Matematica_10a_classe

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REPÚBLICA DE MOÇAMBIQUE 
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DESENVOLVIMENTO HUMANO 
DIRECÇÃO NACIONAL DE ENSINO SECUNDÁRIO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
STOP Sida 
 
 
STOP Covid -19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FICHA TÉCNICA 
 
Título: 
 
Meu caderno de actividades de Matemática – 10ª classe 
Direcção: Gina Guibunda - Directora Nacional do Ensino Secundário 
Coordenação Geral: João Jeque - Director Nacional Adjunto do Ensino Secundário 
Elaborador: Anselmo Chuquela 
Concepção gráfica da capa: Hélder Bayat, Bui Nguyet, e Manuel Biriate 
Layout: Helder Bayat 
Impressão e acabamentos: MINEDH 
Revisão: João Sapatinha e Cláudio Monjane 
Tiragem: xxx exemplares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÍNDICE 
Unidade temática 1 : Teoria de conjunto 1 
I. Resumo ............................................................................................................... 1 
1.1.Conjunto - Definição ...................................................................................... 1 
1.2.Elemento ......................................................................................................... 1 
1.3.Relação de Pertença ..................................................................................... 1 
1.4.Formas de definir um Conjunto .................................................................. 2 
1.5.Formas de Representação de um Conjunto .............................................. 2 
1.6.Tipos de Conjuntos ........................................................................................ 3 
1.7.Cardinal de um Conjunto .............................................................................. 4 
1.8.Conjunto Finito ............................................................................................... 4 
1.9.Conjunto Infinito ............................................................................................. 4 
1.10.Relação de Inclusão .................................................................................... 5 
1.11.Igualdade de Conjuntos .............................................................................. 5 
1.12.Operações sobre os conjuntos .................................................................. 5 
1.13.Propriedades Sobre as Operações com Conjuntos ............................... 7 
II. Exercícios propostos ................................................................................... 8 
Unidade temática 2 : Equações quadráticas paramétricas simples 12 
I. Resumo ............................................................................................................. 12 
 1.1. Equações quadráticas paramétricas simples .................................... 12 
II. Exercícios propostos ................................................................................. 13 
Unidade temática 3 : Equação biquadrada 15 
I. Resumo ............................................................................................................. 15 
1.1.Conceito de equação biquadrática ............................................................ 15 
1.2.Resolução de equações biquadráticas .................................................... 15 
II. Exercícios propostos ................................................................................. 16 
Unidade temática 4 : Função quadrática 18 
I. Resumo ............................................................................................................. 18 
1.1.Funções Quadráticas .................................................................................. 18 
1.2.Determinação da expressão analítica de uma função quadrática a partir 
do gráfico 25 
 
 
 
II. Exercícios propostos ................................................................................. 26 
Unidade temática 5 : Inequação quadrática 31 
I. Resumo ............................................................................................................. 31 
1.1.Inequações Quadráticas - Definição ......................................................... 31 
1.2.Resolução de inequações quadráticas..................................................... 31 
1.3.Resolução de problemas envolvendo inequações quadráticas ........... 32 
II. Exercícios propostos ................................................................................. 33 
Unidade temática 6 : Função exponencial 35 
I. Resumo ............................................................................................................. 35 
1.1.Função exponencial..................................................................................... 35 
1.2.Gráfico da função exponencial .................................................................. 35 
1.3.Gráfico da função .............................................................. 36 
1.4.Estudo da função .................................................................... 37 
II. Exercícios propostos ................................................................................. 38 
Unidade temática 7 : Logaritmo e função logarítmica 41 
I. Resumo ............................................................................................................. 41 
1.1.Logaritmo – Definição ................................................................................. 41 
1.2.Propriedades dos logaritmos ..................................................................... 41 
1.3.Funções logarítmicas .................................................................................. 42 
1.4.Representação gráfica da função logarítmica e 
 a partir da função ..................................................... 43 
II. Exercícios propostos ................................................................................. 45 
Unidade temática 8: Trigonometria 48 
I. Resumo ............................................................................................................. 48 
1.1.Teorema de Pitágoras ................................................................................. 48 
1.2.Semelhança de triângulos .......................................................................... 48 
1.3.Razões trigonométricas de um ângulo agudo ......................................... 49 
1.4.Identidade fundamental da trigonometria................................................. 50 
1.5.Razões trigoométricas de ângulos especiais: ................. 50 
1.6.Relação entre as razões trigonométricas................................................. 50 
 
 
 
II. Exercícios resolvidos ................................................................................ 51 
III. Exercícios propostos ................................................................................. 51 
Unidade temática 9: Estatística 55 
I. Resumo ............................................................................................................. 55 
1.1.Revisão sobre os conceitos básicos de estatística descritiva .............. 55 
1.2.Recolha e organização de dados .............................................................. 56 
1.3.Frequência absoluta, relativa percentual e acumuladas ....................... 56 
1.4.Gráficos de barras ....................................................................................... 57 
1.5.Medidas de tendência central .................................................................... 57 
II. Exercícios propostos ................................................................................. 58 
Tópicos de correcção dos exercícios propostos 60 
Bibliografia 66 
 
Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES 
 
1 
 
UNIDADE TEMÁTICA I: TEORIA DE CONJUNTO 
 
 
I. RESUMO 
1.1. Conjunto - Definição 
Chama-se conjunto a uma colecção ou agrupamento de objectos, coisas, seres, classe, família, 
animais,pessoas etc que apresentam uma determinada caracteristica. 
No geral os objectos de um conjunto apresentam mesmas caracteristicas. 
Exemplo: 
 Conjunto dos números inteiros negativos; 
 Conjunto das vogais do alfabeto português; 
 Conjunto dos alunos de uma turma. 
 
1.2. Elemento 
 É cada objecto, sere ou pessoa que constitue o conjunto. 
Exemplo: 
 -3 é elemento do conjunto dos números inteiro negativos. 
 a é um elemento do conjunto das vogais 
 √ 
 
 é um elemento do conjunto dos números irracionais. 
 3 é elemento do conjunto solução da equacão 
N.B. 
Um dado conjunto está bem definido quando podemos estabelecer certamente, que um elemento 
pertence ou não ao conjunto dado, isto é, os seus elementos apresentam todas as caracteristicas 
do conjunto. 
 
1.3. Relação de Pertença 
Um elemento pode pertencer ou não a um determinado conjunto. Para indicar que um elemento 
pertence a um dado conjunto, utilizamos o simbolo  lê-se pertence e quando não pertence 
utilizamos o simbolo lê-se não pertence. 
Ax  lê-se x pertence a A 
Bx  lê-se x não pertence a B 
N.B. Os simbolos e são usados apenas para relacionar um elemento com um conjunto. 
 
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2 
 
Simbologia Tradução 
 O elemeto 5 pertence ao conjunto dos números naturais. 
  O elemento 2,33 não pertence ao conjunto dos números 
naturais. 
 
1.4. Formas de definir um Conjunto 
1.4.1. Por extensão 
Quando se coloca todos os elementos do conjunto dentro de chavetas e separando-os por 
virgulas. 
Exemplos: 
a) Conjuto dos números naturais menores que dez. 
  9,8,7,6,5,4,3,2,1A 
b) Conjunto dos números impares menores que 99. 
 97,...,5,3,1B 
c) Conjunto dos números inteiros não negativos. 
 ,...5,4,3,2,1,0C 
 
1.4.2. Por Compreensão 
Quando o conjunto está definido por meio de uma propriedade que caracteriza os seus elementos. 
Exemplo: 
a) Conjuto dos números naturais menores que dez. 
 10:  xINxA 
b) Conjunto das vogais 
 vogaléxxB : 
1.5. Formas de Representação de um Conjunto 
Os conjuntos, em geral podem ser representados por meio de chavetas, Diagrama de Venn ou na 
forma de intervalos e na forma geométrica (recta graduada). 
1.5.1. Por Chavetas 
Exemplo: 
 9,8,7,6,5,4,3,2,1A 
 
 
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3 
 
1.5.2. Por diagrama de Venn 
Os elementos que pertencem ao conjunto são pontos internos ao recinto delimitado por uma linha 
curva continua, enquanto que os elementos que não pertencem ao conjunto são pontos externos 
ao recinto. 
Exemplo: 
Conjunto dos números pares positivos menores que 10. 
 
 .2 .4 
 
 0 .6 .8 -2 
 
 
1.5.3. Sob forma de intervalos 
Exemplo: 
Conjunto dos números reais positivos 
 
 
 
 
] [ 
 
1.6. Tipos de Conjuntos 
1.6.1. Conjunto Vazio 
Chama-se conjunto vazio e representa se por  ou a qualquer conjunto que não possue 
nenhum elemento. 
Exemplo:  0:  xINxV 
1.6.2. Conjunto Singular 
Chama-se conjunto singular ou unitário ao conjunto constituído por um e só um elemento. 
 Exemplos: 
}2{D . 
 025: 2  xINxB 
 
 
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4 
 
N.B 
O simbolo { } ou  representa o conjunto vazio e que o conjunto {} é um conjunto singular e não 
vazio. 
Exemplo: Um saco vazio dentro doutro saco vazio. 
 
1.6.3. Conjunto Universal ou Universo 
Chama-se conjunto Universo ou universal e representa-se por U, ao conjunto constituido por todos 
os elementos com os quais estamos a trabalhar. 
Exemplo: 
Para os conjuntos  2:  xIRxA  2:  xIRxB , o conjunto universal é IR. 
Se tratamos de elementos que são números inteiros negativos ou positivos, o conjunto universal é 
o conjunto dos números inteiros relativos Z. 
Se tratarmos dos alunos da 8ª, 9ª, 10ª, 11ª e 12ª, o conjunto universal são alunos do ensino 
secundário. 
 
1.7. Cardinal de um Conjunto 
Chama-se cardinal de um conjunto e representa-se por #, ao número de elementos desse 
conjunto. 
Exemplo: 
 9,8,7,6,5,4,3,2,1A # A = 9 
 vogaléxxB : # B = 5 
 D # D = 0 
1.8. Conjunto Finito 
Chama-se conjunto finito aquele conjunto cujos elementos é possível enumerar todos os seus 
elementos (determinar o seu cardinal). 
Exemplo: 
 102:  xINxF 
 
1.9. Conjunto Infinito 
Chama-se conjunto infinito ao conjunto cujo número total de elementos não é possível determinar. 
Exemplos: 
1.  2:  xIRxA 
2. Todos os conjuntos IN, Z, Q e IR. 
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5 
 
3. Qualquer conjunto representado na forma de intervalo em R, como:  2;0x . 
1.10. Relação de Inclusão 
 A relação de inclusão indica se um determinado conjunto está contido ou não em um outro 
conjunto. 
Se todos os elementos de um conjunto pertencem a outro, então o primeiro conjunto está contido 
no segundo. Basta um único elemento do primeiro conjunto não pertencer ao segundo para que o 
primeiro conjunto não esteja contido no segundo. 
Simbologia Tradução 
BA  O conjunto A está contido no conjunto B 
BA  O conjunto A não está contido no conjunto B 
BA  O conjunto A contém o conjunto B 
 
No diagrama de Venn 
 
 
 A B 
 
BA  
N.B 
Os simbolos  e; são usados apenas para relacionar conjunto com conjunto. 
 
1.11. Igualdade de Conjuntos 
Dois ou mais conjuntos são iguais quando apresentam os mesmos elementos, em qualquer 
ordem, sendo que elementos iguais, num mesmo conjunto, serão considerados uma única vez. 
Daí, podemos afirmar que é verdadeira a igualdade dada por: 
A= { a; b; c} = { c; b; a} 
Simbolicamente a igualdade entre conjuntos fica definida como:   B e  A 
1.12. Operações sobre os conjuntos 
1.12.1. Reunião ou união 
A união de dois conjuntos A e B, é o conjunto de todos elementos que pertencem a A ou B. 
Indicaremos a união pelo símbolo . 
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6 
 
Simbolicamente: { } 
No Diagrama de Venn 
 
 
 
 
 
 
1.12.2. Interseção de conjuntos 
 A interseção de dois conjuntos A e B, é o conjunto formado pelos elementos comuns a A e B. 
Indicaremos a interseção pelo símbolo : 
Simbolicamente: { } 
No diagrama de Venn 
 
 
 
 
 
 
1.12.3. Diferença de conjuntos 
A diferença entre dois conjuntos A e B, é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A 
e não pertencem a B. 
Simbolicamente: {  } 
 
 
 
 
 
 
1.12.4. Conjunto complementar 
 Dados os conjuntos A e U, se o conjunto A está contido no conjunto U, a diferença U – A, é 
chamada complementar de A em relação a U. Chamaremos o conjunto U conjunto universo. 
Simbolicamente: ̅ {  } 
 
 
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7 
 
No Diagrama de venn 
 
 
 
 
 
 
1.12.5. Diferença Simétrica 
A diferença simétrica entre os conjuntos A e B, é o conjunto dos elementos que pertencem a A e 
não pertencem a B ou, os elementos que pertencem a B e não pertencem A. Indicaremos a 
diferença simétrica entre A e B por . 
Simbolicamente: {   } = ( B – A) 
 
 
 
 
 
 
 
1.13. Propriedades Sobre as Operações com Conjuntos 
 
PROPRIEDADES DA REUNIÃO DE 
CONJUNTOS 
 
PROPRIEDADES DA INTERSECÇÃO DE 
CONJUNTOS 
1. Comutativa: Quaisquer que sejam os 
conjuntos A e B, tem-se: 
ABBA  
1. Comutativa: Quaisquer que sejam os 
conjuntos A e B, tem-se:ABBA  
2. Associativa: Quaisquer que sejam os 
conjuntos A, B e C tem-se 
CBACBA  )()( 
2. Associativa: Quaisquer que sejam os 
conjuntos A, B e C tem-se 
CBACBA  )()( 
3. Conjunto vazio: Elemento neutro na 
reunião: 
AU=A 
3. Conjunto Universal: Elemento neutro na 
intersecção 
UA=A 
4. Conjunto Universal: Elemento 
absorvente na reunião 
UUA=U 
4. Elemento absorvente na Intersecção: 
A= 
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8 
 
5. Distributividade da Reunião em 
relação à Intersecção: Quaisquer que 
sejam os com juntos A, B e C, tem-se 
)()()( CABACBA  
5. Distributividade da Intersecção em 
relação à Reunião: Quaisquer que sejam os 
conjuntos A, B e C, tem-se 
)()()( CABACBA  
 
 
II. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. No diagrama seguinte A, B e C são três conjuntos não vazios. 
Indica com V as afirmações verdadeiras e com F as falsas em 
cada um dos seguintes casos: 
 
) ) ) )
)
a A B b C B c B A d A C
e B
   
 ) ) )A f A C g B A h A   B 
2. Dado o conjunto { { }}, diz se as afirmações seguintes são verdadeiras ou falsas: 
a) ____ 
b) { } _____ 
c) ____ 
d) { } _____ 
e) { } ______ 
f) ______ 
g) ______ 
h) ______ 
 
3. Dados os conjuntos a baixo, defina-os por extensão: 
 
a) { } 
b) { } 
c) { 5} 
 
d) { } 
e) { } 
f) M = { } 
 
4. Faça o diagrama dos conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5, 6}: 
5. Com base nos conjuntos do exercício anterior, determine por extensão: 
a) 
b) c) – d) – 
6. Com base nos conjuntos { } { } { } preencha os espaço 
em branco com os símbolos adequados de modo a obter proposições verdadeiras: 
a) 3 ___ A b) 7 ___ C c) A ___ B 
d) B ___ C e) C ___ A f) A ___ C 
7. Dados os seguintes conjuntos A e B, determina 
a) A={ } e B { } 
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9 
 
b) A { } e B { } 
c) A { } e B { } 
8. Sendo { } { } C { } e 
D={ }. Determina: 
a) A B 
 
b) A C 
 
c) A D 
d) 
 
e) 
 
f) 
g) (A B) C h) (A C) D 
 
i) (B C) D 
9. Dados os conjuntos { } { } { }, determina o conjunto M tal 
10. que: { } { } 
11. Dados { } , A { } e B { } Determine: 
a) A∩B b) BA  
c) A 
d) BA  
e) ̅ 
f) ̅ ̅ g) ̅ ̅ h) ̅ 
 
12. Sejam dados os conjuntos { } { } { } 
 { }. Determine: 
) ) ) ) ) )a A b B c A C d A B e A f B C
 
13. Sejam { } { } { }. Achar: 
 
) ) ) ) )
) ) ) )
a A B b B A c B d B A e A B
f A B g A B h B A i A B


 
14. Aplicando as propriedades das operações com conjuntos determina: 
) ) ) ) )
) ) ) ) )
a U A b c A A d U A e A A
f A A g A h U i A A j A

 
 
15. Dados os conjuntos. ] ] ] [ [ [; Determina: 
 
) ) ) ) ) ) )a A b B c A B d A B e A B f A B g A   
 
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10 
 
16. Numa escola 30 professores leccionam no período da manha, 25 professores leccionam a 
tarde e 5 leccionam nos 2 turnos. 
a) Represente os dados num diagrama de Venn 
b) Quantos professores leccionam num só período? 
c) Quantos professores têm a escola? 
17. Na figura, U é o conjunto dos 1500 alunos de uma escola e os números representam o 
número de elementos de cada conjunto. 
F – Conjunto dos alunos que estudam Física 
M – Conjunto de alunos que estudam matemática 
Q – Conjunto dos alunos que estudam Química 
Indique quantos alunos estudam: 
a) Só Matemática. 
b) Matemática e Química. 
c) Física ou Matemática. 
d) Matemática, Física e Química. 
e) Determine o número de alunos que não estuda nenhuma das disciplinas. 
18. Um exame que tinha 2 questões A e B foi realizado por 60 candidatos. Houve 40 candidatos 
que responderam certamente a questão A, 36 que responderam certamente questão B e 6 
que não conseguiram responder certamente questão A e B. 
a) Quantos candidatos que não responderam certamente a questão A? 
b) Quantos candidatos que não responderam certamente a questão B? 
c) Quantos candidatos que responderam certamente questão A e B ambas? 
d) Quantos candidatos conseguiram apenas uma questão? 
 
19. Em uma Academia, 200 alunos praticam Voleibol, 250 Andebol, 60 fazem as duas 
modalidades e 90 não fazem nem Voleibol nem Andebol. 
a) Quantos alunos fazem somente Voleibol? 
b) Quantos alunos não praticam Andebol? 
c) Quantos alunos têm a Academia? 
 
20. A tabela mostra as preferências dos alunos de uma escola em relação às disciplinas de 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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11 
 
Matemática e Física. 
Disciplinas Matemática Física Matemática e Física 
Nº de alunos 120 200 80 
 
a) Represente os dados num diagrama de Venn. 
b) Determine o número total de alunos desta escola.
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12 
 
UNIDADE TEMÁTICA II : Equações quadráticas paramétricas simples 
 
 
I. RESUMO 
 
1.1. Equações quadráticas paramétricas simples 
Chama-se equação quadrática paramétrica a toda aquela que para além da incógnita 
considerada, contêm outra variável, denominada parâmetro. 
Considera as seguintes equações quadráticas na variável : 
 com ; { } 
 ; 
Ambas são equações quadráticas. Mas o que as diferencie? 
A equação quadrática para além de depender da incógnita depende 
também de um parâmetro . Diz-se, por isso, equação quadrática paramétrica, onde o n é o 
parâmetro. 
Já a equação quadrática depende apenas da incógnita . Diz-se equação 
quadrática numérica. 
1.1.1. Resolução de equações quadráticas paramétricas simples 
A resolução de equações quadráticas paramétricas consiste na determinação do valor ou valores 
do parâmetro para o qual ou os quais determinadas condições se verificam. 
Exemplo: 
Considerando a equação: : 
a) Determine o binómio descriminante; 
 Resolução: 
 
 
 
b) Determine o valor de n de modo que a equação admita uma raiz (raiz dupla); 
Resolução: 
Condição: A equação tem apenas uma raiz (raiz dupla), quando 
 ↔ ↔ ↔ 
 
 
 
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13 
 
 {
 
 
} 
c) Determine o(s) valor(es) de n de modo que a equação admita raízes reais diferentes; 
 Resolução: 
Condição: A equação admita raízes reais diferentes, quando 
 ↔ ↔ ↔ 
 
 
 ↔ 
 
 
 
Sol: + 
 
 
* 
d) Determine o (s) valor (es) de n de modo que a equação não admita raízes reais; 
 Resolução: 
Condição: A equação não admita raízes reais ou seja a equação é impossível em IR, quando 
 
 ↔ ↔ 
 
 
 ↔ 
 
 
 
Sol: +
 
 
 * 
e) Resolva a equação para 
 Resolução: 
Condição: 
[ ] 
↔ 
↔ {} 
 
 
 
Usando a fórmula resolvente, teremos: 
 
 √ 
 
 
 √ 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. O número é a raíz da equação . Nessas condições, determine o valor 
do coeficiente . 
2. Calcule o valor de na equação de modo que uma de suas raízes seja 
3. Calcule o valor de m na equação de modo que uma das raízes seja o triplo 
da outra. 
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14 
 
4. Na equação , a soma das raízes é e o produto é . Calcule 
5. Dada a equação , de parâmetro m: 
a) Resolva-a para . 
b) Determine m de modo que a equação admita duas raízes reais iguais. 
c) Determine m de modo que o produto das raízes seja positivo. 
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15 
 
UNIDADE TEMÁTICA III : EQUAÇÃO BIQUADRADA 
 
 
I. RESUMO 
 
1.1. Conceito de equação biquadrática 
Toda a equação que, pela aplicação dos princípios de equivalência, pode ser reduzida à forma 
canónica , com e números reais, e , chama-se equação 
biquadrática. 
Nota: Se, numa equação biquadrática, os coeficientes e forem todos não nulos, a equação 
diz-se completa. Caso contrário, diz-se incompleta. 
Exemplo: 
 → Completa 
 
 
 
 → Completa 
 → Incompleta 
 → Incompleta 
 → Incompleta 
1.2. Resolução de equações biquadráticas 
1.2.1. Resolução de equações biquadráticas incompletas 
Seja a um número real não nulo. Podem ocorrer os seguintes casos: 
 . A equação é sempre possível admitindo a raiz x = 0. 
Exemplo: . Logo, S ={0} 
 
 
 
 √ 
 
 
 
. A equação é possível se 
 
 
 . 
 Exemplo: √ 
 
 . 
Portanto, { }. 
 √ 
 
 
 A equação 
é possível se 
 
 
 . 
 { √ 
 
 
 √ 
 
 
 } 
 
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16 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 √ 
Logo, { } 
 
1.2.2. Resolução de equações biquadráticas completas 
Para resolver equações biquadráticas completas usamos um processo que consiste na mudança 
de variável. 
Exemplo: 
Considera a equação biquadrática: 
Repara que 
Então, começa por considerar . Assim, substituindo por t na equação dada, vem 
 
Aplicando a fórmula resolvente, teremos: 
 
 
 √ 
 
 
{
 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 
Voltando a expressão e substituindo os valores de t, teremos: 
 √ √ 
Assim, o conjunto solução da equação biquadrática apresentada é: { } 
 
 
II. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Determine o conjunto solução de cada uma das equações: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
f) 
g) 
h) 
i) 
 
 
 
 
 
 
 
k) 
l) 
 
 
 
m) 
n) 
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17 
 
e) j) o) 
2. O conjunto solução da equação é: 
a) { } b) { } 
c) { } d) { } 
3. O produto das raízes da equação é: 
a) √ b) √ c) 6 d) 18 
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18 
 
UNIDADE TEMÁTICA IV : FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
 
I. RESUMO 
1.1. Funções Quadráticas 
Chama-se função quadrática a toda função polinomial do 2o grau a uma variável do tipo 
2( )f x ax bx c   (com 0a  , ). 
Exemplo: 
 a)
2( ) 2 3 9; a 2,b 3,c 9f x x x      c) 
2( ) 5; 1, 0, 5f x x a b c      
b) 
2( ) 3 5 ; 3, 5, 0f x x x a b c       d) 2
1 1
( ) ; , 0, 0
2 2
f x x a b c    
1.1.1. Gráfico de funções Quadráticas 
O gráfico de uma função quadrática é uma linha continua curva chamada parábola. 
Para construir-se o gráfico de uma função quadrática, é necessário ter um número suficiente de 
pares ordenados  ;x y que permitam esboçar o gráfico. Para tal, deve-se construir uma tabela de 
valores e num sistema cartesiano ortogonal representar os pares ordenados determinados. 
1.1.2. Função do tipo ; ( – Revisão 
Para lembrar o estudo das funções deste tipo vamos considerar os seguintes exemplos: 
2 2( ) ( )f x x e g x x   . Vamos construir os gráficos de cada função e fazer o respectivo estudo 
completo. 
 
 
 
 
 
 
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19 
 
 
Estudo completo de 
2( )f x x Construção do gráfico de 
2( )f x x 
 
 O domínio da função: , isto 
é  ;x    ;. 
 O contradomínio: 
 , isto é
 0;y   ; 
 Monotonia ou variação da função: 
 
 Variação do sinal: 
 
A função é positiva para
   ;0 0;x     
 Zero da função: 0x  ; 
 Ordenada na origem: 0y  ; 
 O eixo de simetria coincide com o 
eixo das ordenadas ( y ). 
Equação do eixo de simetria: 
0x  
 
 
 
x y 
-3 9 
-2 4 
-1 1 
0 0 
1 1 
2 4 
3 9 
Estudo completo de 
2g( )x x  Construção do gráfico de 
2g( )x x  
 O domínio da função: , isto 
é  ;x    ;. 
 O contradomínio: 
 , isto é
 ;0y   ; 
 Monotonia ou variação da função: 
 
 Variação do sinal: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x y 
-3 -9 
-2 -4 
-1 -1 
0 0 
1 -1 
2 -4 
3 -9 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-3 -1 1 3
x 0
y 0
 
x 0
y 0
 
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20 
 
A função é negativa para
   ;0 0;x     
 Zero da função: 0x  ; 
 Ordenada na origem: 0y  ; 
 O eixo de simetria coincide com o 
eixo das ordenadas ( y ).
2( )f x ax 
Equação do eixo de simetria: 
0x  
 
 
 
Nota: O gráfico da função do tipo 
2( )f x ax tem a concavidade virada para cima se 0a  e 
virada para baixo se a <0. 
1.1.3. Função do tipo ; ( 0a  ) – Revisão 
Dado gráfico ao lado, vamos reflectir nas seguintes 
questões: 
i. O que pode dizer dos zeros da função? 
ii. A que distância da origem ficam os zeros da 
função? 
iii. Indique a ordenada na origem. 
iv. Verifique se o gráfico é simétrico. 
v. Se   31 h qual será o valor de  1h ? 
vi. A expressão analítica do gráfico representado 
pode ser   42  xxh ? Justifique. 
vii. Indique o vértice da função. 
viii. Indique o domínio e o contradomínio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-10
-8
-6
-4
-2
0
-3 -2 -1 0 1 2 3
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21 
 
1. Considerando a função determine: 
a) Os zeros da função. 
 
 
 
b) A ordenada na origem. 
Quando a função tem valor . A ordenada na 
origem é . O vértice da parábola é o ponto . 
Para traçar o gráfico da função dada marcamos os pontos 
encontrados e unimos. 
Se se considerar o segmento de recta cujas extremidades são os 
zeros da função, a origem do SC, será o ponto médio, cuja 
abcissa é, como sabe, a semi-soma das raízes. Como a abcissa deste ponto médio coincide com 
a abcissa do vértice tem-se . A ordenada do vértice é dada por . 
Para o caso que estamos a analisar teremos e 
 . O vértice 
é o ponto . 
 
Nota: Os gráficos das funções quadráticas do tipo, têm: 
 Vértice: ; 
 Eixo de simetria: ; 
 Sentido da concavidade: virada para cima se e virada para baixo se 
 Contradomínio: [ [ se e ] ] se ; 
 
1.1.4. Função do tipo 
1.1.4.1. Função do tipo , com - Revisão 
Para revermos as funções do tipo tomemos como exemplos as funções: 
  12  xxg
0x   1100 2 g
1y  1;0
2
21 xxxv


0
2
11


vx
caxy  2
 Como se quer isolar a variável passa-se o 1 que está a adicionar 
no primeiro membro para o segundo membro a subtrair. 
Para termos o coeficiente da variável positivo multiplica-se ambos 
os membros por . 
Para encontrar extraímos a raiz quadrada. 
 
1
x
   
1
1
1
111
1
01
2
2
2
2






x
x
x
x
x
x
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22 
 
 , ; 
Representando os gráficos das funções 
no mesmo S.C. teremos: 
 
 
 
Nota: 
Todo gráfico do tipo 
obedece as seguintes propriedades: 
 Vértice: ; 
 Eixo de simetria: ; 
 Sentido da concavidade: virada para cima se e virada para baixo se 
 Contradomínio: [ [ se e ] ] se ; 
 
1.1.4.2. Função do tipo , com 
Seja dada a função . Esta é também uma função quadrática diferente das 
anteriormente apresentadas. Ela é do tipo , onde . Que diferenças encontra no 
gráfico da função dada, representado abaixo, comparando com os das funções anteriores? 
Verifique. 
 O vértice da parábola não se situa no eixo 
das ordenadas nem sobre o eixo das 
abcissas; 
 Não há simetria em relação ao eixo das 
ordenadas, mas o gráfico é simétrico em 
relação à recta 
 Os zeros não são simétricos em relação 
ao eixo das ordenadas, mas são 
simétricos à recta . 
 
A função pode ser escrita da seguinte forma: . Para escrever a 
função dessa forma, tivemos que: 
  xxxf 42 
bxaxy  2 0a
2x
2x
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23 
 
i. Adicionamos e subtraímos na ao quadrado da metade do coeficiente b, 
ou seja: ; 
ii. Olhando os primeiros termos da função, nota-se que representam um quadrado de 
uma diferença, ou seja: 
iii. Assim na função , temos os valores dos parâmetro e 
 . 
iv. Olhando para o gráfico desta função, nota-se que deslocou por duas unidades para 
direita e quatro unidades para baixo. Esta deslocação para direita deve-se ao valor do 
parâmetro p e para baixo pelo valor do parâmetro q. 
No geral: 
Todo gráfico do tipo obedece as seguintes propriedades: 
 Vértice: ; 
 Eixo de simetria: ; 
 Sentido da concavidade: virada para cima se e virada para baixo se 
 Contradomínio: [ [ se e ] ] se ; 
 
1.1.4.3. Representação gráfica da função 
2( )f x ax bx c   (com 0a  , ). 
Para representar o gráfico das funções quadráticas é preciso: 
 Identificar o sinal do coeficiente a para saber o sentido da concavidade da parábola; 
 Determinar os zeros; 
 Determinar o vértice da parábola; 
 Determinar a ordenada na origem. 
Seja dado a função – – , vamos representar o gráfico desta função e fazer o 
estudo completo. 
1. O coeficiente , logo a parábola da função estará voltada para baixo, já que . 
2. Determinação dos zeros. 
 ↔ – – 
 
 
 
Como o valor de , a função tem duas raízes reais diferentes. Usando a fórmula resolvente: 
 
 √ 
 
, vamos determinar as raízes. 
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24 
 
 
 √ 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Determinação das coordenadas do vértice da parábola 
Fórmula do cálculo de : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fórmula do cálculo de : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Determinação da ordenada na origem 
 – – 
 – – 
 
5. Gráficos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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25 
 
 
1.2. Determinação da expressão analítica de uma função quadrática a partir do gráfico 
Dado o gráfico, determine a sua expressão analítica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para determinar expressão analítica de uma função quadrática, temos que: 
i) Encontrar as coordenadas do vértice da parábola, para este caso, V (-1; -4). 
ii) Encontrar as coordenadas de um ponto qualquer onde o gráfico passa, por exemplo o 
ponto (0; -3). 
iii) Como é sabido que as coordenadas do vértice indicam igualmente os valores dos 
parâmetros p e q. Da expressão se substituir os valore dos 
parâmetros p e q e as coordenadas do ponto, teremos o valor do coeficiente a, isto é: 
 ↔ 
 ↔ ↔ 
iv) Voltando a substituir novamente os parâmetros p e q e o valor do 
coeficiente a teremos: 
 [ ] 
 
 
 esta é a expressão analítica do gráfico dado. 
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26 
 
Nota: Há casos em que o gráfico que pretendemos determinar a expressão analítica não 
apresenta as coordenadas do vértice, mas sim os zeros da função ( . Para este caso, 
recorre-se a expressão: que corresponde a factorização do trinómio 
 . 
Exemplo: 
Dado o gráfico, determine a sua expressão analítica. 
Como o gráfico tem como raízes: e 
passa pelo ponto (0;-2). vamos recorrer a expressão 
 para determinar a expressão 
analítica. 
1º Vamos substituir as coordenadas do ponto por 
onde o gráfico passa e os valores das raízes para obter o valor do coeficiente a: 
 ↔ [ ] ↔ → 
2º Voltando a expressão Vamos substituir os valores das raízes ( e 
do coeficiente a que determinamos anteriormente assim teremos: 
 
 [ ] 
 
 
 esta é a expressão analítica do gráfico dado. 
 
II. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Considere as funções definidas por: 
 
 
 , 
 
 
 
. Represente-as graficamente no mesmo referencial cartesiano. 
2. Das funções do exercício anterior quais são as que têm concavidade: 
a) Virada para baixo? Justifique. 
b) Viradas para cima? Justifique. 
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27 
 
3. Considere a função . Calcule: 
a) 1) 
b) 
c) 
 
 
 
d) Compare: 
i) 
ii) 
iii) 
 
4. Seja a função – , em que e . Calcule e o valor 
da expressão ). 
5. Considere o gráfico da função a baixo e indique: 
a) O domínio da função. 
b) O contradomínio da função. 
c) Os zeros da função. 
d) A ordenada na origem. 
e) As coordenadas de vértice. 
f) Equação do eixo de simetria. 
g) Para que valores de a função 
é: 
i) Crescente 
ii) Decrescente 
h) Resolva graficamente: 
i) 
ii) 
 
6. Esboce o gráfico das funções abaixo: 
a) – b) – 
c) d) – – 
e) – f) – 
 
7. Dadas as funções quadráticas: e . Determine: 
a) As coordenadas dos vértices de cada uma das funções. 
b) Eixo de simetria 
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28c) Escreva cada função definida acima na forma . 
d) Identifica o contradomínio. 
e) Estude a variação de sinal 
f) Esboce o gráfico das funções 
8. Dadas as funções quadráticas: ; e . 
Determina: 
a) Zeros 
b) Coordenadas de vértice 
c) Ordenada na origem 
d) Estude a variação do sinal de cada uma 
e) Indica concavidade de cada uma. 
f) Estude a variação da função. 
g) Constrói os gráficos correspondentes. 
 
9. Determine o (s) valor (s) do parâmetro de modo que a função: – tenha: 
a) Duas raízes Reais; 
b) Uma raiz. 
 
10. Determine o valor de de modo que a função tenha uma e única raiz. 
11. Seja dada a função – , em que e . Calcule e o 
valor da expressão 
12. A função quadrática – – – Está definida quando: 
a) b) c) d) 
 
13. A parábola da função passa pelo ponto (1,0). Então a + b + c é igual a: 
a) 0 b) 2 c) 3 d) 5 e) Nenhuma das alternativas 
 
14. Para que valores é positiva 
a) Para b) Para . 
c) Para d) Para . 
 
15. Dada a função – , tem um valor: 
a) Mínimo, igual a – 16, para b) Mínimo, igual a 16, para x = – 12 
c) Máximo, igual a 56, para x = 6 d) Máximo, igual a 72, para x = 12 
e) Máximo, igual a 240, para x = 20 
 
 
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29 
 
16. Considerando-se a função real , o valor mínimo desta função é: 
a) 1 b) - 3 c) 4 d) -1 e) 14 
 
17. Em relação ao gráfico da função – – , Pode se afirmar que: 
a) É uma parábola de concavidade voltada para cima; 
b) Seu vértice é o ponto 
c) Intercepta o eixo das abscissas em – e 
d) O seu eixo de simetria é o eixo das ordenadas; 
e) Intercepta o eixo das ordenadas em 
18. Considere a função definida por para todo real. É incorreto afirmar 
que: 
a) O vértice do gráfico da função é 
b) A função é negativa para todos os valores de pertencentes ao intervalo [ ] 
c) O contradomínio da função é o intervalo [ [. 
d) A intersecção da recta de equação com o gráfico de são os pontos 
 e . 
e) Todas as raízes da função são números inteiros 
 
19. Dadas as funções ao lado, determina: 
a) 
b) 
c) Os valores de para os quais é crescente. 
d) As coordenadas do vértice de . 
e) A expressão analítica de . 
 
20. Um futebolista chutou uma bola que se 
encontrava parada no chão e ela descreveu uma 
trajectória parabólica, indo tocar o solo 
adiante, como mostra a figura. Se, a 10 m do 
ponto de partida, a bola atingiu a altura de 7,5 m, 
então a altura máxima, em metros, atingida por 
ela, foi de: 
a) 12 b) 10 c) 9,2 d) 8,5 e) 8 
 
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30 
 
21. O saldo de uma conta bancária é dado por – , Onde S é o saldo em 
meticais e t é o tempo em dias. Determine: 
a) Em que dias o saldo é zero; 
b) Em que período o saldo é negativo; 
c) Em que período o saldo é positivo; 
 
22. Em cada uma das funções abaixo, ache o vértice, o eixo de simetria do gráfico e classifique o 
vértice como um ponto máximo ou mínimo da função dada. 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
23. Considere as funções e . 
a) Represente as no mesmo sistema cartesiano ortogonal. 
b) A partir da figura resolva 
c) Qual é o contradomínio de ? 
d) Para que valores de , ? 
 
24. Determina as expressões analíticas das seguintes funções: 
 
a) c) 
 
 
 
 
a) d) 
 
 
 
 
 
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31 
 
UNIDADE TEMÁTICA V : INEQUAÇÃO QUADRÁTICA 
 
 
I. RESUMO 
1.1. Inequações Quadráticas - Definição 
Inequação quadrática é uma expressão do segundo grau com uma variável, representada na 
forma: , onde a, b, c são 
números reais com . 
Exemplos: 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
1.2. Resolução de inequações quadráticas 
1.2.1. Método gráfico 
Para resolver uma inequação quadrática pelo método gráfico, devemos estudar o sinal de cada 
função correspondente à inequação. 
Exemplos: 
Seja dada a inequação: , resolva-a graficamente. 
(1) Formar a função correspondente a inequação: 
(2) Determinar os zeros da função: 
 √ 
(3) Fazer o esboço do gráfico da função e analisar da variação do sinal. 
(4) A partir do gráfico, extrair a solução da inequação. 
 
S:    2 2x ; ;     
 
1.2.2. Método analítico 
Para resolver uma inequação quadrática pelo método analítico, devemos estudar o sinal do 
produto de factores de cada função correspondente à inequação. 
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32 
 
Exemplos: 
Seja dada a inequação: , resolva-a. 
(1) Transformar a inequação numa equação correspondente: 
(2) Determinar as raízes da equação e factoriza-la; 
 
(3) Representar a inequação na forma factorizada; 
 
(4) Fazer a tabela da variação dos sinais e a análise do sinal do produto dos factores; 
 
x  2;  -2  2 2; 2  2; 
  -4  0  
  0  4  
  0  0  
 
(5) A partir da tabela, extrair a solução da inequação. 
S:    2 2x ; ;     
 
1.3. Resolução de problemas envolvendo inequações quadráticas 
Tal como na resolução de outro tipo de problemas, para resolver problemas que envolvem 
inequações quadráticas pode seguir o seguinte procedimento: 
 1.º - Identificar a incógnita e os dados do problema; 
 2.º - Traduzir o problema em linguagem matemática (que, neste caso, dará origem a uma 
inequação quadrática); 
 3.º - Resolver a inequação quadrática obtida; 
 4.º - Interpretar o resultado de acordo com o contexto do problema; 
 5.º - Dar resposta ao problema. 
 
Exemplo: 
Considere o seguinte problema: 
A multiplicação de dois números inteiros quaisquer e consecutivos, não deve exceder 20. 
Determine esses números. 
Resolução 
1. Incógnita: x 
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33 
 
Seja x o primeiro número e 1x  o segundo número. 
2. Tradução do problema: 
 A sua multiplicação resulta em: ( 1)x x  ; 
Para não exceder o 20, temos: 2( 1) 20 20 0x x x x      
3. Resolução: 
Usando o método gráfico. 
2 20 0x x   , primeiro determina-se as raízes da equação quadrática correspondente. 
2 20 0 ( 5)( 4) 0 5 0 4 0 5 4x x x x x x x x                  
A partir das raízes esboça-se o gráfico 
Como  0 1a a  , logo a parábola está voltada para cima. 
 
 
 
 
A partir do gráfico pode-se concluir que  5,4x   . 
Resposta: Os números inteiros consecutivos, pretendidos estão pertencem ao intervalo  5,4 , 
portanto, são -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 e 4. 
 
II. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Resolva graficamente as seguintes inequações: 
a) b) 
c) d) 
e) f) 
2. Seja dada a função . 
a) Determina os zeros de . 
b) Determina o sinal de , e . 
c) Represente graficamente a função. 
d) Resolva graficamente: 
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34 
 
i. 
ii. 
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35 
 
UNIDADE TEMÁTICA VI : FUNÇÃO EXPONENCIALI. RESUMO 
1.1. Função exponencial 
Chama-se função exponencial de base a a uma função definida pela expressão na forma 
 , com , . 
Exemplos: 
) ( ) 3 ; 3xa f x a  
2 2
b) ( ) ;
3 3
x
f x a
 
  
 
 c) ( ) ( 7) ; 7
xf x a  
1.2. Gráfico da função exponencial 
Para construir o gráfico de uma função exponencial ( ) xf x a , constrói-se uma tabela de valores, 
onde uma das colunas é de x e a outra é de y e, de seguida representam-se os pares ordenados 
no S.C.O. Ao unir os pontos representados no S.C.O., obtêm-se o gráfico da função como nos 
exemplos que se seguem: 
Função exponencial ( ( ) xf x a ) 
 0 1a  
Função exponencial ( ( ) xf x a ) 
 1a  
Ex: 
1
( )
2
x
f x
 
  
 
; a função é decrescente 
 
 
 
 
 
 
Ex: ( ) 2xf x  ; a função é crescente 
 
 
 
 
0
2
4
6
8
10
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x y
-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 0.5
2 0.25
3 0.125
0
2
4
6
8
10
x y
-3 0.125
-2 0.25
-1 0.5
0 1
1 2
2 4
3 8
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36 
 
 
1.3. Gráfico da função 
Para construir o gráfico de uma função exponencial ( )
x bf x a  , constrói-se uma tabela de 
valores, onde uma das colunas é de x e a outra é de y e, de seguida representam-se os pares 
ordenados no S.C.O. Ao unir os pontos representados no S.C.O., obtêm-se o gráfico da função 
como nos exemplos que se seguem: 
Esquerda se 0b  ( ( )
x bf x a  ) Direita se 0b  ( ( )
x bf x a  ) 
Ex: Considere ( ) 2
xf x  e 
1g( ) 2xx  
 
Ex: Considere ( ) 2
xf x  e 
1g( ) 2xx  
 
Observando os gráficos acima, pode-se concluir que: 
 O domínio para as duas funções é: ; 
 O contradomínio para as duas funções é: ; 
 Se 0 1a  , a função é decrescente; 
 Se , a função é crescente; 
 O gráfico intersecta o eixo das ordenadas no ponto de ordenada . 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Observando os gráficos acima, pode-se concluir que: 
 O domínio para as duas funções é: ; 
 O contradomínio para as duas funções é: ; 
 Se 0 1a  , a função é decrescente; 
 Se 1a  , a função é crescente; 
 A função não tem zeros; 
 O gráfico intersecta o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 1 isto é (0) 1f  
 Gráfico tem uma assimptota horizontal de equação 
 A função é positiva em todo domínio; 
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37 
 
 Gráfico tem uma assimptota horizontal de equação 
 A função é positiva em todo o seu domínio; 
 Em geral o gráfico da função ( ) x bf x a  obtêm-se a partir do gráfico da função ( ) xf x a
através de uma translação horizontal em b unidades para: 
 Direita se b 
 Esquerda se b 
 
1.4. Estudo da função 
Considera uma função f definida por . Como se obtém o gráfico da função do tipo 
 a partir do gráfico de f ? 
 Se , o gráfico desloca-se para cima unidades, se o gráfico desloca-se para 
baixo unidades. 
 O domínio da função é e o contradomínio é ] [ 
 Se , a função é crescente; se , a função é decrescente. 
 O gráfico intersecta o eixo das ordenadas no ponto de ordenada . 
 A equação da assimptota é . 
Para cima se ( ) Para baixo se ( ) 
Considere as funções e 
 
Considere as funções e 
 
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38 
 
Observando os gráficos acima, pode-se concluir que: 
 O domínio para as duas funções é: ; 
 O contradomínio para as duas funções é: ] [; 
 O gráfico intersecta o eixo das ordenadas no ponto de ordenada . 
 Gráfico tem uma assimptota horizontal de equação 
 Em geral o gráfico da função Obtêm-se a partir do gráfico da função 
( ) xf x a através de uma translação vertical em C unidades para: 
 Cima se 
 Baixo se 
 
 
II. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Construir os gráficos das funções exponenciais: 
a) b) (
 
 
)
 
 
c) d) 
2. Dos gráficos a baixo, indique os são funções exponenciais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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39 
 
 
 
3. Com relação ao crescimento de funções, identifique cada função exponencial apresentada 
abaixo como crescente ou decrescente 
a. b. (
 
 
)
 
 
c. 
d. 
 
4. Dadas as funções: , , 
a) Represente – as no mesmo SCO. 
b) Determine: Domínio, contradomínio, zeros, monotonia e o ponto de intercepção dos 
gráficos. 
 
5. Dado o gráfico ao lado, determine: 
a) A (s) raiz (es). 
b) Ordenada na origem. 
c) Estude a variação do sinal da função. 
d) Estude a variação da função (monotonia). 
e) Equação da assimptota horizontal. 
6. Determinar os valores de para cada caso 
a. 
 
b. 
 
c. 
 
d. (
 
 
)
 
 
e. (
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
f. 
7. Dadas as funções ao lado, determine: 
a) Os valores de para os quais . 
b) Os valores de para os quais 
c) Os valores de para os quais . 
 
 
 
 
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40 
 
 
 
 
 
 
 
 
Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES 
 
41 
 
UNIDADE TEMÁTICA VII : LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
I. RESUMO 
1.1. Logaritmo – Definição 
Chamamos de logaritmo de na base , representado por , o valor , tal que elevado 
a seja igual a . Por exemplo, ao escrevermos (lê-se logaritmo de 8 na base 2), estamos 
procurando o número que devemos elevar o 2 para que a resposta seja igual a 8. 
 , pois . 
No geral: , pois 
 
Onde: 
 – logaritmando, ; 
 – base; ; ( a \ { 1 } 
 – é o logaritmo. 
Exemplos 
a) , pois 
 b) , pois 
 
c) , pois 
 d) , pois 
 
1.2. Propriedades dos logaritmos 
Propriedades Exemplos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
) (
 
 
) 
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42 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.3. Funções logarítmicas 
Chama-se função logarítmica à função , definida por ,onde é 
a base da função, x . 
Exemplos: 
  
 
  
1.3.1. Gráficos das funções logarítmicas 
Para construir o gráfico de uma função logarítmica , constrói-se uma tabela de valores 
da função , em seguida troca-se a ordem dos pares, o que era domínio para contradomínio 
e vice-versa. De seguida representam-se os pares ordenados no S.C.O. Ao unir os pontos 
representados no S.C.O., obtêm-se o gráfico da função como nos exemplos que se seguem: 
Função exponencial Função logarítmica 
 
 
 
-3 0,125 
-2 0,25 
-1 0,5 
0 1 
1 2 
2 4 
3 8 
 
 
 
 
0,125 -3 
0,25 -2 
0,5 -1 
1 0 
2 1 
4 2 
8 3 
 
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43 
 
 
1.4. Representação gráfica da função logarítmica e a partir 
da função 
Para construir os gráficos das funções e a partir da função 
 primeiro faz-se a tabela de valores da função, em seguida constrói-se o 
gráfico desta. 
 Por translação vertical em b unidades obtém-se o gráfico de 
i. Para cima se . 
ii. Para baixo se . 
 Por uma translação horizontal em c unidades obtém-se o gráfico de 
i. Para esquerda se . 
ii. Para direita se . 
Função logarítmica 
 
 0 1a  Função logarítmica 1a  
A função 
 
 é decrescente 
 
A função é crescente 
 
Observando os gráficos acima, pode-se concluir que: 
 O domínio para as duas funções é: ; 
 O contradomínio para as duas funções é: ; 
 Se 0 1a  , a função é decrescente; 
 Se 1a  , a função é crescente; 
 Zero da função: ; 
 Os gráfico não intersectam o eixo das ordenadas, isto é, tem como assimptota o 
eixo das ordenadas cuja a equação é: 
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44 
 
Nota: A traslação vertical o corre quando o valor da constante b estiver fora de (parêntesis) e 
horizontal quando o valor da constate c estiver dentro de (parêntesis). 
 
Exemplo: 
Sejam dadas as funções , e represente no 
mesmo SC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função do tipo: Função do tipo: 
Observando o gráfico da função 
 , pode-se concluir que: 
 O domínio da função é: ; 
 O contradomínio é: ; 
 A função é decrescente; 
 Zero da função: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O gráfico não intersecta( m ) o eixo 
das ordenadas, isto é, tem como 
assimptota o eixo das ordenadas 
cuja a equação é: 
Observando o gráfico , pode-
se concluir que: 
 O domínio da função é: ] [; 
 
 O contradomínio é: ; 
 A função é crescente; 
 Zero da função: ; 
 
 
 
 
O gráfico tem como assimptota o eixo cuja a 
equação é: 
 
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45 
 
 
 
II. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Dos gráficos a baixo, indique os que são funções logarítmicas: 
a) c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) d) 
 
 
 
 
 
2. Calcule: 
a. b. c. 
d. 
 
 e. 
 
√ 
 f. 
 
 
 
 
g. 
 
 
 
h. √ 
 
 
 i. 
j. 
k. l. 
m. (
 
 
) 
n. √ 
 
 
 
3. Dadas as funções a baixo, classifique em crescente e decrescente: 
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46 
 
a. b. 
 
 
c. d. 
 
4. Dado o gráfico ao lado, determine: 
a) A (s) raiz (es). 
b) Ordenada na origem. 
c) Estude a variação do sinal da função. 
d) Estude a variação da função (monotonia). 
e) Equação da assimptota vertical. 
 
 
 
5. Dadas as funções ao lado, determine: 
 
a) Os valores de para os quais . 
b) Os valores de para os quais . 
c) Os valores de para os quais . 
 
 
 
6. Observa a figura. 
a) Qual é o domínio da função f(x)? 
Resolva graficamente: 
b) . 
c)    f x g x . 
d) . 
e) Determine a expressão analítica da função g(x). 
 
 
7. Observa a figura. 
a) Qual é o domínio da função ? 
Resolva graficamente: 
b) . 
c) . 
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47 
 
d) . 
e) Determine a expressão analítica da função h(x). 
 
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48 
 
UNIDADE TEMÁTICA VIII : TRIGONOMETRIA 
 
 
I. RESUMO 
A Trigonometria é o ramo da Matemática que estuda a relação entre as medidas dos ângulos e 
as medidas dos lados de um triângulo. A palavra trigonometria deriva das palavras gregas tri 
(três), gonos (ângulos) e metron (medir). Nesta secção vamos começar por recordar teorema 
de Pitágoras e semelhança de triângulos. 
1.1. Teorema de Pitágoras 
O Teorema de Pitágoras relaciona o comprimento dos lados do triângulo rectângulo. Essa figura 
geométrica é formada por um ângulo interno de 90°, chamado ângulo recto. 
O enunciado desse teorema é: A soma dos quadrados de seus 
catetos corresponde ao quadrado de sua hipotenusa. 
Fórmula: 
A hipotenusa é o maior lado de um triângulo rectângulo e o lado 
oposto ao ângulo recto. Os outros dois lados são os catetos. O ângulo formado por esses dois 
lados tem medida igual a 90º (ângulo recto). 
1.2. Semelhança de triângulos 
A Viana tirou uma fotografia tipo passe para um documento. Depois mandou reproduzir a mesma 
foto em A4 para colocar no seu álbum e outra em A3 para colar no seu quarto. As três fotos são 
parecidas diferindo apenas no tamanho. Elas são semelhantes. As duas fotos tipo passe que a 
Viana recebeu do fotógrafo são iguais. 
Dada a figura: 
 
 
 
 
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49 
 
Observe que na figura, os triângulos OCD e OEF são uma ampliação do triângulo OAB. Também 
se pode dizer que o triângulo OCD é uma redução do triângulo OEF. Eles são triângulos 
rectângulos, têm a mesma forma e por isso dizem-se semelhantes. 
Lembre-se que: 
 
 
 
 Se dois triângulos têm dois ângulos correspondentes congruentes, então eles são 
semelhantes; isto é: Se ̂ ̂ e ̂ ̂ então . 
 Se dois triângulos têm os três lados correspondentes proporcionais, então eles são 
semelhantes; isto é: 
 ̅̅ ̅̅
 ̅̅ ̅̅ ̅̅
 
 ̅̅ ̅̅
 ̅̅ ̅̅ ̅̅
 
 ̅̅ ̅̅
 ̅̅ ̅̅ ̅̅
, logo . 
 Se dois triângulos têm dois lados proporcionais e o ângulo por eles formado igual, então 
eles são semelhantes; 
 ̅̅ ̅̅
 ̅̅ ̅̅ ̅̅
 
 ̅̅ ̅̅
 ̅̅ ̅̅ ̅̅
 e ̂ ̂ logo . 
1.3. Razões trigonométricas de um ângulo agudo 
Observa o triângulo [ ]. 
Catetos: lados e 
Hipotenusa: lado 
α, β e γ são os ângulos internos do triângulo. 
Soma dos ângulos internos de um triângulo: 
Ângulos complementares são aqueles cuja a soma é igual a 90º: 
Ângulos suplementares são aqueles cuja a soma é igual a 180º. 
 
Considerando o triângulo rectângulo dado, podemos definir as seguintes razões trigonométricas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4. Identidade fundamental da trigonometria 
1. Considerando o Teorema de Pitágoras .Se dividirmos ambos membros 
por , teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 fórmula fundamental da trigonometria. 
 
2. Se dividirmos ambos membros por teremos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 portanto da mesma maneira podemos ter 
 
1.5. Razões trigonométricas de ângulos especiais: 
Aplicando as difinições das razões trigonometricas já conhecidas, obtemos os valores das razões 
trigonométricas correspodentes aos ângulos: . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.6. Relação entre as razões trigonométricas 
 
 
 
 
 
 
 √ 
 
 
√ 
 
 
 √ 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 √ 
 √ √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝐜𝐨𝐬𝛂𝟐 𝐬𝐞𝐧𝛂 𝟐 
𝐭𝐠𝛂 
𝒔𝒆𝒏𝜶
𝒄𝒐𝒔𝜶
 
 
𝐜𝐨𝐭𝐠𝛂 
𝒄𝒐𝒔𝜶
𝒔𝒆𝒏𝜶
 
 
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51 
 
 
 
 
 
II. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
1. Determine: 
a) O comprimento do lado ̅̅ ̅̅ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) O comprimento de lado ̅̅̅̅ . 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 √ 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 
√ 
 
 
d) 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 √ 
 
 
2. Sabendo que 
 
 
 determine o valor de , e 
a) (
 
 
)
 
 
 
 
 √
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
III. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Sabendo-se que os triângulos são semelhantes, calcule x e y 
 
 
 
 
 
 
 
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52 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Nas figuras abaixo, os triângulos são semelhantes. Calcule o valor de em cada figura. 
a) 
 
 
b) 
 
 
 
3. Calcule : 
 
 
 
 
 
 
4. Transforme em graus as seguintes medidas de arcos em radianos. 
 
a) 
4
3
 b) 
6
7
 c) 
6

 d) 
3
16
 
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53 
 
 e) f) 
3
2
 g) 
4
7
 
 
5. Transforme em radianos as seguintes medidas de arcos em graus. 
 
a) 30 b) 300º c) 1080º d) 135º 
e) 330º f) 20º g) 150º 
 
6. Indique no circulo trigonométrico em que quadrante pertence cada um dos seguintes arcos: 
a) 
6
5
 b) 
5
6
 c) 
4

 d) 
7
3
 
7. Calcular os catetos de um triângulo rectângulo cuja hipotenusa mede 6 cm e um dos ângulos 
mede 60º. 
8. No triângulo rectângulo da figura abaixo, determine as medidas de x e y indicadas. 
 (Use: sen 65° = 0,91; cos 65° = 0,42 ; tg 65° = 2,14) 
 
 
 
 
 
 
 
9. Considerando o triângulo rectângulo ABC da figura, determine as medidas a e b indicadas. 
(Sen 60° = 0,866) 
 
 
 
 
 
 
10. Sabe-se que, em um triângulo rectângulo isósceles, cada lado congruente mede 30 cm. 
Determine a medida da hipotenusa desse triângulo. 
 
11. Nos triângulos das figuras abaixo, calcule tg Â, tg Ê, tg Ô: 
 
a) b) c) 
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54 
 
 
 
 
 
12. Encontre a medida RA sabendo que tg  = 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
13. Encontre e : 
a) 
 
b) 
 
14. Um avião levanta voo sob um ângulo de 30º . Calcula a altura em que se encontra o avião 
depois de percorrer 8 km. 
15. Se cada ângulo de um triângulo equilátero mede 60º, calcule a medida da altura de um 
triângulo equilátero de lado 20 cm. 
16. Sabendo que é um arco do primeiro quadrante e que , determine e . 
17. Calcule o valor de: 
a) sen 150o b) sen 120o c) sen 300o d) sen 270o 
e) cos 150o f) cos 120o g) cos 300o h) cos 270o 
i) tg 150o j) tg 120o k) tg 300o l) tg 270o 
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55 
 
UNIDADE TEMÁTICA IX : ESTATÍSTICA 
 
 
I. RESUMO 
 
1.1. Revisão sobre os conceitos básicos de estatística descritiva 
A estatística é ramo da Matemática que tem como objectivo obter, organizar e fazer análise 
numérica das informações. 
População ou universo estatístico é uma colecção de seres com alguma característica comum. 
Por exemplo: 
 Todos os alunos de uma determinada escola; 
 Conjunto dos números racionais. 
Amostra é conjunto finito da população que seja representativo desta. 
Variável estatística ou Carácter estatístico é uma propriedade que permite caracterizar os 
indivíduos de uma população. 
As variáveis estatísticas podem ser: Qualitativas (não mensuráveis) e quantitativas (mensuráveis). 
Qualitativas ou nominais (não mensuráveis): Que não se podem medir. 
Exemplo: A cor dos olhos, profissão, cor dos cabelos, etc. 
As variáveis estatísticas qualitativas podem estabelecer-se diferenças que se chamam de 
modalidades. 
Por exemplo: Na variável qualitativa “profissão”, podem-se considerar modalidades: professor, 
médico, electricista, mecânico, etc. 
Quantitativas ou numéricas (mensuráveis): Que se podem medir. 
Exemplo: 
Temperatura, altura, idade, etc. 
As variáveis quantitativas podem ser discretas ou continuas. 
Discretas quando não podem tomar todos valores de um determinado intervalo real. 
Exemplo: 
Número de filhos de uma mãe, número de golos marcados num jogo de futebol. 
Continuas quando pode tomar quaisquer valores de um determinado intervalo real. 
Exemplo: 
 Altura dos alunos de uma turma da 9ª classe; 
 As temperaturas registadas num determinado lugar durante um dia. 
 
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56 
 
Resumindo: Variáveis{
 
 ,
 
 
 
 
1.2. Recolha e organização de dados 
Um estudo estatístico envolve a recolha, organização e análise dos dados. A análise e 
interpretação dos dados permite fazer previsões e tomar decisões. 
 
1.3. Frequência absoluta, relativa percentual e acumuladas 
Para organizar dados e fazer a respectiva análise, usam-se tabelas e gráficas. 
Exemplo: 
O número de golos obtidos numa jornada de futebol no moçambola 2021 foi o seguinte: 
 
 
 
 
Vamos organizar esses dados numa tabela de frequências: 
Nº de 
golos 
Frequência 
absoluta ( ) 
Frequência relativa ( ) 
 
 
 
 
Frequência 
Absoluta 
acumulada (F) 
Frequência 
relativa 
Acumulada 
 
0 5 
 
 
5 
1 4 
 
 
9 
2 7 
 
 
16 
3 4 
 
 
20 1,00 
 n=20 _____ _____ 
 
 
 
2 3 2 0 2 3 1 0 1 2 
3 0 1 1 2 0 3 2 2 0 
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57 
 
 
 
 
 
1.4. Gráficos de barras 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.5. Medidas de tendência central 
1.5.1. Média Aritmética 
Sendo , n valores de uma variável quantitativa, chama-se media ao valor que se 
obtém pela fórmula: 
 ̅ 
 
 
 
1.5.2. Moda 
Chama-se moda, de um conjunto de n valores, de uma variável estatística, ao valor 
que ocorre com maior frequência. 
1.5.3. Mediana 
 Sejam , n dados estatísticos ordenados do menor para o maior e vice-versa, 
chama-se mediana ao valor que ocupa a posição central. 
Considerando o exemplo dado sobre número de golos obtidos numa jornada de futebol no 
Moçambola 2021: 
2 3 2 0 2 3 1 0 1 2 
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58 
 
 
 
 
 
Vamos calcular: 
a) A média 
 ̅ 
 
 
 
 ̅ 
 
 
 
 
 
 
 
Logo em média marcou-se 2 golos. 
 
b) Moda 
Verificando os dados, podemos concluir que a moda é 2 pois é o valor que ocorre com maior 
frequência. 
 
c) Mediana 
Colocando de forma crescente os dados teremos: 
0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 
Podemos notar que o valor central é formado por dois números (2 2) sendo assim temos que 
somar os dois números e dividir por 2, ou seja: 
 
 
 
 
 
 
Logo a mediana é 2. 
 
 
II. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Em uma pesquisa realizada em uma escola, identificou-se os seguintes indicadores: idade, 
classe, sexo, local de estudo, classificação obtida na última prova de Matemática e 
quantidade de livros que possui. 
a) Das variáveis acima,quais são as quantitativas e quais são as qualitativas? 
b) Das variáveis quantitativas, diga quais são discretas? 
 
2. As notas do João em cinco testes de Matemática foram as seguintes: 15, 16, 13, 15, 11. 
a) Qual é a moda das notas? 
3 0 1 1 2 0 3 2 2 0 
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59 
 
b) Calcule a média aritmética das notas. 
c) Qual deve ser a nota do sexto teste para que a média suba em 1 valor? 
 
3. Na Cidade da Maxixe, fez-se um levantamento do número de pessoas de cada agregado 
familiar. Num dos bairros obteve-se os seguintes resultados: 
5 2 4 4 3 5 1 5 5 6 3 3 4 4 5 6 6 4 2 3 
a) Construa uma tabela de frequências de acordo com os dados. 
b) Determine: 
iii. A média das pessoas de cada agregado familiar; 
iv. . A mediana; 
v. A moda. 
4. Determine para cada um dos conjuntos de números seguintes, o valor de , de modo que a 
média seja 7. 
a) 8 7 3 14 
b) 4 2 6 10 8 1 
5. O gráfico mostra a distribuição das idades por anos, de alunos de uma certa escola. 
 
 
 
 
 
a) Determine a média aritmética das idades. 
b) Qual é a moda das idades? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
if
 
ix
 
Meu caderno de actividades de Matemática– 10ª Classe MINEDH - DINES 
 
60 
 
Tópicos de correcção dos exercícios propostos 
 
Unidade temática I: Teoria de conjunto 
Exercícios propostos: 
1. a) V b) V c) F d) F e) V f) V g) V h) V 
2. a) V b) F c) F d) V e) V f) F g) V h) V 
3. a) { } b) { } c) { } d) { } 
 e) { } f) 
4. 
5. a) { } b) { } c) { } d) { } 
6. a) b)  c)  d)  e)  f)  
7. 
8. 
9. 
10. { } b) { } c) { } d) { } 
 e) { } f) { } g) { } h) { } 
11. 
12. { } b) { } c) { } c) {c;e} d) { } 
e) { } f) { } g) { } h) { } i) { } 
13. a)A b) U c) d) U e) A f) A g) A h) i) U j) 
14. ] ] { } b) ] [ [ ] c) [ [ d) ] [ 
e) ] ] [ ] f) ] ] [ ] g) ] [ 
15. a) b) 45 c) 50 
16. a) 95 b) 125 c) 625 d) 100 e) 725 
17. a) 20 b) 24 c) 22 d) 32 
18. a) 140 b) 230 c) 480 
19. +a) b) 240 
 
Unidade temática II: Equações quadráticas paramétricas simples 
Exercícios propostos: 
1. 
2. 
3. 
4. 
 
 
 
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61 
 
5. a) b) + 
 
 
+ b) m = 
 
 
 c) ] [ 
Unidade temática III: Equação biquadrada 
Exercícios propostos: 
1. 
2. c) { } 
3. b) √ b) 18 
Unidade temática IV: Função quadrática 
 
Exercícios propostos: 
1. 
 
 
 
 
 
 
 
2. a) Pois tem o b) pois tem o 
3. a) 7 a) 6 b) 34 c) 3 d) =; > e < 
4. b =
 
 
 ; c = - 
 
 
 e f( 3 ) + 2.f( 1 ) = 29 
5. IR b) ] ] c) d) e) f) 
 g) i. ] [ ii. ] [ h) i. [ ] ii. ] [ 
] [ 
6. 
7. Para função a) b) c) d) [ [ e) 
 para todo domínio IR. 
Para função a) (
 
 
 
 
 
) b) 
 
 
 c) ( 
 
 
)
 
 
 
 
 d) *
 
 
 * e) 
 para todo domínio IR 
8. 
9. a) b) 
10. 
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62 
 
11. 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
12. C) Pois anula-se quando toma valores 
13. a) Substituindo e obtém-se o valor da soma 
14. a) É o intervalo onde o gráfico passa por cima do eixo dos 
15. c) Pois o valor de e o máximo é dado pelo valor de . 
16. d) Pois o valor de e o mínimo é dado pelo valor de . 
17. b) 
18. b) Pois onde o gráfico é negativo é no intervalo ] [. 
19. . a) ] ] [ ][ [ b) ] [ ] [ c) +
 
 
 * d) 
 (
 
 
 
 
 
) e) 
20. b) 10 m 
21. a) 3 e 8, b) entre 3 a 8, c) antes do dia 3 e depois do dia 8. 
22. a) ; e vértice representa ponto mínimo do gráfico. b) V( 0; 16 ) e b) 
vértice representa ponto máximo do gráfico. b) V( 2; 4) e vértice representa ponto 
máximo do gráfico. d) V( 0; - 9 ) e vértice representa ponto mínimo do gráfico. 
23. b) c) ] [ d) ] [ 
24. a) b) 
 
 
 c) y = d) 
 
Unidade temática V: Inequação quadrática 
Exercícios propostos: 
1. a) [ ] b) ] [ ] [ c) ] ][ ][ [ d) e) 
+ 
 
 
* ] [ f) ] [ ] [ 
2. a) b) d) 
 ] [ ] [ ; [ ] 
 
Unidade temática VI: Função exponencial 
Exercícios propostos: 
1. 
a) b) 
 
 
 
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c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. b) e c) 
3. a) Crescente b) Decrescente c) Crescente d) decrescente 
4. b) Todas as funções têm como domínio IR; Contradomínio ; Não tem zeros; são 
crescentes e intersectam-se no ponto 
5. a) b) c) para ] [ e para ] [ d) é 
crescente para todo domínio e) 
6. a) b) 0 c) 
 
 
 d) e) f) 
 
 
 
7. a) ] [ b) c) 
 
 
Unidade temática VII: Logaritmo e Função Logarítmica 
Exercícios propostos: 
1. d) 
2. a) 2 b) 7 c) 0 d) -4 e) 
 
 
 f) 1 g) -4 h) -4 i) 3 
j) 3 k)5 l) 15 m) 3 n) 
 
 
 
3. a) crescente; b) decrescente; c) crescente; d) crescente 
4. b) b) c) para ] [ e para ] [ 
d) é crescente para todo domínio e) 
5. a) ] ] b) ] [ c) ] [ 
6. a) b) ] ] c) d) ] [ ] [ e) 
7. a) b) ] [ c) d) ] [ ] [ e) 
 
 
 
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Unidade temática VIII: Trigonometria 
Exercícios propostos: 
1. a) b) 
 
 
 
2. a) b) 
3. a) b) 
4. a) 135º b) 210º c) -30º d) 240º e) 180º f) 120º g)315º 
 
5. 
 
6. a) 1º b) 3º c) 4º d) 4º 
 
7. 3 e √ 
 
8. . e 
 
9. e 
 
10. √ 
 
11. a) 
 
 
 
 
 
 b) 1 tg Ê = 1 c) 
√ 
 
 e √ 
 
12. √ 
 
13. a) e b) 
14. 40 km 
 
15. √ 
 
16.