Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem

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Equações Diferenciais Lineares
Aparecido J. de Souza
Aula 8 - Equações Lineares de Segunda Ordem
Equações de Segunda Ordem
Forma Normal.
d2 y
d t2 = f
(
t ,y , d yd t
)
, em que f é uma função dada.
A variável t é a variável independente e y é a função
incógnita.
Equação Linear na forma normal.
y ′′+p(t)y ′+q(t)y = g(t) , em que p, q e g são funções dadas.
No caso f (t ,y ,y ′) = g(t)−p(t)y ′−q(t)y .
A equação linear é dita homogênea se g(t)≡ 0.
Teorema de Existência e Unicidade
Hipóteses: p, q, g: contínuas num intervalo comum (α ,β ).
Tese: O Problema de Valores Iniciais (PVI)

y ′′+p(t)y ′+q(t)y = g(t),
y(t0) = y0, y ′(t0) = y1, t0 ∈ (α , β ) , y0 e y1 : valores dados,
possui uma única solução definida no mesmo intervalo (α , β ).
Exemplo 1. Determine o maior intervalo onde o PVI possui
solução única, sem resolvê-lo.
(a) ty ′′+3y = t , y(1) = 0, y ′(1) = 2.
(b) (t2−4t)y ′′+3ty ′+4y = 2, y(3) = 0, y ′(3) =−1.
(c) (t +3)y ′′+ ty ′+ ln(|t |)y = 0, y(−1) = 0, y ′(−1) = 1.
Soluções Fundamentais da Equação
Homogênea
y ′′+p(t)y ′+q(t)y = 0 . (H)
Princípio da Superposição. Se y1 e y2 são soluções de (H),
então a combinação linear c1 y1 +c2 y2 também é solução de
(H), para quaisquer constantes c1 e c2.
O determinante Wronskiano.
W [y1,y2](t) =
∣∣∣∣y1(t) y2(t)y ′1(t) y ′2(t)
∣∣∣∣= y1(t)y ′2(t)−y ′1(t)y2(t) .
Definição: Duas soluções y1 e y2 da equação (H) são LI num
intervalo I, se W [y1,y2](t) 6= 0, ∀ t ∈ I. No caso y1 e y2 formam
um conjunto fundamental de soluções de (H) no intervalo I.
y ′′+p(t)y ′+q(t)y = 0 . (H)
Teorema de Abel. Se p e q são funções contínuas num
intervalo I e se y1 e y2 são soluções de (H) definidas em I.
Então W [y1,y2](t) = 0, ∀t ∈ I (y1 e y2 são LD em I), ou
W [y1,y2](t) 6= 0 ∀t ∈I, (y1 e y2 são LI em I).
Conclusão. Basta existir um ponto t0 ∈ I tal que
W [y1,y2](t0) 6= 0 para que W [y1,y2](t) 6= 0, ∀ t ∈ I.
Existência de um Conjunto Fundamental de Soluções.
Sejam p e q funções contínuas num intervalo I. Seja t0 ∈ I.
Então um conjunto fundamental de soluções de (H) em I é
dado por {y1, y2}, em que y1 e y2 são respectivamente as
soluções dos PVIS:
(1)
{
y ′′+p(t)y ′+q(t)y = 0 ,
y(t0) = 1, y ′(t0) = 0 ;
(2)
{
y ′′+p(t)y ′+q(t)y = 0 ,
y(t0) = 0, y ′(t0) = 1 .
y ′′+p(t)y ′+q(t)y = 0 . (H)
Solução geral de (H). Se y1 e y2 são soluções de (H) tal que
W [y1,y2](t) 6= 0, ∀t ∈ I, então a solução geral de (H) é dada
por
y(t) = c1 y1(t)+c2 y2(t) , c1,c2 : constantes.
Exemplo 2. Verifique se as funções y1 e y2 são soluções LI
das equações dadas. Se forem, escreva a solução geral da
equação.
(a) t2 y ′′−2y = 0, t > 0, y1(t) = t2, y2(t) = 1/t .
(b) 2t2y ′′+3ty ′−y = 0, t > 0, y1(t) = t1/2, y2(t) = 1/t .
(c) y ′′−y = 0, y1(t) = e−t , y2(t) = et .
(d) y ′′+y = 0, y1(t) = cos(t), y2(t) = sen(t).