Questão resolvida - Considere um sólido que é limitado por cima pelo paraboloide elíptico 2xyz12 e pelas laterais pelos planos x1 e y2 e pelos 3 planos coordenados Determine o volume desse sólido - In

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas / WhatsAPP: (71) 9927-17449
 
• Considere um sólido que é limitado por cima pelo paraboloide elíptico 
 e pelas laterais pelos planos e e pelos 3 planos 2x² + y² + z = 12 x = 1 y = 2
coordenados. Determine o volume desse sólido.
 
Resolução:
 
De acordo com as informações apresentadas pelo enunciado, uma representação gráfica 
aproximada dessa região que desejamos saber o volume é vista abaixo;
 
 
Usando integrais duplas, o volume da região da figura é dada por;
 
V = f x, y dA∫
R
∫ ( )
 
 
y
x
z
2
1
 
 é o que representa a superfície superior, isolando z na equação do paraboloide;f x, y( ) z
 
2x + y + z = 12 z = 12- 2x - y f x, y = z = 12- 2x - y2 2 → 2 2 → ( ) 2 2
 
Os limites de integração são definidos pelo retângulo que é a base do sólido e está no eixo 
;xy
 
Veja que a em x o retângulo vai de 0 a 1, em y o retângulo vai de 0 a 2, com isso, podemos 
escrever a integral dupla do volume desejado como;
 
V = 12- 2x - y dxdy
2
0
∫
1
0
∫ 2 2
Resolvendo;
 
V = 12 - 2x - y dxdy = 12x - 2 - y x dxdy
2
0
∫
1
0
∫ 2 2
2
0
∫ x
3
3
2
1
0
 
V = 12 ⋅ 1 - 2 - y ⋅ 1 - 12 ⋅ 0 - 2 - y ⋅ 0 dy =
2
0
∫ 1
3
( )3 2 0
3
( )3 2
 
V = - y dy = - y dy = y - = ⋅ 2 - - ⋅ 0 -
2
0
∫ 36 - 2
3
2
2
0
∫ 34
3
2 34
3
y
3
3 2
0
34
3
2
3
( )3 34
3
0
3
( )3
 
V = - = =
68
3
8
3
68 - 8
3
60
3
 
V = 20 u. v.
 
 
x
y
1
2
(Resposta )