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1 1) Sejam A e B são matrizes simétricas., Definição: A e B são matrizes simétricas se e somente se, tA A= e tB B= . a) A B+ é simétrica? SOLUÇÃO: ( ) tt tA B A B A B+ = + = + , então, A B+ é simétrica. b) AB é simétrica? SOLUÇÃO: ( ) tt tAB A B BA= = , então, AB não é sempre simétrica pois o produto de matrizes não é comutativo: c) ?AB BA= SOLUÇÃO: Seja as matrizes simétricas 1 2 2 1 A − = − − e 0 1 1 1 B − = − : 2 3 1 1 AB − = e 2 1 3 1 BA = − , portanto, AB BA 2) Com relação as matrizes: 6 4 0 6 9 9 2 0 0 4 6 9 7 ; ; ; 1 1 4 ; 1 0 4 6 7 2 8 7 3 2 6 0 6 6 0 1 A B C D E − − − − = = = = = − − − − − − − − − Se for possível calcule: i. AB BA− SOLUÇÃO: 0 8 14 32 AB = − e 24 28 44 56 BA = − − , então, 24 20 58 24 AB BA − − − = 2 ii. 2C D− SOLUÇÃO: 6 4 0 12 18 14 2 1 1 4 14 6 4 6 0 6 C D − − − − = − − − − − , como as matrizes não são de mesma ordem não podemos efetuar a diferença entre elas. iii. ( )2 3 t t tD E− SOLUÇÃO: ( ) ( ) ( )2 3 2 3 2 3 t t t t t t tD E D E D E− = − = − 12 8 0 18 27 27 30 19 27 2 3 2 2 8 3 0 12 5 2 20 12 0 12 18 0 3 6 0 9 D E − − − − − = − − − = − − − − − iv. 2D DE− SOLUÇÃO: 2 6 4 0 6 4 0 40 20 16 1 1 4 1 1 4 29 5 20 6 0 6 6 0 6 72 24 36 D DD − − − = = = − − − − − − − 6 4 0 6 9 9 40 54 38 1 1 4 1 0 4 19 9 17 6 0 6 6 0 1 0 54 60 DE − − − − = − − = − − − − − − − 2 40 20 16 40 54 38 80 34 22 29 5 20 19 9 17 10 4 3 72 24 36 0 54 60 72 30 24 D DE − − − − − = − − − − − = − − − − − − 3) Considere a matriz: 6 4 0 1 1 1 4 0 6 0 6 1 1 2 0 0 M − = − − − Calcule o determinante desta matriz. SOLUÇÃO: ( ) ( ) ( ) ( ) 6 4 0 1 1 1 4 6 4 0 1 1 4 0 1 6 0 6 1 1 1 4 6 0 6 1 1 2 0 1 2 0 1 2 0 0 48 6 12 16 48 48 6 12 16 48 118 − − = − − − − = − − − − − + − + + = − + + + = 3 4) Uma indústria produz três produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de fertilizantes, A e B. Para a manufatura de cada kg de X são utilizados 6 gramas do fertilizante A e 2 gramas do fertilizante B; para cada kg de Y, 2 gramas de fertilizante A e 2 gramas de fertilizante B e, para cada kg de Z, 2 gramas de A e 6 gramas de B. O preço de venda do kg de cada um dos produtos X, Y e Z é R$1,00, R$4,00 e R$2,00, respectivamente. Com a venda de toda a produção de X, Y e Z manufaturada com 1,9kg de A e 2,4kg de B, essa indústria arrecadou R$2.900,00. Determine quantos kg de cada um dos produtos X, Y e Z foram vendidos. SOLUÇÃO: Seja ,x y e z os quilogramas vendidos dos produtos ,X Y e Z , respectivamente. Dos dados do problema podemos montar o sistema: 6 2 2 1900 2 2 6 2400 4 2 2900 2900 4 2 x y z x y z x y z x y z + + = + + = + + = = − − Substituindo nas duas primeiras equações: ( ) ( ) 6 2900 4 2 2 2 1900 2 2900 4 2 2 6 2400 y z y z y z y z − − + + = − − + + = 17400 24 12 2 2 1900 5800 8 4 2 6 2400 y z y z y z y z − − + + = − − + + = ( ) 22 10 15500 6 2 3400 5 22 10 15500 52 32500 625 30 10 17000 y z y z y z y y Kg y z − − = − − + = − − − = − − = − = − + = − Substituindo esse valor nas equações temos que: 175 50 z Kg x Kg = = 5) Seja ( ) ( )1,4,0 , 0,1,2u v= = e ( ), ,w x y z= . a) Determine o vetor w de forma que os vetores {u, v, w} gerem o espaço 3R . SOLUÇÃO: Como a dimensão de 3 é 3, os vetores dados vão gerar 3 se forem LI, isto é: 0au bv cw+ + = implica que 0a b c= = = . ( ) ( ) ( ) ( )1,4,0 0,1,2 , , 0,0,0 0 4 0 2 0 a b c x y z a cx a b cy b cz + + = + = + + = + = Para que o sistema homogêneo acima nas variáveis , ,a b c admita apenas a solução 0a b c= = = devemos ter: 1 0 4 1 0 0 2 x D y z = 4 1 0 1 0 4 1 4 1 8 2 0 8 2 0 2 0 2 x D y z x y z x y z = = + − − + Portanto, ( ) 3, , / 8 2w x y z z x y= − + b) Determine a projeção ortogonal de u sobre v ( Pr vw oj u= ). SOLUÇÃO: Seja ( ) ( )1,4,0 , 0,1,2u v= = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,4,0 , 0,1,2, 0 4 0 4 P 4 8 Pr 0, , 5 , 5 r 0,1,2 0,1,2 0,1,2 0 1 4 50,1,2 , 0,1,2 v v u v oj u o v v v j u + + = = + = = + = Interpretação Geométrica: c) Sejam os vetores ( ) ( )1,4,0 , 0,1,2u v= = e ( )0,0,1w = . Determine uma base ortogonal de 3 a partir dos vetores , ,u v w . SOLUÇÃO: Seja 1 2 3, , uma base ortogonal de 3 a partir dos vetores , ,u v w . 5 Pelo processo de ortogonalização de Gram-Schmidt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 1 1 1,4,0 0,1,2 , 1,4,0, 0,1,2 1,4,0 , 1,4,0 , 1,4,0 u v v = = = − = − ( ) ( ) ( )2 4 4 16 4 1 0,1,2 1,4,0 0,1, 2 , ,0 , , 2 17 17 17 17 17 = − = − = − 2 4 1 , , 2 17 17 = − 2 1 3 2 1 2 2 1 1 , , , , w w w = − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 4 10,0,1 , , , 2 0,0,1 , 1,4,017 17 4 10,0,1 , , 2 1,4,0 17 17 1,4,0 , 1,4,04 1 4 1, , 2 , , , 2 17 17 17 17 − −= − − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 2 17 8 2 684 1 4 10,0,1 , , 2 0,0,1 , , 2 0,0,1 , , 17 17 17 1769 69 69 69 69 17 8 2 1 , , 69 69 69 − − −= − = − = − = − d) Sejam ( ) ( )1,4,0 , 0,1,2u v= = e ( )1,3, 2w = − . Verifique se os vetores , ,u v w , são linearmente independentes e determine o espaço S gerado pelos vetores {u, v, w}. SOLUÇÃO: w u v= − logo , ,u v w são Linearmente Dependentes (LD). Seja S o subespaço gerado pelos vetores ( ) ( )1,4,0 , 0,1,2u v= = e ( )1,3, 2w = − . Como w é combinação linear de ,u v , S é gerado somente pelos vetores LI , ,u v w ( ) ( )1,4,0 , 0,1,2u v= = . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , / 1, 4,0 0,1, 2 , , 4 4 8 2 2 2 2 , , 8 2 t x y z S a b au bv t a b x y z a x z a b y x y z x y z b z b S x y x y = + = + = = + = + = = − + = = = − + e) Determine uma base e a dimensão do espaço S. SOLUÇÃO: Pelo item anterior ( ) ( ) 1,4,0 , 0,1,2u v= = é uma base para S e dimensão de S é 2.
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