Aula17EDL-SistemasTGeral

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Equações Diferenciais Lineares
Aparecido J. de Souza
Aula 17 - Sistemas Lineares Homogêneos - Teoria Geral
Sistemas Lineares


x ′1 = p11(t)x1 +p12(t)x2 + · · ·+p1(n−1)(t)xn−1 +p1n(t)xn +g1(t) ,
x ′2 = p21(t)x1 +p22(t)x2 + · · ·+p2(n−1)(t)xn−1 +p2n(t)xn +g2(t) ,
.
.
.
x ′n = pn1(t)x1 +pn2(t)x2 + · · ·+pn(n−1)(t)xn−1 +pnn(t)xn +gn(t) ,
pjk , gj , j ,k = 1,2, . . . ,n: funções dependentes de t .
Notação Matricial:
X =


x1
x2
.
.
.
xn

 ,P(t)=


p11(t) p12(t) · · · p1n(t)
p21(t) p22(t) · · · p2n(t)
.
.
.
.
.
. · · ·
.
.
.
pn1(t) pn2(t) · · · pnn(t)

 ,G(t)=


g1(t)
g2(t)
.
.
.
gn(t)

 .
X ′ = P(t)X +G(t) .
Sistema Linear Homogêneo
(SLH)


x ′1 = p11(t)x1 +p12(t)x2 + · · ·+p1(n−1)(t)xn−1 +p1n(t)xn ,
x ′2 = p21(t)x1 +p22(t)x2 + · · ·+p2(n−1)(t)xn−1 +p2n(t)xn ,
.
.
.
x ′n = pn1(t)x1 +pn2(t)x2 + · · ·+pn(n−1)(t)xn−1 +pnn(t)xn .
pjk , j ,k = 1,2, . . . ,n: funções dependentes de t .
Notação Matricial:
X ′ = P(t)X .
Exercício 1. Transforme as EDLs em sistemas lineares
homogêneos.
(a) y ′′′+ t2y ′′+ ty ′ = 0, (b) y ′′′+2ty ′′−sen(t)y = 0.
Teoria Geral para um SLH
(SLH) X ′ = P(t)X .
Notação para soluções:
X 1(t) =


x11 (t)
x12 (t)
.
.
.
x1n (t)


, X 2(t) =


x21 (t)
x22 (t)
.
.
.
x2n (t)


, · · · ,X k (t) =


xk1 (t)
xk2 (t)
.
.
.
xkn (t)


.
Princípio da Superposição: Se X 1 e X 2 são soluções de
(SLH), então c1X 1 +c2X 2, (c1 e c2 constantes) também o é.
Consequência: Se X 1,X 2, . . . ,X k são soluções de (SLH),
então c1X 1 +c2X 2 + · · ·+ckX k , (c1,c2, . . . ,ck constantes)
também o é.
Teoria Geral para um SLH
(SLH) X ′ = P(t)X .
Matrix Wronskiana de n−soluções. Matrix n×n cujas
colunas são formadas pelas n−soluções X 1(t),X 2(t), . . . ,X n(t):
X (t) =
(
X 1(t) X 2(t) · · · X n(t)
)
,
ou
X (t) =


x11 (t) x
2
1 (t) · · · x
n
1 (t)
x12 (t) x
2
2 (t) · · · x
n
2 (t)
.
.
.
.
.
. · · ·
.
.
.
x1n (t) x2n (t) · · · xnn (t)

 .
Determinante Wronskiano de n−soluções:
W [X 1,X 2, . . . ,X n](t) = det (X (t)) .
Teoria Geral para um SLH
(SLH) X ′ = P(t)X .
Definição. As n−soluções X 1,X 2, . . . ,X n de (SLH) são ditas LI
num intervalo (α ,β ), se W [X 1,X 2, . . . ,X n](t) 6= 0, ∀t ∈ (α ,β ).
Teorema. Se X 1,X 2, . . . ,X n são n−soluções de (SLH) no
intervalo (α ,β ), então W [X 1,X 2, . . . ,X n](t) 6= 0, ∀t ∈ (α ,β ) ou
W [X 1,X 2, . . . ,X n](t) = 0, ∀t ∈ (α ,β ).
Definição. As n−soluções X 1,X 2, . . . ,X n de (SLH) formam um
Conjunto Fundamental de Soluções de (SLH) num intervalo
(α ,β ), quando W [X 1,X 2, . . . ,X n](t) 6= 0, ∀t ∈ (α ,β ), isto é,
quando X 1,X 2, . . . ,X n são LI no intervalo (α ,β ).
Exercício 2. Verifique que X 1(t) =
(
e3t
2e3t
)
,X 2(t) =
(
e−t
−2e−t
)
formam um Conjunto Fundamental de Soluções do sistema
x ′1 = x1 +x2, x
′
2 = 4x1 +x2 no intervalo (−∞, ∞).
Teoria Geral para um SLH
(SLH) X ′ = P(t)X .
Existência de um Conjunto Fundamental de Soluções
Sejam pjk (t) funções contínuas para t num intevalo (α ,β ),
t0 ∈ (α ,β ) e
e1 =


1
0
0
.
.
.
0


, e2 =


0
1
0
.
.
.
0


, · · · , en =


0
0
0
.
.
.
1


,
os vetores da base canônica do Rn.
Se X 1,X 2, . . . ,X n são n−soluções de (SLH) no intervalo (α ,β )
tais que X 1(t0) = e1,X 2(t0) = e2, . . . ,X n(t0) = en, então{
X 1,X 2, . . . ,X n
}
é um Conjunto Fundamental de Soluções de
(SLH) no intervalo (α ,β ).
Teoria Geral para um SLH
(SLH) X ′ = P(t)X .
A Solução Geral de (SLH).
Se
{
X 1,X 2, . . . ,X n
}
é um Conjunto Fundamental de Soluções
de (SLH) no intervalo (α ,β ), então a solução geral de (SLH)
no intervalo (α ,β ) é dada pela combinação linear
c1X 1(t)+c2X 2(t)+ · · ·+cnX n(t) ,
em que c1,c2, . . . ,cn são constantes reais arbitrárias.
Obs. O conjunto das soluções de (SHL) é um Espaço Vetorial
de dimensão n munido das operações usuais de multiplicação
de funções por escalares e soma de funções.
Exercício 3.
(a) Determine a solução geral do sistema do Exercício 2.
(b) Determine o Conjunto Fundamental de Soluções do
sistema do Exercício 2 tal que X 1(0) = e1 e X 2(0) = e2, em
que
{
e1, e2
}
é a base canônica de R2.
Teoria Geral para um SLH
Exercício 4.
Considere as funções vetoriais
X 1(t) =

 t
1

 e X 2(t) =

t
2
2t


.
(a) Calcule o Wronskiano de X 1 e X 2.
(b) Em que intervalos X 1 e X 2 são LI?
(c) Que conclusão se pode tirar dos coeficientes no (SLH) de
equações diferenciais satisfeito por X 1 e X 2?
(d) Obtenha o sistema e verifique as conclusões do item (c).