Prova 1 - Normal - Resolvido

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CONTROLE ESTATÍSTICO DA QUALIDADE 
 
Prova 1 – 22/05/2014 
 
Nome: ____________________________________________________ Matrícula: ___________________ 
 
 
INSTRUÇÕES 
 Antes de iniciar a prova, coloque nome na folha de prova, na folha de respostas e nas tabelas e 
formulários trazidos para a prova. 
 Todos os formulários, tabelas, folha de questões e folhas de respostas deverão ser entregues ao 
final da prova. Não deverão ser feitas anotações nas tabelas e formulários. 
 É permitido o uso de calculadoras científicas simplificadas. Não será permitido o uso de celulares, 
tablets ou calculadoras científicas programáveis. 
 Desligue o celular e guarde-o dentro da mochila. Alunos que forem vistos manuseando o celular 
durante a prova receberão nota ZERO. 
 Respostas finais de questões quantitativas devem ser escritas usando caneta azul ou preta. 
Questões dissertativas podem ser respondidas a lápis. 
 Em questões que envolvam cálculos, apresente os resultados intermediários que levaram à 
resposta final. 
 As questões podem ser respondidas em qualquer ordem, desde que seja indicado na folha de 
respostas o número da questão sendo respondida. 
 
 
EXERCÍCIO 1 
A aplicação de gráficos de controle em processos reais pode ser dividida em duas fases. Explique quais são 
essas duas fases, o que deve ser feito em cada uma delas e como elas se relacionam. 
Resposta: A aplicação dos gráficos de controle pode ser dividida nas fases de Cálculo e de Uso. Durante a 
fase de cálculo, deseja-se estimar os parâmetros do processo, tais como a média e a variabilidade. Para 
isso, deve-se melhorar o processo para que os dados coletados não estejam sob a influência de causas 
especiais. Após coletar os dados, é possível calcular os limites e verificar se o processo realmente esteve 
sob controle durante a fase de Cálculo. Durante a fase de Uso, os limites de controle calculados 
anteriormente são colocados em prática para verificar se o processo continua sob controle, ou seja, sem 
mudanças na média e variabilidade. Periodiacamente é necessário revisar os limites de controle, levando 
ao reinício da fase de cálculo e a posterior fase de uso. 
 
EXERCÍCIO 2 
Uma característica da qualidade, normalmente distribuída, é monitorada através do uso de gráficos �̅� e 𝑅 
com subgrupos de tamanho 𝑛 = 4. Esses gráficos têm os seguintes parâmetros: 
 
Gráfico �̅� Gráfico 𝑹 
LSC = 626,0 LSC = 18,795 
LM = 620,0 LM = 8,236 
LIC = 614,0 LIC = 0 
 
Considerando que o processo está sob controle estatístico, responda as questões a seguir: 
a) Qual é o desvio padrão estimado do processo? 
Resposta: A distância entre os limites de controle e a LM é igual a 6. Sabemos que: 
𝐿𝑆𝐶 = �̿� +
3�̂�
√𝑛
 
Portanto, podemos descobrir qual é o desvio padrão do processo: 
3�̂�
√𝑛
= 6 →
3�̂�
√4
= 6 → 3�̂� = 12 → �̂� = 4 
 
b) Se as especificações do produto são 610 ± 15, qual é a sua avaliação sobre a capacidade do 
processo? Para isso, calcule os índices de capacidade e o PPM. 
Resposta: Os cálculos são sintetizados na tabela a seguir. Podemos perceber que o processo é 
altamente incapaz, produzindo mais de 10% de itens não conformes (PPM 105.649) 
 
Desv. Pad 4 Z-LSE 1,25 
Média 620 Z-LIE 6,25 
LSE 625 Pr[Z-LSE] 0,10565 
LIE 595 Pr[Z-LIE] 0 
Cp 1,25 Pr Total 0,10565 
Cps 0,416667 PPM 105649,8 
Cpi 2,083333 
Cpk 0,416667 
 
c) O que poderia ser feito para reduzir essa fração de não conformes? 
Resposta: A principal estratégia para melhorar o desempenho seria centralizar a média no Valor 
Alvo. Ou seja, fazer com que a média do processo seja 610. Considerando que o desvio padrão do 
processo permaneça igual a 4, teríamos: 
 
Desv. Pad 4 Z-LSE 3,75 
Média 610 Z-LIE 3,75 
LSE 625 Pr[Z-LSE] 0,0000900 
LIE 595 Pr[Z-LIE] 0,0000900 
Cp 1,25 Pr Total 0,00018 
Cps 1,25 PPM 180 
Cpi 1,25 
Cpk 1,25 
 
d) Considerando a situação atual do processo, qual é a probabilidade de se detectar um deslocamento 
para 610 na média do processo na primeira amostra subsequente a tal deslocamento? (Considere 
que 𝜎 permanece constante) 
Resposta: Desejamos estimar primeiramente o erro 𝛽, que é a probabilidade de tirarmos uma 
amostra de tamanho n = 4 e ela cair dentro dos limites de controle quando o processo teve sua 
média modificada para 610. Para isso, precisamos usar o desvio padrão das médias �̂��̅� = �̂�/√𝑛, 
que neste caso resulta em �̂��̅� = 2. A tabela abaixo sintetiza os cálculos. Com base na tabela, 
concluítmos que a probabilidade de detecção na primeira amostra é de 97,725%. 
 
Nova média 610 
Desvio Médias 2 
LSC 626 
LIC 614 
Z-LSC 8 
Z-LIC 2 
Erro Beta 0,02275 
Acerto 0,97725 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 3 
O monitoramento de uma característica da qualidade usa os gráficos de controle �̅� e 𝑆. Os gráficos são 
baseados nas seguintes estimativas: �̂� = 200, �̂� = 10, com 𝑛 = 5. Responda as questões: 
a) Calcule o limite de controle três-sigma para os gráficos �̅� e 𝑆. 
Resposta: Neste exercício, as estimativas das médias e do desvio padrão do processo já são dadas, 
portanto os limites do Gráfico �̅�, são obtidos diretamente. Para o Gráfico 𝑆 temos que descobrir o 
valor de 𝑆̅. Isso pode ser obtido usando a relação �̂� = 𝑆̅ 𝑐4⁄ , resultando em 𝑆̅ = 9,4. A tabela a 
seguir apresenta os limites de controle: 
 
Gráfico X-Barra Gráfico S 
LSC 213,4164 LSC 19,63523 
LM 200 LM 9,4 
LIC 186,5836 LIC 0 
 
b) Encontre os limites de controle para o Gráfico �̅� de modo que a probabilidade de erro do Tipo I seja 
𝛼 = 0,05. 
Resposta: Olhando na tabela da distribuição normal, o limite de controle que oferece erro do Tipo I 
com 𝛼 = 0,05 deve ter 𝛼 2⁄ de probabilidade de erro em cada lado. Isso acontece com 𝐿 = 1,96 
desvios padrão. Assim: 
 
Valor de L Limites X-Barra 
Erro Total 0,05 LSC 208,7654 
Erro em cada LC 0,025 LM 200 
Valor de L 1,96 LIC 191,2346 
 
EXERCÍCIO 4 
A característica da qualidade de um processo produtivo possui as características apresentadas a seguir: 
 
Especificação 500 ± 20 
Média histórica 495,3 
Desvio padrão do processo 4,6 
 
O comprador dessa empresa exige 𝐶𝑝𝑘 > 1,33 para essa variável da qualidade. Responda: 
a) O processo atende a esse requisito? 
Resposta: Os cálculos a seguir mostram que o requisito não é atendido: 
 
LSE 520 Cps 1,789855 
LIE 480 Cpi 1,108696 
Média 495,3 Cpk 1,108696 
Desv. Pad 4,6 
 
b) A centralização da média no valor-alvo seria o suficiente para atender o requisito? 
Resposta: Os cálculos a seguir mostram que centralizar a média no valor alvo é suficiente para 
obter 𝐶𝑝𝑘 = 1,45, portanto atende o requisito. 
 
LSE 520 Cps 1,449275 
LIE 480 Cpi 1,449275 
Média 500 Cpk 1,449275 
Desv. Pad 4,6 
 
 
EXERCÍCIO 5 
As concentrações de um produto químico são avaliados a cada batelada que é produzida. A média histórica 
do processo é �̂�0 = 175. Os dados das últimas 10 bateladas são dados a seguir: 
 
Batelada Valor Batelada Valor 
1 174,4063 6 172,7351 
2 175,3153 7 174,2403 
3 173,338 8 173,3075 
4 175,3648 9 175,8017 
5 174,8472 10 174,6206 
 
Responda as questões: 
a) Com base nos dados acima, utilize o método das amplitudes móveis com 𝑛 = 2 para estimar a 
variabilidade do processo. 
Resposta: Para estimar o desvio padrão do processo, basta calcularmos a média das amplitudes 
móveis e dividir pela constante 𝑑2 = 1,128. 
 
MR-barra 1,517356 
d2 1,128 
Desv. Pad. 1,345173 
 
b) Construa um CUSUM tabular e verifique se houve deslocamento na média de ordem 𝛿 = 1 desvio 
padrão. Para isso, utilize 𝐻 = 4. 
Resposta: Primeiro é necessário fazer alguns cálculos preliminares: 
 
K 0,672587 
Média 175 
Média + K 175,6726 
Média - K 174,3274 
 
A seguir é apresentada a tabelaCUSUM: 
 
 
Desvios Acima Desvios Abaixo 
Batelada Valor MR Xi + (Média + K) Acum. N+ (Média - K) - Xi Acum. N- 
1 174,4063 -1,266243164 0 0 -0,078930193 0 0 
2 175,3153 0,908994 -0,357248687 0 0 -0,987924671 0 0 
3 173,338 1,977385 -2,334634012 0 0 0,989460655 0,989461 1 
4 175,3648 2,026838 -0,307795822 0 0 -1,037377535 0 0 
5 174,8472 0,517574 -0,825369619 0 0 -0,519803738 0 0 
6 172,7351 2,1121 -2,937469317 0 0 1,59229596 1,592296 1 
7 174,2403 1,505218 -1,432251451 0 0 0,087078094 1,679374 2 
8 173,3075 0,932823 -2,365074814 0 0 1,019901456 2,699276 3 
9 175,8017 2,494156 0,129080734 0,129081 1 -1,474254092 1,225021 4 
10 174,6206 1,181112 -1,052030925 0 0 -0,293142433 0,931879 5 
 
Como o valor utilizado é 𝐻 = 4, então teremos uma causa especial se o valor acumulado em um dos lados 
ultrapassar 4�̂� = 4 × 1,345 = 5,38. Portanto, não há evidência suficiente que comprove que o processo 
está fora de controle. 
 
 
EXERCÍCIO 6 
Um mesmo operador mede dez peças três vezes cada uma, em um estudo de capacidade de um 
equipamento de medição. Os dados coletados foram os seguintes: 
 
 
Medidas 
Peça 1 2 3 
1 100 101 100 
2 95 93 97 
3 101 103 100 
4 96 95 97 
5 98 98 96 
6 99 98 98 
7 95 97 98 
8 100 99 98 
9 100 100 97 
10 100 98 99 
 
Responda as questões a seguir: 
a) Estime o erro de medição resultante da utilização desse equipamento de medição. 
Resposta: Neste caso, somente podemos estimar o erro de medição com base na repetibilidade. 
Portanto, temos: 
 
Média-R 2,3 
d2 1,693 
Desv. Repet. 1,358535 
 
b) Sabendo que a estimativa de variabilidade total do conjunto de dados é �̂� = 2,17, estime a 
variabilidade real do processo. 
Resposta: Agora que sabemos o erro da medição, podemos descobrir o erro do processo: 
 
�̂�𝑃𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜 = √�̂�𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
2 − �̂�𝑀𝑒𝑑𝑖çã𝑜
2 = √2,172 − 1,362 = 1,69 
 
c) Que porcentagem da variabilidade total é devida ao medidor? Faça um comentário sobre a 
adequação do equipamento de medição avaliado. 
Resposta: Com base no cálculo abaixo, podemos concluir que o erro de medição corresponde a 
10% da variabilidade total. Portanto, o equipamento é apropriado apenas para medições não 
críticas, pois 0,1 ≤ %𝑅&𝑅 ≤ 0,3.