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Questão resolvida - Sabe-se que o volume de uma caixa de papelão deve ser de 1m Utilizando os conceitos de multiplicadores de Lagrange, determine as dimensões x,y e z desta caixa para que o custo tota

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas / WhatsAPP: (71) 9927-17449
 
• Sabe-se que o volume de uma caixa de papelão deve ser de . Utilizando os 1 m³
conceitos de multiplicadores de Lagrange, determine as dimensões e desta x, y z
caixa para que o custo total seja mínimo sabendo-se que o valor do papelão 
utilizando no fundo é de e o valor do papelão utilizando na tampa e nos 0, 10 R$ / m²
lados da caixa de .0, 05 reais / m²
 
a) x = 0, 1m ; y = 0, 05m ; z = 0, 05m
 
b) x = 2m ; y = 2m ; z = 0, 25m
 
c) x = 1m ; y = 1m ; z = 1m
 
d) x ≈ 2, 74m ; y ≈ 2, 74m ; z ≈ 0, 13m
 
e) x ≈ 0, 87m ; y ≈ 0, 87m ; z ≈ 1, 31m
 
Resolução:
 
Vamos tomar o comprimento da caixa como sendo , a largura como sendo e a altura x y
como sendo , uma representação dessa caixa pode ser vista na sequência;z
 
 
O volume dessa caixa, que deve ter volume de 1 m³, é dado pela expressão abaixo;
 
V x, y, z = xyz( )
O valor gasto para fazer a caixa em função dos lados é dado por;
 
 
x
y
z
Caixa
 
C = 0, 1 ⋅A + 0, 05 ⋅A + 0, 05 ⋅A + 0, 05 ⋅A + 0, 05 ⋅A + 0, 05 ⋅AFundo Tampa Lateral - 1 Lateral - 1 Lateral - 2 Lateral - 2
 
A = xy, A = xy, A = xz e A = yzFundo Tampa Lateral - 1 Lateral - 2
 
Assim, o custo da produção da caixa fica;
 
C x, y, z = 0, 1 ⋅ xy + 0, 05 ⋅ xy + 0, 05 ⋅ xz + 0, 05 ⋅ xz + 0, 05 ⋅ yz + 0, 05 ⋅ yz( )
 
C x, y, z = 0, 15xy + 0, 1xz + 0, 1yz( )
 
Para facilitar os cálculos, vamos reescrever a expressão do custo;
 
C x, y, z = 0, 15xy + 0, 1xz + 0, 1yz = xy + xz + yz = xy + xz + yz( )
15
100
1
10
1
10
3
20
1
10
1
10
 
C x, y, z = + +( )
3xy
20
xz
10
yz
10
 
Pelo teorema de Lagrange, o valor mínimo para o preço da caixa obedece a seguinte 
equação;
 
𝛻C x, y, z = 𝜆𝛻V x, y, z( ) ( )
 
Assim, devemos achar os gradientes do custo e do volume ;𝛻C x, y, z( ) 𝛻V x, y, z( )
 
𝛻C x, y, z = ⟨ , , ⟩ = ⟨ + , + , + ⟩( )
𝜕f
𝜕x
𝜕f
𝜕y
𝜕f
𝜕z
3y
20
z
10
3x
20
z
10
x
10
y
10
 
 
V x, y, z = ⟨ , , ⟩ = ⟨yz, xz, xy⟩( )
𝜕f
𝜕x
𝜕f
𝜕y
𝜕f
𝜕z
 
Com isso, a expressão fica;
 
⟨ + , + , + ⟩ = 𝜆⟨yz, xz, xy⟩
3y
20
z
10
3x
20
z
10
x
10
y
10
 
 
 
⟨ + , + , + ⟩ = ⟨𝜆yz,𝜆xz,𝜆xy⟩
3xy
20
xz
10
3x
20
z
10
x
10
y
10
 
Isso nos leva ao seguinte sistema;
 
+ = 𝜆yz
3y
20
z
10
+ = 𝜆xz
3x
20
z
10
+ = 𝜆xy
x
10
y
10
Isolando lambda em cada equação, temos;
 
+ = 𝜆yz 𝜆yz = + 𝜆yz = 𝜆 =
3y
20
z
10
→
3y
20
z
10
→
3y + 2z
20
→
3y + 2z
20yz
 
 
+ = 𝜆xz 𝜆xz = + 𝜆xz = 𝜆 =
3y
20
z
10
→
3
20
z
10
→
3 + 2z
20
→
3x + 2z
20xz
 
 
+ = 𝜆xy 𝜆xy = + 𝜆xy = 𝜆 =
x
10
y
10
→
x
10
y
10
→
x + y
10
→
x + y
10xy
 
Igualando os lambdas de 1 e 3, temos;
 
= = 3y + 2z x = 2z x + y
3y + 2z
20yz
x + y
10xy ⏫⏪⏪⏪⏪⏪e 20 com 10
3y + 2z
2z
x + y
x
→ ( ) ( )
 
3yx + 2zx = 2zx + 2zy 3yx = 2zx - 2zx + 2zy 3yx = 2zy 3x = 2z→ → ⏫⏪⏪⏪⏪ 
 
x =
2z
3
Igualando os lambdas de 1 e 2, temos;
 
 
 
simplificando y
cortando y
(1)
(2)
(3)
(4)
= = 3y + 2z x = 3x + 2z y
3y + 2z
20yz
3x + 2z
20xz ⏫⏪⏪⏪⏪⏪e 20 com 20
3y + 2z
y
3x + 2z
x
→ ( ) ( )
 
3yx + 2zx = 3xy + 2zy 2zx = 3xy - 3xy + 2zy 2zx = 2zy 2z = 2zy→ → ⏫⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪para x obtida em 4
2z
3
 
= y y =⏫⏪⏪⏪2z
2z
3
→
2z
3
 
Sabemos que o volume deve ser de 1 m³, ou seja;
 
V x, y, z = xyz = 1( )
 
Substituindo as igualdades encontrados para e em 4 e 5, temos;x y
 
⋅ ⋅ z = 1 = 1 z = z = z ≅ 1, 31 m
2z
3
2z
3
→
4z
9
3
→
3
9
4
→
9
4
→
 substituindo o valor encontrado para z em 4, temos;
 
x = x ≅ 0, 87 m
2 ⋅ 1, 31
3
→
 substituindo o valor encontrado para z em 5, temos;
y = y = 0, 87 m
2 ⋅ 1, 31
3
→
 
 
simplificando z
substituindo a igualdade 
cortando 
3
(5)
(Resposta - 1)
(Resposta - 2)
(Resposta - 3)

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