l4_EqExatas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
UNIDADE ACADEˆMICA DE MATEMA´TICA E ESTATI´STICA
DISCIPLINA: EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS LINEARES
Aluno(a):
Lista de Exerc´ıcios n04 - Equac¸o˜es de Primeira Ordem Exatas
(01.) Determine se cada uma das equac¸o˜es a seguir sa˜o exatas. Para aquelas que forem
exatas, encontre a soluc¸a˜o geral.
(a) (2x+ 4y) + (2x− 2y)y′ = 0 , (b) (3x2 − 2xy + 2)dx+ (6y2 − x2 + 2)dy = 0 ,
(c)
dy
dx
= −
ax+ by
bx+ cy
, (d) (exsen(y)− 2ysen(x)) dx− (excos(y) + 2cos(x)) dy = 0 ,
(e)
dy
dx
= −
ax− by
bx− xy
, (f) (exsen(y) + 3y) dx− (3x− exsen(y)) dy = 0 .
02. Nos itens a seguir, resolva o problema de valor inicial e determine, pelo menos apro-
ximadamente, o intervalo onde a soluc¸a˜o e´ va´lida.
(a) (2x− y)dx+ (2y − x)dy = 0, y(1) = 3 ,
(b) (9x2 + y − 1)dx− (4y − x)dy = 0, y(1) = 0 .
03. Nos itens a seguir, encontre o valor de b para que a equac¸a˜o seja exata e, enta˜o usando
este valor, determine a soluc¸a˜o geral da mesma.
(a) (xy2 + bx2y)dx+ (x+ y)x2dy = 0 , (b) (ye2xy + x)dx+ bxe2xydy = 0 .
04. Nos itens a seguir mostre que as equac¸o˜es na˜o sa˜o exatas, mas tornam-se exatas ao
serem multiplicadas pelo fator integrante µ indicado. Depois determine a soluc¸a˜o geral
das equac¸o˜es.
(a)x2y3 + x(1 + y2)y′ = 0, µ(x, y) = 1/xy3 ,
(b) ydx+ (2x− yey)dy = 0, µ(x, y) = y .
05. Nos itens a seguir determine um fator integrante e determine a soluc¸a˜o geral da
equac¸a˜o dada.
(a) (3x2y + 2xy + y3)dx+ (x2 + y2)dy = 0 , (b) y′ = e2x + y − 1 ,
(c) dx+ (x/y − sen(y))dy = 0 , (d) ydx+ (2xy − e−2y)dy = 0 .
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