l11_SistemasTGeral(2)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
UNIDADE ACADEˆMICA DE MATEMA´TICA -UAMat
DISCIPLINA: EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS LINEARES
Aluno(a):
Lista de Exerc´ıcios n011
Teoria Geral dos Sistemas Lineares
(01.) Nos itens a seguir transforme a equac¸a˜o dada num sistema de equac¸o˜es lineares de
primeira ordem.
(a) y′′ + 0, 5y + 2y = t , (b) t2y′′ + ty′ + sen(t)y = cos(t) ,
(c) y′′′ + ty′ + t2y′ + t3y = ln(t) , (d) y(4) − y = 0 .
(02.) Nos itens a seguir transforme o PVI para cada equac¸a˜o num PVI para um sistema de
equac¸o˜es de primeira ordem.
(a) y′′ + 0, 25y′ + 4y = 2cos(3t), y(0) = 1, y′(0) = −2,
(b) y′′ + p(t)y′ + q(t)y = g(t), y1(0) = y0, y
′(0) = y1.
(03.) Transforme o par de equac¸o˜es de segunda ordem
y′′ + 3z′ + 2y = 0 , z′′ + 3y′ + 2z = 0
num sistema de quatro equac¸o˜es de primeira ordem nas varia´veis
x1 = y, x2 = y
′, x3 = z, x4 = z
′ .
(04.) Considere as func¸o˜es vetoriais
X1(t) =
(
t
1
)
, X2(t) =
(
t2
2t
)
.
(a) Calcule o Wronskiano de X1 e X2;
(b) Em quais intervalos X1 e X2 sa˜o L.I.?
(c) Que conclusa˜o se pode tirar sobre os coeficientes do sistema de equac¸o˜es diferen-
ciais satisfeito por X1 e X2?
(d) Encontre este sistema de equac¸o˜es diferenciais e verifique a conclusa˜o de (c).
(05.) Considere as func¸o˜es vetoriais
X1(t) =
(
t2
2t
)
, X2(t) =
(
et
et
)
.
Responda as mesmas perguntas do Exerc´ıcio (04).
1
(06.) Determine os conjuntos fundamentais de soluc¸o˜es dos sistemas obtidos nos itens (d)
dos exerc´ıcios (04) e (05) tais que
X1(1) =
(
1
0
)
, X2(1) =
(
0
1
)
.
(07.) Verifique se as func¸o˜es dadas formam um Conjunto Fundamental de Soluc¸o˜es para os
sistemas correspondentes. Se sim, escreva a soluc¸a˜o geral do mesmo.
(a)X1(t) =
(
et
−et
)
, X2(t) =
(
e−t
e−t
)
, X ′ =
(
0 −1
−1 0
)
X .
(b)X1(t) =
(
2e7t
e7t
)
, X2(t) =
(
−2e−5t
e−5t
)
, X3(t) =
(
2e7t − 2e−5t
e7t + e−5t
)
, X ′ =
(
1 12
3 1
)
X .
(c)X1(t) =

 e
2t
e2t
0

 , X2(t) =

 0e4t
e4t

 , X3(t) =

 e
6t
0
e6t

 , X ′ =

 4 −2 2
−1 3 1
1 −1 5

X .
(d)X1(t) =

 e
−2t
e−2t
e−2t

 , X2(t) =

 e
2t
−e2t
e2t

 , X3(t) =

−e
−4t
e−4t
e−4t

 , X ′ =

−3 −2 31 0 −3
1 −2 −1

X.
(e)X1(t) =

 e
−3t
e−3t
0

 , X2(t) =

 0e−5t
e−5t

 , X ′ =

−5 2 −21 −4 −1
−1 1 −6

X.
2