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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
UNIDADE ACADEˆMICA DE MATEMA´TICA
DISCIPLINA: EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS LINEARES
Aluno(a):
Lista de Exerc´ıcios n05
Soluc¸o˜es Fundamentais das Equac¸o˜es Lineares de Segunda Ordem
01. Nos itens a seguir determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial
dado possui uma u´nica soluc¸a˜o sem determinar tal soluc¸a˜o.
(a) ty′′ + 3y = t , y(1) = 1, y′(1) = 2;
(b) (t − 1)y′′ − 3ty′ + 4y = sen(t) , y(−2) = 2, y′(−2) = 1;
(c) y′′ + (cos(t)) y′ + 3 (ln|t|) y = 0 , y(2) = 3, y′(2) = 1;
(d) (t − 2)y′′ + y′ + (t − 2) tg(t)y′ = 0 , y(3) = 1, y′(3) = 2 .
02. Verifique que as func¸o˜es y1(t) = 1 e y2(t) = t
1/2 sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial
y y′′ + (y′)2 = 0, para t > 0. Depois verifique que c1 y1(t) + c2 y2(t) na˜o e´ em geral
soluc¸a˜o desta mesma equac¸a˜o. Em seguida explique porque esse fato na˜o contradiz o
Princ´ıpio da Superposic¸a˜o visto em sala de aula.
03. Seja y1(t) uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial y
′′ + p(t) y′ + q(t) y = g(t), em que g(t)
na˜o e´ identicamente nula. Seja y2(t) = c y1(t), com c 6= 1. Verifique que y2(t) na˜o e´
soluc¸a˜o desta mesma equac¸a˜o. Em seguida explique porque esse fato na˜o contradiz o
Princ´ıpio da Superposic¸a˜o visto em sala de aula.
04. A func¸a˜o y = sen(t2) pode ser soluc¸a˜o de uma equac¸a˜o diferencial da forma ay′′ +
by′ + cy = 0, (a 6= 0, b, c constantes), em um intervalo contendo t = 0? Explique a
sua resposta.
05. Conhecendo-se o wronskiano W [y1, y2](t) e a func¸a˜o y1(t), encontre a func¸a˜o y2(t) em
cada um dos itens a seguir:
(a) W [y1, y2](t) = 3 e
4t e y1(t) = e
2t, (b) W [y1, y2](t) = t
2 et e y1(t) = t.
06. Se W [y1, y2](t) e´ o wronskiano de y1(t) e y2(t), e se u1(t) = 2y1(t) − y2(t), u2(t) =
y1(t) + 2y2(t), encontre o wronskiano W [u1, u2](t) em termos de W [y1, y2](t).
07. Se o wronskiano de y1(t) e y2(t) e´ t cos(t)− sen(t) e se u1(t) = y1(t) + 3y2(t), u2(t) =
y1(t)− y2(t), encontre o wronskiano de u1(t) e u2(t),
08. Dados os wronskianos a seguir, determine em quais intervalos as func¸o˜es y1(t) e y2(t)
sa˜o LI.
(a)W [y1, y2](t) = t sen
2(t) , (b)W [y1, y2](t) = t
2 − 4 .
09. Seja y1(t) e y2(t) duas soluc¸o˜es linearmente independentes da equac¸a˜o diferencial
y′′ + p(t)y′ + q(t)y = 0. Prove que y3(t) = y1(t)+ y2(t) e y4(t) = y1(t)− y2(t) tambe´m
sa˜o soluc¸o˜es linearmente independentes desta mesma equac¸a˜o diferencial.
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