Prova 2 - Normal - Resolvida

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CONTROLE ESTATÍSTICO DA QUALIDADE 
 
Prova 2 – 22/07/2014 
 
Nome: ____________________________________________________ Matrícula: ___________________ 
 
INSTRUÇÕES 
 Antes de iniciar a prova, coloque nome na folha de prova, na folha de respostas e nas tabelas e 
formulários trazidos para a prova. 
 Todos os formulários, tabelas, folha de questões e folhas de respostas deverão ser entregues ao 
final da prova. Não deverão ser feitas anotações nas tabelas e formulários. 
 É permitido o uso de calculadoras científicas simplificadas. Não será permitido o uso de celulares, 
tablets ou calculadoras científicas programáveis. 
 Desligue o celular e guarde-o dentro da mochila. Alunos que forem vistos manuseando o celular 
durante a prova receberão nota ZERO. 
 Respostas finais de questões quantitativas devem ser escritas usando caneta azul ou preta. 
Questões dissertativas podem ser respondidas a lápis. 
 Em questões que envolvam cálculos, apresente os resultados intermediários que levaram à 
resposta final. 
 As questões podem ser respondidas em qualquer ordem, desde que seja indicado na folha de 
respostas o número da questão sendo respondida. 
 
EXERCÍCIO 1 (Valor: 1,5) 
Um engenheiro da qualidade deseja utilizar um gráfico de controle para acompanhar a proporção de peças 
defeituosas em um processo produtivo. Para isso, ele determinou os limites de controle para o gráfico 𝑝 
utilizando 20 amostras de tamanhos diferentes, com �̅� = 348,5. A proporção média de itens defeituosos 
observadas nas 20 amostras foi �̅� = 0,0113. Considerando que o processo esteve sob controle durante 
essas 20 amostras, responda as questões a seguir: 
a) Na fase de uso do gráfico de controle, a amostra 37 consistiu na avaliação de 376 peças, com 10 
delas sendo consideradas defeituosas. É possível afirmar que o processo esteve fora de controle no 
momento em que essa amostra foi coletada? Explique (Valor: 0,5) 
Resposta: Não é possível afirmar que o processo esteve fora de controle, portanto, assumimos que 
o processo esteve sob controle. 
 
Ex. 1A 
n 376 
d 10 
p 0,026596 
LSC 0,027653 
 
b) A proporção média de defeituosos observada nas amostras 56 a 63 foi de 2%. Ao todo, foram 
avaliadas 2934 peças nessas 8 amostras. Teste se realmente essa proporção de defeituosos 
caracteriza um deslocamento no desempenho do processo. (Valor: 1,0) 
Resposta: A realização do teste de hipóteses para duas proporções mostra que houve de fato um 
deslocamento significativo no desempenho do processo (a proporção de defeituosos aumentou). 
 
Ex. 1B 
p2 0,02 p-barra (p1) 0,0113 
n2 2934 n-barra 348,5 
p-chapeu 0,013877 amostras 20 
Dif-p 0,0087 n1 6970 
Z0 3,379419 
Z-Crítico 1,644854 
 
EXERCÍCIO 2 (Valor: 1,5) 
A tabela abaixo apresenta o número de não conformidades no acabamento de discos rígidos para 
computadores observados a cada dia de produção. De acordo com a tabela, a cada dia um número 
pequeno de discos é avaliado e são registrados o número de não conformidades encontradas. 
 
Dia 
Qtd. de discos 
inspecionados 
Total de 
NCs 
1 2 10 
2 4 30 
3 2 18 
4 1 10 
5 3 20 
6 4 24 
7 2 15 
8 4 26 
9 3 21 
10 1 8 
 
Com base nos dados da tabela, é possível concluir que o processo esteve sob controle durante a coleta das 
10 amostras? 
 
Resposta: Este problema requer a aplicação do gráfico u, uma vez que cada amostra possui tamanhos 
distintos. A forma mais fácil de resolver este exercício é utilizando como Unidade de Inspeção apenas 1 
disco rígido, ou seja, 𝑈𝐼 = 1. Conforme mostra a tabela abaixo, �̅� =
182
26
= 7 e o processo esteve sob 
controle. 
 
Dia 
Qtd. de discos 
inspecionados 
Total de NCs u LIC LM LSC 
1 2 10 5,00 1,39 7 12,61 
2 4 30 7,50 3,03 7 10,97 
3 2 18 9,00 1,39 7 12,61 
4 1 10 10,00 -0,94 7 14,94 
5 3 20 6,67 2,42 7 11,58 
6 4 24 6,00 3,03 7 10,97 
7 2 15 7,50 1,39 7 12,61 
8 4 26 6,50 3,03 7 10,97 
9 3 21 7,00 2,42 7 11,58 
10 1 8 8,00 -0,94 7 14,94 
SOMA 26 182 
 
 
 
Observação: Não é necessário calcular todos os limites para resolver este exercício. Uma forma mais fácil é 
calcular o limite para o maior 𝑛, que será o mais estreito. Como todos os pontos estão dentro desse limite 
mais estreito, eles também estarão dentro de seus respectivos limites. 
 
 
EXERCÍCIO 3 (Valor: 2,0) 
Considere um plano de inspeção por amostragem simples com 𝑁 = 3000, 𝑛 = 50 e 𝑐 = 0. A tabela abaixo 
apresenta as probabilidades de aceitação, juntamente com os valores QSM e ITM, para vários valores de 𝑝. 
 
Prop (p) Prob Aceitação QSM ITM 
0,005 0,778312557 0,003827 703,978 
0,01 0,605006067 0,005949 1215,232 
0,02 0,36416968 0,007162 1925,699 
0,03 0,218065375 0,006433 2356,707 
0,04 0,129885794 0,005109 2616,837 
0,05 0,076944975 0,003783 2773,012 
0,06 0,045330727 0,002675 2866,274 
0,07 0,026555069 0,001828 2921,663 
0,08 0,015466476 0,001217 2954,374 
 
Responda as questões a seguir: 
a) Calcule os valores que estão faltando na tabela. (Obs: Coloque as respostas na folha de respostas) 
(Valor: 0,5) 
Resposta: Os valore estão destacados na tabela acima. 
 
b) A empresa deseja NQA = 1% e PADL = 3%. Este plano se encaixa nas necessidades da empresa? 
Explique. (Valor: 0,5) 
Resposta: No NQA a probabilidade de aceitação é muito baixa e no PADL o nível de aceitação é 
muito alto. Portanto, este plano é inadequado para os desejos da empresa. 
 
c) Desenhe a curva QSM e estime o valor LQSM. Como ele deve ser interpretado? (Valor: 1,0) 
Resposta: A curva QSM é apresentada abaixo. Podemos estimar o LQSM como aproximadamente 
0,007 (0,7%). Isso significa que, se a empresa usar a inspeção por retificação, este plano fará com 
que haja no máximo 0,7% de peças defeituosas no processo. 
 
EXERCÍCIO 4 (Valor: 2,0) 
Uma empresa deseja implementar um plano de inspeção por amostragem dupla para um determinado 
componente. Os parâmetros do plano de inspeção são 𝑛1 = 50, 𝑐1 = 0, 𝑛2 = 70 e 𝑐2 = 2. Responda as 
questões a seguir: 
a) Qual será a probabilidade de aceitar lotes com 1% de peças defeituosas? (Valor: 1,0) 
Resposta: A probabilidade será de 90,05%. Os cálculos podem ser vistos abaixo: 
 
Letra A 
Prop (p) 0,01 
Pr [d1=0] 0,605006 
Pr[d1=1] 0,305559 
Pr[d2<=1] 0,844725 
Pr[d1=2] 0,075618 
Pr[d2=0] 0,494839 
Pr Total 0,900538 
 
b) Qual será a probabilidade de um lote com 2% de peças defeituosas ser aceito exatamente na 
segunda amostra? (Valor: 0,5) 
Resposta: A probabilidade de ser aceito exatamente na segunda amostra será 26,45%. 
 
Letra B 
Prop (p) 0,02 
Pr[d1=1] 0,371602 
Pr[d2<=1] 0,590441 
Pr[d1=2] 0,185801 
Pr[d2=0] 0,243123 
Pr Total 0,264581 
 
c) Qual será a probabilidade de um lote com 2% de peças defeituosas ser rejeitado exatamente na 
segunda amostra? (Valor: 0,5) 
Resposta: A probabilidade de ser rejeitado exatamente na segunda amostra será 29,28%. 
 
Letra C 
Prop (p) 0,02 
Pr[d1=1] 0,371602 
Pr[d2>1] 0,409559 
Pr[d1=2] 0,185801 
Pr[d2>0] 0,756877 
Pr Total 0,292821 
 
EXERCÍCIO 5 (Valor: 3,0) 
Um fabricante de automóveis deseja testar dois tipos de filtros para escapamento, com o objetivo de 
verificar qual deles reduz o nível de ruído dos motores. Os dois tipos de filtro (Filtro A e B) foram testados 
em três tipos de carros (Compactos, Médios e Luxo). Para cada combinação de fatores foram testados três 
protótipos, sendo medidos o ruído em decibéis gerados pelos motores. 
 
 
Filtro A Filtro B 
 Tipo de carro Observações Soma Média Observações Soma Média Soma Média 
Compacto 98 102 89 289 96,33333 87 96 100 283 94,33333 572 95,33333 
Médio 106 112 114 332 110,6667 113 104 110 327 109 659 109,8333 
Luxo 122 109 125 356 118,6667 123 111 115 349 116,3333 705 117,5 
Soma 977 
 
9591936 107,5556 
Média 108,5555556 
 
106,5555556 
 
 
Responda as questões a seguir utilizando nível de significância 𝛼 = 0,05: 
a) Realize o teste ANOVA de dois fatores e apresente os resultados no formato tabular. (Valor: 1,0) 
Resposta: Os resultados do teste são apresentados abaixo: 
 
Fonte SQ GL MQ F0 F-Crítico 
Tipo de Carro 1520,778 2 760,3889 19,27746 3,89 
Tipo de Filtro 18 1 18 0,456338 4,75 
Interação 0,333333 2 0,166667 0,004225 3,89 
Erro 473,3333 12 39,44444 
Total 2012,444 
 
b) Com base nos resultados, é possível afirmar que tipos de filtro realmente afetam o ruído gerado 
pelos motores? (Valor: 0,5) 
Resposta: Não foram identificadas diferenças significativas entre os dois modelos de filtro. 
Portanto, conclui-se que ambos os modelos de filtro levam a resultados semelhantes. 
 
c) Há interação entre os fatores? Como isso deve ser interpretado? (Valor: 0,5) 
Resposta: Não foi identificada interação entre os dois fatores (filtro e tipo de carro). Em outras 
palavras, é possível dizer que as combinações de filtro x carro não possuem diferenças 
significativas. Outra forma de enxergar a interação é dizer que não há filtro que é melhor para um 
tipo específico de carro. 
 
d) Calcule o intervalo de confiança 95% para o(s) fator(es) considerados relevante neste estudo. 
(Valor: 1,0) 
Resposta: O único fator considerado significativo é o tipo de carro. Ou seja, o ruído gerado 
depende apenas do tipo do carro. Cada uma das médias foi gerada a partir de 6 observações, com 
um índice de variância que tem 12 graus de liberdade. 
 
Carro Média 
Intervalo 
Inferior 
Intervalo 
Superior 
Compac 95,33333 89,74639 100,9203 
Médio 109,8333 104,2464 115,4203 
Luxo 117,5 111,9131 123,0869 
 
 
DICA: Para o Exercício 5, considere os seguintes valores já calculados: 
∑∑∑𝑦𝑖𝑗𝑘
2
𝑛
𝑘=1
𝑏
𝑗=1
𝑎
𝑖=1
= 210240 
𝑦∙∙∙
2
𝑎𝑏𝑛
= 208227,6 
 
 
FORMULÁRIO 
 
𝑆𝑄𝑇 =∑∑∑𝑦𝑖𝑗𝑘
2
𝑛
𝑘=1
𝑏
𝑗=1
−
𝑦∙∙∙
2
𝑎𝑏𝑛
𝑎
𝑖=1
 𝑆𝑄𝐴 =∑
𝑦𝑖∙∙
2
𝑏𝑛
𝑎
𝑖=1
−
𝑦∙∙∙
2
𝑎𝑏𝑛
 𝑆𝑄𝐵 =∑
𝑦∙𝑗∙
2
𝑎𝑛
𝑏
𝑗=1
−
𝑦∙∙∙
2
𝑎𝑏𝑛
 
𝑆𝑄𝐴𝐵 =∑∑
𝑦𝑖𝑗∙
2
𝑛
𝑏
𝑗=1
𝑎
𝑖=1
−
𝑦∙∙∙
2
𝑎𝑏𝑛
− 𝑆𝑄𝐴 − 𝑆𝑄𝐵 
𝑎𝑏𝑛 − 1 = (𝑎 − 1) + (𝑏 − 1)
+ (𝑎 − 1)(𝑏 − 1)
+ 𝑎𝑏(𝑛 − 1) 
�̂� =
𝑛1�̂�1 + 𝑛2�̂�2
𝑛1 + 𝑛2
 
𝑆𝑄𝐸 = 𝑆𝑄𝑇 − 𝑆𝑄𝐴 − 𝑆𝑄𝐵 − 𝑆𝑄𝐴𝐵 𝐿𝐶𝑝 = �̅� ± 3√
�̅�(1 − �̅�)
𝑛
 𝐿𝐶𝑐 = 𝑐̅ + 3√𝑐 ̅
𝑍0 =
�̂�1 − �̂�2
√�̂�(1 − �̂�) (
1
𝑛1
+
1
𝑛2
)
 
𝑐̅ =
∑ 𝑐𝑖
𝑚
𝑖=1
𝑚
 𝐿𝐶𝑢 = �̅� + 3√�̅� 𝑛⁄ 
�̅� =
𝑐1 + 𝑐2 +⋯+ 𝑐𝑚
𝑛1 + 𝑛2 +⋯+ 𝑛𝑚
 Pr{𝐷 = 𝑑} = (
𝑛
𝑑
)𝑝𝑑(1 − 𝑝)𝑛−𝑑 𝑄𝑆𝑀 =
𝑃𝑎𝑝(𝑁 − 𝑛)
𝑁
 
𝐼𝑇𝑀 = 𝑛 + (1 − 𝑃𝑎)(𝑁 − 𝑛) 𝑃𝑎 = 𝑃𝑎
𝐼 + 𝑃𝑎
𝐼𝐼 �̅�𝑖∙ ± 𝑡𝛼
2
,𝑎(𝑛−1)
√
𝑀𝑄𝐸
𝑛