Aula19EDL-MatrizesFundamentais

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Equações Diferenciais Lineares
Aparecido J. de Souza
Aula 19 - Matrizes Soluções Fundamentais de Sistemas
Lineares
(SLH) X ′ = P(t)X
Suponha P(t) matriz n×n em que as entradas são funções
reais contínuas num intervalo (α ,β ).
Definição. Uma matrix Ψ(t) de funções reais n×n é uma
Matriz Solução Fundamental do sistema X ′ = P(t)X no
intervalo (α ,β ) se as suas n−colunas consistirem de
n−soluções do sistema X ′ = P(t)X , LI no intervalo (α ,β ).
Exemplo 1. O sistema
X ′ =

0 1 11 0 1
1 1 0

X
possui uma matriz solução fundamental dada por
Ψ(t) =

 e
−t 0 e2t
0 e−t e2t
−e−t −e−t e2t


.
(SLH) X ′ = P(t)X
Se Ψ(t) é uma Matriz Solução Fundamental de (SLH) no
intervalo (α ,β ), então a solução geral de (SHL) é dada por
X (t) = Ψ(t)C, em que C é um vetor de constantes.
Se X (t0) = X 0, então a solução do PVI é dada por
X (t) = Ψ(t) [Ψ(t0)]−1 X 0 .
Exemplo 2. Determine a solução do sistema do Exemplo 1 tal
que X (0) = (1,0,1)T .
Teorema. Uma matriz Ψ(t) é uma Matriz Solução Fundamental
do sistema X ′ = P(t)X se, e somente se, Ψ′(t) = P(t)Ψ(t) e
det (Ψ(t)) 6= 0.
Exemplo 3. Verifique o Teorema acima para o sistema do
Exemplo1.
A matriz exponencial de uma matriz
Obs. Se a ∈ R, então eta = 1+ t a+ 12! t2 a2 + · · ·+ 1k! tk ak + · · · .
Se A é uma matriz constante n×n, definimos a matriz
exponencial de tA:
et A = I+ t A+ 12! t
2 A2 + · · ·+ 1k ! t
k Ak + · · ·
Exemplo 4. Prove que et A é solução do PVI matricial
M ′(t) = AM(t) , M(0) = I .
Consequência: et A é a matriz solução fundamental do sistema
(SLHCC) X ′ = AX tal que para t0 = 0 coincide com a matriz
identidade.
Teorema Se Ψ(t) é uma matriz solução fundamental do
sistema (SLHCC) X ′ = AX , então
et A =Ψ(t) [Ψ(0)]−1 .
Propriedades da matriz exponencial et A
Exercícios. Se A e B são matrizes n×n constantes e r um
escalar. Prove as seguintes propriedades.
(P1) et(A+B) = et A et B se, e somente se, AB = BA.
(P2) ert I = ert I.
(P3) et(A+rI) = ert et A.
(P4) Se M é uma matriz inversível tal que B = M−1AM, então
etB = M−1et AM.
(P5) Se D é uma matriz diagonal com entradas diagonais
d11,d22, · · ·dnn , então et D também é uma matriz diagonal
cujas entradas diagonais são ed11t ,ed22t , · · · ,ednnt .
(P6) Se existir uma um inteiro k tal que Ak = 0, então a soma
que define a matriz et A é finita.
Autovetores Generalizados
Sejam r é um escalar (real ou complexo), V um vetor não nulo
de n componentes e A uma matriz real n×n.
Então
et A V = et (rI+A−rI) V = er tI et(A−rI) V =
er t
(
IV + t(A− rI)V + t
2
2! (A− rI)
2 V + · · ·+ t
k
k ! (A− rI)
k V + · · ·
)
.
Conclusão. Se existir k ∈ N tal que (A− rI)kV 6= 0, mas
(A− rI)k+1V = 0, então et A V será finita.
Definição. No caso da existência de um tal k ∈ N, o vetor V é
dito um autovetor generalizado de ordem k da matriz A
associado ao autovalor r .
Se k = 1, então V é um autovetor usual de A (simples).
Autovetores Generalizados
Definição. Um vetor não nulo V é um autovetor generalizado
de ordem k da matriz A associado ao autovalor r se
(A− rI)kV 6= 0, mas (A− rI)k+1V = 0.
Exemplo 5. A matriz

 5 −3 −28 −5 −4
−4 3 3

 possui r = 1 como um
autovalor de multiplicidade 3.
A matriz A possui dois autovetores simples associados à r = 1:
V 1 =

 02
−3

 e V 2 =

10
2


Obtenha um autovetor generalizado V 3 de ordem k = 2 que
seja LI com V 1 e com V 2.