Equações Diferencias

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Primeira Parte – Múltipla escolha 
Regras: Nesta parte da avaliação, basta que você assinale a alternativa correta, sem 
necessidade de mostrar os cálculos: 
Questão 1: (Valor da questão: 1,0 ponto) 
Suponha que o modelo de crescimento populacional para um determinado país é dado 
pelo problema de valor inicial 
2015,0 += P
dt
dP
 com 100)0( =P 
Onde o tempo está em anos e a população em milhares de pessoas. Sendo assim, a 
condição inicial se lê como 100 mil pessoas. Então a população a atinge 500 mil 
habitantes em: 
(A) Aproximadamente 4,6 anos 
(B) Aproximadamente 5,6 anos 
(C) Aproximadamente 6,6 anos X 
(D) Aproximadamente 7,6 anos 
(E) Aproximadamente 8,6 anos 
Resposta: Letra C 
Questão 2 (Valor da questão: 1,0 ponto) 
 Assinale a alternativa que seja solução da equação diferencial de Bernoulli: 
xyxy
dx
dy
sectan 3=+
(A) Csenx
y
x
+= 2
sec
2
2
(B) Csenxxy +−= 2sec22
(C) Csenx
y
xsen
+−= 2
2
2
(D) Csenx
y
x
+−= 2
cos
2
2
 X 
(E) Csenxxy += 2sec22 
 
Resposta: Letra D 
Segunda Parte – Indicação da Resposta 
 
Regras: Nesta parte da avaliação, basta que você dê a resposta da questão, sem 
necessidade de mostrar o desenvolvimento. 
 
 
Questão 3: (Valor da questão: 1,0 ponto) 
 
Determine uma função ),( yxM para que a seguinte equação diferencial seja exata: 
0
1
2),( =





+++ dy
x
xyxedxyxM xy . 
Dica: Use fortemente o fato que 
M N
y x
 
=
 
 
 
 
 
 
Questão 4: (Valor da questão: 1,0 ponto) 
 
Um objeto de massa m preso a uma mola que está sujeita a uma força de amortecimento, 
tem equação diferencial de segunda ordem dada por: 
 
0
2
2
=++ kx
dt
dx
c
dt
xd
m 
 
Onde x é a posição da mola, t o tempo, c é constante de amortecimento e k é a constante 
da mola. Nestas condições determine a posição do objeto sabendo que sua massa é de 
2kg, a constante da mola é k = 128 e a constante de amortecimento 40=c . O objeto 
parte da origem, ou seja, 0)0( =x e a velocidade inicial é de 0,6m/s. 
 
 
 
Questão 5: (Valor da questão: 1,0 ponto) 
 
Numa certa cultura de bactéria a taxa de aumento é proporcional ao número presente. 
 
a) Verificando-se que o número dobra em 4 horas, quantas se podem esperar no 
fim de 12 horas? Considere P como sendo o número de bactérias e que 
0)0( PP = . Primeiramente defina a Equação Diferencial que modela o problema 
de crescimento populacional para então encontrar a função ( )P t 
 
Equação diferencial que modela o problema 
 
 
Número de Bactérias após 12 horas: 
 
 
b) Sabendo que no fim de 3 horas existiam 104 e no fim de 5 horas 4104 , quantas 
existiam no começo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Terceira Parte – Dissertativa 
 
 
Regras: Nesta parte da avaliação, você deve apresentar todo o desenvolvimento passo a 
passo, inclusive a resolução das integrais. 
 
Questão 6: (Valor da questão: 1,0 ponto) 
 
 Seja a equação diferencial .
3
3
yx
yx
dx
dy
+
+
= 
 
(a) Resolva a equação diferencial pelo método das homogêneas; as integrais 
envolvidas devem ser resolvidas passo a passo. 
 
 
(b) Encontre a solução particular sujeita a condição 2)1( =y . 
 
 
Questão 7: (Valor da questão: 1,0 ponto) 
 
Aplicação de Equações Diferenciais do Tipo linear – Fator integrante 
 
 
Uma força eletromotriz de 200 volts é aplicada a um circuito R-C em série no qual a 
resistência R é 100 ohms e a capacitância C é 6105 − Farad. Encontre a carga )(tQ no 
capacitor se 4,0)0( =i . Determine a carga quando →t . 
 
Observação: Lembre-se a ED que modela um circuito R-C é dada por 
)(
1
tEQ
Cdt
dQ
R =+ . Também você deve usar o fato que )()( titQ = para usar a 
condição inicial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 8: (Valor da questão: 1,0 ponto) 
 
Encontrar a solução geral da equação diferencial: (Tipo Especial III) 
 
01)( 2 =−+ yyy . 
 
Observação: Mostre o cálculo de todas as integrais 
 
 
 
 
 
 
Questão 9: (Valor da questão: 1,0 ponto) 
Determine a solução geral da seguinte equação diferencial linear homogênea de ordem 
dois: 
2( 1) 4 10D y x senx+ = + , com 0)( =y e 2)( = y .