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Exercícios Resolvidos de Álgebra Linear

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1 
 
 
1) Sejam A e B são matrizes simétricas., 
Definição: A e B são matrizes simétricas se e somente se, 
tA A= e 
tB B= . 
a) A B+ é simétrica? 
SOLUÇÃO: 
( )
tt tA B A B A B+ = + = + , então, A B+ é simétrica. 
 
b) AB é simétrica? 
SOLUÇÃO: 
( )
tt tAB A B BA= = , então, AB não é sempre simétrica pois o produto de matrizes não é 
comutativo: 
 
c) ?AB BA= 
SOLUÇÃO: 
Seja as matrizes simétricas 
1 2
2 1
A
− 
=  
− − 
 e 
0 1
1 1
B
− 
=  
− 
 : 
2 3
1 1
AB
− 
=  
 
 e 
2 1
3 1
BA
 
=  
− 
, portanto, AB BA 
 
2) Com relação as matrizes:
6 4 0 6 9 9
2 0 0 4 6 9 7
; ; ; 1 1 4 ; 1 0 4
6 7 2 8 7 3 2
6 0 6 6 0 1
A B C D E
− −   
− −         
= = = = = − −         − − −         − − − −   
 
Se for possível calcule: 
i. AB BA− 
SOLUÇÃO: 
0 8
14 32
AB
 
=  
− 
 e 
24 28
44 56
BA
 
=  
− − 
, então, 
24 20
58 24
AB BA
− − 
− =  
 
 
 
 
 
 
2 
 
ii. 2C D− 
SOLUÇÃO: 
6 4 0
12 18 14
2 1 1 4
14 6 4
6 0 6
C D
− 
− −   
− = −   − −   − − 
, como as matrizes não são de mesma ordem não 
podemos efetuar a diferença entre elas. 
 
iii. ( )2 3
t
t tD E− 
SOLUÇÃO: 
( ) ( ) ( )2 3 2 3 2 3
t t t
t t t tD E D E D E− = − = − 
12 8 0 18 27 27 30 19 27
2 3 2 2 8 3 0 12 5 2 20
12 0 12 18 0 3 6 0 9
D E
− − − −     
     
− = − − − =     
     − − − − −     
 
 
iv. 2D DE− 
SOLUÇÃO: 
2
6 4 0 6 4 0 40 20 16
1 1 4 1 1 4 29 5 20
6 0 6 6 0 6 72 24 36
D DD
− − −    
    
= = = − −    
    − − − − −    
 
6 4 0 6 9 9 40 54 38
1 1 4 1 0 4 19 9 17
6 0 6 6 0 1 0 54 60
DE
− − − −    
    
= − − = − −    
    − − − − −    
 
2
40 20 16 40 54 38 80 34 22
29 5 20 19 9 17 10 4 3
72 24 36 0 54 60 72 30 24
D DE
− − − −     
     
− = − − − − − = − − −     
     − − −     
 
 
3) Considere a matriz: 
6 4 0 1
1 1 4 0
6 0 6 1
1 2 0 0
M
− 
 
 =
 − − −
 
 
 
Calcule o determinante desta matriz. 
SOLUÇÃO: 
( ) ( )
( ) ( )
6 4 0 1
1 1 4 6 4 0
1 1 4 0
1 6 0 6 1 1 1 4
6 0 6 1
1 2 0 1 2 0
1 2 0 0
48 6 12 16 48 48 6 12 16 48 118
−
−
= − − − − =
− − −
− − + − + + = − + + + =
 
 
 
3 
 
4) Uma indústria produz três produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de fertilizantes, A e B. Para 
a manufatura de cada kg de X são utilizados 6 gramas do fertilizante A e 2 gramas do 
fertilizante B; para cada kg de Y, 2 gramas de fertilizante A e 2 gramas de fertilizante B e, 
para cada kg de Z, 2 gramas de A e 6 gramas de B. O preço de venda do kg de cada um dos 
produtos X, Y e Z é R$1,00, R$4,00 e R$2,00, respectivamente. Com a venda de toda a 
produção de X, Y e Z manufaturada com 1,9kg de A e 2,4kg de B, essa indústria arrecadou 
R$2.900,00. Determine quantos kg de cada um dos produtos X, Y e Z foram vendidos. 
SOLUÇÃO: 
Seja ,x y e z os quilogramas vendidos dos produtos ,X Y e Z , respectivamente. 
Dos dados do problema podemos montar o sistema: 
6 2 2 1900
2 2 6 2400
4 2 2900 2900 4 2
x y z
x y z
x y z x y z
+ + =

+ + =
 + + =  = − −
 
Substituindo nas duas primeiras equações: 
( )
( )
6 2900 4 2 2 2 1900
2 2900 4 2 2 6 2400
y z y z
y z y z
− − + + =

− − + + =
 
17400 24 12 2 2 1900
5800 8 4 2 6 2400
y z y z
y z y z
− − + + =

− − + + =
 
( )
22 10 15500
6 2 3400 5
22 10 15500
52 32500 625
30 10 17000
y z
y z
y z
y y Kg
y z
− − = −

− + = − 
− − = −
 − = −  =
− + = −
 
Substituindo esse valor nas equações temos que: 
175
50
z Kg
x Kg
=
=
 
 
5) Seja ( ) ( )1,4,0 , 0,1,2u v= = e ( ), ,w x y z= . 
a) Determine o vetor w de forma que os vetores {u, v, w} gerem o espaço 3R . 
SOLUÇÃO: 
Como a dimensão de 3 é 3, os vetores dados vão gerar 3 se forem LI, isto é: 
0au bv cw+ + = implica que 0a b c= = = . 
( ) ( ) ( ) ( )1,4,0 0,1,2 , , 0,0,0
0
4 0
2 0
a b c x y z
a cx
a b cy
b cz
+ + =
+ =

+ + =
 + =
 
Para que o sistema homogêneo acima nas variáveis , ,a b c admita apenas a solução 0a b c= = = 
devemos ter: 
1 0
4 1 0
0 2
x
D y
z
=  
4 
 
1 0 1 0
4 1 4 1 8 2 0 8 2
0 2 0 2
x
D y z x y z x y
z
= = + −    − + 
Portanto, ( ) 3, , / 8 2w x y z z x y=   − + 
b) Determine a projeção ortogonal de u sobre v ( Pr vw oj u= ). 
SOLUÇÃO: 
Seja ( ) ( )1,4,0 , 0,1,2u v= = 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1,4,0 , 0,1,2, 0 4 0 4
P
4 8
Pr 0, ,
5
,
5
r 0,1,2 0,1,2 0,1,2
0 1 4 50,1,2 , 0,1,2
v
v
u v
oj u
o
v
v v
j u
+ +
= =

+
 
=
=
+

=
 
 
Interpretação Geométrica: 
 
c) Sejam os vetores ( ) ( )1,4,0 , 0,1,2u v= = e ( )0,0,1w = . Determine uma base ortogonal de 3 a 
partir dos vetores  , ,u v w . 
SOLUÇÃO: 
Seja  1 2 3, ,   uma base ortogonal de 
3 a partir dos vetores  , ,u v w . 
5 
 
Pelo processo de ortogonalização de Gram-Schmidt: 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
1
1
2 1
1 1
1,4,0
0,1,2 , 1,4,0,
0,1,2 1,4,0
, 1,4,0 , 1,4,0
u
v
v


 
 
= =
= − = −
 
( ) ( ) ( )2
4 4 16 4 1
0,1,2 1,4,0 0,1, 2 , ,0 , , 2
17 17 17 17 17

   
= − = − = −   
   
 
2
4 1
, , 2
17 17

 
= − 
 
 
2 1
3 2 1
2 2 1 1
, ,
, ,
w w
w
 
  
   
= − − 
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )3
4 10,0,1 , , , 2 0,0,1 , 1,4,017 17 4 10,0,1 , , 2 1,4,0
17 17 1,4,0 , 1,4,04 1 4 1, , 2 , , , 2
17 17 17 17

−
−= − −
− −
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3
3
2 2 17 8 2 684 1 4 10,0,1 , , 2 0,0,1 , , 2 0,0,1 , ,
17 17 17 1769 69 69 69 69
17
8 2 1
, ,
69 69 69


 − − −= − = − = −  
 
 
= − 
 
 
d) Sejam ( ) ( )1,4,0 , 0,1,2u v= = e ( )1,3, 2w = − . Verifique se os vetores  , ,u v w , são linearmente 
independentes e determine o espaço S gerado pelos vetores {u, v, w}. 
SOLUÇÃO: 
w u v= − logo  , ,u v w são Linearmente Dependentes (LD). 
Seja S o subespaço gerado pelos vetores ( ) ( )1,4,0 , 0,1,2u v= = e ( )1,3, 2w = − . 
Como w é combinação linear de ,u v , S é gerado somente pelos vetores LI  , ,u v w
( ) ( )1,4,0 , 0,1,2u v= = . 
( )
( ) ( ) ( )
( ) 
, , , /
1, 4,0 0,1, 2 , ,
4 4 8 2
2
2
2
, , 8 2
t x y z S a b au bv t
a b x y z
a x
z
a b y x y z x y
z
b z b
S x y x y
=    + =
+ =

 =

+ =  + =  = − +

 =  =

= − +
 
e) Determine uma base e a dimensão do espaço S. 
SOLUÇÃO: 
Pelo item anterior ( ) ( ) 1,4,0 , 0,1,2u v= = é uma base para S e dimensão de S é 2.

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