Medidas de tendências central

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FACULDADE INTEGRADA DE PERNAMBUCO
Medidas de tendência central
Profª. Drª. Alicely Araújo Correia
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Ou medidas de posição, são medidas, isto é, estatísticas, cujos valores estão próximos do centro de um conjunto de dados. Procuram definir um valor que represente os dados
As medidas de tendência central que abordaremos são:
Média Aritmética
Mediana
Moda
 Medidas de tendência central
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Utilizaremos o símbolo μ para denotar a média populacional, isto é, a média da variável de interesse observada para todos os indivíduos da população, e, utilizaremos o símbolo X para denotar a média da variável de interesse na amostra.
 Média Aritmética 
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A média aritmética é o valor que pode substituir todos os valores da variável, isto é, é o valor que a variável teria se, em vez de variável, ela fosse constante.
Esta estatística é muito usada e fornece uma ideia geral dos valores de uma amostra. Para o cálculo da média é necessário conhecer todos os valores dos dados da amostra, por este motivo ela é uma medida de posição que é afetada pela presença de valores discrepantes dentro da amostra.
 Média Aritmética...
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média aritmética de um 
conjunto de dados (= valores)
 Média Aritmética...
Quantidade de valores,
isto é, o número de parcelas
Soma de todos
os valores
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Exemplo: a média aritmética de 2, 5, 8, 13, 14, 15, 20, 30, 46, 47 é:
 Média Aritmética...
X = 2 + 5 + 8 + 13 + 14 + 15 + 20 + 30 + 46 + 47 = 200 = 20
 10				10
Então: = 200, n = 10 e X = 20
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Na economia aplicada surgem muitas situações em que se deseja 
levar em conta a importância relativa de diferentes quantidades ao se calcular uma média. Seja x1 , x2 , ... xn um conjunto de números e w1 , w2, ... wn um segundo conjunto de números denominados pesos (ou freqüências). Define-se a média ponderada 
como:
 Média Ponderada
A média ponderada é muito utilizada em números-índices. A média aritmética é um caso especial da média ponderada, em que todos os pesos são iguais a 1.
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 Média Ponderada...
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Quando os dados estão dispostos em uma tabela de freqüências por
valores, a média aritmética pode ser obtida através de
Média Aritmética de Dados Tabulados
Não-agrupados em Classes
no caso populacional, em que N representa o número de indivíduos da população e f1; ... ; fk são as freqüências simples absolutas dos k valores. Ou, por
no caso amostral, em que n representa o número de indivíduos da Amostra e f1; ... ; fk são as freqüências simples absolutas dos k valores.
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Exemplo:
Tabela: Número de dentes com cárie em amostra de crianças de 7 anos de idade da segunda série do colégio XYZ. Setembro de 2010
Obtemos o número médio de dentes com cárie por:
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Média Aritmética de Dados Tabulados
agrupados em Classes
Quando os dados estão dispostos em uma tabela de freqüências por
classes, a média aritmética pode ser obtida através de
no caso populacional, em que os xi 's são os pontos médios das classes, N representa o número de indivíduos da população e f1; ... ; fk são as freqüências simples absolutas das k classes. Ou, por
no caso amostral, em que os xi 's são os pontos médios das classes,
n representa o número de indivíduos da amostra e f1; ... ; fk são as freqüências simples absolutas das k classes.
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Exemplo:
Tabela: Casos de AIDS (x1000) segundo faixa etária. Recife, 2010
Neste exemplo, podemos obter a média aritmética fazendo
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 Vantagens e desvantagens da média
É a medida mais conhecida e de maior uso;
É facilmente calculável;
Pode ser tratada algebricamente;
Serve para compararmos conjuntos semelhantes;
É particularmente indicada para dados que possuem os valores simétricos em relação a um valor médio e de frequência máxima;
É uma medida de tendência central que por uniformizar os valores de um conjunto de dados, não representa bem os conjuntos que revelam tendências extremas. Ou seja, é grandemente influenciada pelos valores extremos (grandes) do conjunto;
Não pode ser calculada para distribuições de freqüências com limites indeterminados (indefinidos);
Só deve ser utilizada quando a distribuição dos dados for simétrica (normal ou Gaussiana).
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A mediana (Me) é a observação que ocupa a posição central, depois que os dados são ordenados em forma crescente ou decrescente. Esta medida de posição não é afetada por valores discrepantes na amostra já que depende do número de elementos da amostra e não dos seus valores.
 Mediana
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 Mediana...
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 Mediana...
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Moda de um conjunto 
de dados (=valores)
Valor do conjunto que aparece mais vezes, isto é, o valor ao qual esteja associada a frequencia absoluta mais alta
 Moda
Calcular a Moda de: 
8, 2, 18, 8, 10, 8, 12, 10, 6, 8, 12.
Chamando a moda de Mo, a variável de X e as frequencias de ni, vem:
Mo
Frequencia maior
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