Equações Diferenciais de Primeira Ordem

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Equações Diferenciais Lineares
Aparecido J. de Souza
Aula 5 - Equações de Primeira Ordem Exatas e Fatores
Integrantes
Equações de Primeira Ordem Exatas
Definição. Uma EDO de primeira ordem na forma
M(x ,y)dx +N(x ,y)dy = 0 , (1)
com M e N, contínuas numa região R do plano xy , é dita exata
em R se existir um função (potencial) Ψ definida em R tal que
∂Ψ(x ,y)
∂x = M(x ,y) e
∂Ψ(x ,y)
∂y = N(x ,y) , ∀(x ,y) ∈ R . (2)
Teorema. Se M, N, ∂M∂y , ∂N∂x são funções contínuas em R e
∂M
∂y =
∂N
∂x , ∀(x ,y) ∈ R , (3)
então a equação (1) é exata em R.
Exemplos. Verifique se as equações a seguir são exatas.
(a) (y cos(x)+2x ey )+(sen(x)+x2 ey −1)y ′ = 0,
(b) (2x +4y)dx +(2x −2y)dy = 0,
(c) (x ln(y)+xy)dx +(yln(x)+xy)dy = 0.
Resolução de EDOs Exatas
Lembrete. Uma EDO de primeira ordem na forma
M(x ,y)dx +N(x ,y)dy = 0 ,
é exata em R se existir Ψ definida em R tal que
∂Ψ(x ,y)
∂x = M(x ,y) e
∂Ψ(x ,y)
∂y = N(x ,y) , ∀(x ,y) ∈ R .
Resolução (i) Integre a equação ∂Ψ(x ,y)∂x = M(x ,y) em “x”; (ii)
derive o resultado obtido no passo (i) em “y ”; iguale o resultado
obtido no passo (ii) a N(x ,y); integre o resultado do passo (iii)
em “y ”; ou vice-versa.
Exemplos. Verifique se a equação é exata. Se o for, determine
a solução geral da mesma.
(a) (y cos(x)+2x ey )+(sen(x)+x2 ey −1)y ′ = 0,
(b) (2x +4y)dx +(2x −2y)dy = 0,
(c) (x ln(y)+xy)dx +(yln(x)+xy)dy = 0.
Fator Integrante.
Se M(x ,y)dx +N(x ,y)dy = 0 não for exata, encontre uma
função positiva µ(x ,y) (fator integrante) tal que a equação
[µ(x ,y)M(x ,y)]dx +[µ(x ,y)N(x ,y)]dy = 0 seja exata.
Resolva a nova equação para se obter a solução da equação
original.
Como encontrar o fator integrante µ?
Multiplique a equação dada por µ(x ,y) e monte uma outra
EDO para µ a partir da condição de que
∂ [µ(x ,y)M(x ,y)]
∂y =
∂ [µ(x ,y)N(x ,y)]
∂x .
Sugestão: Tente µ = µ(x), ou µ = µ(y).
Exemplos. Determine a solução geral de:
(a) (3x2y +2xy +y3)dx +(x2 +y2)dy = 0,
(b) y ′ = e2x +y −1.