Questão resolvida - Um galpão retangular deve ser construído em um terreno em forma de triângulo, conforme visto na figura abaixo Determine a área máxima possível para o galpão - multiplicadores de La

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Um galpão retangular deve ser construído em um terreno em forma de triângulo, conforme 
visto na figura abaixo. Determine a área máxima possível para o galpão.
Resolução: 
 
 Usamos a relação de Lagrange, encontramos os valores extremos usando a definida dada 
por;
 
𝛻F x, y = 𝜆𝛻g x, y( ) ( )
 
Assim, devemos encontrar uma função objetivo e uma restrição relacionadas F x, y( ) g x, y( )
com o problema dado.
A função objetivo será a área do retângulo;
 
F x, y = A x, y = xy( ) ( )
 
Perceba que ao colocar o galpão na posição indicada na figura, formamos 2 triângulos que 
são semelhantes ou triângulo maior;
 
 
12 m
16 m
Galpão
x
y
(1)
As medidas do triângulo 1 podem ser expressasda seguinte forma;
Como o triângulo 1 é semelhante ao triângulo maior, formado pelos limites do terreno, 
podemos criar a seguinte relação entre os lados;
 
=
12 - y
12
x
16
 
Fazendo o produto dos meios pelo produto dos extremos, temos;
 
= 12 - y 16 = 12x 12 - y 4 = 3x 48 - 4y = 3x
12 - y
12
x
16
→ ( ) ⏫⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪os e membros da equação ( ) →
 
3x = 48 - 4y 3x + 4y - 48 = 0→
 
Encontramos, assim, nossa restrição ; g x, y( )
 
g x, y = 3x + 4y - 48 = 0( )
 
Agora, fazendo os gradiente de e , temos;𝛻F x, y( ) 𝛻g x, y( )
 
 
 
12 m
16 m
Galpão
Triângulo 1
Triângulo 2
x
y
Triângulo 1
x
12 - y
simplificando por 4
(2)
𝛻F x, y = ⟨ , ⟩ = ⟨y, x⟩( )
𝜕f
𝜕x
𝜕f
𝜕y
 
𝛻g x, y = ⟨3, 4⟩( )
 
Substituindo os gradientes encontrados na equação 1, fica;
 
⟨3, 4⟩ = 𝜆⟨y, x⟩
 
⟨3, 4⟩ = ⟨y𝜆, x𝜆⟩
 
Isso nos leva ao seguinte sistema;
 
3 = y𝜆
4 = x𝜆
 
Isolando lambda em cada equação, temos;
 
3 = y𝜆 y𝜆 = 3 𝜆 =→ ⏫⏪ 
3
y
 
 
4 = x𝜆 x𝜆 = 4 𝜆 =→ ⏫⏪ 
4
x
Igualando os e isolando , fica;𝜆 x
 
= 3x = 4y x =
3
y
4
x
→ →
4y
3
 
Substituindo o valor encontrado para (em função de ) na equação 2, temos; x y
 
3 ⋅ + 4y - 48 = 0
4y
3
Resolvendo para ;y
 
 
 
 
 
(3)
3 ⋅ + 4y - 48 = 0 4y + 4y - 48 = 0 8y = 48 y = y = 6 m
4y
3
→ → →
48
8
→
 
Se y = 6 x = x = 4 ⋅ 2 x = 8 m⏫⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪ 
4 ⋅ 6
3
→ →
 
Dessa forma, temos um ponto de máximo de , ou seja, da área do retângulo máximo F x, y( )
no ponto sujeito a restrição de , com isso a área máxima é;8, 6( ) g x, y( )
 
A = 8 ⋅ 6 A = 48 mMáx → Máx
2
 
Obs.: Há apenas um ponto que fornece um valor de máximo sujeita a restrição dada, já P
que quando (na restrição), e , dessa forma, não há ponto de x -∞→ y ∞→ F x, y ∞( ) →
mínimo.
 
 
substituindo na equação 3
(Resposta )