analisedimensional-11usj-2012-of-120226102252-phpapp01

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ENGENHARIA
Tema Análise Dimensional
Professor:
Data:
Componente: Física 
Dulceval Andrade
Engenharia 13/03/2011
Grandezas Físicas Fundamentais
Unidade no SI
Comprimento L metro m
Massa M quilograma kg
Tempo T segundo s
kelvin K
I ampère A
candela cd
N mols mol
Grandeza
Física
Símbolo da
Dimensão
Símbolo da Unidade
no SI
Temperatura 
termodinâmica
Corrente 
elétrica
Intensidade 
luminosa
I
0
Quantidade 
de matéria
www.laboratoriodefisica.com.br
EXEMPLOS
ALGUMAS FÓRMULAS DIMENSIONAIS
 Velocidade: [v]=LT-1
 Aceleração: [a]=LT-2
 Força: [F]=MLT-2
 Trabalho: [E]=ML2 T-2
 Energia: [E]=ML2 T-2
 Torque: [E]=ML2 T-2
 Potência: [Pot]=ML
2 T-3
 Momento: [Q]=ML T-1
 Velocidade angular: [ω]=T
 Freqüência: [f]=T-1
DIMENSÃO
 Carga elétrica : [q]=IT
 Campo elétrico : [E]=MLT-3I
 Potencial elétrico : [U]=ML2T-3I-1
 Resistência elétrica: [R]=ML2T-3I-2
 Campo magnético: [B]=MT-2I-1
 Fluxo magnético [Ф]=ML2T-2I-1
 Calor específico: [c]=L2 T-2 θ-1
 Coeficiente de dilatação [ α ]= θ-1
 Fluxo de calor: [ Ф ]= ML2 T-3
 Intensidade sonora [I]=MT-3
GRANDEZAS FÍSICAS ADIMENSIONAIS
 Coeficientes de atrito
 Índice de refração
 Rendimento
 Nível de intensidade sonora
Principais usos:
 Verificação da homogeneidade de 
fórmulas;
 Previsão de equações físicas;
 Mudança de unidades;
TEOREMA DE BRIDGMAN
 Toda grandeza secundária pode ser 
expressa por um produto de potências 
das grandezas primárias.
 Suponhamos que uma grandeza 
secundária G seja uma função das 
grandezas primárias A, B,C ... Z. O 
teorema de Bridgman diz que se poderá 
escrever:
G=KAαBβCγ...Zω
ATENÇÃO!!!
 Todo arco é adimensional.
 Toda função trigonométrica é adimensional
 Todo expoente é adimensional.
 Toda grandeza definida pela razão de duas 
grandezas físicas, de mesma dimensão, é 
adimensional.
 Só podemos somar e subtrair grandezas 
físicas de mesma dimensão.
HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL
 Uma equação física verdadeira deve ser 
dimensionalmente homogênea, isto é, 
dever ter em ambos os membros a 
mesma fórmula dimensional.
Homogeneidade das equações
Num movimento oscilatório, a abscissa (x) 
da partícula é dada em função do tempo 
(t) por: X= A + B cos(Ct). Sendo [X]=L, 
obtenha a fórmula dimensional de A, B e 
C. 
Resolução...
 X= A + B cos(Ct)
0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 1
0 0
...
...cos( )
A M LT
sendo Ct M L T
C t M L T C T
C M L T
sendo ct adnensional
B M LT
exemplos
2 2
0V V 2a S
2 2
0[V ] [V ] [2a S]
2 2 2 2 2 2L T L T L T
2
0 0
a
S S V t t
2
2
0 0
a
[S] [S ] [V t] [ t ]
2
1 2 2L L LT T LT T
L L L L
1 2 1 2 2(LT ) (LT ) LT L
exemplos
 Teorema do Impulso
I Q
F 0F t mV mV
F 0[F t] [mV ] [mV ]
2 1 1MLT T MLT MLT
1 1 1MLT MLT MLT
Previsão de fórmulas -TIPLER
 A intensidade da resultante centrípeta é 
função apenas da massa, da velocidade 
e do raio da trajetória. Por análise 
dimensional obter, a menos da 
constante adimensional(K), a expressão 
da intensidade da força centrípeta.
Resolução
2 1
2
1 2 1
2
1
1 1; 2; 1
2
x y z
cp
yx z
x y z y
cp
cp
F Km v r
MLT K M LT L
MLT KM L T
x
y z x y z
y
F Km v r
mv
F K
r
Previsão de fórmulas
 Um cientista, fazendo experiências em 
um laboratório, verifica o período(t) de 
oscilação de um pêndulo simples 
alterando o comprimento do fio(L), a 
massa(m) e considerando a 
gravidade(g) local. Como pode ele, 
usando análise dimensional, obter uma 
fórmula para calcular t, isto é, uma 
função do tipo t=f(L,m,g).
Resolução
1
2
0 0 1 2
0 0 1 2
1
0 2
g
[ ] ( ) ( ) ( )
1 1
0 0; ;
2 2
2 1
g g
x y z
x y z
x y z z
x y z
t Km l
t M L T M L LT
M L T M L T
x o
y z x z y
z
t Km l Km l
l
T K
g
EXERCÍCIOS TIPLER
 Sabe-se que o momento angular de uma 
massa pontual é dado pelo produto vetorial do 
vetor posição dessa massa pelo seu momento 
linear. Então, em termos das dimensões de 
comprimento (L), de massa (M), e de tempo 
(T), um momento angular qualquer tem sua 
dimensão dada por dada por
a) L0MT–1. b) LM0T–1. c) LMT–1.
d) L2MT–1. e) L2MT–2.
resolução
EXERCÍCIOS (DISCUTIDO EM AULA)
 Define-se intensidade I de uma onda como a razão entre a 
potência que essa onda transporta por unidade de área 
perpendicular à direção dessa propagação. Considere que para 
uma certa onda de amplitude a, freqüência f e velocidade v, que 
se propaga em um meio de densidade ›, foi determinada que a 
intensidade é dada por: Indique quais são os valores 
adequados para x e y, respectivamente.
a) x = 2; y = 2
b) x = 1; y = 2
c) x = 1; y = 1
d) x = - 2 ; y = 2
e) x = - 2; y = - 2
Resolução
Exercícios
 01- Determine a equação dimensional de 
Capacitância de um capacitor.
2 2
2 3 1
1 2 4 2
2 3 1
Q
C Q is IT
U
J ML T
w s TPot Ui U
A A I
U ML T I
IT
C M L T I
ML T I
Exercício 02
No estudo de um fenômeno da natureza 
foram envolvidas as grandezas A, B,C e 
D, diferentes entre si. A relação entre as 
grandezas é: 
Se B tem dimensão de massa, C de 
comprimento e D dimensão de tempo, a 
unidade de medida de A no Sistema 
internacional de Unidade é:
a)m/s b) N.s c)J/m d)N e)J 
2 2A BC D
resolução
2 2
2 2
2 2
A=BC D
[A]=[B][C] [D]
[A] ML T
Portanto “A” representa energia e sua unidade no Sistema 
Internacional é o Joule (J)
Resposta E
Exercício 03
Com relação as grandezas fundamentais 
MLT I, determine as equações 
dimensionais das seguintes grandezas:
a)Constante Universal dos gases perfeitos 
(R).
b)Resistência elétrica (R).
resolução
2 -2
3
2
-2
2 -2 1 0
a)PV=nRT
[PV]=ML T (trabalho)
ou
F
[PV] V(m ) N.m
A(m )
[n] adimensional
PV=nRT
MLT [R]
[R] ML T I
2
2n
2 2
2
2 3 2 0
P=Ri
E
Ri
t
ML T
[R]I
T
[R] ML T I
exercício
Um estudante do 1º ano de Engenharia 
não se lembra da fórmula correta que 
relaciona o módulo da velocidade V de 
propagação do som, com a pressão P e 
a massa específica , num gás. No 
entanto, ele se recorda que a fórmula é 
do tipo (vide eq. ao lado) , em que C é 
uma constante adimensional. Após um 
exame da equação dimensional ele 
conclui que os expoentes e valem 
respectivamente:
a)1;2 b)1,1 c)2,1 d)2,2 e) 3,2
C.P
V
resolução
3
2
1 2
2
1 1 2 3 1
1 3 2
C.P
V
[ ] ML
F MLT
[P] ML T
A L
substituindo
[LT ] [ML T ] [ML ]
L T M L T
1 0
3 1; 2
2
resp.C
Será discutido em aula
A figura abaixo representa um sistema 
experimental utilizado para determinar o volume de 
um líquido por unidade de tempo que escoa 
através de um tubo capilar de comprimento L e 
seção transversal de área A. Os resultados 
mostram que a quantidade desse fluxo depende da 
variação da pressão ao longo do comprimento L do 
tubo por unidade de comprimento ( P/L), do raio do 
tubo (a) e da viscosidade do fluido ( ) na 
temperatura do experimento. Sabe-se que o 
coeficiente de viscosidade ( ) de um fluido tem a 
mesma dimensão do produto de uma tensão (força 
por unidade de área) por um comprimento dividido 
por uma velocidade. Recorrendo à análise 
dimensional, podemos concluir que o volume de 
fluido coletado por unidade de tempo é 
proporcional a
resolução