Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas / WhatsAPP: (71) 9927-17449 • Sabe-se que o volume de uma caixa de papelão deve ser de . Utilizando os 1 m³ conceitos de multiplicadores de Lagrange, determine as dimensões e desta x, y z caixa para que o custo total seja mínimo sabendo-se que o valor do papelão utilizando no fundo é de e o valor do papelão utilizando na tampa e nos 0, 10 R$ / m² lados da caixa de .0, 05 reais / m² a) x = 0, 1m ; y = 0, 05m ; z = 0, 05m b) x = 2m ; y = 2m ; z = 0, 25m c) x = 1m ; y = 1m ; z = 1m d) x ≈ 2, 74m ; y ≈ 2, 74m ; z ≈ 0, 13m e) x ≈ 0, 87m ; y ≈ 0, 87m ; z ≈ 1, 31m Resolução: Vamos tomar o comprimento da caixa como sendo , a largura como sendo e a altura x y como sendo , uma representação dessa caixa pode ser vista na sequência;z O volume dessa caixa, que deve ter volume de 1 m³, é dado pela expressão abaixo; V x, y, z = xyz( ) O valor gasto para fazer a caixa em função dos lados é dado por; x y z Caixa C = 0, 1 ⋅A + 0, 05 ⋅A + 0, 05 ⋅A + 0, 05 ⋅A + 0, 05 ⋅A + 0, 05 ⋅AFundo Tampa Lateral - 1 Lateral - 1 Lateral - 2 Lateral - 2 A = xy, A = xy, A = xz e A = yzFundo Tampa Lateral - 1 Lateral - 2 Assim, o custo da produção da caixa fica; C x, y, z = 0, 1 ⋅ xy + 0, 05 ⋅ xy + 0, 05 ⋅ xz + 0, 05 ⋅ xz + 0, 05 ⋅ yz + 0, 05 ⋅ yz( ) C x, y, z = 0, 15xy + 0, 1xz + 0, 1yz( ) Para facilitar os cálculos, vamos reescrever a expressão do custo; C x, y, z = 0, 15xy + 0, 1xz + 0, 1yz = xy + xz + yz = xy + xz + yz( ) 15 100 1 10 1 10 3 20 1 10 1 10 C x, y, z = + +( ) 3xy 20 xz 10 yz 10 Pelo teorema de Lagrange, o valor mínimo para o preço da caixa obedece a seguinte equação; 𝛻C x, y, z = 𝜆𝛻V x, y, z( ) ( ) Assim, devemos achar os gradientes do custo e do volume ;𝛻C x, y, z( ) 𝛻V x, y, z( ) 𝛻C x, y, z = ⟨ , , ⟩ = ⟨ + , + , + ⟩( ) 𝜕f 𝜕x 𝜕f 𝜕y 𝜕f 𝜕z 3y 20 z 10 3x 20 z 10 x 10 y 10 V x, y, z = ⟨ , , ⟩ = ⟨yz, xz, xy⟩( ) 𝜕f 𝜕x 𝜕f 𝜕y 𝜕f 𝜕z Com isso, a expressão fica; ⟨ + , + , + ⟩ = 𝜆⟨yz, xz, xy⟩ 3y 20 z 10 3x 20 z 10 x 10 y 10 ⟨ + , + , + ⟩ = ⟨𝜆yz,𝜆xz,𝜆xy⟩ 3xy 20 xz 10 3x 20 z 10 x 10 y 10 Isso nos leva ao seguinte sistema; + = 𝜆yz 3y 20 z 10 + = 𝜆xz 3x 20 z 10 + = 𝜆xy x 10 y 10 Isolando lambda em cada equação, temos; + = 𝜆yz 𝜆yz = + 𝜆yz = 𝜆 = 3y 20 z 10 → 3y 20 z 10 → 3y + 2z 20 → 3y + 2z 20yz + = 𝜆xz 𝜆xz = + 𝜆xz = 𝜆 = 3y 20 z 10 → 3 20 z 10 → 3 + 2z 20 → 3x + 2z 20xz + = 𝜆xy 𝜆xy = + 𝜆xy = 𝜆 = x 10 y 10 → x 10 y 10 → x + y 10 → x + y 10xy Igualando os lambdas de 1 e 3, temos; = = 3y + 2z x = 2z x + y 3y + 2z 20yz x + y 10xy ⏫⏪⏪⏪⏪⏪e 20 com 10 3y + 2z 2z x + y x → ( ) ( ) 3yx + 2zx = 2zx + 2zy 3yx = 2zx - 2zx + 2zy 3yx = 2zy 3x = 2z→ → ⏫⏪⏪⏪⏪ x = 2z 3 Igualando os lambdas de 1 e 2, temos; simplificando y cortando y (1) (2) (3) (4) = = 3y + 2z x = 3x + 2z y 3y + 2z 20yz 3x + 2z 20xz ⏫⏪⏪⏪⏪⏪e 20 com 20 3y + 2z y 3x + 2z x → ( ) ( ) 3yx + 2zx = 3xy + 2zy 2zx = 3xy - 3xy + 2zy 2zx = 2zy 2z = 2zy→ → ⏫⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪para x obtida em 4 2z 3 = y y =⏫⏪⏪⏪2z 2z 3 → 2z 3 Sabemos que o volume deve ser de 1 m³, ou seja; V x, y, z = xyz = 1( ) Substituindo as igualdades encontrados para e em 4 e 5, temos;x y ⋅ ⋅ z = 1 = 1 z = z = z ≅ 1, 31 m 2z 3 2z 3 → 4z 9 3 → 3 9 4 → 9 4 → substituindo o valor encontrado para z em 4, temos; x = x ≅ 0, 87 m 2 ⋅ 1, 31 3 → substituindo o valor encontrado para z em 5, temos; y = y = 0, 87 m 2 ⋅ 1, 31 3 → simplificando z substituindo a igualdade cortando 3 (5) (Resposta - 1) (Resposta - 2) (Resposta - 3)
Compartilhar