Aula20EDL-SistemasResolucao2 (1)

Prévia do material em texto

Equações Diferenciais Lineares
Aparecido J. de Souza
Aula 20 - Sistemas Lineares Homogêneos - Resolução 2
Autovalores Repetidos
(SLHCC) X ′ = AX
Caso III: A matriz A possui algum autovalor repetido
r = r1 = r2 = · · ·= rm de multiplicidade m.
Suponha que r seja real (o caso complexo é uma junção deste
caso e do caso II).
Caso III-a: Se A possui m autovetores V 1, V 2, . . . ,V m, LI entre
si, associados à r , então
X 1(t) = ertV 1, X 2(t) = ertV 2, . . . ,X m(t) = ertV m
são m soluções LI do sistema (SLHCC).
Exemplo 1. Sabendo-se que A é uma matriz 3×3 com
autovalores r1 = r2 =−1 e r3 = 2, cujos vetores V 1 = (1,0,0)T
e V 2 = (1,1,0)T são autovetores associados ao autovalor
repetido r1 = r2 =−1 e que V 3 = (1,1,1)T é um autovetor
associado ao autovalor r3 = 2, escreva a solução geral do
sistema X ′ = AX .
(SLHCC) X ′ = AX
Caso III-b: A matriz A possui algum autovalor repetido
r = r1 = r2 = · · ·= rm de multiplicidade m, porém A só possui
m1 autovetores LI V 1,V 2, . . . ,V m1 , com 1 ≤ m1 < m,
associados à r .
Logo, temos m1 soluções de X ′ = AX dadas por
X 1(t) = ertV 1, X 2(t) = ertV 2, . . . ,X m1(t) = ertV m1
Problema: Como determinar as m−m1 soluções LI restantes?
Exemplo 2.
Como no Exemplo 5 da última aula: a matriz A é uma matriz
3×3 com autovalores r1 = r2 = r3 = 1, com apenas os
autovetores V 1 = (0,2,−3)T e V 2 = (1,0,2)T , LI entre si,
associados e um autovetor generalizado (de ordem 2)
V 3 = (1,0,0)T LI com V 1 e V 2.
Como obter as 3 soluções LI do sistema X ′ = AX?
(SLHCC) X ′ = AX
Caso III-b: A matriz A possui algum autovalor r repetido m
vezes, com m1 < m autovetores LI V 1,V 2, . . . ,V m1 (de ordem
k = 1) associados à r .
Assim, m1 soluções LI de X ′ = AX são dadas por
X 1(t) = ertV 1, X 2(t) = ertV 2, . . . ,X m1(t) = ertV m1 .
Problema: Como determinar as m−m1 soluções LI restantes?
Solução. Determine autovetores generalizados de ordem
k = 2 de A associados à r
(
(A− rI)V 6= 0, mas (A− rI)2V = 0
)
que sejam LI entre si e V 1,V 2, . . . ,V m1 . Digamos que foram
encontrados m2 vetores nestas condições:
V m1+1,V m1+2, . . . ,V m1+m2 .
Daí tem-se mais m2 soluções LI de X ′ = AX dadas por
X m1+j(t) = eAtV m1+j = ert e(A−rI)tV m1+j , ou seja,
X m1+j(t) = ert (I+ t (A− rI))V m1+j , j = 1,2, . . . ,m2 .
(SLHCC) X ′ = AX
Se m1 +m2 = m então o processo termina.
Porém, se m1 +m2 < m, então determina-se os autovetores
generalizados de A de ordem k = 3 associados à r(
(A− rI)2V 6= 0, mas (A− rI)3V = 0
)
LI entre si e
V 1,V 2, . . . ,V m1 ,V m1+1, . . .V m1+m2 .
Digamos que foram encontrados m3 vetores nestas condições:
V m1+m2+1,V m1+m2+2, . . . ,V m1+m2+m3 .
Daí tem-se mais m3 soluções LI de X ′ = AX dadas por
X m1+m2+j(t)= ert
(
I+ t (A− rI)+ t
2
2! (A− rI)
2
)
V m1+m2+j , j = 1, . . . ,m3
Se m1 +m2 +m3 = m então o processo termina.
Porém, se m1 +m2 +m3 < m, então o processo continua até
encontrar mq autovetores generalizados de ordem k = q tal
que m1 +m2 + · · ·+mq = m.
Exemplos
Exemplo 2(continuação).
Escreva a solução geral do sistema do Exemplo 2.
Exemplo 3.
Determine a matriz exponencial da matriz A =
(
4 −2
8 −4
)
e a
solução do PVI X ′ = AX , com X (0) = (1,1)T .
Exemplo 4.
Determine a solução geral do sistema


x ′ = x ,
y ′ = x +y ,
z ′ = y +z.
Se A é a matriz do sistema, escreva a matriz eA.