Equações Diferenciais Lineares - Conceitos e Exemplos

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Equações Diferenciais Lineares
Aparecido J. de Souza
Aula 1 - Motivação e Conceitos Iniciais
Plano de Curso
Ementa: Equações diferenciais lineares de 1a e 2a ordem e
aplicações. Equações lineares de ordem superior e aplicações.
Sistemas de equações lineares de 1a ordem e aplicações.
Livro Texto: Boyce, W. E. e Diprima, R. C., Equações
Diferenciais Elementares e Problemas de Valor de Contorno.
Calendário de Provas:
P1: 04/07/13 Reposição: 13/07/13 (sábado; 14:00h).
P2: 08/08/13 Reposição: 17/08/13 (sábado; 14:00h).
P3: 12/09/13 Reposição: 17/09/13.
Prova Final: 24/09/13.
Atendimento:
Terças das 10:00h até as 12:00h
Quintas das 14:00h até as 16:00h.
Motivação - Um objeto em queda
Suponha um objeto caindo livremente perto do nível do mar.
• Variável independente: tempo t (s-segundos).
• Variável dependente (incógnita): velocidade v = v(t) (m/s);
• Importante: Fixação de unidades de medida consistentes.
• Hipótese: velocidade positiva para baixo;
• 2a lei de Newton: Força = massa × aceleração (F = ma);
a =
dv
dt =⇒ F = m
dv
dt .
Força total: peso + resistência do ar =⇒ F = mg− γ v .
Equação diferencial: m dvdt = mg− γ v .
m e γ são constantes (parâmetros) que dependem do objeto,
g ≈ 9,8m/s2: aceleração da gravidade.
Equação Diferencial Ordinária - EDO
F
(
t ,y ,y ′,y ′′, · · · ,y (n)
)
= 0 .
• A EDO é linear se a função F que a define for linear nas
variáveis y , y ′, y ′′, · · · , y (n).
• A ordem da EDO é dada pela derivada de maior ordem.
Exemplos
my ′+ γ y = mg , linear de primeira ordem.
y ′′+y = sen(t) , linear de segunda ordem.
t2y ′′′+sen(t)y ′ = cos(t) , linear de terceira ordem.
sen(t)y ′′+ t7y ′+2y = 0 , linear de segunda ordem.
y y ′ = 0 , não linear de primeira ordem.
y (5)−y10 + t sen(y) = 1 , não linear de quinta ordem.
EDO Linear de ordem n Geral
a0(t)y (n)+a1(t)y (n−1)+ · · ·+an−1(t)y ′+an(t)y = g(t) .
aj , j = 0, . . .n e g funções contínuas, num mesmo intervalo I e
a0 6= 0.
coeficientes constantes se aj , j = 0, . . . ,n forem constantes.
homogênea se g(t) = 0, ∀t ∈ I.
Exemplos.
my ′+ γ y = mg , coeficientes constantes, não homogênea.
y ′′+y = sen(t) , coeficientes constantes, não homogênea.
t2y ′′′+sen(t)y ′ = t3 , coeficientes variáveis, não homogênea.
sen(t)y ′′+ t7y ′+2y = 0 , coeficientes variáveis, homogênea.
y ′′+3/2y ′+piy = 0 , coeficientes constantes, homogênea.
Solução de uma EDO
Uma função y = φ(t) é uma solução da EDO
F
(
t ,y ,y ′, · · · ,y (n)
)
= 0 num intervalo (α , β ) se φ está definida
em (α ,β ), existirem as derivadas de φ até ordem n e
F
(
t ,φ(t),φ ′(t),φ ′′(t), · · · ,φ (n)(t))= 0, ∀t ∈ (α ,β ).
No caso linear devemos ter
a0(t)φ (n)(t)+a1(t)φ (n−1)(t)+ · · ·+an−1(t)φ ′(t)+an(t)φ(t) = g(t) ,
∀t ∈ (α ,β ) .
Exemplos. Verifique se as funções dadas são soluções das
equações dadas nos intervalos indicados.
(a)y(t) = e2t , y ′−2y = 0 , t ∈ (−∞,∞) .
(b)y1(t) = sen(t), y2(t) = sen(2t), y ′′+y = 0 , t ∈ (−∞,∞) .
(c)y(t) = 1/t , y ′+(1/t)y = 0 , t > 0 .
O Problema de Valores Iniciais para uma
Equação Diferencial Linear - EDL
PVI
{
a0(t)y (n)+a1(t)y (n−1)+ · · ·+an−1(t)y ′+an(t)y = g(t) ,
y(t0) = y0, y ′(t0) = y1, · · · ,y (n−1)(t0) = yn−1 ,
em que t0 é um ponto dado no intervalo (α ,β ) e y0, · · · , yn−1
são valores constantes também dados.
Uma função y = φ(t) é uma solução do PVI, se φ for uma
solução da equação diferencial no intervalo (α ,β ) e
φ(t0) = y0,φ ′(t0) = y1,φ ′′(t0) = y2, · · · ,φ (n)(t0) = yn−1.
Exemplos. Verifique que as funções dadas são soluções dos
PVIs. Qual o maior intervalo onde a solução está definida?
(a)y(t) = e2t , y ′−2y = 0 , y(0) = 1 .
(b)y(t) = sen(t), y ′′+y = 0 , y(pi/2) = 1, y ′(pi/2) = 0 .
(c)y(t) = 1/t , y ′+(1/t)y = 0 ,y(1) = 1 .