Questão resolvida - 7) Calcule o valor das integrais impróprias ou mostre que divergem - Cálculo II - UNICEUMA

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7) Calcule o valor das integrais impróprias ou mostre que divergem
 
a) x dx
1
∫
+∞ -
2
3
 
b) dx
3
∫
+∞ 1
2x - 10( )2
 
Resolução: 
 
a) Primeiro, vamos reescrever a integral como um limite, da seguinte forma;
 
x dx = x dx
1
∫
+∞ -
2
3 lim
h +∞→
h
1
∫ -
2
3
 
Vamos resolver, antes, a integral dentro do limite em sua forma indefinida;
 
x dx = + c = + c = + c = 3x + c∫ -
2
3
x
- + 1
- +1
2
3
2
3
x
-2 + 3
3
-2+3
3
x
1
3
1
3
1
3
 
Voltando para o limite, substituindo a solução da integral, temos;
 
x dx = 3x = 3h - 3 1 = 3h - 3lim
h +∞→
h
1
∫ -
2
3 lim
h +∞→
1
3
h
1
lim
h +∞→
1
3 ( )
1
3 lim
h +∞→
1
3
 
Agora, substituindo o limite;
 
3h - 3 = 3 +∞ - 3 = 3 +∞ - 3 = +∞- 3 = +∞lim
h +∞→
1
3 ( )
1
3 ( ( ) ) ( )
 
Como o resultado tende para o infinito, a integral imprópria diverge! 
 
 
 
(Resposta - a)
b) Novamente, reescrevemos a integral como um limite, da seguinte forma;
 
dx = dx
3
∫
+∞ 1
2x - 10( )2
lim
h +∞→
h
3
∫ 1
2x - 10( )2
 
Vamos resolver, antes, a integral dentro do limite em sua forma indefinida;
 
dx, u = 2x - 10 du = 2dx 2dx = du dx =∫ 1
2x - 10( )2
→ → →
du
2
dx = = du = u du = + c = + c∫ 1
2x - 10( )2
∫ 1
u
2
du
2
1
2
∫ 1
u
2
1
2
∫ -2 1
2
u
-2 + 1
-2+1( )
( )
1
2
u
-1
-1
( )
 
= - + c = - + c = - + c
1
2
1
u
1
2 2x - 10( )
1
4x - 20
 
 
Voltando para o limite, substituindo a solução da integral, temos;
 
x dx = - = - - -lim
h +∞→
h
3
∫ -
2
3 lim
h +∞→
1
4x - 20
h
3
lim
h +∞→
1
4h - 20
1
4 ⋅ 3- 20
 
= - + = - + = - -lim
h +∞→
1
4h - 20
1
12- 20
lim
h +∞→
1
4h - 20
1
-8( )
lim
h +∞→
1
4h - 20
1
8
 
Agora, substituindo o limite;
 
- - = - - = - - = - - = 0-lim
h +∞→
1
4h - 20
1
8
1
4 +∞ - 20( )
1
8
1
+∞- 20
1
8
1
+∞
1
8
1
8
 
- - = -lim
h +∞→
1
4h - 20
1
8
1
8
 
 
Como o resultado tende para um número, a integral imprópria converge! 
 
 
(Resposta - a)