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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE UNIDADE ACADEˆMICA DE MATEMA´TICA E ESTATI´STICA DISCIPLINA: EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS LINEARES Aluno(a): Lista de Exerc´ıcios n06 - Resoluc¸a˜o de Equac¸o˜es de Segunda Ordem 01. Determine o conjunto fundamental de soluc¸o˜es {y1, y2} tal que y1(t0) = 1, y ′ 1 (t0) = 0 e y2(t0) = 0, y ′ 2 (t0) = 1, para as equac¸o˜es diferenciais a seguir com o t0 dado. (a) y′′ + y′ − 2y = 0 , t0 = 0 , (b) y′′ + 4y = 0 , t0 = 0 , (c) y′′ + 4y′ + 4y = 0 , t0 = −1 . 02. Nos itens a seguir encontre a soluc¸a˜o geral das equac¸o˜es diferenciais dadas. (a) y′′ + 2y′ − 3y = 0 , (b)4y′′ + 12y′ + 9y = 0 , (c)y′′ + 2y′ − 8y = 0 , (d)y′′ + 6y′ + 13y = 0 , (e)y′′ + 2y′ + 2y = 0 , (f)y′′ − 6y′ + 9y = 0 . 03. Nos itens a seguir, resolva o problema de valor inicial, esboce o gra´fico da soluc¸a˜o e descreva o comportamento da soluc¸a˜o quando t→∞. (a) y′′ + 4y′ + 4y = 0 , y(−1) = 2, y′(−1) = 1 , (b) y′′ + y′ + 1, 25y = 0 , y(0) = 3, y′(0) = 1 , (c) y′′ + 3y′ = 0 , y(0) = −2, y′(0) = 3 , (d) y′′ + 2y′ + 2y = 0 , y(pi/4) = 2, y′(pi/4) = −2 , (e) y′′ + y′ − 2y = 0 , y(0) = 1, y′(0) = 1 , (f) y′′ − 6y′ + 9y = 0 , y(0) = 0, y′(0) = 2 . 04. Determine a soluc¸a˜o do problema de valor incial 2y′′ − 3y′ + y = 0 , y(0) = 2, y′(0) = 1/2 . Depois determine o valo ma´ximo que a soluc¸a˜o assume e encontre tambe´m o ponto onde a soluc¸a˜o se anula. Em seguida esboce o gra´fico da soluc¸a˜o. 05. Seja α uma constante. Determine a soluc¸a˜o do problema de valor incial y′′ − y′ − 2y = 0 , y(0) = α, y′(0) = 2 . Depois determine valores de α de modo que a soluc¸a˜o tenta a zero quando t→∞. 1 06. Seja α uma constante. Determine os valores de α, se existirem, para os quais todas as soluc¸o˜es tendem a zero quando t → ∞; determine tambe´m os valores de α, se existirem, para os quais todas as soluc¸o˜es na˜o nulas tornam-se ilimitadas quando t→∞, (a) y′′ − (2α− 1)y′ + α(α− 1)y = 0 , (b) y′′ + (3− α)y′ − 2(α− 1)y = 0 . 07. Considere o PVI 3y′′ − y′ + 2y = 0, y(0) = 2, y′(0) = 0. Determine a soluc¸a˜o deste problema e tambe´m o primeiro istante t tal que |y(t)| = 10. 08. Considere o PVI y′′ + 2y′ + 6y = 0, y(0) = 2, y′(0) = α ≥ 0. (a) Determine a soluc¸a˜o deste problema; (b) Determine α tal que y(1) = 0; (c) Determine o menor valor positivo de t, em func¸a˜o de α, para o qual y(t) = 0; (d) Determine o limite da expressa˜o encontrada no item (c) quando α→∞. 09. Considere o PVI 4y′′ + 12y′ + 9y = 0, y(0) = 1, y′(0) = −4. (a) Determine a soluc¸a˜o deste problema e fac¸a o gra´fico de sua soluc¸a˜o para 0 ≤ t ≤ 5; (b) Determine o valor de t tal que y(t) = 0; (c) Determine as coordenadas (t0, y0) onde a soluc¸a˜o tem um ponto de mı´nimo; (d) Fac¸a y′(0) = b (b constante) e determine a soluc¸a˜o em termos de b; depois de- termine o valor de b que separa as soluc¸o˜es que permanecem positivas das que acabam se tornando negativas. 10. Use o me´todo da reduc¸a˜o de ordem para encontrar uma segunda soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial dada. (a) ty′′ − 4ty′ + 6y = 0 , t > 0 , y1(t) = t 2 , (b) t2y′′ + 2ty′ − 2y = 0, t > 0 , y1(t) = t , (c) (t− 1)y′′ − ty′ + y = 0 , t > 1 , y1(t) = e t , (d) t2y′′ − (t− 0, 1875)y = 0 , t > 0 , y1(t) = t 1/4 e2 √ t . 2
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