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Equações Diferenciais Lineares
Aparecido J. de Souza
Aula 22 - Sistemas Lineares Não Homogêneos.
Método dos Coeficientes a Determinar.
Caso III - Coeficientes a determinar
(SLNHCC) X ′ = AX +G(t).
A: matriz n×n de constantes e G(t): matriz n×1 (vetor) cujas
entradas são funções contínuas num intervalo (α ,β ).
Recomendado quando o termo não homogêneo G(t) pode ser
expresso como uma soma de funções vetoriais envolvendo
produtos de polinômios, exponenciais, senos e cossenos.
Caso III.1 G(t) = a0tm +a1tm−1 + · · ·+am−1t +am,
a0, . . . ,am vetores constantes dados.
Solução particular:
Xp(t) = A0tm +A1tm−1 + · · ·+Am−1t +Am ,
com A0, . . .Am vetores constantes a serem determinados.
Restrição: r = 0 não deve ser autovalor de A.
Caso III - Coeficientes a determinar
(SLNHCC) X ′ = AX +G(t).
Caso III.1 G(t) = a0tm +a1tm−1 + · · ·+am−1t +am,
a0, . . . ,am vetores constantes dados.
Solução particular:
Xp(t) = A0tm +A1tm−1 + · · ·+Am−1t +Am .
Exemplo 1. Determine uma solução particular de
X ′ =
(
−1 2
−1 1
)
+
(
−8
3
)
.
Exemplo 2. Determine a solução geral de{
x ′ = 6x +y +6 t ,
y ′ = 4x +3y −10 t +4 .
Caso III - Coeficientes a determinar
(SLNHCC) X ′ = AX +G(t).
Caso III.1 G(t) = a0tm +a1tm−1 + · · ·+am−1t +am,
a0, . . . ,am vetores constantes dados.
Exemplo 3 (restrição r = 0 é autovalor de A). Determine uma
solução particular de {
x ′ = x −y +3 ,
y ′ = −x +y −5 .
Sugestão: Tente Xp(t) = A0 + tA1.
Caso III - Coeficientes a determinar
(SLNHCC) X ′ = AX +G(t).
Caso III.2
G(t) = eαt (a0tm +a1tm−1 + · · ·+am−1t +am) ,
Solução particular:
Xp(t) = eαt(A0tm +A1tm−1 + · · ·+Am−1t +Am) ,
com A0, . . .Am vetores constantes a serem determinados.
Exemplo 4.
Determine a forma indicada para obter uma solução particular
de {
x ′ = 5x +3y −2e−t +1 ,
y ′ = −x +y +e−t −5t +7 .
Caso III - Coeficientes a determinar
(SLNHCC) X ′ = AX +G(t).
Caso III.2
G(t) = eαt (a0tm +a1tm−1 + · · ·+am−1t +am) .
Restrição: α é autovalor de A.
Solução particular:
Xp(t) = eαt [A0tm + · · ·+Am + t(B0tm + · · ·+Bm)] ,
com A0, . . .Am, B0, . . .Bm vetores constantes a serem
determinados.
Exemplo 5. Determine a forma indicada para obter uma
solução particular de{
x ′ = 5x +3y −2e2t +1 ,
y ′ = −x +y +e−t −5t +7 .
Caso III - Coeficientes a determinar
Caso III.3
G(t) = eαt (a0tm +a1tm−1 + · · ·+am−1t +am)cos(β t) ,ou
G(t) = eαt (a0tm +a1tm−1 + · · ·+am−1t +am)sen(β t) .
Solução particular:
Xp(t) = eαt
[
(A0tm +A1tm−1 + · · ·+Am−1t +Am)cos(β t) +
(B0tm +B1tm−1 + · · ·+Bm−1t +Bm)sen(β t)
]
.
com A0, . . . ,Am, B0, . . . ,Bm vetores constantes a determinar.
Exemplo 6. Determine a forma indicada para obter uma
solução particular de{
x ′ = −x +5y +sen(t) ,
y ′ = −x +y −2cos(t) .
Caso III - Coeficientes a determinar
Caso III.3 Restrição. Se α + iβ for autovalor de A.
Solução particular:
Xp(t) = eαt
[
(A0tm +A1tm−1 + · · ·+Am−1t +Am)cos(β t) +
(B0tm +B1tm−1 + · · ·+Bm−1t +Bm)sen(β t)
]
+
teαt
[
(C0tm +C1tm−1 + · · ·+Cm−1t +Cm)cos(β t) +
(D0tm +D1tm−1 + · · ·+Dm−1t +Dm)sen(β t)
]
.
com A0, . . . ,Am, B0, . . . ,Bm, C0, . . . ,Cm, D0, . . . ,Dm vetores
constantes a determinar.
Exemplo 7. Determine a forma indicada para obter uma
solução particular de{
x ′ = −x +5y +sen(2t) ,
y ′ = −x +y −2cos(2t) .

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