualdade acima se, e somente se, o triângulo de vértices O, A
e C se degenera, ou seja, quando um dos números é múltiplo escalar real não
negativo do outro.
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14 Os Números Complexos Cap. 1
Figura 5: |z +w| ≤ |z| + |w|.
Faremos, a seguir, a demonstração analítica da desigualdade triangular.
Devido à sua importância, vamos formalizar este fato, pondo-o no formato
de uma proposição.
Proposição 3.1. Quaisquer que sejam os números complexos z e w, temos
|z+w| ≤ |z|+ |w|,
com igualdade valendo se, e somente se, um dos números é múltiplo escalar
real não negativo do outro.
Demonstração Vamos calcular o quadrado de |z+w|.
|z+w|2
(1)
= (z+w)(z+w)
(2)
= (z+w)(z+w)
(3)
= z · z+ z ·w+w · z+w ·w
(4)
= |z|2 + z ·w+w · z+ |w|2 .
A igualdade (1), acima, segue da propriedade (i) do módulo; (2), da pro-
priedade (iv) da conjugação; (3), da distributividade da multiplicação com
relação a adição de números complexos e (4), novamente, da propriedade (i)
do módulo.
Para avaliar a soma z ·w+w · z, ponhamos u = z ·w. Das propriedades
(v) e (ii) da conjugação, obtemos
u = z ·w = z ·w = z ·w.
Logo,
z ·w+w · z = u+ u = 2Re(u) ≤ 2|u| = 2|z ·w| = 2|z| · |w| = 2|z| · |w|,
onde a desigualdade, na linha acima, segue da propriedade (iii) do módulo e
as duas últimas igualdades seguem, respectivamente, das propriedades (iv)
e (ii) do módulo.
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Seção 3 Representação Geométrica 15
Logo,
|z+w|2 ≤ |z|2 + 2|z| · |w|+ |w|2 = (|z|+ |w|)2,
e, portanto,
|z+w| ≤ |z|+ |w|.
A afirmação sobre a igualdade é deixada como exercício (veja Problema
3.9). 2
A seguir, provaremos uma outra propriedade cuja interpretação geomé-
trica também é bem conhecida (pense novamente nos lados de um triângulo).
Proposição 3.2. Para quaisquer números complexos z e w temos que
| |z|− |w| | ≤ |z±w|.
Demonstração Escrevendo, z = (z−w) +w e w = (w− z) + z e usando a
desigualdade triangular, obtemos
|z| = |(z−w) +w| ≤ |z−w|+ |w|; e
|w| = |(w− z) + z| ≤ |w− z|+ |z| = |z−w|+ |z|.
Portanto, da primeira desigualdade, temos |z|−|w| ≤ |z−w| e, da segunda,
−|z−w| ≤ |z|− |w|, que são equivalentes à desigualdade | |z|− |w| | ≤ |z−w|.
A desigualdade | |z|− |w| | ≤ |z+w| pode ser obtida fazendo as modifica-
ções convenientes acima. 2
No próximo exemplo, mostraremos como obter um resultado de aritmé-
tica utilizando números complexos.
Exemplo 1. Dados dois inteirosm e n que são somas de dois quadrados (de
números naturais), o seu produto também é uma soma de dois quadrados.
O leitor certamente irá encontrar alguma dificuldade ao tentar provar estaafirmação, usando apenas aritmética elementar. Vejamos como, com o uso
dos números complexos, podemos resolver facilmente esta questão.
Escrevamos m = a2+b2 e n = c2+d2, com a, b, c, d ∈ N. Considerando
os números complexos z = a+bi e w = c+di, temos quem = |z|2 e n = |w|2.
Logo,
mn = |z|2|w|2 = |zw|2 = |(a+ bi)(c+ di)|2
= |ac− bd+ (ad+ bc)i|2
= (ac− bd)2 + (ad+ bc)2.
Em particular, podemos escrever
(52 + 82)(72 + 102) = (5 · 7− 8 · 10)2 + (5 · 10+ 8 · 7)2 = 452 + 1062.
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16 Os Números Complexos Cap. 1
Problemas
3.1 Represente no plano o número complexo z, abaixo, e o seu conjugado z
e calcule o seu módulo:
a) z = 2+ i; b) z = −3+ 4i; c) z = 4− 3i.
3.2 Demonstre as propriedades (i), (ii), (iv), (vi) e (vii) da conjugação.
3.3 Demonstre as propriedades (i) e (ii) do módulo.
3.4 Mostre que, se z ∈ C e z 6= 0, então z−1 = z
|z|2
.
3.5 Determine o inverso de z, se
a) z = 1− 2i; b) z = 3+ 4i; c) z = −1+ i.
3.6 Seja S1 = { z ∈ C ; |z| = 1 } e sejam z e w números complexos. Verifique
que
a) Se z ∈ S1, então z−1 = z ∈ S1;
b) Se z, w ∈ S1 então z ·w ∈ S1.
3.7 Seja ϕ : C −→ C a função definida por ϕ(a+ bi) = a− bi. Mostre que
a) ϕ(z+ z ′) = ϕ(z) +ϕ(z ′), para quaisquer z, z ′ ∈ C;
b) ϕ(z · z ′) = ϕ(z) ·ϕ(z ′), para quaisquer z, z ′ ∈ C;
c) ϕ(z) = z, para todo z ∈ R;
d) ϕ é uma bijeção. Determine ϕ−1.
3.8 Sejam f(x) = anx
n + an−1x
n−1 + · · ·+ a1x+ a0, onde aj ∈ R, e β ∈ C.
Mostre que
a) f(β) = f(β); b) β é raiz de f(x) se, e somente se, β é raiz de f(x);
c) Se n = 2 e ∆ = a21 − 4a2a0 < 0, então f(x) tem duas raízes distintas
α, γ ∈ C\R e α = γ.
3.9 a) Mostre que, na desigualdade da Proposição 3.1, vale a igualdade se,
e somente se, Re(zw) = |zw|.
b) Mostre que essa última condição é equivalente a que um dos números é
múltiplo do outro por um escalar real não negativo.
c) Mostre que | |z|−|w| | ≤ |z+w|, completando a demonstração da Proposição
3.2.
d) Mostre que |z+w| = |z|− |w| se, e somente se, w = λz, com −1 ≤ λ ≤ 0.
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Seção 4 A Raiz Quadrada 17
3.10 Sejam dados z1, . . . , zn ∈ C, não nulos. Mostre que
|z1 + · · ·+ zn| ≤ |z1|+ · · ·+ |zn|.
Ache uma condição necessária e suficiente para que valha a igualdade na
desigualdade acima.
3.11 Seja r um número real positivo e seja α ∈ C. Interprete geometrica-
mente:
a) {z ∈ C ; | z | = r}; b) {z ∈ C ; | z | ≤ r};
c) {z ∈ C ; | z | > r}; d) {z ∈ C ; | z− α | = r};
e) {z ∈ C ; | z− α | < r}; f) {z ∈ C ; | z− α | ≥ r}.
3.12 Represente no plano os números complexos que satisfazem cada uma
das desigualdade abaixo:
a) | z− i | ≤ 1; b) | z− 3+ 4i | < 3; c) | z− 1− i | = 1.
3.13 Demonstre a identidade do paralelogramo:
| z+w |2 + | z−w |2 = 2(| z |2 + | w |2), para quaisquer z,w ∈ C.
3.14 Sejam z,w ∈ C. Mostre que | z−1+w−1 | = | z+w |, se | z | = | w | = 1.
3.15 Mostre que se cada um dos inteiros m1, . . . ,mr é soma de dois qua-
drados, então o produto m1 · · ·mr é soma de dois quadrados.
4 A Raiz Quadrada
Dado o número complexo α 6= 0, vamos mostrar que a equação x2 = α
tem duas soluções em C, chamadas de raízes complexas quadradas de α. Isto
diferencia C de R, onde sabemos que nem sempre é possível extrair raízes
quadradas.
Vamos determinar w ∈ C, não nulo, tal que w2 = α. Para isto, es-
crevemos α = a + bi, onde a, b ∈ R. Como o caso b = 0 já foi tratado,
consideraremos b 6= 0. Vamos determinar um número complexo c + di tal
que
a+ bi = (c+ di)2 = c2 − d2 + 2cdi.
Pela igualdade acima, de números complexos, temos que
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18 Os Números Complexos Cap. 1
{
a = c2 − d2
b = 2cd
⇒ { a2 = (c2 − d2)2
b2 = 4c2d2
⇒ a2 + b2 = c4 + d4 + 2c2d2 = (c2 + d2)2.
Portanto, c2 + d2 =
√
a2 + b2. Como também c2 − d2 = a, somando e
subtraindo essas equações, obtemos, respectivamente,
c2 =
√
a2 + b2 + a
2
e d2 =
√
a2 + b2 − a
2
.
Logo,
| c |=
√√
a2 + b2 + a
2
e | d |=
√√
a2 + b2 − a
2
. (1)
Como b 6= 0 e b = 2cd, devemos escolher os números reais c e d, com a
propriedade (1), de modo que o sinal do seu produto seja o mesmo sinal de
b. Assim, quando b > 0, tomamos c > 0 e d > 0, ou c < 0 e d < 0; quando
b < 0, tomamos c > 0 e d < 0, ou c < 0 e d > 0. Dessa maneira temos
exatamente dois números complexos δ e −δ cujo quadrado é α = a + bi.
Denotamos um deles por
√
α o outro por −
√
α.
2
Uma observação importante a ser feita, e que evitará que caiamos em
paradoxos, é que, ao contrário do caso real, não há nenhuma escolha padrão
para denotar uma das raízes quadradas de α pelo símbolo
√
α. Isto poderá
ser feito caso a caso, explicitando qual das duas raízes quadradas de α está
sendo denotada por
√
α .
Exemplo 1. Vamos resolver a equação x2 =
√
3 − i. Nesse caso, a =
√
3 e
b = −1. Temos a2 + b2 = 4 e, pelas equações (1),
| c |=
√√
4+
√
3
2
=
√
2+
√
3√
2
=
√
2
√
2+
√
6
2
,
| d |=
√√
4−
√
3
2
=
√
2−
√
3√
2
=
√
2
√
2−
√
6
2
.
Como b < 0, as soluções da equação são√
2
√
2+
√
6
2
−
√
2
√
2−
√
6
2
i e −
√
2
√
2+
√
6
2
+
√
2
√
2−
√
6
2
i.
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Seção 4 A Raiz Quadrada 19
Exemplo 2. Vamos resolver a equação x2 = 1 + i. Temos a = 1, b = 1,
a2 + b2 = 2 e, pelas equações (1),
| c |=
√√
2+ 1
2
, e | d |=
√√
2− 1
2
.
Como b > 0, as soluções da equação são:√√
2+ 1
2
+ i
√√
2− 1
2
e −
√√
2+ 1
2
− i
√√
2− 1
2
.
Agora, estamos prontos para resolver a equação x2 + αx + β = 0, onde
α,β ∈ C. Temos:
x2 + αx+ β =
(
x+
α
2
)2
−
α2
4
+ β
=
(
x+
α
2
)2
−
α2 − 4β
4
.
Seja ∆ = α2 − 4β ∈ C. Pelas considerações anteriores, existem δ e −δ
em C, tais que δ2 = ∆. Escrevendo δ =
√
∆, temos −δ = −
√
∆ e a equação
proposta
(
x+
α
2
)2
−
α2 − 4β
4
= 0
é equivalente a
x+
α
2
= ±
√
∆
2
.
As soluções podem ser escritas como:
x1 =
−α+
√
α2 − 4β
2
e x2 =
−α−
√
α2 − 4β
2
,
onde
√
α2 − 4β é uma das raízes da equação x2 = α2 − 4β. 2
Exemplo 3. Quais as raízes da equação x2 + 2ix + (−2 − i) = 0? Temos
que ∆ = (2i)2−4(−2− i) = 4+4i. Devemos determinar números complexos
cujo quadrado é 4+ 4i. Temos a = 4, b = 4 e a2 + b2 = 32. Pelas fórmulas
(1), temos
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20 Os Números Complexos Cap. 1
| c |=
√√
32+ 4
2
=
√
4
√
2+ 4
2
=
√
2
√
2+ 2,
| d |=
√√
32− 4
2
=
√
4
√
2− 4
2
=
√
2
√
2− 2.
As soluções da equação proposta são, portanto,
x1 =
−2i+
√
∆
2
e x2 =
−2i−
√
∆
2
,
onde
√
∆ =
√
2
√
2+ 2+ i
√
2
√
2− 2.
Problemas
4.1 Resolva as equações:
a) x2 =
√
3+ 1; b) x2 = −1+ i; c) x2 = i;
d) x2 = 5− 12i; e) x2 = 8+ 6i; f) x4 = −i.
4.2 Resolva as equações:
a) x2 − (2+ i)x+ (−1+ 7i) = 0; b) x2 − (3− 2i)x+ 5− 5i = 0.
4.3 Calcule |z|, sabendo que z+
1
z
= 1.
5 Forma Polar
Nesta seção, consideraremos uma outra representação, devida a Euler,
dos números complexos não nulos, chamada forma polar ou forma trigono-
métrica. Esta representação é de fundamental importância, pois relaciona
os números complexos com as funções trigonométricas, permitindo calcular
com maior facilidade o produto de dois números complexos, a potência e
a extração de raízes de um número complexo, bem como interpretar geo-
metricamente estas operações.
Seja z = a + bi um número complexo não nulo. O ponto P = (a, b) do
plano, que corresponde ao número z 6= 0, é diferenteda origem O = (0, 0).
Portanto, o segmento de reta OP, de comprimento r = |z| =
√
a2 + b2 6=
0, determina com o eixo x um ângulo θ cuja medida em radianos está no
intervalo [0, 2pi).
O número real θ é chamado de argumento de z e é denotado por arg(z) =
θ. Observe que a = r cos θ e b = r sen θ.
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Seção 5 Forma Polar 21
Figura 6: Argumento θ de z = a + bi 6= 0 e r = √a2 + b2.
Chamamos o círculo de centro na origem (0, 0) e raio 1 de círculo unitário.
Recorde que o comprimento da circunferência de raio 1 é 2pi radianos e a
medida em radianos de um ângulo não negativo é o comprimento do arco
correspondente no círculo unitário.
Geometricamente, o argumento de z é a medida em radianos, no círculo
unitário, do ângulo que devemos girar o semieixo positivo da reta real, no
sentido anti-horário, até coincidir com o segmento OP.
A forma polar ou forma trigonométrica do número complexo não nulo
z = a + bi, com módulo r =
√
a2 + b2 e argumento arg(z) = θ, é definida
por
z = r(cos θ+ i sen θ).
Quando expressamos um número complexo não nulo na forma polar,
explicitamos o seu módulo e o seu argumento.
Em alguns textos usa-se a notação cis θ, como um modo abreviado de
escrever cos θ+ i sen θ.
Exemplo 1. Vamos determinar o argumento de cada um dos seguintes nú-
meros complexos: z1 = 2, z2 = −2, z3 = 2i, z4 = −2i, z5 = 2 − 2i e
z6 = −1−
√
3i.
Representando no plano os números z1, z2, z3 e z4, visualizamos, imedia-
tamente, os seus argumentos.
Os números complexos z1 e z2 estão situados sobre o eixo horizontal,
chamado eixo real, sendo z1 no semieixo positivo e z2 no semieixo negativo.
Logo, arg(z1) = 0 e arg(z2) = pi.
Os números complexos z3 e z4 estão situados sobre o eixo vertical, cha-
mado de eixo imaginário, sendo z3 no semieixo positivo e z4 no semieixo
negativo. Logo, arg(z3) =
pi
2 e arg(z4) =
3pi
2 .
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22 Os Números Complexos Cap. 1
Observemos que z5 e z6 estão situados no quarto e terceiro quadrantes,
respectivamente.
Como
r5 = |z5| =
√
22 + (−2)2 =
√
8 = 2
√
2 ,
temos que
cos(θ5) =
2
2
√
2
= 1√
2
= 1√
2
·
√
2√
2
=
√
2
2
sen(θ5) =
−2
2
√
2
= −1√
2
= −1√
2
·
√
2√
2
= −
√
2
2 .
Logo, θ5 = arg(z5) =
7pi
4 .
Como
r6 = |z6| =
√
(−1)2 + (−
√
3)2 =
√
4 = 2 ,
temos que
cos(θ6) =
−1
2 = −
1
2 e sen(θ6) =
−
√
3
2 = −
√
3
2 .
Logo, θ6 = arg(z6) =
4pi
3 .
Exemplo 2. Vamos expressar os números complexos do Exemplo 1 na forma
polar. Aproveitando os cálculos dos seus módulos e argumentos, temos:
z1 = 2 = 2(cos 0+ i sen 0), z2 = −2 = 2(cospi+ i senpi),
z3 = 2i = 2
(
cos pi2 + i sen
pi
2
)
, z4 = −2i = 2
(
cos 3pi2 + i sen
3pi
2
)
,
z5 = 2− 2i = 2
√
2
(
cos 7pi4 + i sen
7pi
4
)
,
z6 = −1−
√
3i = 2
(
cos 4pi3 + i sen
4pi
3
)
.
Vejamos agora como se expressa na forma polar a igualdade de dois
números complexos não nulos.
Sejam θ, θ ′ ∈ R, z = r(cos θ + i sen θ) e z ′ = r ′(cos θ ′ + i sen θ ′). Supo-
nhamos que z = z ′. Então,
r(cos θ+ i sen θ) = r ′(cos θ ′ + i sen θ ′).
Logo, r = |z| = |z ′| = r ′ > 0 e, cancelando r na igualdade acima, obte-
mos cos θ + i sen θ = cos θ ′ + i sen θ ′. Da igualdade de números complexos,
obtemos cos θ = cos θ ′ e sen θ = sen θ ′ . Da periodicidade das funções tri-
gonométricas, segue-se que θ = θ ′ + 2pi`, para algum ` ∈ Z. Nesse caso,
dizemos que θ é congruente a θ ′ módulo 2pi e escrevemos θ ≡ θ ′mod 2pi.
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Seção 5 Forma Polar 23
Ao marcarmos sobre o círculo unitário os comprimentos de θ radianos e
θ+ 2pi` radianos, no sentido anti-horário ou horário, dependendo dos sinais
de θ e de `, começando no ponto A = (1, 0), correspondente a 0 radianos,
paramos no mesmo ponto P. Assim, os segmentos OA e OP, segmentos
inicial e final para a determinação do ângulo em graus correspondente a θ
radianos e a θ+ 2pi` radianos, coincidem (Figura 7).
Figura 7: Congruência de θ e θ + 2pi.
Com os conceitos de módulo e argumento, daremos uma interpretação
geométrica para a multiplicação de números complexos não nulos.
Proposição 5.1 (Produto de números complexos na forma polar). Dados
z = r(cos θ+ i sen θ) e z ′ = r ′(cos θ ′ + i sen θ ′), temos que
z · z ′ = rr ′( cos(θ+ θ ′) + i sen(θ+ θ ′)).
Demonstração De fato,
z · z ′ = r(cos θ+ i sen θ)r ′(cos θ ′ + i sen θ ′)
= rr ′
(
(cos θ cos θ ′ − sen θ sen θ ′) + i(cos θ sen θ ′ + sen θ cos θ ′)
)
= rr ′
(
cos(θ+ θ ′) + i sen(θ+ θ ′)
)
.
Na última igualdade, usamos as identidades trigonométricas:
cos(θ+ θ ′) = cos θ cos θ ′ − sen θ sen θ ′ ; e
sen(θ+ θ ′) = cos θ sen θ ′ + sen θ cos θ ′.
2
A relação da proposição anterior dá a seguinte interpretação geométrica
para o produto de números complexos não nulos: para calcular o produto de
i
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24 Os Números Complexos Cap. 1
z com z ′, calculamos o produto dos módulos de z e z ′ e somamos os seus
argumentos θ e θ ′.
Mais ainda, com as notações da proposição anterior, a divisão de z por
z ′, é determinada dividindo os módulos de z e z ′ e subtraindo do argumento
de z o argumento de z ′, pois
z
z ′
=
r (cos θ+ i sen θ)
r ′ (cos θ ′ + i sen θ ′)
=
r
r ′
(cos θ+ i sen θ) (cos θ ′ − i sen θ ′)
=
r
r ′
(cos θ+ i sen θ) (cos(−θ ′) + i sen(−θ ′))
=
r
r ′
(cos(θ− θ ′) + i sen(θ− θ ′)) .
Exemplo 3. Vamos determinar na forma polar o produto z · z ′, sendo
z = −5+ 5
√
3i e z ′ = 2
√
3− 2i.
Temos
r =
√
(−5)2 + (5
√
3)2 =
√
25+ 25 · 3 = √100 = 10 e
r ′ =
√
(2
√
3)2 + (−2)2 =
√
4 · 3+ 4 = √16 = 4 .
Portanto, rr ′ = 40 .
Note que z e z ′ estão no segundo e quarto quadrantes, respectivamente.
Além disso,
cos θ = −510 = −
1
2 e sen θ =
5
√
3
10 =
√
3
2 , nos dá θ = arg(z) =
2pi
3 ;
cos θ ′ = 2
√
3
4 =
√
3
2 e sen θ
′ = −12 , nos dá θ
′ = arg(z ′) = 11pi6 .
Assim,
θ+ θ ′ = 2pi3 +
11pi
6 =
15pi
6 = 2pi+
pi
2 .
Logo,
z · z ′ = 40( cos(2pi+ pi2 )+ i sen (2pi+ pi2 )) = 40( cos pi2 + i sen pi2 ).
Para visualizar os argumentos, faça a representação dos números com-
plexos z, z ′ e z · z ′ no plano.
Qual é em geral o argumento de um produto z · z ′?
Como 0 ≤ θ = arg(z) < 2pi e 0 ≤ θ ′ = arg(z ′) < 2pi, temos 0 ≤
θ+ θ ′ < 4pi e há um único θ ′′, com 0 ≤ θ ′′ < 2pi tal que
cos θ ′′ = cos(θ+ θ ′) e sen θ ′′ = sen(θ+ θ ′).
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Seção 5 Forma Polar 25
Dizemos que θ ′′ pertencente ao intervalo [0, 2pi) é congruente a θ + θ ′
módulo 2pi e arg(z · z ′) = θ ′′.
Assim, z · z ′ é o número complexo, tal que
|z · z ′| = r · r ′ e arg(z · z ′) = θ ′′ ∈ [0, 2pi), θ ′′ ≡ θ+ θ ′mod 2pi.
Exemplo 4. O que significa multiplicar um número complexo z 6= 0 por i?
Figura 8: Multiplicação de z 6= 0 por i.
O número complexo iz tem módulo |iz| = |z| e seu argumento é congruente
a arg(z) + pi2 módulo 2pi.
O produto de i por z corresponde a uma rotação de 90o em torno da ori-
gem, no sentido anti-horário, do ponto do plano correspondente a z (Figura
8).
Exemplo 5. Quando multiplicamos dois núneros complexos z e z ′ de módulo
1 e argumentos θ e θ ′, o produto é o número complexo do círculo unitário
definido por θ+ θ ′.
Para ilustrar, consideremos z =
√
3
2 +
1
2 i e z
′ = 12 +
√
3
2 i. Verificamos
que |z| = |z ′| = 1, arg(z) = pi6 e arg(z
′) = pi3 . Como
pi
6 +
pi
3 =
pi
2 , temos
z · z ′ = cos pi2 + i sen pi2 = i.
A multiplicação na forma polar permite determinaruma expressão para
potências de expoente inteiro n cuja base é um número complexo não nulo,
conforme veremos na seguinte proposição.
Proposição 5.2 (Fórmula de De Moivre
2
). Dado um número complexo não
nulo na forma polar z = r(cos θ + i sen θ), então, para cada número inteiro
n, tem-se que
zn = rn (cos(nθ) + i sen(nθ)).
2
Em homenagem ao matemático francês Abraham De Moivre (1667-1754), autor dessa
fórmula, além de probabilista e atuário.
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26 Os Números Complexos Cap. 1
Demonstração Esta demonstração será feita por indução sobre o expoente
n. Como r0 = 1, então r0(cos(0 · θ) + i sen(0 · θ)) = 1 e a fórmula vale para
n = 0. Seja n ≥ 0 e suponhamos que a igualdade seja válida para n, isto é,
zn = rn(cos(nθ) + i sen(nθ)). Então,
zn+1 = z · zn
= r(cos θ+ i sen θ) · (rn(cos(nθ) + i sen(nθ)))
= rn+1
(
cos(θ+ nθ) + i sen(θ+ nθ)
)
= rn+1
(
cos ((n+ 1)θ) + i sen((n+ 1)θ)
)
,
onde a segunda igualdade segue da hipótese de indução, a terceira da multi-
plicação de números complexos na forma polar e a última mostra a validade
da fórmula do enunciado para n + 1. Concluímos, por indução, a validade
da fórmula para todo número natural n.
Seja n < 0 um inteiro. Então, −n > 0 e zn = (z−1)−n. Como z−1 =
z/|z|2 = 1r (cos θ − i sen θ) = r
−1(cos(−θ) + i sen(−θ)), pela fórmula já de-
monstrada temos
(z−1)−n = (r−1)−n(cos((−n) · (−θ)) + i sen((−n) · (−θ)))
= rn(cos(nθ) + i sen(nθ)).
Logo, a igualdade vale para todo n ∈ Z. 2
Exemplo 6. Seja z = −
√
3+ i. Vamos calcular z8.
Nesse caso, r =
√
(−
√
3)2 + 12 =
√
3+ 1 =
√
4 = 2.
Além disso, as relações cos θ = −
√
3
2 = −
√
3
2 e sen θ =
1
2 nos dizem que
arg(z) = θ = 5pi6 . Logo, z = 2
(
cos 5pi6 + i sen
5pi
6
)
e
z8 = 28
(
cos
(
8 · 5pi6
)
+ i sen
(
8 · 5pi6
))
= 256
(
cos 40pi6 + i sen
40pi
6
)
.
Vamos determinar arg(z8), isto é, θ ∈ [0, 2pi) com θ congruente a 40pi6 .
Escrevemos
40pi
6 =
20pi
3 =
18pi+2pi
3 = 6pi +
2pi
3 (6pi corresponde a 3 voltas no
círculo unitário). Logo, o argumento de z8 é 2pi3 e
z8 = 256
(
cos 2pi3 + i sen
2pi
3
)
.
Exemplo 7. Vamos calcular z6, onde z = −1+ i.
Nesse caso, r =
√
(−1)2 + 12 =
√
1+ 1 =
√
2. Além disso, as igualdades
cos θ = −1√
2
= − 1√
2
= −
√
2
2 e sen θ =
1√
2
=
√
2
2 ,
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Seção 5 Forma Polar 27
nos dizem que arg(z) = θ = 3pi4 . Logo, z =
√
2
(
cos 3pi4 + i sen
3pi
4
)
e, por-
tanto,
z6 = (
√
2)6
(
cos
(
6 · 3pi4
)
+ i sen
(
6 · 3pi4
))
= 8
(
cos 18pi4 + i sen
18pi
4
)
.
Vamos determinar arg(z6), isto é, θ ∈ [0, 2pi) com θ congruente a 18pi4 .
Escrevemos
18pi
4 =
9pi
2 =
8pi+pi
2 = 4pi+
pi
2 (4pi corresponde a 2 voltas no círculo
unitário).
Portanto, θ = pi2 é o argumento de z
6
e
z6 = 8
(
cos pi2 + i sen
pi
2
)
= 8i.
Certamente, o leitor observou que no cálculo do argumento de zn sub-
traímos de n ·arg(z) um múltiplo inteiro conveniente de 2pi, de modo a obter
um número real θ ∈ [0, 2pi) tal que θ = arg(zn).
A fórmula do produto de dois números complexos da Proposição 5.1, no
caso em que os números complexos têm módulos iguais a 1,
(cos θ+ i sen θ)(cos θ ′ + i sen θ ′) = cos(θ+ θ ′) + i sen(θ+ θ ′),
sugere a possibilidade de haver uma conexão entre números complexos e
logaritmos (ou, equivalentemente, exponenciais), pois ao produto de dois
números complexos está associada a soma de seus argumentos.
De fato, tal conexão existe e é dada pela fórmula:
eiθ = cos θ+ i sen θ.
Essa fórmula foi descoberta por Euler, que constatou a sua validade compa-
rando as séries de Taylor do seno, do cosseno e da exponencial:
sen θ = θ1! −
θ3
3! +
θ5
5! − · · · ,
cos θ = 1− θ
2
2! +
θ4
4! − · · · ,
eiθ = 1+ iθ1! +
(iθ)2
2! +
(iθ)3
3! +
(iθ)4
4! + · · · .
Em particular,
eipi = cospi+ i senpi = −1.
Euler, então escreveu uma das mais belas fórmulas matemáticas, envolvendo
cinco números importantes 0, 1, e, pi, i, a saber,
eipi + 1 = 0.
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28 Os Números Complexos Cap. 1
Assim, podemos escrever todo número complexo não nulo na forma
z = r(cos θ+ i sen θ) = reiθ.
Portanto, o produto se expressa como:
(reiθ)(r ′eiθ
′
) = (r · r ′)ei(θ+θ ′),
e a fórmula de De Moivre como:
(reiθ)n = rneinθ.
Problemas
5.1 Determine o módulo e o argumento do número complexo z e o escreva
na forma polar. Represente z no plano, indicando o seu módulo e o seu
argumento no desenho.
a) z = 3− 3i ; b) z = 5i ; c) z = −7 ;
d) z = 2+ 2i ; e) z =
√
3− i ; f) z = 2
√
3− 2i ;
g) z = 11+i ; h) z = 5 ; i) z = −2i .
5.2 Dados z ∈ C, z 6= 0, e o número real positivo r dê uma interpretação
geométrica para os produtos:
a) zr; b) zeiθ; c) zreiθ.
5.3 Calcule as potências abaixo, usando a forma polar do número complexo:
a) (2+ 2i)5 ; b) (−1+ i)7 ; c) (−
√
3− i)10 ; d) (−1+
√
3i)8 .
5.4 Determine os valores do número natural n ≥ 2, para os quais
(
√
2+
√
2i)n
a) é um número real; b) é um imaginário puro.
5.5 Calcule os possíveis valores de
(√
3
2 +
1
2 i
)n
, para n variando em Z.
5.6 Dados os números complexos não nulos z e w, mostre que o cosseno do
ângulo θ formado entre z e w vistos como vetores do plano é dado por
cos θ =
zw+wz
2|z| |w|
.
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Seção 6 Extração de Raízes n-ésimas 29
6 Extração de Raízes n-ésimas
Na Seção 4, vimos que todo número complexo, não nulo, tem duas raízes
complexas quadradas e, mais ainda, aprendemos a determiná-las. Vamos
agora generalizar esse resultado, mostrando que todo número complexo não
nulo tem n raízes n-ésimas complexas e aprenderemos a determiná-las.
Como em um corpo qualquer é possível efetuar sem restrições as quatro
operações (exceto a divisão por zero), tem sentido a potenciação com expo-
ente inteiro. Uma pergunta natural que surge é se podemos inverter esta
operação; ou seja, se podemos extrair raízes n-ésimas de elementos de um
corpo, para n ∈ N \ {0}. Primeiro, devemos responder à pergunta:
O que é uma raiz n-ésima em um corpo K?
Seja n ≥ 1 um número natural e seja z ∈ K. Um elemento w ∈ K tal que
wn = z é chamado uma raiz n-ésima de z.
Observações
(1) É claro que se n = 1, então a única raiz 1-ésima de z é o próprio z, para
qualquer corpo K.
(2) Se z = 0, então a equação xn = 0 tem uma única solução, para todo
n ≥ 1 e para todo corpo K.
Em resumo, os casos interessantes são z ∈ K não nulo e n ≥ 2.
(3) Quando n ≥ 2 e z ∈ K é não nulo, nem sempre existe em K uma raiz
n-ésima de z. Vejamos alguns exemplos.
a) Em Q não há raízes quadradas de 2;
b) Em R há duas raízes quadradas de 2:
√
2 e −
√
2. Na verdade;
c) se n é par, em R não há raízes n-ésimas de números negativos;
d) se n é par, em R há duas raízes n-ésimas de a > 0, o número real positivo
n
√
a e o seu simétrico − n
√
a;
e) se n é ímpar, em R há uma única raiz n-ésima de qualquer número real.
(4) Mostraremos no Capítulo 4 (Proposição 1.1) que um elemento de um
corpo K tem no máximo n raízes n-ésimas em K.
Nesta Seção, mostraremos que estamos no �melhor dos mundos�, pois
no corpo dos números complexos C todo z 6= 0 possui exatamente n raízes
n-ésimas. Vejamos alguns exemplos.
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30 Os Números Complexos Cap. 1
Exemplo 1. Todo w ∈ {1,−1, i,−i} tem a propriedade w4 = 1 (verifique) e
é chamado uma raiz quarta complexa da unidade.
Exemplo 2. Todo w ∈ {−4i, 2√3+2i,−2√3+2i}é uma raiz cúbica de 64i.
De fato, temos (−4i)3 = (−4)3 · i3 = (−64) · (−i) = 64i. Para calcular o
cubo dos números 2
√
3 + 2i e −2
√
3 + 2i escrevemos primeiro a sua forma
polar:
2
√
3+ 2i = 4
(
cos pi6 + i sen
pi
6
)
e −2
√
3+ 2i = 4
(
cos 5pi6 + i sen
5pi
6
)
.
Usando a fórmula de De Moivre, obtemos
(2
√
3+ 2i)3 = 43
(
cos pi2 + i sen
pi
2
)
= 64i ,
(−2
√
3+ 2i)3 = 43
(
cos 5pi2 + i sen
5pi
2
)
= 43
(
cos
(
2pi+ pi2
)
+ i sen
(
2pi+ pi2
))
= 64
(
cos pi2 + i sen
pi
2
)
= 64i .
Proposição 6.1 (Raízes complexas n-ésimas). Todo número complexo z 6=
0 tem exatamente n raízes complexas n-ésimas, para cada número natural
n ≥ 1, a saber,
zk =
n
√
r
(
cos
(
θ+2pik
n
)
+ i sen
(
θ+2pik
n
))
, k = 0, 1, . . . , n− 1,
onde r = |z| > 0 e θ = arg(z).
Demonstração Seja n ≥ 2 um número natural dado. Primeiramente, es-
crevemos z na forma polar z = r(cos θ + i sen θ), onde r = |z| e θ = arg(z).
Vamos calcular as raízes n-ésimas também na forma polar. Queremos deter-
minar os números complexos w = ρ(cosφ+ i senφ) tais que z = wn.
Como wn = ρn(cos(nφ) + i sen(nφ)), temos que wn = z se, e somente
se, {
ρn = r
nφ = θ+ 2piλ, λ ∈ Z ⇐⇒
{
ρ = n
√
r, ρ ∈ R , ρ > 0
φ = θ+2piλn , λ ∈ Z.
Portanto, temos que
zλ =
n
√
r
(
cos
(
θ+ 2piλ
n
)
+ i sen
(
θ+ 2piλ
n
))
, onde λ ∈ Z.
Sejam λ, µ ∈ Z. Da igualdade de números complexos na forma polar,
temos que
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Seção 6 Extração de Raízes n-ésimas 31
zλ = zµ ⇐⇒ θ+2piλn − θ+2piµn = 2pi`, para algum ` ∈ Z
⇐⇒ 2piλn − 2piµn = 2pi`, para algum ` ∈ Z
⇐⇒ λn − µn = `, para algum ` ∈ Z
⇐⇒ λ− µ = `n, para algum ` ∈ Z
⇐⇒ λ ≡ µmodn.
Portanto, só interessa o resto que λ deixa na divisão por n. Para cada
resto há uma raiz n-ésima de z.
Logo, para cada k = 0, 1, . . . , n− 1 há uma raiz complexa n-ésima de z,
determinada pelo argumento φk =
θ+2pik
n , sendo as raízes complexas n-ésimas
de z, portanto, dadas por
zk =
n
√
r(cosφk + i senφk) , φk =
θ+2pik
n , k = 0, 1, . . . , n− 1.
2
Exemplo 3. Segue da proposição anterior que os três números complexos
do Exemplo 2 são todas as raízes cúbicas de 64i.
Exemplo 4. Vamos determinar as raízes cúbicas de z = −27i.
Temos r = 27 e θ = arg(z) = 3pi2 . Portanto, as raízes complexas cúbicas de z
têm como módulo o número real ρ = 3
√
27 = 3 e argumentos
φk =
θ+ 2pik
3
=
pi
2
+
2pik
3
, k = 0, 1, 2.
Assim, as raízes cúbicas z0, z1 e z2 de z são obtidas como segue:
φ0 =
pi
2 ⇒ z0 = 3( cos pi2 + i sen pi2 ) = 3i;
φ1 =
7pi
6 ⇒ z1 = 3( cos 7pi6 + i sen 7pi6 ) = 3(− √32 − i 12) = −3√32 − 32 i;
φ2 =
11pi
6 ⇒ z2 = 3( cos 11pi6 + i sen 11pi6 ) = 3(√32 − i 12) = 3√32 − 32 i.
Exemplo 5. Mostraremos como é possível obter resultados muito interes-
santes, fazendo os cálculos de duas maneiras diferentes.
No Exemplo 2 da Seção 4, vimos que w =
√√
2+1
2 + i
√√
2−1
2 e −w eram
as raízes quadradas de z = 1+ i.
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32 Os Números Complexos Cap. 1
Como |z| =
√
2 e arg(z) = pi4 , temos que z =
√
2
(
cos pi4 + i sen
pi
4
)
. Pela
proposição anterior, as raízes complexas quadradas de z são
zk =
4
√
2
(
cos
( pi
4
+2pik
2
)
+ i sen
( pi
4
+2pik
2
))
= 4
√
2
(
cos
(
pi
8 + pik
)
+ i sen
(
pi
8 + pik
))
, onde k = 0, 1.
Logo, z0 =
4
√
2
(
cos pi8 + i sen
pi
8
)
e z1 = −z0. Comparando com o resultado
obtido no Exemplo 2 da Seção 4, obtemos que
4
√
2
(
cos pi8 + i sen
pi
8
)
=
√√
2+1
2 + i
√√
2−1
2 .
Da igualdade de números complexos, segue que
4
√
2 cos pi8 =
√√
2+1
2 e
4
√
2 sen pi8 =
√√
2−1
2 ,
que é equivalente a
cos pi8 =
√
2+
√
2
2 e sen
pi
8 =
√
2−
√
2
2 .
Quando z = r é um número real positivo, temos arg(z) = 0 e as n
raízes complexas n-ésimas de z têm argumento dado por φk =
2pik
n , onde
k = 0, 1, . . . , n− 1.
Geometricamente, as raízes complexas n-ésimas do número real positivo
r são os pontos que dividem em n partes iguais o círculo de raio n
√
r centrado
na origem. Logo, se n ≥ 3, eles são os vértices de um polígono regular de n
lados, sendo um deles o ponto
n
√
r.
Exemplo 6. As 4 raízes complexas quartas de 16 são os números complexos:
2, 2i, −2, −2i, determinados por
φk =
2pi · k
4
=
pi · k
2
, k = 0, 1, 2, 3 ; ρ =
4
√
16 = 2 .
Então,
φ0 = 0⇒ z0 = 2(cos 0+ i sen 0) = 2 ,
φ1 =
pi
2 ⇒ z1 = 2(cos pi2 + i sen pi2 ) = 2i ,
φ2 = pi⇒ z2 = 2(cospi+ i senpi) = −2 ,
φ3 =
3pi
2 ⇒ z3 = 2(cos 3pi2 + i sen 3pi2 ) = −2i .
Veja na Figura 9 a representação geométrica das raízes complexas quartas
de 16 no círculo de raio 2 = 4
√
16 centrado na origem e das raízes complexas
quartas de 1 no círculo de raio 1.
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Seção 6 Extração de Raízes n-ésimas 33
Figura 9: Raízes quartas de 16 e de 1.
Problemas
6.1 Seja z = cos pi15 + i sen
pi
15 . Determine as raízes complexas quartas de
z20.
6.2 Determine as raízes complexas n-ésimas de z:
a) n = 2, z = 1−
√
3i; b) n = 4, z = 3;
c) n = 3, z = −16+ 16i; d) n = 6, z = −1.
6.3 Calcule
∣∣ 3√7+ i√13 ∣∣.
6.4 Seja α = cos θ + i sen θ. Mostre que cos kθ =
αk + α−k
2
e sen kθ =
αk − α−k
2i
, para todo n ∈ N.
6.5 Represente as seguintes funções trigonométricas como soma de funções
trigonométricas de ângulos múltiplos de θ:
a) sen3 θ; b) sen4 θ; c) cos5 θ; d) cos6 θ.
Sugestão Use o Problema anterior.
6.6 Determine as raízes quadradas de z =
√
3 + i, usando a forma polar,
compare com o resultado obtido no Problema 4.1 item (a) e determine cos pi12
e sen pi12 .
6.7 Sabendo que cos pi8 + i sen
pi
8 =
√
2+
√
2
2 +
√
2−
√
2
2 i, determine as suas
raízes quadradas pelos métodos da Seção 4 e dessa seção, compare-as e calcule
cos pi16 e sen
pi
16 .
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34 Os Números Complexos Cap. 1
6.8 Determine (1+ cos θ+ i sen θ)n, para todo natural n ≥ 1.
6.9 Mostre que:
i) cosnθ = cosn θ−
(
n
2
)
cosn−2 θ sen2 θ+
(
n
4
)
cosn−4 θ sen4 θ− · · ·+ a,
onde
a =
{
(−1)
n
2 senn θ, se n é par ;
(−1)
n−1
2 n cos θ senn−1 θ, se n é ímpar.
ii) sennθ =
(
n
1
)
cosn−1 θ sen θ−
(
n
3
)
cosn−3 θ sen3 θ+ · · ·+ b,
onde,
b =
 (−1)
n−2
2 n cos θ senn−1 θ, se n é par ;
(−1)
n−1
2 senn θ, se n é ímpar.
Sugestão Calcule (cos θ+i sen θ)n, usando a fórmula do binômio de Newton
e compare com o resultado obtido pela forma polar.
7 Raízes da Unidade
As raízes complexas n-ésimas de 1 são chamadas raízes n-ésimas da
unidade.
A única raiz 1-ésima da unidade é 1. Quando n ≥ 2, temos que
θ = arg(1) = 0, φk =
2pik
n , onde k = 0, 1, . . . , n− 1,
e as raízes complexas n-ésimas da unidade são os pontos
zk = cos
2pik
n
+ i sen
2pik
n
, k = 0, 1, . . . , n− 1,
que dividem o círculo em n partes iguais, sendo z0 = 1. Portanto, as raízes
n-ésimas da unidade são vértices de um polígono regular de n lados inscrito
no círculo de centro na origem e raio 1 em C, tendo um dos vértices no ponto
1. Esta interpretação geométrica das raízes n-ésimas da unidade é devida a
Euler.
Exemplo 1. As raízes quadradas da unidade são {1,−1} e as raízes quartas
da unidade são {1, i,−1,−i}. Por outro lado, as raízes cúbicas da unidade
são
{
1,− 12 +
√
3
2 i,−
1
2 −
√
3
2 i
}
.
Veja na Figura 9 a representação geométrica das raízes complexas quartas
da unidade no círculo de raio 1 centrado na origem.
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Seção 7 Raízes da Unidade 35
Exemplo 2. Nas Figuras 10 e 11 estão representadas as raízes complexas
cúbicas da unidade e as raízes complexas sextas da unidade, respectivamente.
Figura 10: Raízes complexas cúbicas de 1. Figura 11: Raízes complexas sextas de 1.
Denotando ξ = z1 = cos
2pi
n + i sen
2pi
n , temos que
zk = cos
2pik
n + i sen
2pik
n = ξ
k
, k = 0, . . . , n− 1.
Portanto, as n raízes complexas da unidade são obtidas como potências
de ξ, a saber,
Un(C) =
{
1, ξ, . . . , ξn−1
}
, com ξn = 1.
Nas figuras 12, 13, 14 e 15 estão representadas, respectivamente, as raízes
cúbicas, quartas, sextas e oitavas da unidade, como potências de ξ = cos 2pin +
i sen 2pin , para n = 3, 4, 6, 8.
Figura 12: ξ = ei
2pi
3
e as raízes cúbicas de 1. Figura 13: ξ = ei
2pi
4
e as raízes quartas de 1.
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36 Os Números Complexos Cap. 1
Figura 14: ξ = ei
2pi
6
e as raízes sextas de 1 Figura 15: ξ = ei
2pi
8
e as raízes oitavas de 1.
Vimos que cada número complexo não nulo z tem n raízes n-ésimas.
Conhecendo uma das suas raízes n-ésimas, podemos determinar todas as
outras raízes n-ésimas, multiplicando-a pelas raízes n-ésimas da unidade.
Proposição 7.1. Seja z um número complexo não nulo, w ∈ C uma raiz
n-ésima de z e ξ = cos 2pin + i sen
2pi
n . Então, as raízes n-ésimas de z são
w · ξr, r = 0, . . . , n− 1.
Demonstração É claro que (w · ξr)n = wn · (ξn)r = z · 1r = z, logo w · ξr é
raiz n-ésima de z, para todo r = 0, . . . , n− 1.
Seja α ∈ C uma raiz n-ésima de z. Então, αn = z = wn e 1 = αn ·w−n =(
α ·w−1)n. Portanto, α ·w−1 é uma raiz n-ésima da unidade. Logo, existe
r = 0, . . . , n − 1, tal que α · w−1 = ξr, isto é, α = w · ξr, para algum
r = 0, . . . , n− 1. 2
Exemplo 3. Uma raiz quarta de 16 é o número real positivo 2. As quatro
raízes complexas quartas de 16 são 2, 2i, −2 e −2i.
Observamos anteriormente que as potências de expoentes 0, 1, 2, . . .,
n− 1 de ξ = cos 2pin + i sen
2pi
n fornecem todas as raízes n-ésimas da unidade.
Temos, mais ainda,
{ξm ; m ∈ Z} = Un(C).
De fato, dadom ∈ Z, pela divisão euclidiana dem por n, existem q, r ∈ Z
tais que m = nq+ r, onde 0 ≤ r ≤ n− 1. Assim,
ξm = ξnq+r = (ξn)q · ξr = 1q · ξr = ξr,
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Seção 7 Raízes da Unidade 37
mostrando que ξm ∈ Un(C). A outra inclusão é óbvia.
Uma raiz complexa n-ésima da unidade α é chamada uma raiz primitiva
n-ésima da unidade se
Un(C) = {αm ; m ∈ Z} .
Isto é equivalente ao fato das potências de α determinarem todas as raízes
n-ésimas da unidade.
Exemplo 4. −1 é a única raiz primitiva quadrada da unidade.
Exemplo 5. i e −i são as únicas raízes primitivas quartas da unidade, pois
{im ; m ∈ Z} = {1, i, i2 = −1, i3 = −i} = U4(C),
{(−i)m ; m ∈ Z} = {1,−i, (−i)2 = −1, (−i)3 = i} = U4(C),
{1m ; m ∈ Z} = {1} 6= U4(C),
{(−1)m ; m ∈ Z} = {1,−1} 6= U4(C).
As raízes primitivas n-ésimas da unidade, como qualquer uma das outras
raízes da unidade, podem ser obtidas como potências da raiz ξ = cos 2pin +
i sen 2pin e são caracterizadas na seguinte proposição.
Proposição 7.2. Sejam n ≥ 2 um número natural, λ um número inteiro e
ξ = cos 2pin + i sen
2pi
n . Então, as seguintes propriedades são equivalentes:
(i) ξλ é uma raiz primitiva n-ésima da unidade;
(ii) mdc(λ, n) = 1;
(iii) n = min
{
s ∈ Z ; s ≥ 1 e (ξλ)s = 1}.
Demonstração
(
(i) ⇒ (ii)): Seja ξλ uma raiz primitiva n-ésima da uni-
dade com n ≥ 2. Suponhamos, por absurdo, que mdc(λ, n) = d > 1.
Escrevemos n = dq, com 1 < q < n, e λ = ds. Então, ξλ = ξds. Elevando
ambos os membros desta igualdade à potência q, obtemos(
ξλ
)q
=
(
ξds
)q
= ξ(ds)q = ξ(dq)s = (ξn)s = 1.
Dado m ∈ Z, pela divisão euclidiana de m por q, existem inteiros q′, r
tais que m = qq′+ r, onde 0 ≤ r ≤ q−1. Assim, (ξλ)m = (ξλ)r e o conjunto
S =
{
(ξλ)m ;m ∈ Z} = {ξλ, (ξλ)2, . . . , (ξλ)q−1, (ξλ)q = 1}
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38 Os Números Complexos Cap. 1
tem no máximo q < n elementos. Logo, S ( {ξm ; m ∈ Z} = Un(C), contra-
dizendo o fato de ξλ ser uma raiz primitiva n-ésima da unidade.(
(ii) ⇒ (iii)): Suponhamos que mdc(λ, n) = 1.
Consideremos o conjunto S =
{
s ∈ Z ; s > 0 e (ξλ)s = 1}. Como (ξλ)n =
(ξn)λ = 1λ = 1, então n ∈ S, logo S 6= ∅. Pelo Princípio da Boa Ordenação,
S tem menor elemento, digamos s0.
Vamos mostrar que s0 = n.
Temos que s0 > 0 e (ξ
λ)s0 = 1, pois s0 ∈ S. Pela divisão euclidiana de s0
por n, existem inteiros q e r tais que s0 = nq+ r, com 0 ≤ r < n. Portanto,
1 = (ξλ)s0 = (ξλ)nq+r = (ξn)λq · ξλr = ξλr.
Logo, λr ≡ 0modn. Como mdc(λ, n) = 1, então λmodn tem inverso e
r ≡ 0modn. Em virtude de 0 ≤ r < n, a única possibilidade é r = 0. Logo,
s0 = nq e n ≤ s0. Como n ∈ S, temos que s0 ≤ n, obtendo que s0 = n.(
(iii) ⇒ (i)): Suponhamos que
n = min
{
s ∈ Z ; s > 0 e (ξλ)s = 1}.
Então, (ξλ)` 6= 1, para todo 1 ≤ ` < n.
Afirmamos que (ξλ)r 6= (ξλ)s, para quaisquer 0 ≤ r < s < n.
De fato, suponhamos, por absurdo, que (ξλ)r = (ξλ)s, onde 0 ≤ r < s <
n, então (ξλ)(s−r) = 1, com 1 ≤ s− r < n, uma contradição.
Portanto,
{
1, ξλ, (ξλ)2, . . . , (ξλ)n−1
}
tem exatamente n elementos e todos
são raízes n-ésimas, logo{
1, ξλ, (ξλ)2, . . . , (ξλ)n−1
}
= Un(C),
mostrando que ξλ é uma raiz primitiva n-ésima da unidade. 2
Recorde que, no curso de Aritmética (cf. [4]), a função de Euler, para
n ≥ 2, foi definida pela fórmula:
Φ(n) = #{s ; 1 ≤ s < n e mdc(s, n) = 1}.
Corolário 1. Há Φ(n) raízes primitivas n-ésimas da unidade.
Demonstração É uma consequência imediata da propriedade (ii) na pro-
posição anterior. 2
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Seção 7 Raízes da Unidade 39
Proposição 7.3. Um elemento ζ ∈ C é, simultameamente, uma raiz m-
ésima e n-ésima da unidade se, e somente se, ζ é uma raiz d-ésima da
unidade, onde d = mdc(m,n).
Demonstração Temos que ζm = 1 e ζn = 1. Consideremos d = mdc(m,n).
Logo, existem a, b ∈ Z tais que am + bn = d. Então, ζd = ζam+bn =
ζam ·ζbn = (ζm)b ·(ζn)b = 1, mostrando que ζ é uma raiz d-ésima da unidade.
Reciprocamente, suponhamos que ζ seja uma raiz d-ésima da unidade, onde
d = mdc(m,n). Como existem inteiros positivos a e b tais que m = da e
n = db, então ζm = ζda = (ζd)a = 1 e ζn = ζdb = (ζd)b = 1, logo ζ é,
simultaneamente, uma raiz m-ésima e n-ésima da unidade. 2
Exemplo 6. As raízes, simultaneamente, 9-ésimas e 12-ésimas da unidade
são as raízes cúbicas da unidade:
1, ξ = −12 +
√
3
2 i e ξ
2 = −12 −
√
3
2 i.
Corolário 1. Se m e n são primos entre si, então 1 é a única raiz, simul-
taneamente, m-ésima e n-ésima da unidade.
Quem resolveu o Problema 2.12 aprendeu que
(i) o produto de duas raízes n-ésimas da unidade é uma raiz n-ésima da
unidade;
(ii) o inverso de uma raiz n-ésima da unidade é uma raiz n-ésima da uni-
dade;
(iii) toda potência inteira de uma raiz n-ésima da unidade é uma raiz n-
ésima da unidade.
Na proposição a seguir vamos usar essas propriedades.
Proposição 7.4. Sejam ζ1, ζ2 ∈ C, respectivamente, raízes primitivas m-
ésimas e n-ésimas da unidade, com mdc(m,n) = 1. Então, ζ1 · ζ2 é raiz
primitiva mn-ésima da unidade.
Demonstração Primeiramente, ζ1 · ζ2 é uma raiz mn-ésima da unidade,
pois
(ζ1 · ζ2)mn = (ζm1 )n · (ζn2 )m = 1 · 1 = 1.
Pelo item (iii) da Proposição 7.2, basta mostrarmos quemn é o menor inteiro
positivo ` tal que (ζ1 · ζ2)` = 1.
De fato, seja ` um inteiro positivo tal que 1 = (ζ1 ·ζ2)` = ζ`1 ·(ζ2)`. Então,
ζ`1 = (ζ
`
2)
−1
, que pelas propriedades (iii) e (ii), citadas acima, significa que ζ`1
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40 Os Números Complexos Cap. 1
é uma raiz n-ésima da unidade. Portanto, ζ`1 = (ζ
`
2)
−1 ∈ Um(C) ∩ Un(C) =
{1}, pois mdc(m,n) = 1 (cf. Corolário 2). Logo, ζ`1 = 1 e (ζ2)
` = 1. Pela
divisão euclidiana de ` por m e por n, existem, respectivamente, inteiros q,r
e q ′, r ′, tais que
` = mq+ r, com 0 ≤ r < m, e ` = mq ′ + r ′, com 0 ≤ r ′ < n.
Logo,
1 = ζ`1 = ζ
mq+r
1 = (ζ
m
1 )
q · ζr1 = 1 · ζr1 = ζr1, e
1 = (ζ2)
` = (ζ2)
nq ′+r ′ = (ζn2 )
q ′ · (ζ2)r ′ = 1 · (ζ2)r ′ = (ζ2)r ′ .
Como r < m e r ′ < n, pelo item (iii) da Proposição 7.2, concluímos que
r = 0 e r ′ = 0. Portanto, ` é múltiplo, simultaneamente, de m e de n, logo
é múltiplo do mmc(m,n) = mn. 2
Como consequência da proposição acima temos uma nova demonstração
da propriedade multiplicativa da função de Euler:
Φ(mn) = Φ(m)Φ(n), se mdc(m,n) = 1.
Corolário 1. Sejam n ≥ 2 e p1 < · · · < ps números naturais primos tais
que n = pr11 · · ·prss . Se ζj é uma raiz primitiva pjrj-ésima da unidade, para
cada j = 1, . . . , s, então ζ1 · · · ζs é uma raiz n-ésima da unidade.
Problemas
7.1 Determine e represente no plano as raízes complexas n-ésimas da
unidade, para n = 3, 6, 8, 12. Indique quais são as raízes primitivas n-ésimas.
7.2 Seja ζ 6= 1 uma raiz n-ésima da unidade, onde n ≥ 2. Mostre que
ζn−1 + · · ·+ ζ+ 1 = 0.
Sugestão xn − 1 = (x− 1)(xn−1 + · · ·+ x+ 1).
7.3 Sejam z1, z2, . . . , zn vértices de um polígono regular inscrito em um
círculo. Mostre que z1 + z2 + · · ·+ zn = 0.
7.4 Seja ζ 6= 1 uma raiz n-ésima da unidade, onde n ≥ 2. Determine o
valor de 1+ 2ζ+ 3ζ2 + · · ·+ nζn−1.
7.5 Seja ξ = cos 2pin + i sen
2pi
n . Seja k ∈ Z. Mostre que
a)
ξ
n(n−1)
2 =
{
(−1)n−1 , se n é par
1 , se n é ímpar;
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Seção 8 Breve História dos Números 41
b) 1k + ξk + (ξ2)k + · · ·+ (ξn−1)k =
{
n, se k ≡ 0modn
0, se k 6≡ 0modn.
7.6 Seja p um número natural primo. Mostre que toda raiz p-ésima da
unidade diferente de 1 é uma raiz primitiva p-ésima da unidade.
7.7 Sejam α,β ∈ C, com α 6= 0, e ϕα,β : C −→ C a função definida por
ϕα,β(z) = αz+β. Seja n ≥ 2 um número natural. Mostre que (ϕα,β)n = Id
(iteração da composição) e (ϕα,β)
k 6= Id, para todo 1 ≤ k < n se, e somente
se, α é uma raiz primitiva n-ésima da unidade.
7.8 Sejam n ≥ 1 um número natural e ζ uma raiz primitiva 2n-ésima da
unidade. Mostre que:
a) ζ2 é uma raiz primitiva n-ésima da unidade.
b) ζn = −1.
7.9 Demonstre o Corolário 1 da Proposição 7.4.
7.10 Seja p um número natural primo. Mostre que as raízes pn-ésimas da
unidade que não são primitivas são raízes pn−1-ésimas da unidade.
8 Breve História dos Números
Os números, com as suas operações, e o espaço, com a sua geometria,
são os principais objetos de estudo da Matemática. Para sistematizar a sua
relação com o mundo e com os seus semelhantes, o homem foi criando os
conceitos de forma e medida. Há registros desde a remota antiguidade do
esforço do homem em construir teorias para o entendimento desses conceitos,
originando a Geometria e a Aritmética.
Essas teorias foram desenvolvidas conjuntamente, com um certo grau de
independência entre si, mas ao mesmo tempo intimamente relacionadas, com
uma teoria ajudando a desenvolver a outra.
À medida que foram sendo descobertas propriedades dos números e das
formas e colocados novos desafios, foram surgindo problemas que colocavam
em questão as teorias até então desenvolvidas e que requeriam um repensa-
mento de sua fundamentação.
Assim, por exemplo, ocorreu com a aceitação dos números irracionais
que foram descobertos pela escola pitagórica e que não pararam de desafiar
a mente humana ao longo de mais de três milênios. Isto não quer dizer
que se passou todo este longo período imobilizados por esta questão, pois foi
criada uma conceituação para os números reais que, mesmo imprecisa para os
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42 Os Números Complexos Cap. 1
padrões atuais, não impediu o desenvolvimento da Geometria Analítica e do
Cálculo Diferencial e Integral, os dois pilares da Matemática contemporânea.
A discussão foi reacendida na metade do Século 19 com a fundamenta-
ção mais rigorosa da noção de funções contínuas que intuitivamente deveriam
possuir certas propriedades, como, por exemplo, a propriedade do valor in-
termediário, e que não se conseguia demonstrar com a noção de número real
vigente. Foi então construída por Richard Dedekind (Alemanha, 1831-1916)
e Georg Cantor (Russia e Alemanha, 1845, 1918) uma bela teoria para os
números reais que, até hoje, atende aos desafios postos pelo desenvolvimento
atual da Matemática.
Os números complexos possuem uma história que corre paralelamente
à dos números reais. Fato interessante, é que a fundamentação atual dos
números complexos antecedeu a dos números reais, no sentido que havia
sido construída uma teoria que permitia entender totalmente os números
complexos, a partir do entendimento vigente dos números reais.
Ao longo da história, a necessidade de se introduzir os números complexos
foi sendo detectada na medida em que se tentava resolver equações algébri-
cas. A real motivação para a introdução dos números complexos surgiu no
Século 16, quando Cardan descobriu que algumas equações do terceiro grau,
chamadas por ele de caso irredutível, possuíam raízes reais, mas em cujas
fórmulas resolventes não se conseguia evitar expressões envolvendo radicais
quadráticos de números negativos. Essa dificuldade motivou Bombelli a criar
novos números, vistos com desconfiança por algumas gerações de matemáti-
cos e posteriormente batizados por Gauss de números complexos. No início
do Século 19, com a representação geométrica dada aos números complexos e
às suas operações e com o seu emprego por Gauss para deduzir propriedades
dos números inteiros, é que foram conquistando legitimidade.
Finalmente, com o estudo das funções de variável complexa pioneira-
mente realizado por Abel, Jacobi, Cauchy, Riemann e Weierstrass, os núme-
ros complexos impuseram-se plenamente com inúmeras aplicações em quase
todos os ramos da Matemática e na tecnologia.
Para maiores detalhes sobre a história dos números, remetemos o leitor
à referência bibliográfica [7].
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Bibliografia
[1] C. S. Fernandes, A. Hefez - Introdução à Álgebra Linear. Coleção PROF-
MAT, SBM, 2012.
[2] C. F. Gauss - Disquisitiones Arithmeticae. Springer-Verlag, 1986.
[3] A. Hefez - Curso de Álgebra, Vol. I e Vol. II. Coleção Matemática
Universitária, IMPA, 2010 e 2012.
[4] A. Hefez - Elementos de Aritmética. Coleção Textos Universitários, SBM,
2006.
[5] S. Lang - Estruturas Algébricas. Ao Livro Técnico, 1972.
[6] E. L. Lima - Análise Real, Volume II. Coleção Matemática Universitária,
IMPA, 2004.
[7] J. B. Ripoll, C. C. Ripoll e J.F P. da Silveira - Números Racionais, Reais
e Complexos. Editora UFRGS.
[8] J. Stillwell - Elements of Algebra: geometry, numbers, equations. Springer-
Verlag, 1994.
181
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43
Livro: Polinômios e Equações Algébricas
Autores: Abramo Hefez
Maria Lúcia Torres Villela
Capítulo 2: A Geometria do Plano Complexo
Sumário
1 Geometria Analítica em C . . . . . . . . . . . . . 44
2 Transformações Elementares em C . . . . . . . . 48
3 Transformações de Möbius . . . . . . . . . . . . . 55
4 Determinação das Transformações de Möbius . 60
5 A Esfera de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . 65
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44 A Geometria do Plano Complexo Cap. 2
As funções de umavariável complexa foram objeto de estudos muito in-
tensos durante o Século 19, início do Século 20. Neste capítulo, estudaremos
certas funções particulares de uma variável complexa, as transformações de
Möbius, que, surpreendentemente, possuem propriedades geométricas, algé-
bricas, aritméticas e dinâmicas muito ricas. Limitar-nos-emos a desenvolver
apenas alguns aspectos geométricos dessas transformações
1
.
1 Geometria Analítica em C
As retas e os círculos são, indubitavelmente, as figuras geométricas pla-
nas mais simples. Apesar dessa simplicidade, grande parte da Geometria
Euclidiana é dedicada ao seu estudo, revelando uma riqueza de resultados
e de aplicações. Com a introdução por Descartes da Geometria de Coorde-
nadas no plano R2, a chamada Geometria Analítica, o estudo dos objetos
geométricos foi em grande medida enriquecido com a incorporação dos méto-
dos algébricos que transformam figuras em equações. Este método, aplicado
mais geralmente a qualquer Rn, com n ≥ 2, permitiu o estudo efetivo de
objetos bem mais gerais do que apenas retas, cônicas, planos e quádricas,
originando dois ramos muito ativos da Matemática contemporânea: a Geo-
metria Algébrica e a Geometria Diferencial.
Nesta seção, veremos como se comportam as equações de retas e círculos,
quando o plano R2 é enriquecido com a estrutura complexa, dando origem
ao plano complexo C.
Recorde que as equações das retas e dos círculos, nas coordenadas x e y
do plano R2, são, respectivamente, dadas por
bx+ cy+ d = 0, onde b 6= 0 ou c 6= 0, e (1)
a(x2 + y2) + bx+ cy+ d = 0, onde a 6= 0 e b2 + c2 − 4ad > 0. (2)
Observando que a condição sobre os números reais b 6= 0 ou c 6= 0 na
equação (1) pode ser substituida por b2+ c2 > 0, vemos que as equações (1)
e (2) podem ser reescritas, unificadamente, na forma da equação:
a(x2 + y2) + bx+ cy+ d = 0, onde b2 + c2 − 4ad > 0. (3)
Portanto, o conjunto solução da equação acima, se a = 0, é uma reta e,
se a 6= 0, é um círculo de centro e raio, respectivamente:(
−
b
2a
,−
c
2a
)
e R =
√
b2 + c2 − 4ad
2|a|
.
1
O leitor é convidado a assistir ao belo filme Möbius Transformation Revisited de
Douglas Arnold e Jonathan Rogness, em http://www.ima.umn.edu/ arnold/moebius.
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Seção 1 Geometria Analítica em C 45
Em razão desta unificação das equações de retas e círculos, pode-se sus-
peitar que em algum �mundo�, retas e círculos são objetos de mesma natu-
reza. Isto realmente ocorre, como veremos na Seção 4, onde tal �mundo� será
descortinado.
Com a identificação do ponto (x, y) do plano R2 com o número complexo
z = x + iy e recorrendo ao seu conjugado z = x − iy, podemos expressar as
coordenadas x e y em função das coordenadas complexas z e z como segue:
x = Re(z) =
z+ z
2
, y = Im(z) =
z− z
2i
=
iz− iz
2
. (4)
Desse modo, uma equação com coeficientes reais nas variáveis x e y pode
ser reescrita, no plano complexo C, como uma equação em z e z com coefi-
cientes complexos.
Portanto, fazendo a substituição de x e y por suas expressões em (4) na
Equação (3), obtemos a equação equivalente
azz+
(b− ic)
2
z+
(b+ ic)
2
z+ d = 0, com b2 + c2 − 4ad > 0.
Esta equação, por sua vez, pode ser reescrita na seguinte forma:
A|z|2 + Bz+ Bz+D = 0, com |B|2 −AD > 0,
onde A = a e D = d são números reais e B = 2−1(b − ic) é um número
complexo.
Reciprocamente, por causa da equivalência entre (3) e a equação acima,
toda equação dessa forma é a equação de uma reta ou de um círculo em R2.
Destacamos o resultado obtido acima na proposição a seguir.
Proposição 1.1. O conjunto solução em C da equação
A|z|2 + Bz+ Bz+D = 0, (5)
onde A,D ∈ R, B ∈ C e |B|2−AD > 0 é um círculo, se A 6= 0, e uma reta, se
A = 0. Reciprocamente, todas as retas e os círculos em C são determinados
por equações desse tipo.
Quando A 6= 0, pelas substituições feitas acima, pode-se recuperar o
centro e o raio do círculo dado pela Equação (5). Esses são, respectivamente,(
−
B+ B
2A
,
B− B
2iA
)
, R =
√
|B|2 −AD
|A|
. (6)
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46 A Geometria do Plano Complexo Cap. 2
Vamos relaxar a condição |B|2 − AD > 0, que aparece na Proposição
1.1, para não ter que nos preocupar de sempre verificá-la. Consideraremos
também equações da forma (5), com |B|2 − AD ≤ 0 e algum coeficiente
não nulo, que ainda chamaremos de círculos. Quando |B|2 − AD = 0 e
A 6= 0, o raio do �círculo� é nulo e o chamaremos de círculo degenerado. Se
|B|2 − AD < 0, o círculo será chamado de círculo imaginário, pois nenhum
ponto de coordenadas reais (x, y) satisfaz a uma equação deste tipo.
Exemplo 1. Vamos determinar a equação da reta no plano complexo que
passa pelos pontos z1 = i e z2 = 1.
A equação é da forma Bz + Bz +D = 0, com B ∈ C, D ∈ R e |B| 6= 0.
Escrevendo B = a+ bi, temos
(a+ bi)z+ (a− bi)z+D = 0.
Substituindo z1 = i e z2 = 1 na equação acima, respectivamente, obtemos
(a+ bi)i+ (a− bi)(−i) +D = 0⇐⇒ −2b+D = 0
(a+ bi)1+ (a− bi)1+D = 0⇐⇒ 2a+D = 0.
Logo, a = −b e D = 2b. Portanto, B = −b + bi, com b 6= 0. Tomando
b = 1, obtemos B = −1+i, D = 2 e, consequentemente, a equação procurada
é:
(−1+ i)z+ (−1− i)z+ 2 = 0.
Note que qualquer outra escolha para b, com b 6= 0, conduziria a um
múltiplo da equação que determinamos, logo a uma equação equivalente.
Exemplo 2. Vamos determinar a equação da reta em C que passa por dois
pontos distintos w1 = w
′
1 +w
′′
1 i e w2 = w
′
2 +w
′′
2 i.
A reta que passa pelos referidos pontos, tem por equação
det
[
y−w ′′1 x−w
′
1
w ′′2 −w
′′
1 w
′
2 −w
′
1
]
= 0.
Fazendo, nesta expressão, a substituição de x e y pelas igualdades dadas em
(4), e após alguns cálculos, obtemos a equação
i(w1 −w2) z− i(w1 −w2) z+ 2(w
′
1w
′′
2 −w
′′
1w
′
2) = 0. (7)
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Seção 2 Transformações Elementares em C 47
Exemplo 3. Vamos determinar o centro e o raio do círculo de equação:
|z|2 + (1+ 2i)z+ (1− 2i)z− 4 = 0.
Note que A = 1, B = 1 + 2i e D = −4. Logo, pelas fórmulas em (6),
obtemos que o centro do círculo é (−1, 2) e o raio é 3.
Problemas
1.1 Determine a equação da reta em C que passa por w = w ′+w ′′i e possui
a seguinte propriedade adicional:
a) é paralela a v = v ′ + v ′′i 6= 0;
b) é perpendicular a v = v ′ + v ′′i 6= 0.
1.2 Determine a equação da reta em C tendo a propriedade:
a) Passa pelos pontos 1+ 2i e 1+ 3i;
b) Passa por 1+ i e é paralela a 2+ i;
c) Passa por 1+ i e é perpendicular a 2+ i;
d) Passa por a+ bi e é paralela a i;
e) Passa por a+ bi e é perpendicular a i.
1.3 Identifique a curva em C cuja equação é dada por
a) |1− z| = |3+ z|; b)
∣∣∣∣z+ iz− i
∣∣∣∣ = 1.
1.4 Dados w1, w2 ∈ C, com w1 6= w2, ache o lugar geométrico dos pontos
z ∈ C tais que |z−w1| = |z−w2|.
1.5 Dados os pontos w1, w2 ∈ C, com w1 6= w2, e um número real positivo
a, identifique o lugar geométrico dos pontos z ∈ C tais que
|z−w1|+ |z−w2| = a.
1.6 Sejam w = w ′ +w ′′i ∈ C e a e b números reais não nulos. Escreva em
coordenadas z e z as equações das cônicas dadas por
(x−w ′)2
a2
± (y−w
′′)2
b2
= 1.
1.7 Escreva nas coordenadas z e z a equação da parábola y = x2.
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48 A Geometria do Plano Complexo Cap. 2
2 Transformações Elementares em C
As funções complexas de variável complexa, também chamadas de tran-
formações do plano complexo, são de grande importância, tanto teórica,
quanto nas aplicações. Diversos problemas práticos da Física e da Enge-
nharia envolvem estudar o comportamento de certos fenômenos em alguma
região do plano que devem satisfazer condições especiais