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Equações Diferenciais Lineares Aparecido J. de Souza Aula 22 - Sistemas Lineares Não Homogêneos. Método dos Coeficientes a Determinar. Caso III - Coeficientes a determinar (SLNHCC) X ′ = AX +G(t). A: matriz n×n de constantes e G(t): matriz n×1 (vetor) cujas entradas são funções contínuas num intervalo (α ,β ). Recomendado quando o termo não homogêneo G(t) pode ser expresso como uma soma de funções vetoriais envolvendo produtos de polinômios, exponenciais, senos e cossenos. Caso III.1 G(t) = a0tm +a1tm−1 + · · ·+am−1t +am, a0, . . . ,am vetores constantes dados. Solução particular: Xp(t) = A0tm +A1tm−1 + · · ·+Am−1t +Am , com A0, . . .Am vetores constantes a serem determinados. Restrição: r = 0 não deve ser autovalor de A. Caso III - Coeficientes a determinar (SLNHCC) X ′ = AX +G(t). Caso III.1 G(t) = a0tm +a1tm−1 + · · ·+am−1t +am, a0, . . . ,am vetores constantes dados. Solução particular: Xp(t) = A0tm +A1tm−1 + · · ·+Am−1t +Am . Exemplo 1. Determine uma solução particular de X ′ = ( −1 2 −1 1 ) + ( −8 3 ) . Exemplo 2. Determine a solução geral de{ x ′ = 6x +y +6 t , y ′ = 4x +3y −10 t +4 . Caso III - Coeficientes a determinar (SLNHCC) X ′ = AX +G(t). Caso III.1 G(t) = a0tm +a1tm−1 + · · ·+am−1t +am, a0, . . . ,am vetores constantes dados. Exemplo 3 (restrição r = 0 é autovalor de A). Determine uma solução particular de { x ′ = x −y +3 , y ′ = −x +y −5 . Sugestão: Tente Xp(t) = A0 + tA1. Caso III - Coeficientes a determinar (SLNHCC) X ′ = AX +G(t). Caso III.2 G(t) = eαt (a0tm +a1tm−1 + · · ·+am−1t +am) , Solução particular: Xp(t) = eαt(A0tm +A1tm−1 + · · ·+Am−1t +Am) , com A0, . . .Am vetores constantes a serem determinados. Exemplo 4. Determine a forma indicada para obter uma solução particular de { x ′ = 5x +3y −2e−t +1 , y ′ = −x +y +e−t −5t +7 . Caso III - Coeficientes a determinar (SLNHCC) X ′ = AX +G(t). Caso III.2 G(t) = eαt (a0tm +a1tm−1 + · · ·+am−1t +am) . Restrição: α é autovalor de A. Solução particular: Xp(t) = eαt [A0tm + · · ·+Am + t(B0tm + · · ·+Bm)] , com A0, . . .Am, B0, . . .Bm vetores constantes a serem determinados. Exemplo 5. Determine a forma indicada para obter uma solução particular de{ x ′ = 5x +3y −2e2t +1 , y ′ = −x +y +e−t −5t +7 . Caso III - Coeficientes a determinar Caso III.3 G(t) = eαt (a0tm +a1tm−1 + · · ·+am−1t +am)cos(β t) ,ou G(t) = eαt (a0tm +a1tm−1 + · · ·+am−1t +am)sen(β t) . Solução particular: Xp(t) = eαt [ (A0tm +A1tm−1 + · · ·+Am−1t +Am)cos(β t) + (B0tm +B1tm−1 + · · ·+Bm−1t +Bm)sen(β t) ] . com A0, . . . ,Am, B0, . . . ,Bm vetores constantes a determinar. Exemplo 6. Determine a forma indicada para obter uma solução particular de{ x ′ = −x +5y +sen(t) , y ′ = −x +y −2cos(t) . Caso III - Coeficientes a determinar Caso III.3 Restrição. Se α + iβ for autovalor de A. Solução particular: Xp(t) = eαt [ (A0tm +A1tm−1 + · · ·+Am−1t +Am)cos(β t) + (B0tm +B1tm−1 + · · ·+Bm−1t +Bm)sen(β t) ] + teαt [ (C0tm +C1tm−1 + · · ·+Cm−1t +Cm)cos(β t) + (D0tm +D1tm−1 + · · ·+Dm−1t +Dm)sen(β t) ] . com A0, . . . ,Am, B0, . . . ,Bm, C0, . . . ,Cm, D0, . . . ,Dm vetores constantes a determinar. Exemplo 7. Determine a forma indicada para obter uma solução particular de{ x ′ = −x +5y +sen(2t) , y ′ = −x +y −2cos(2t) .
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