Aula21EDL-SistemasVariacaoParametros 2

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Equações Diferenciais Lineares
Aparecido J. de Souza
Aula 21 - Sistemas Lineares Não Homogêneos
Sistemas Lineares Não Homogêneos
(SLNH) X ′ = P(t)X +G(t).
P(t) matriz n×n e G(t) matriz n×1 (vetor) cujas entradas são
funções contínuas num intervalo (α ,β ).
Solução geral de (SLNH):
X (t) = c1X 1(t)+c2X 2(t)+ · · ·+cnX n(t)+Xp(t) ,
X 1, . . . ,X n soluções LI do (SLH) X ′ = P(t)X ,
Xp(t) solução particular do (SLNH) e
c1, . . .cn constantes reais.
(SLNH) X ′ = P(t)X +G(t)
Caso I. P(t)≡ A, em que A é uma matriz constante, com A
diagonalizável, isto é, A possui n autovetores V 1,V 2, . . .V n LI.
Seja T a matriz de autovetores de A que diagonaliza A, i.é.,
T =
(
V 1 V 2 · · · V n
)
n×n
e D = T−1AT ,
D =


d11 0 0 · · · 0
0 d22 0 · · · 0
.
.
.
0 0 0 · · · dnn

 .
Fazendo a mudança de variáveis X = TY , ou Y = T−1X , o
sistema se desacopla em n equações lineares (não
homogêneas) de primeira ordem de coeficientes constantes.
y ′j = djjyj +hj(t) , j = 1,2, . . . ,n.
(SLNH) X ′ = P(t)X +G(t)
Caso I. P(t)≡ A, em que A é uma matriz constante, com A
diagonalizável, isto é, A = TDT−1, com D diagonal.
T =
(
V 1 V 2 · · · V n
)
, V j , j = 1, . . .n, autovetores de A.
Mudança de variáveis X = TY , ou Y = T−1X .
y ′j = djjyj +hj(t) , j = 1,2, . . . ,n.
Exemplo 1. Resolva o PVI:
X ′ =
(
1 12
3 1
)
X +
(
1
t
)
, X (0) =
(
0
1
)
.
(SLNH) X ′ = P(t)X +G(t)
Caso II. O Método da variação dos parâmetros.
Seja Ψ(t) uma matriz solução fundamental de X ′ = P(t)X .
A solução geral do sistema homogêneo é
Xh(t) = Ψ(t)C, com C vetor constante.
Tente uma solução particular de (SLNH) da forma
Xp(t)=Ψ(t)U(t), com U(t) função vetorial a ser determinada.
Substitui Xp(t) em (SLNH):
X ′p(t) = Ψ′(t)U(t)+Ψ(t)U ′(t) = P(t)Ψ(t)U(t)+Ψ(t)U ′(t).
P(t)Xp(t)+G(t) = P(t)Ψ(t)U(t)+G(t) .
Daí
Ψ(t)U ′(t) = G(t), ou U ′(t) = [Ψ(t)]−1G(t) .
(SLNH) X ′ = P(t)X +G(t)
Caso II. O Método da variação dos parâmetros.
Ψ(t): matriz solução fundamental de X ′ = P(t)X .
Solução particular de (SLNH):
Xp(t)=Ψ(t)U(t), com U(t) função vetorial a ser determinada.
U ′(t) = [Ψ(t)]−1G(t) =⇒ U(t) =
∫
[Ψ(t)]−1G(t)dt + C˜ .
com C˜ um vetor de constantes. Tomando C˜ = 0:
Xp(t) = Ψ(t)
[∫
[Ψ(t)]−1G(t)dt
]
.
Logo a solução geral de (SLNH) é
X (t) = Xh(t)+Xp(t) = Ψ(t)
[
C+
∫
[Ψ(t)]−1G(t)dt
]
.
(SLNH) X ′ = P(t)X +G(t)
Caso II. O Método da variação dos parâmetros.
Ψ(t): matriz solução fundamental de X ′ = P(t)X .
Solução geral de (SLNH):
X (t) = Xh(t)+Xp(t) = Ψ(t)
[
C+
∫
[Ψ(t)]−1G(t)dt
]
.
C vetor de constantes.
Se P(t)≡ A, então a solução geral de X ′ = AX +G(t) fica:
X (t) = eAt
[
C+
∫
[eAt ]−1G(t)dt
]
= eAt
[
C+
∫
e−AtG(t)dt
]
,
pois [eAt ]−1 = e−At (Prove!).
(SLNH) X ′ = P(t)X +G(t)
Caso II. O Método da variação dos parâmetros.
Exemplo 2. Resolva:
X ′ =
(
4 5
−2 −2
)
X +
(
4etcos(t)
0
)
, X (0) =
(
0
0
)
.
Cálculos:
Autovalores de A: r1 = 1+ i , r2 = 1− i .
Autovetores de A associados à r1 = 1+ i :
V =
(
5
−3+ i
)
=
(
5
−3
)
+ i
(
0
1
)
. Solução complexa:
e(1+i)t
[(
5
−3
)
+ i
(
0
1
)]
=
et
[(
cos(t)
(
5
−3
)
−sen(t)
(
0
1
))
+ i
(
cos(t)
(
0
1
)
+sen(t)
(
5
−3
))]
.
(SLNH) X ′ = P(t)X +G(t)
Exemplo 2. (continuação) Soluções reais LI:
X 1(t)=et
(
5cos(t)
−3cos(t)−sen(t)
)
, X 2(t)=et
(
5sen(t)
cos(t)−3sen(t)
)
.
Matriz Solução Fundamental:
Ψ(t) = et

 5cos(t) 5sen(t)
−3cos(t)−sen(t) cos(t)−3sen(t)


.
Solução geral da equação homogênea:
Xh(t)=Ψ(t)C =et

 5cos(t) 5sen(t)
−3cos(t)−sen(t) cos(t)−3sen(t)



c1
c2


.
(SLNH) X ′ = P(t)X +G(t)
Exemplo 2. (continuação)
Solução particular do sistema não homogêneo:
Xp(t) = Ψ(t)U(t), tal que Ψ(t)U ′(t) = G(t), ou seja,
et

 5cos(t) 5sen(t)
−3cos(t)−sen(t) cos(t)−3sen(t)



u
′
1(t)
u′2(t)

=

4e
tcos(t)
0


Resolvendo este sistema para u′1(t) e u′2(t), obtem-se
u′1(t) =
1
5
(
4cos2(t)−12sen(t)cos(t)
)
,
u′2(t) =
1
5
(
12cos2(t)+4cos(t)sen(t)
)
.
(SLNH) X ′ = P(t)X +G(t)
Exemplo 2. (continuação)
Integrando u′1(t) e u′2(t), obtemos
u1(t) =
1
5
(
2t +sen(2t)−6sen2(t)
)
,
u2(t) =
1
5
(
6t +3sen(2t)+2sen2(t)
)
.
Daí, uma solução particular do sistema não homogêneo é
Xp(t) = Ψ(t)U(t) =
et
[(
2t [cos(t)+sen(t)]
−4tsen(t)
)
+
(
[cos(t)+3sen(t)]sen(2t)−2 [3cos(t)+sen(t)]sen2(t)
4cos(t)sen2(t)−2sen(t)sen(2t)
)]
.
(SLNH) X ′ = P(t)X +G(t)
Exemplo 2. (continuação)
Susbtituindo a condição inicial X (0) = (0,0)T na solução geral
do sistema não homogêneo, dada por
Xg(t) = Xh(t)+Xp(t) = Ψ(t)C+Xp(t), obtemos que C = (0,0)T
e portanto a solução do PVI proposto é.
X (t) =et
[(
2t [cos(t)+sen(t)]
−4tsen(t)
)
+
(
[cos(t)+3sen(t)]sen(2t)−2 [3cos(t)+sen(t)]sen2(t)
4cos(t)sen2(t)−2sen(t)sen(2t)
)]
.
(SLNH) X ′ = P(t)X +G(t)
Caso II. O Método da variação dos parâmetros.
Exemplo 3. Resolva:
X ′ =

1 0 02 1 −2
3 2 1

X +

 00
etcos(2t)


, X (0) =

01
1


.
Cálculos:
Autovalores de A: r1 = 1, r2 = 1+2 i , r3 = 1−2 i .
Autovetores de A associados à r1 = 1: v1 =

 2−3
2


Autovetoresde A associados à r2 = 1+2 i : V =

 01
−i


(SLNH) X ′ = P(t)X +G(t)
Cálculos:
Matriz Solução Fundamental de A:
Ψ(t)=

 2e
t 0 0
−3et etcos(2t) etsen(2t)
2et etsen(2t) −etcos(2t)


, [Ψ(0)]−1 =


1
2 0 0
3
2 1 0
1 0 −1


.
Matriz exponencial de A: eAt =Ψ(t)[Ψ(0)]−1 =
et

 1 0 0−3
2 +
3
2cos(2t)+sen(2t) cos(2t) −sen(2t)
1+ 32sen(2t)−cos(2t) sen(2t) cos(2t)


.
A solução do PVI dado é X (t) =
eAt
[
X (0)+
∫ t
0
e−AsG(s)ds
]
=et

 0cos(2t)− (1+ 12 t)sen(2t)
(1+ 12 t)cos(2t)+
5
4sen(2t)


.