[Resolvida] Lista de exercícios - Cálculo vetorial

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Renato da Silva Viana Duvi 1
Questões
1) Determine o campo vetorial gradiente de f .
a) f(x, y, z) = 8x4 z + 7y2 z + x y
b) f(x, y, z) = sin(3x y z)
2) Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
a)
∫
C
3y ds, onde C : x = 3t, y = 4t, 0 ≤ t ≤ 1
b)
∫
C
(3x+ y) dy, onde C é o arco de parábola y = x2 de (0, 0) a (1, 1)
3) Calcule a integral de linha diretamente ou usando o teorema de Green.∮
2y dx+ 7x dy
C é o arco de parábola y = 5x2 de (0, 0) a (1, 5) seguido pelo segmento de reta y = 5x de
(1, 5) a (0, 0)
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Renato da Silva Viana Duvi 2
Resoluçıes
Questªo 1.
a)
Derivadas parciais:
@f
@x
=
@(8x4 z + 7y2 z + x y)
@x
= 32x3 z + y
@f
@y
=
@(8x4 z + 7y2 z + x y)
@y
= 14y z + x
@f
@z
=
@(8x4 z + 7y2 z + x y)
@z
= 8x4 + 7y2
Vetor gradiente:
r f =
�
@f
@x
;
@f
@y
;
@f
@z
�
= (32x3 z + y;14y z + x; 8x4 + 7y2)
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b)
Derivadas parciais:
@f
@x
=
@(sin(3x y z))
@x
= 3y z cos(3x y z)
@f
@y
=
@(sin(3x y z))
@y
= 3x z cos(3x y z)
@f
@z
=
@(sin(3x y z))
@z
= 3x y cos(3x y z)
Vetor gradiente:
r f =
�
@f
@x
;
@f
@y
;
@f
@z
�
= (3 y z cos(3x y z); 3x z cos(3x y z); 3x y cos(3x y z))
= 3 cos(3x y z)(y z; x z; x y)
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Questªo 2. a)
Z
C
3y ds; C : x = 3 t; y = 4 t; 0 � t � 1
Z
C
3y ds =
Z 1
0
3y
s �
dx
dt
� 2
+
�
dy
dt
� 2
dt
=
Z 1
0
3(4t)
s �
d(3t)
dt
� 2
+
�
d(4t)
dt
� 2
dt
=
Z 1
0
12t
p
32 + 4 2 dt
=
Z 1
0
60t dt
= [30t2]10
= 30
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Questªo 2. b)
Z
C
(3x + y) dy; C : y = x2; de (0; 0) a (1; 1)
y = x2 ) dy = 2x dx
Z
C
(3x + y) dy =
Z 1
0
(3x + x2)2x dx
=
Z 1
0
6x2 + 2x3 dx
=
�
2x3 +
x4
2
� 1
0
=
5
2
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Questªo 3.
I
C
2y dx + 7x dy; C : y = 5x2; de (0; 0) a (1; 5); e y = 5x; de (1; 5) a (0; 0)
I
C
2y dx + 7x dy =
ZZ
D
�
@(7x)
@x
�
@(2y)
@y
�
dA; D =
�
(x; y) 2 R2 j 0 � x � 1; 5x2 � y � 5x
	
=
Z 1
0
Z 5x
5x2
(7 � 2) dy dx
= 25
Z 1
0
x � x2 dx
= 25
�
x2
2
�
x3
3
� 1
0
=
25
6
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