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l6_EqSegOrdem

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
UNIDADE ACADEˆMICA DE MATEMA´TICA E ESTATI´STICA
DISCIPLINA: EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS LINEARES
Aluno(a):
Lista de Exerc´ıcios n06 - Resoluc¸a˜o de Equac¸o˜es de Segunda Ordem
01. Determine o conjunto fundamental de soluc¸o˜es {y1, y2} tal que y1(t0) = 1, y
′
1
(t0) = 0
e y2(t0) = 0, y
′
2
(t0) = 1, para as equac¸o˜es diferenciais a seguir com o t0 dado.
(a) y′′ + y′ − 2y = 0 , t0 = 0 ,
(b) y′′ + 4y = 0 , t0 = 0 ,
(c) y′′ + 4y′ + 4y = 0 , t0 = −1 .
02. Nos itens a seguir encontre a soluc¸a˜o geral das equac¸o˜es diferenciais dadas.
(a) y′′ + 2y′ − 3y = 0 , (b)4y′′ + 12y′ + 9y = 0 , (c)y′′ + 2y′ − 8y = 0 ,
(d)y′′ + 6y′ + 13y = 0 , (e)y′′ + 2y′ + 2y = 0 , (f)y′′ − 6y′ + 9y = 0 .
03. Nos itens a seguir, resolva o problema de valor inicial, esboce o gra´fico da soluc¸a˜o e
descreva o comportamento da soluc¸a˜o quando t→∞.
(a) y′′ + 4y′ + 4y = 0 , y(−1) = 2, y′(−1) = 1 ,
(b) y′′ + y′ + 1, 25y = 0 , y(0) = 3, y′(0) = 1 ,
(c) y′′ + 3y′ = 0 , y(0) = −2, y′(0) = 3 ,
(d) y′′ + 2y′ + 2y = 0 , y(pi/4) = 2, y′(pi/4) = −2 ,
(e) y′′ + y′ − 2y = 0 , y(0) = 1, y′(0) = 1 ,
(f) y′′ − 6y′ + 9y = 0 , y(0) = 0, y′(0) = 2 .
04. Determine a soluc¸a˜o do problema de valor incial
2y′′ − 3y′ + y = 0 , y(0) = 2, y′(0) = 1/2 .
Depois determine o valo ma´ximo que a soluc¸a˜o assume e encontre tambe´m o ponto
onde a soluc¸a˜o se anula. Em seguida esboce o gra´fico da soluc¸a˜o.
05. Seja α uma constante. Determine a soluc¸a˜o do problema de valor incial
y′′ − y′ − 2y = 0 , y(0) = α, y′(0) = 2 .
Depois determine valores de α de modo que a soluc¸a˜o tenta a zero quando t→∞.
1
06. Seja α uma constante. Determine os valores de α, se existirem, para os quais todas
as soluc¸o˜es tendem a zero quando t → ∞; determine tambe´m os valores de α, se
existirem, para os quais todas as soluc¸o˜es na˜o nulas tornam-se ilimitadas quando
t→∞,
(a) y′′ − (2α− 1)y′ + α(α− 1)y = 0 , (b) y′′ + (3− α)y′ − 2(α− 1)y = 0 .
07. Considere o PVI 3y′′ − y′ + 2y = 0, y(0) = 2, y′(0) = 0. Determine a soluc¸a˜o deste
problema e tambe´m o primeiro istante t tal que |y(t)| = 10.
08. Considere o PVI y′′ + 2y′ + 6y = 0, y(0) = 2, y′(0) = α ≥ 0.
(a) Determine a soluc¸a˜o deste problema;
(b) Determine α tal que y(1) = 0;
(c) Determine o menor valor positivo de t, em func¸a˜o de α, para o qual y(t) = 0;
(d) Determine o limite da expressa˜o encontrada no item (c) quando α→∞.
09. Considere o PVI 4y′′ + 12y′ + 9y = 0, y(0) = 1, y′(0) = −4.
(a) Determine a soluc¸a˜o deste problema e fac¸a o gra´fico de sua soluc¸a˜o para 0 ≤ t ≤ 5;
(b) Determine o valor de t tal que y(t) = 0;
(c) Determine as coordenadas (t0, y0) onde a soluc¸a˜o tem um ponto de mı´nimo;
(d) Fac¸a y′(0) = b (b constante) e determine a soluc¸a˜o em termos de b; depois de-
termine o valor de b que separa as soluc¸o˜es que permanecem positivas das que
acabam se tornando negativas.
10. Use o me´todo da reduc¸a˜o de ordem para encontrar uma segunda soluc¸a˜o da equac¸a˜o
diferencial dada.
(a) ty′′ − 4ty′ + 6y = 0 , t > 0 , y1(t) = t
2 ,
(b) t2y′′ + 2ty′ − 2y = 0, t > 0 , y1(t) = t ,
(c) (t− 1)y′′ − ty′ + y = 0 , t > 1 , y1(t) = e
t ,
(d) t2y′′ − (t− 0, 1875)y = 0 , t > 0 , y1(t) = t
1/4 e2
√
t .
2

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