Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
1 Álgebra Linear 1.1 Noção e operações com matrizes 1) Considere a matriz A= 1 0 0 6 −3 0 1 0 2 7 0 0 1 −3 −2 4 1 −5 −10 4 1 2 3 4 5 5 2 −6 1 5 (a) Qual é o tipo e quantos elementos tem A; (b) Escreva os elementos da terceira coluna; (c) Escreva os elementos da quinta linha; (d) Escreva os elementos (3, 5), (5, 5), (1, 3) e (2, 1). 2) Considere a matriz A= 1 2 3 4 5 4 3 −1 2 5 −1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 0 2 −1 −2 4 (a) Qual é o tipo e quantos elementos tem B; (b) Escreva os elementos da quarta coluna; (c) Escreva os elementos da segunda linha; (d) Escreva os elementos (2, 3), (4, 4), (3, 1) e (5, 4). (e) Escreva os elementos da diagonal principal. 3) Dadas as matrizes A= [ 1 x 3 4 ] e B= [ x y − z 3 z ] . Deremine x , y e z de modo que A = B . 4) Achar x e y , se [ 3x y y x ] = 2 · [ x y −y x ] − [ y −x 3 −y ] . 5) Dadas as matrizes A= [ 2 4 1 2 ] ;B= [ −2 3 1 −2 ] ;C= [ 2 3 6 9 ] e D= [ 1 1 1 3 ] . Calcule: (a) A+B; (b) 3 ·A; (c) 3 ·A+ 2 ·B − 2 ·C +D. 6) Dadas as matrizes A= 1 2 35 6 7 0 1 0 e B= −2 3 41 −6 2 3 1 0 . Calcule: (a) A transposta de B; (b) A+B; (c) (A+B)T ; (d) B −A; (e) BT −AT . 4 Álgebra Linear e Geometria Analítica 5 7) Calcular A− 2B + 3C , se: (a) A= [ 1 2 2 3 ] ; B= [ −1 2 0 4 ] e C= [ 0 1 −2 1 ] ; (b) A= [ −1 0 1 3 ] ; B= [ −2 1 3 0 ] e C= [ 3 2 1 1 ] ; (c) A= [ 1 2 −1 3 ] ; B= [ −1 2 0 0 4 0 ] e C= [ 0 1 1 0 ] ; (d) A= 1 2 33 2 1 1 4 2 ; B= −1 3 01 2 −1 0 1 4 e C= 1 3 22 1 4 1 −1 5 ; (e) A= 1 2 3 40 1 2 3 −1 0 1 2 ; B= −2 −3 −4 −50 1 0 1 1 0 1 0 e C= 2 3 −1 00 1 −1 2 0 1 −1 3 . 8) Achar A ·B , se: (a) A= [ 1 −1 2 ] e B= 13 4 (b) A= 13 4 e B= [ 1 −1 2 ] (c) A= 1 −1 20 1 3 2 1 4 e B= 1−1 2 (d) A= 2 −1 11 0 −1 2 1 1 e B= 1−2 2 (e) A= [ 2 1 4 −2 ] e B= [ 1 3 −2 0 ] (f) A= [ 1 3 −2 0 ] e B= [ 2 1 4 −2 ] (g) A= 0 2 −1−2 −1 2 3 −2 −1 e B= 4 3 13 2 1 1 3 5 (h) A= 0 2 −1−2 −1 2 3 −2 −1 e B= 1 −3 23 −4 1 2 3 5 (i) A= 4 1 4−1 −2 −1 2 −1 −2 e B= 3 0 1−1 2 0 0 0 2 (j) A= 1 2 0 31 2 −1 1 0 1 2 1 e B= 1 −1 2 −2 −1 1 −2 2 . 9) Sejam A= 1 −1 01 3 2 1 2 1 e B= 1 22 3 0 1 Calcule se possível: (a) A ·B; (b) AT ·B; (c) B ·A; (d) A ·AT ; (e) B ·BT ; (f) BT ·A. 10) Determine os valores de a , b e c , para que as matrizes A e B sejam simétricas: A= 1 −1 ba 3 2 0 c 1 e B= 1 2 b−1 a 1 3 c 0 . 11) Demonstre que uma matriz simétrica é matriz quadrada. 12) Prove que o produto de uma matriz pela sua transposta é uma matriz simétrica. Álgebra Linear e Geometria Analítica 6 13) Demonstre que a soma de duas matrizes simétricas da mesma ordem é também simétrica. 14) Demonstre que se A é matriz quadrada, então B = 1 2 (A+AT ) é simétrica, onde AT é matriz transposta de A . 1.2 Característica duma matriz 1) Determine quais das matrizes têm forma escalonada reduzida e quais têm forma escalonada. (a) 1 0 0 00 1 0 0 0 0 1 1 (b) 1 0 1 00 1 1 0 0 0 0 1 (c) 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 (d) 1 1 0 1 1 0 2 0 2 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4 (e) 1 1 0 10 0 1 1 0 0 0 0 (f) 1 1 0 00 1 1 0 0 0 1 1 (g) 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 (h) 0 1 1 1 1 0 0 2 2 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 . 2) Transforme as matrizes abaixos para forma escalonada reduzida: (a) 1 2 3 45 6 7 8 6 7 8 7 (b) 1 3 5 72 4 6 8 3 5 7 9 (c) 1 3 0 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (d) 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 . 3) Achar a característica das matrizes abaixo, e diga se são ou não singulares: (a) A= 2 3 2 21 2 1 3 3 5 3 6 (b) B= 1 2 3 22 3 5 1 1 3 4 5 ; (c) C= 1 2 3 44 1 2 3 3 4 1 2 ; (d) D= 1 2 1 −2 3 2 4 2 0 2 1 3 1 −1 2 1 7 1 3 −2 4 8 4 7 −3 (e) E= 2 −4 3 1 0 1 −2 1 −4 2 0 −1 1 −3 −1 4 −7 4 −4 5 (f) F= 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 . 1.3 Determinante 1) Aplicando a regra de Sarrus, calcule: (a) ∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 −1 2 3 −2 3 −2 1 ∣∣∣∣∣∣∣ (b) ∣∣∣∣∣∣∣ 3 5 0 −2 1 6 4 2 −2 ∣∣∣∣∣∣∣; (c) ∣∣∣∣∣∣∣ 6 0 4 5 3 2 6 0 5 ∣∣∣∣∣∣∣. 2) Calcule os seguintes determinantes, transformando-os previamente em um determinante tri- angular: (a) ∣∣∣∣∣∣∣ 1 2 3 2 3 1 −4 1 5 ∣∣∣∣∣∣∣ (b) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 2 3 2 0 3 2 2 0 −1 −2 −1 −1 −2 −3 0 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ Álgebra Linear e Geometria Analítica 7 3) Calcule os determinantes usando o desenvolvimento segundo a primeira linha. Calcule também os determinantes (a)-(d) usando o desenvolvimento segundo a 2a coluna: (a) ∣∣∣∣∣∣∣ 3 0 4 2 3 2 0 5 −1 ∣∣∣∣∣∣∣ (b) ∣∣∣∣∣∣∣ 0 5 1 4 −3 0 2 4 1 ∣∣∣∣∣∣∣ (c) ∣∣∣∣∣∣∣ 2 −4 3 3 1 2 1 4 −1 ∣∣∣∣∣∣∣ (d) ∣∣∣∣∣∣∣ 1 3 5 2 1 1 3 4 2 ∣∣∣∣∣∣∣ (e) ∣∣∣∣∣∣∣ 2 3 −4 4 0 5 5 1 6 ∣∣∣∣∣∣∣ (f) ∣∣∣∣∣∣∣ 5 −2 4 0 3 −5 2 −4 7 ∣∣∣∣∣∣∣ (g) ∣∣∣∣∣∣∣ 4 3 0 6 5 2 9 7 3 ∣∣∣∣∣∣∣ 4) Calcule os determinantes: (a) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 6 0 0 5 1 7 2 −5 2 0 0 0 8 3 1 8 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (b) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 −2 5 2 0 0 3 0 2 −6 −7 5 5 0 4 4 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (c) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 3 5 −8 4 0 −2 3 −7 0 0 1 5 0 0 0 2 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (d) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 4 0 0 0 7 −1 0 0 2 6 3 0 5 −8 4 −3 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (e) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 4 0 −7 3 5 0 0 2 0 0 7 3 −6 4 −8 5 0 5 2 −3 0 0 9 −1 2 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (f) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 6 3 2 4 0 9 0 −4 1 0 8 −5 6 7 1 3 0 0 0 0 4 2 3 2 0 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 5) Determine t de modo que o determinante ∣∣∣∣∣∣∣ t− 2 1 3 1 t+ 1 −2 0 0 t− 4 ∣∣∣∣∣∣∣ seja nulo. 6) Examine o efeito de aplicações das transformações elementares da matriz para o valor do seu determinante. Em cada caso indique as operações elementares aplicadas e explique como estas operações afectam o valor de determinante: (a) [ a b c d ] ∼ [ c d a b ] (b) [ a b c d ] ∼ [ a b kc kd ] (c) [ 3 4 5 6 ] ∼ [ 3 4 5 + 3k 6 + 4k ] (d) [ a b c d ] ∼ [ a+ kc b+ kd c d ] 7) Demonstre que ∣∣∣∣∣∣∣ a b ax+ by + c d e dx+ ey + f g h gx+ hy + i ∣∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣∣ a b c d e f g h i ∣∣∣∣∣∣∣ 8) Verifique que det(AE) = (detA)(detE) , se A = [ a b c d ] e E é a matriz elementar seguinte: (a) E = [ 0 1 1 0 ] (b) E = [ 1 0 0 k ] (c) E = [ 1 k 0 1 ] (d) E = [ 1 0 k 1 ] 9) A = [ 3 1 4 2 ] . Escreva a matriz 5A . Será que det(5A) = 5detA? 10) Calcule determinantes seguintes pela transformação á forma escalonada: Álgebra Linear e Geometria Analítica 8 (a) ∣∣∣∣∣∣∣ 1 5 −6 −1 −4 4 −2 −7 9 ∣∣∣∣∣∣∣ (b) ∣∣∣∣∣∣∣ 1 5 −3 3 −3 3 2 13 −7 ∣∣∣∣∣∣∣ (c) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 3 0 2 −2 −5 7 4 3 5 2 1 1 −1 −2 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (d) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 3 3 −4 0 1 2 −5 2 5 4 −3 −3 −7 −5 2 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (e) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 −1 3 0 0 1 5 4 −1 2 8 5 3 −1 −2 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 11) Calcule determinantes seguintes usando combinação de transformações elementares das linhas e de desenvolvimento segundo linha ou coluna: (a) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 5 −3 −1 3 0 1 −3 −6 0 −4 9 4 10 −4 −1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (b) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ −1 2 3 0 3 4 3 0 5 4 6 6 4 2 4 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 12) Calcule determinantes das matrizes: (a) ∣∣∣∣∣∣∣ 1 0 0 0 1 0 0 k 0 ∣∣∣∣∣∣∣ (b) ∣∣∣∣∣∣∣ 1 0 0 0 1 0 k 0 0 ∣∣∣∣∣∣∣ (c) ∣∣∣∣∣∣∣ k 0 0 0 1 0 0 0 1 ∣∣∣∣∣∣∣ (d) ∣∣∣∣∣∣∣ 1 0 0 0 k 0 0 0 1 ∣∣∣∣∣∣∣ (e) ∣∣∣∣∣∣∣ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ∣∣∣∣∣∣∣ (f) ∣∣∣∣∣∣∣ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ∣∣∣∣∣∣∣ 1.4 Matriz inversa 1) Verifique se as matrizes abaixo são invertíveis: (a) A= 1 2 1 03 1 5 6 1 4 −1 0 ; (b) B= 1 2 10 1 a 1 3 −1 ; (c) C= 1 2 1 0 −1 2 3 5 0 −1 2 −4 0 3 6 1 . 2) Verifique se a matriz A é inversa da matriz B : (a) A = [ 1 3 2 5 ] ; B = [ −5 3 2 −1 ] ; (b) A = 1 2 10 1 0 1 2 −1 ; B= −1 0 10 1 2 1 2 −1 ; (c) A = 2 −1 00 1 1 2 0 3 B 34 12 −1234 34 −12 −14 − 1 2 1 2 . 3) Usando o algorítimo de Jordan1- Gauss2, achar a matriz inversa de A , verifique o resultado a partir de A ·A−1 , sendo: 1CamilleJordan (1838–1922) — matemático francês 2Carl Friedrich Gauss (1777–1855) — matemático alemão Álgebra Linear e Geometria Analítica 9 (a) A= [ 3 1 4 2 ] (b) A= [ 1 −2 3 4 ] (c) A= [ 1 2 2 5 ] (d) A= [ 2 5 1 3 ] (e) A= 1 2 −30 1 0 0 0 1 (f) A= 2 2 31 −1 0 −1 2 1 (g) A= 1 −2 70 1 −2 0 0 1 (h) A= 1 −4 −31 −5 −3 −1 6 4 (i) A= 1 3 −5 7 0 1 2 −3 0 0 1 2 0 0 0 1 (j) A= 1 2 3 4 1 1 2 3 1 1 1 2 1 1 1 1 (k) A= −1 1 0 1 1 −2 1 0 0 1 −2 1 0 0 1 −1 (l) A= 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 4) Resolva o exercício anterior usando o método dos determinantes. 1.5 Sistemas de equações 1.5.1 Sistemas Lineares não Homogêneos 1) Considere os sistemas, ache: (a) { 2x + y = 5 x − 3y = 6 (b) x + 2y + 3z = 0 2x + 3y + 3z = 1 3x + 2y + z = 0 ; (c) x − y + z − w = 0 x + 2y − 2z + 2w = 3 x + 2y + 3z − 3w = 3 x − 2y + 3z − 4w = −2 . i. A matriz ampliada; iv. A matriz reduzida; ii. A matriz coluna das incógnitas; iii. A matriz coluna do segundo membro; 2) Resolva os sistemas usando transformação á forma escalonada: (a) { x + 7y = 4 −2x − 9y = 2 (b) { 2x + 6y = −6 5x + 7y = 1 (c) { x − 3y = 4 −3x + 9y = 8 (d) { 4y = 6 x − 6y = 3 (e) x + y + z = 6 2x + y − z = 1 3x − y + z = 4 ; (f) x − y + z = 1 2x − y + z = 4 x − 2y + 2z = 0 ; (g) x − y + z − t = 0 x + 2y − 2z + 2t = 3 x + 2y + 3z − 3t = 3 x − 2y + 3z − 4t = −2 ; (h) 2x − y + z − t = 4 3x + 2y − z + 2t = 1 2x − y − z − t = 0 5x + 2t = 1 . 3) Usando o método de eliminação de Gauss3- Jordan4, resolva os sistemas abaixo: 3Carl Friedrich Gauss (1777–1855) — matemático alemão 4Camille Jordan (1838–1922) — matemático francês Álgebra Linear e Geometria Analítica 10 (a) x − 2y + 3z = 5 2x + 3y − 4z = 6 −x + y + 2z = 1 (b) x − y + z = 2 2x + 3y − 4z = 8 x − 3y + 2z = −1 (c) x − y + 2z = 5 y + 2z − x = 7 2z − 3x + y = 5 (d) 7x − 5y − 2z = 8 9x + 3y + 5z = 16 4x + 7y + 3z = 3 (e) x + y + z + w = 6 x + 2y + 2z + 2w = 11 x + 2y + 3z + 3w = 1 x + 2y + 3z + 4w = 17 (f) x − y + z − w = 0 x + 2y − 2z + 2w = 3 x + 2y + 3z − 3w = 3 x − 2y + 3z − 4w = −2 (g) 2x + 5y − 2w = 5 −2x − 3y + 2z − 5w = −8 x + 3y − 2z + 2w = 4 −x − 6y + 4z + 3w = 0 (h) x + y + z + w = 0 x + y + z − w = 4 x + y − z + w = −4 x − y + z + w = 2 4) Resolva o exercício anterior, recorrendo à matriz inversa e à regra de Cramer5. 5) Ache as soluções gerais dos sistemas cujas matrizes têm forma: (a) [ 1 3 4 7 3 9 7 6 ] ; (b) [ 1 4 0 7 2 7 0 10 ] ; (c) [ 1 −2 −1 3 3 −6 −2 2 ] ; (d) 3 −4 2 0−9 12 −6 0 −6 8 −4 0 ; (e) 1 −7 0 6 50 0 1 −2 −3 −1 7 −4 2 7 ; (f) 1 −3 0 −1 0 2 0 1 0 0 −4 1 0 0 0 1 9 4 0 0 0 0 0 0 ; (g) 1 2 −5 −6 0 −5 0 1 −6 −3 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 . 6) Seja que as matrizes correspondem aos sistemas lineares • representa o número não nulo e ∗ é qualquer número real. Determine se sistemas são compatíveis. Caso sim determine se a solução é única. (a) • ∗ ∗ ∗0 • ∗ ∗ 0 0 • 0 ; (b) 0 • ∗ ∗ ∗0 0 • ∗ ∗ 0 0 0 0 • ; (c) • ∗ ∗0 • ∗ 0 0 0 ; (d) • ∗ ∗ ∗ ∗0 0 • ∗ ∗ 0 0 0 • ∗ . Determine os valores de h para que o sistema correspondente seja compatível: (a) [ 1 −3 h −2 6 −5 ] ; (b) [ 1 4 −2 3 h −6 ] ; (c) [ 1 h −2 −4 2 10 ] ; (d) [ 2 −6 −3 −4 12 h ] . 7) Determine os valores de h , k para que os sistemas abaixos sejam incompatíveis, tenham uma única solução tenha várias soluções: (a) { x + hy = 1 2x + 3y = k ; (b) { x − 3y = 1 2x + hy = k 8) Usando o método de eliminação de Gauss resolva o sistema { 2x − 3y + z = 0 x + y − z = 0 5Gabriel Cramer (1704–1752)—matem?tico su??o Álgebra Linear e Geometria Analítica 11 9) Dado o sistema 5x + 8y + 6z = 7 3x + 5y + 4z = 5 7x + 9y + 4z = 1 2x + 3y + 2z = 2 verifique se ele é consistente e ache as soluções caso sua resposta seja afirmativa. 10) Dado o sistema x + 3y + 5z + 7u + 9w = 1 x − 2y + 3z − 4u + 5w = 2 2x + 11y + 12z + 25u + 22w = 4 5y + 2z + 11u + 4w = −1 verifique se ele é con- sistente e ache as soluções caso sua resposta seja afirmativa. 11) Resolva: (a) 2x+ 3y = 3 x− 2y = 5 3x+ 2y = 1 (b) x+ 2y − 3z + 2w = 7 2x+ 5y − 8z + 6w = 5 2x− 5y + 3z + 2w = 4 (c) x+ 2y − z + 3w = 3 2x+ 4y + 4z + 3w = 9 3x+ 6y − z + 8w = 10 12) Resolva: (a) x + 2y + 2z = 2 3x − 2y − z = 5 2x − 5y + 3z = −4 x + 4y + 6z = 0 (b) x + 5y + 4z − 13w = 3 3x − y + 2z + 5w = 2 2x + 2y + 3z − 4w = 1 13) Determine os valores de k tais que o sistema nas incógnitas x, y e z tenha: (i) solução única, (ii) nenhuma solução (iii) mais de uma solução. (a) { x + 2y + kz = 1 2x + ky + 8z = 3 (b) x + y + kz = 2 3x + 4y + 2z = k 2x + 3y − z = 1 (c) x − 3z = −3 2x + ky − z = −2 x + 2y + kz = 1 (d) kx + y + z = 1 x + ky + z = 1 x + y + kz = 0 14) Determine as condições em a, b e c para que o sistema de incógnitas x, y e z tenha solução: (a) x + 2y − 3z = a 3x − y + 2z = b x − 5y + 8z = c (b) x + 2y + 4z = a 2x + 3y − z = b 3x + y + 2z = c 1.5.2 Sistemas Lineares Homogêneos 1) Determine se cada sistema tem solução única: (a) x + 3y − 2z = 0 x − 8y + 8z = 0 3x − 2y + 4z = 0 (b) x + 3y − 2z = 0 2x − 3y + z = 0 3x − 2y + 2z = 0 (c) x + 2y − 5z + 4w = 0 2x − 3y + 2z + 3w = 0 4x − 7y + z − 6w = 0 2) Determine se cada sistema, tem solução não nula: (a) x − 2y + 2z = 0 2x + y − 2z = 0 3x + 4y − 6z = 0 3x − 11y + 12z = 0 (b) 2x − 4y + 7z + 4v − 5w = 0 9x + 3y + 2z − 7v + w = 0 5x + 2y − 3z + v + 3w = 0 6x − 5y + 4z − 3v − 2w = 0 2 Álgebra Vectorial 2.1 Noção e operações com vectores 1) Calcular as coordenadas dos vectores −−→ AB e −−→ BA sabendo que: (a) A(0, 2) e B(2, 0); (b) A(3,−1, 2) e B(−1, 2, 1) 2) Determinar o ponto B , sabendo que: (a) −−→ AB = (2, 3) e A(0, 1); (b) −−→ AB = (3,−1, 4) e A(1, 2,−3). 3) Calcule −→a + −→ b , −→a − −→ b , 2−→a + 3 −→ b , −5−→a + 3 2 −→ b , se −→a = (2,−1) e −→ b = (3, 4) . 4) Sejam −→a = (1, 2, 2) , −→ b = (0, 0,−3) , −→c = (−2, 4,−3) , ache: (a) −→a + −→ b +−→c ; (b) −→a − 2 −→ b + 2−→c ; (c) 3−→a + 2 −→ b − 3−→c ; (d) −−→a − 1 3 −→ b −−→c . 5) Sejam −→a = (5,−1) e −→ b = (−2, 4) . Efectue as operações −→a + −→ b e −1 2 −→a , ilustrando com vectores cujos iniciais se encontram na origem. 6) Considere os vectores −→a e −→ b . Represente geometricamente os vectores 2−→a , −3 −→ b , 2−→a +3 −→ b , 2 −→ b − −→ b e 1 2 −→a − −→ b . 7) Determine a origem do segmento que representa o vector −→a = (2, 3,−1) , sendo que a extre- midade é o ponto B(0, 4, 2) . 8) Se 3(x, y, z) + 5(−1, 2, 3) = (4, 1, 3) , ache x , y e z . 9) Determinar os vectores −→a e −→ b , sendo −→a = (x+ y, 3x− y) , −→ b = (2x, y − 2x) , −→a + −→ b = (5, 1) . 10) Sendo −→a = (2, 3, 4) e −→ b = (−2, x, z) . Determine x e z , sabendo que: (a) −→a + −→ b = (0, 3,−2) ; (b) 2−→a − −→ b = (6, 0, 0) ; (c) −−→a + 3 −→ b = (−8,−5, 2) . 11) Sendo A , B , C , D e O pontos quaisquer no espaço, simplifique as seguintes expressões: (a) −−→ AB + −−→ BO + −→ OA ; (b) −−→ BC + −→ OA− −−→ OC ; (c) −→ OA+ −−→ BC + −−→ DO − −−→ BA . 12) Sejam A e B dois pontos quaisquer e P o ponto médio do segmento AB . Demonstre que −−→ MA+ −−→ MB = 2 −−→ MP , para qualquer ponto M . 13) Sejam AM , BN , e CP as medianas do triângulo ABC . Exprima os vectores −−→ AM , −−→ BN e −−→ CP em função dos vectores −→a = −−→ BC e −→c = −→ CA . 12 Álgebra Linear e Geometria Analítica 13 14) Sejam A , B , C e D pontos quaisquer. E e F os pontos médios dos segmentos AB e CD .Demonstre que −−→ EF = 1 2 ( −−→ BC + −−→ AD) . 15) Dado o triângulo ABC , e sendo −→a = −→ CA , −→ b = AB , I e J os pontos médios de BC e AC . Determine os seguintes vectores em função de −→a e −→ b : (a) −→ AI ; (b) −→ BI ; (c) −→ IC ; (d) −→IJ ; (e) −→ BJ . 16) Dados os pontos A(−1, 2) , B(4,−2) , C(1, 3) , determine: (a) As coordenadas do ponto M de tal modo que 2 −−→ MA+ −−→ AB + −−→ MC = 0 ; (b) As coordenadas do ponto M de tal modo que ABCM seja um paralelogramo; (c) O comprimento de cada um dos lados do triângulo ABC . 17) Calcular o comprimento dos vectores: (a) −→a = (−1, 1); (b) −→ b = (2,−4, 3). 18) Sendo A , B , C , D vértices consecutivos de umparalelogramo, calcular as coordenadas do vértice D se, A(1, 3) , B(5, 11) e C(6, 15) . 19) Seja ABDC um paralelogramo de vértices consecutivos na ordem escrita Achar o vértice A , sabendo-se que B(0, 1, 3) , C(2, 3, 5) e D(−1, 0, 2) . 20) Dado o triângulo ABC e sabendo que −→a = −→ CA , −→ b = −−→ CB , os pontos M e N dividem o lado AB em três partes iguais. 21) Conhecendo três vértices do paralelogramo A , B , C , achar as coordenadas do vértice D , sendo A(1,−2, 3) , B(3, 2, 1) , C(6, 4, 4) . 22) Demonstrar que ABCD é um paralelogramo, sendo A(2, 1, 0) , B(5, 3, 3) , C(3,−1, 5) e D(0,−3, 2) . 23) Sejam dados |−→a | = 11 , | −→ b | = 23 e |−→a − −→ b | = 20 , determine |−→a + −→ b | . 2.2 Ângulo de dois vectores. Produto Interno (ou Escalar) 1) Designando a e b os comprimentos dos vectores −→a e −→ b , respectivamente, calcule −→a · −→ b nos seguintes casos: (a) a = 2, b = 4, (−→a , −→ b ) = 45◦; (b) a = 1, 5, b = 4, (−→a , −→ b ) = 60◦; (c) a = 3, b = 2, −→a e −→ b têm sentidos opostos; (d) a = 3, b = 2, −→a e −→ b têm mesmo sentido. 2) calcule (−→a ,−→a ) e (−→a , −→ b ) , se: (a) −→a = (2,−1) e −→ b = (3, 4); (b) −→a = (2, 2, 0) e −→ b = (−1, 1, 0). 3) Calcule o produto escalar dos vectores 3−→a − 2 −→ b e −→a + 2 −→ b , se os vectores −→a e −→ b formam um ângulo de α = π 4 . 4) Dados os vértices do triângulo A(−1,−2, 4) , B(−4,−2,−0) e C(3,−2, 1) . Determine: (a) O ângulo ABC; (b) O perímetro Do triângulo ABC. Álgebra Linear e Geometria Analítica 14 5) Designando a , b os comprimentos dos vectores −→a e −→ b , respectivamente, determine o ângulo formado por −→a e −→ b , sabendo que: (a) −→a · −→ b = a · b; (b) −→a · −→ b = −a · b; (c) −→a · −→ b = 1 2 a · b. 6) Sendo |−→u | = 4 , |−→v | = 5 e (−→u ,−→v ) = 120◦ , calcule |−→u +−→v | . 7) Usando a definição de produto interno, demonstre que num triângulo rectângulo, a altura relativa á hipotenusa é média geométrica entre as projecções dos catetos sobre a hipotenusa. 8) Seja ABC um triângulo equilátero de lado igual a 2cm . M é o ponto médio de BC . Calcule: (a) −−→ AB · −→ AC; (b) −−→ AB · −−→ BC; (c) −−→ AB · −−→ MA. 9) Seja ABCD um rectângulo em que |AB| = 2 e |AD| = 3 . M é o ponto médio de BC . Calcule: (a) −→ AC · −−→ AD; (b) −−→ AM · −−→ AB; (c) −−→ AM · −−→ DC. 10) Determine −→a · −→ b e o ângulo entre −→a e −→ b , sabendo que : (a) −→a = (5, 2), −→ b = (−3, 6); (b) −→a = (4, 3), −→ b = (1, 7); (c) −→a = (6,−8), −→ b = (12, 9); (d) −→a = (3,−5), −→ b = (7, 4). 11) Sejam A(1, 1) , B(4, 2) e C(3, x) . Determine x de modo que o triângulo ABC seja rectângulo. 12) No triângulo ABC , −→a = −−→ BC , −→ b = −→ CA e −→c = −−→ AB . Demonstre que −→a · −→ b +−→·−→+−→·−→ = −1 2 (a2 + b2 + c2) . 13) Demonstre que se a = b , então −→a + −→ b e −→a − −→ b são perpendiculares entre si. 2.3 Produto Externo (ou Vectorial) 1) Calcule |−→a × −→ b | se: (a) |−→a | = 1, | −→ b | = 2 e (−→a , −→ b ) = 120◦; (b) |−→a | = 10, | −→ b | = 2 e −→a · −→ b = 12. 2) Ache as coordenadas do vector (−→a × −→ b )× −→ b , se −→a = (3,−1,−2) e −→ b = (1, 2,−1) . 3) Calcule |(2−→a + −→ b )× (−→a + 2 −→ b )| e |(−→a − 3 −→ b )× (3−→a − −→ b )| , sabendo que |−→a | = 1 , | −→ b | = 2 e (−→a , −→ b ) = 120◦ . 4) Calcule −→a · −→ b , se |−→a | = 3 , | −→ b | = 26 e |−→a × −→ b | = 72 . 5) Sejam −→a = (3,−1,−2) e −→ b = (1, 2,−1) . Determine −→a × −→ b . 6) Sejam −→a = (2,−3, 1) , −→ b = (−3, 1, 2) e −→c = (−1,−2, 2) . Determine: (a) (−→a × −→ b )×−→c ; (b) −→ b × (−→a × −→ b ); (c) −→ b · (−→a × −→ b ). 7) Demonstre que (−→a × −→ b )2 + (−→a · −→ b )2 = |−→a |2 · | −→ b |2 . 8) Se −→a ⊥ −→ b e −→a ⊥ −→c , mostre que −→a × ( −→ b ×−→c ) = −→0 . 9) Calcule a área do paralelogramo construido pelos vectores: (a) −→a = 6−→i + 3−→j − 2 −→ k e −→ b = 3 −→ i − 2−→j + 6 −→ k ; (b) −→a = −→i e −→ b = −→ j − −→ k . 10) Determine a área e as alturas do triângulo ABC , se: (a) A(1,−1, 2), B(5,−6, 2) e C(1, 3,−1); (b) A(1, 2, 0), B(3, 0,−3) e C(5, 2, 6). Álgebra Linear e Geometria Analítica 15 11) Calcule a área do quadrilátero com os vértices: A(−5, 0) , B(−3, 2) , C(1, 2) e D(4,−4) . 12) Calcular a área do paralelogramo construido por vectores −→a + −→ b e 3−→a + b , sendo |−→a | = | −→ b | = 1 e o ângulo entre −→a e −→ b é de 300 . 13) Calcular a área do triângulo ABC , se A(2, 2, 2) , B(4, 0, 3) e C(0, 1, 0) . 14) Determine o ângulo entre −→a e −→ b , se −→a · −→ b = 9 e −→a × −→ b = 3 −→ i − 6−→j + 6 −→ k . 2.4 Produto misto 1) Sabendo que −→c é perpendicular aos vectores −→a e −→ b , (−→a , −→ b ) = 30◦ , |−→a | = 6 , | −→ b | = 3 e |−→c | = 3 . Calcule (−→a , −→ b ,−→c ) . 2) −→a , −→ b , −→c são perpendiculares dois a dois e formam um triedro direito, |−→a | = 4 , | −→ b | = 2 e |−→c | = 3 . Calcule (−→a , −→ b ,−→c ) . 3) sejam −→a = (1,−1, 3) , −→ b = (−2, 2, 1) e −→c = (3,−2, 5) , calcule: (a) (−→a , −→ b ,−→c ); (b) ( −→ b ,−→a ,−→c ); (c) (−→c , −→ b ,−→a ). 4) Sejam −→a = (1, 2, 2) , −→ b = (0, 0,−3) e −→c = (−2, 4,−3) , calcule: (a) (−→a , −→ b ,−→c ); (b) ( −→ b ,−→a ,−→c ); (c) (−→c , −→ b ,−→a ). 5) Prove que: (a) (−→a , −→ b ,−→c ) = −(−→a ,−→c , −→ b ) ; (b) (−→a + −→ b , −→ b +−→c ,−→c +−→a ) = 2(−→a , −→ b ,−→c ) . 6) Calcule o volume do paralelopípedo cujos lados são os vectores: −→a = (1,−3, 1) , −→ b = (2, 1,−3) e −→c = (1, 2, 1) . 7) calcule o volume do tetraedro ABCD onde: (a) A(2, 3, 1) , B(4, 1,−2) , C(6, 3, 7) , D(−5,−4, 8) . (b) A(2,−1, 1) , B(5, 5, 4) , C(3, 2,−1) , D(4, 1, 1) . 8) Dados os pontos A(2, 1,−1) , B(3, 0, 1) e C(2,−1, 3) . O volume do tetraedro ABCD é igual a 5. O vértice D está no eixo OY . Achar as coordenadas do vértice D . 9) Mostrar que os vectores−→a = 7−→i − 3−→j + 2 −→ k , −→ b = 3 −→ i − 7−→j + 8 −→ k e −→c = −→i −−→j + −→ k são complanares. 10) Calcule o volume da pirâmide triangular que tem vértices A(0, 0, 1) , B(2, 3, 5) , C(6, 2, 3) e D(3, 7, 2) . 11) Verifique se são coplanares os seguintes vectores: (a) −→a = (2, 3,−1) , −→ b = (1,−1, 3) e −→c = (1, 9,−11) ; (b) −→a = (3,−2, 1) , −→ b = (2, 1, 2) e −→c = (3,−2,−1) ; (c) −→a = (2,−1, 2) , −→ b = (1, 2,−3) e −→c = (3,−4, 7) . 12) Determine o(s) valor(es) de x para que os pontos A(5, x, 2) , B(3, 1,−1) , C(9, 4,−4) e D(1, 5, 0) sejam coplanares. 3 Números Complexos 1) Calcule: (a) i8 ; (b) i11 ; (c) i42 ; (d)i105 . 2) Em cada alínea, esboce o ponto e o vector correspondente ao dado número complexo. (a) 2 + 3i (b) −4 (c) −3− 2i (d) 5i 3) Expresse cada número complexo do exercício anterior como um par ordenado de números reais. 4) Expresse os seguintes números complexos na forma x+ iy : (a) 1 + 2i+ 3i2 + 4i3 + 5i4 + 6i5 (b) (3 + 5i) + (−2 + i); (c) (−3 + 4i)− (1− 2i); (d) (3 + 5i) + (−2 + i); (e) (−3 + 4i)− (1− 2i); (f) (3− 5i)(−2− 4i); (g) (3− 5i)(−2− 4i); (h) (1 + i)(1− i); (i) (2 + 3i)2. (j) (1 + i)(2 + 3i)2; (k) 1 + i 5 + 2i ; (l) ( 1 + i 1− i )3 − ( 1− i 1 + i )3 ; (m) ( 1 + i 3 )( −6 5 + 3i ) ; 5) Em cada alínea, encontre |z| : (a) z = i (b) z = −7i (c) z = −3− 4i (d) z = 1 + i (e) z − 8 . 6) Escreva a parte real e a parte imaginária e o módulo dos seguintes números complexos: (a) z = 2− 3i; (b) z = −3 + i; (c) z = −1 + i √ 2; (d) z = (5− i)(4 + i); (e) z = (−1 + i)(3− i); (f) z = (1 + i)(1− i) + i(1 + 2i). (g) z = (1− i)( √ 3 + i); (h) z = 3− 4i 1 + 3i ; (i) z = 1 + i 3− 2i ; (j) z = 1 i + 3 1 + i . 7) Para cada número complexo dado, encontre z (a) z = 2 + 7i (b) z = −3− 5i (c) z = 5i (d) z = −i (e) z = −9 . 8) Em cada parte, encontre Re(z) e Im(z) : (a) z =3eiπ (b) z = 3e−iπ (c) z = √ 2e i 2 π (d) z = 3e2iπ 9) Expressa na forma x+ iy , os números: (a) e2+i ; (b) e3−i . 10) Reduza à forma reiθ cada um dos números complexos abaixos e represente-os geometrica- mente: 16 Álgebra Linear e Geometria Analítica 17 (a) 1 + i; (b) −2(1− i); (c) √ 3− 3i; (d) −1− i√ 3 ; (e) −1 + i √ 3; (f) −3. 11) Represente graficamente os números complexos z1 , z2 , z1z2 e z1 z2 nos seguintes casos: (a) z1 = 1 + 2i, z2 = 2− i; (b) z1 = 3− i, z2 = 3− i 2 ; (c) z1 = 3 + 4i, z2 = 1− i 5 √ 2 ; (d) z1 = 1 + i √ 3 2 ; z2 = √ 3 + i 2 . 12) Sejam z = 2− i e w = 1− 4i . Determine: (a) z + w; (b) z − w; (c) z̄ − w; (d) z · w; (e) z · w̄; (f) z̄ · w̄. 13) Sejam z = 2− i e w = (1− i)(3i+ 1) . Determine: (a) z w ; (b) w z ; (c) w · z 14) Seja w = 2 + 3i . Determine o número complexo z sabendo que z + w = i . 15) Sabendo que z̄ = 1− i , z − w = (2− i)(3 + i) , determine o número complexo w . 16) Seja w = −1 + i . Determine a parte real e a imaginária do número complexo z , sabendo que z · w = 1− 4i . 17) Sabendo que z = −1 + 2i e z w = i , determine o número complexo w . 18) Ache o número complexo z com módulo igual a 1 que satisfaz a igualdade |1 + iz| = 1 . 19) Mostre que se z é um número complexo com módulo igual a 1, então ∣∣∣∣2z − 1z − 2 ∣∣∣∣ = 1 . 20) Determine o argumento dos números polares seguintes, escreva-os na forma polar e represente geometricamente: (a) −7i; (b) z = −2 + 2i; (c) z = √ 3− i; (d) z = 1− i; (e) z = −1− i; (f) z = −3 + 3i 1 + i √ 3 . (g) z = 1 + i √ 3 1− i √ 3 . 21) Mostre que: (a) cos 3θ = cos3 θ − 3 cos θ sin2 θ; (b) sin 3θ = − sin3 θ − 3 cos2 θ sin θ. 22) Dados os números complexos z1 = 8 ( cos 2π 3 + i sin 2π 3 ) e z2 = 2(cos π 6 +i sin π 6 ) . Determine: (a) z1 + z2, (b) z1 · z2 (c) z1 z2 (d) z3; Represente (e) z1 + z2, (f) z1 · z2 (g) z1 z2 (h) z3 na forma algébrica x+ iy. 23) Escreva na forma x+ iy os seguintes números: (a) ( √ 3 + 3i)18 ; (b) (i− 1)−11 (c) (1 + i)12 (d) (i+ √ 3)7; (e) (1− i √ 3)−10 ; (f) (i+1)8 (g) ( 1√ 2 − 1√ 2 )−5 (h) (−2 √ 3+2i)−9. Álgebra Linear e Geometria Analítica 18 24) Determine as raízes a seguir e represente-as geometricamente: (a) √ −4; (b) (1 + i √ 3) 1 2 ; (c) 3 √ i; (d) 3 √ −i; (e) (−1 + i √ 3) 1 4 ; (f) √ −1− i √ 3; 25) Resolva as seguintes equações: (a) z4 = 1; (b) z3 − 4 = 0; (c) z5 − 2 = 0; (d) z6 + 8 = 0; (e) z4 + i = 0; (f) z2 − 2z + 2 = 0; (g) z2 − 3z + 4 = 0; (h) 2z2 + z + 1 = 0; (i) (x− 1)4 = 1. (j) z2 + (1− 2i)z + (1 + 5i) = 0; (k) z4 + (1− i)z2 + 2(1− i) = 0. (l) 5x2 − x+ 1 2 = 0; 26) Escreva a equação da recta como equação polar 2x− 3y = 5 . 27) Escreva a equação da circunferência x2 + y2 = r2 como uma equação polar. 28) Escreva a equação x2 a2 + y2 b2 = 1 como equação polar. 29) Esboce as figuras dadas pelas expressões: (a) |z − 1| = 2 (b) |z + 2| > 3 (c) |(1 + i)z − 4| < 2 √ 2; (d) Re(z) > 0; (e) |Im(z)| ≤ 1; (f) z2 = −1. 4 Geometria Analítica 4.1 Estudo da recta no plano 1) Escreva a equação da recta que passa pelo ponto P e é perpendicular ao vector −→n , onde: (a) P (3,−1), −→n = (1, 2); (b) P (3, 1), −→n = (0, 2); P (−2, 1), −→n = (1, 0). 2) Escreva a equação da recta que passa pelo ponto P e é paralelo ao vector −→v , onde: (a) P (3,−1), −→v = (1, 2); (b) P (1,−1), −→v = (1,−1); (c) P (−2, 2), −→v = (1, 0). 3) Escreva a equação da recta que passa por dois pontos P e Q , onde: (a) P (−1, 5) e Q(2, 0); (b) P (1, 0) e Q(0, 3); (c) P (2, 3) e Q(−5, 3) 4) Escreva a equação da recta que passa pelo ponto P e é paralelo à recta r : (a) P (2, 3), { x = 1 + 2t y = 3− t ; (b) P (1,−5), r : 2x− y = 3; (c) P (0, 1) 1− x 2 = y + 3 3 5) Determine o ponto da recta r : { x = 3 + t y = 1 + t que tem: (a) Ordenada igual 5; (b) Abcissa igual a −8. 6) O ponto A(0, y) pertence á recta determinada pelos pontos P (1, 2) e Q(2, 3) . Determine o ponto A . 7) Determine o vector direccão, o vector normal, a equação geral, a equação paramétrica, a equação canónica e a equação axial da recta que passa por dois pontos A e B , sendo: (a) A(−6, 8) e B(−1, 2); (b) A(4, 0) e B(0, 3). 8) Os lados dum triângulo são dados pelas equaões: 4x+ 3y − 5 = 0 , x = 2 e x− 3y + 10 = 0 . (a) Determine coordenadas dos seus vértices; (b) Calcule as medidas das alturas deste triângulo. 9) Calcule a área do paralelogramo ABCD sabendo que: D(6, 4) , a equação dum lado é: x− 2y = 0 e a equação do lado BC é x− y − 1 = 0 . 10) Ache as coordenadas dos vértices do losango ABCD sabendo que: a equação do lado AB é x + 2y = 4 , a equação do lado CD é x + 2y = 10 e que a equação de uma diagonal é y = x+ 2 . 19 Álgebra Linear e Geometria Analítica 20 11) Determine os valores m e n para os quais as rectas r : mx+ 8y+n = 0 e s : 2x+my− 1 = 0 são: (a) Paralelas; (b) Perpendiculares; (c) Secantes no ponto A(1,−2); (d) Coincidentes. 12) Determine a distância do ponto A(2, 3) ás rectas seguintes: (a) 3x+ 4y = −2; (b) { x = 2− t y = −3 + 3t ; (c) x− 1 2 = y + 3 4 13) Determine a distância entre duas rectas r e s , onde: (a) r : 2x− y = 0; s : 2x− y = 5; (b) r : { x = 2t y = −1− t e s : { x = 1 + 2t y = −2− t ; (c) r : x+ 3 2 = y −3 e s : x− 2 2 = y − 1 −3 . 14) Determine as coordenadas do ponto Q é simétrico ao ponto P (−8, 12) , em relação: (a) Ao eixo OX; (b) Ao eixo OY ; (c) Á recta x− y = 0; (d) Á recta 2x+ y − 1 = 0. 15) Ache as coordenadas do ponto P (−8, 12) sobre: (a) O eixo OX ; (b) O eixo OY ; (c) A recta que passa pelos pontos A(2,−3) e B(−5, 1) ; (d) A recta que passa pelo ponto A(−3, 4) e é paralela à recta 4x− 3y + 1 = 0 ; (e) A recta que passa pelo ponto A(−3, 4) e é perpendicular à recat 4x− 3y + 1 = 0 . 16) Ache as equações das bissectrizes das recta r : x− 2y + 1 = 0 e s : −2x+ y = 0 . 17) Ache as equações das bissectrizes e as coordenadas do centro da circunferência inscrita no triângulo ABC , se: (a) A(1,−2), B(−2,−2) e C(−2, 2); (b) A(1, 1), B(1, 4) e C(4, 1). 4.2 Estudo do plano 1) Escreva a equação do plano que passa pelo ponto P e é perpendicular ao vector −→n , onde: (a) P (−3, 4, 7), −→n = (1,−2, 6); (b) P (1,−2, 3), −→n = (4, 2,−1); (c) P (1, 0,−3), −→n = (0, 2, 0). 2) Escreva a equação do plano que passa pelo ponto B(4, 5, 0) e é perpendicular ao vector −−→ AB , sendo A(2,−1, 3) . 3) Determine o vector normal e construa o plano (α) dado por: (a) 3x+ 2y + 6z − 12 = 0; (b) 2y + 3 = 0; (c) 3z − 4 = 0. 4) No triângulo de vértices P (−5, 2, 7) , Q(5, 0, 6) e R(0,−1, 2) , traçou-se a mediana PM (M está situado no lado QR). Escreva a equação do plano que passa por M e é perpendicular à mediana PM . 5) Escreva a equação do plano mediador (mediatriz) do segmento AB , sendo: (a) A(1,−2, 4), B(3,−6, 0); (b) A(0, 1, 3), B(2, 3, 7). Álgebra Linear e Geometria Analítica 21 6) Escreva a equação do plano que passa pelos pontos A(1, 2,−3) , B(4, 0, 1) , C(2, 1, 1) . 7) Escreva a equação do plano que passa pelo ponto A e é paralelo a (α) : (a) A(0, 1, 1) , (α) passa por B(7, 0, 0) e D(9, 2, 0) ; (b) A(1, 1, 1) , (α) é o plano XOZ ; (c) A(−2, 1, 4) (α) é o plano XOZ . 8) Escreva a equação do plano que passa por dois pontos A e B e é perpendicular ao plano (α) : (a) A(1, 1, 1) , B(2, 2, 2) , (α) é o plano XOZ ; (b) A(1, 1, 1) , B(2, 2, 2) , (α) é o plano que passa por M(1, 0, 1) , N(2, 1, 1) e P (−1,−1, 1) . 9) Escreva a equação do plano β , que passa pelo ponto A , é paralelo ao vector −→v e é perpen- dicular ao plano (α) : (a) A(1, 2, 1) , −→v = (1, 2, 4) , (α) : x− y + 3 = 0 ; (b) A(2,−1, 3) , −→v = (1, 0, 2) , (α) : 2x− y + z = 0 . 10) Ache os valores de m e n para que os planos α e β sejam paralelos entre si: (a) (α) : 2x+my + 3z − 5 = 0 e (β) : nx− 6y − 6z + 2 = 0 ; (b) (α) : mx+ 2y + z − 1 = 0 e (β) : 2x+my + nz + 1 = 0 . 11) Ache os valores de m e n para que os planos α e β sejam perpendiculares entre si: (a) (α) : mx+ 2y − 3z + 1 = 0 e (β) : nx− 6y − 6z + 2 = 0 ; (b) (α) : x+m2y − z + 3 = 0 e (β) : mx+ y + 20z + 3 = 0 . 12) Determine o ângulo entreos planos: (a) (α) : 3x− z = 0 e (β) : 2y + z = 0 ; (b) (α) : x+ 2y + 2z − 3 = 0 e (β) : 16x+ 12y − 15z + 4 = 0 . 13) Ache a distância do ponto A ao plano (α) : (a) A(3, 1,−1) , (α) : 22x+ 4y − 20z − 45 = 0 ; (b) a(1, 1, 1) , (α) : 4x+ 3y − 12 = 0 14) Determine a distância entre os planos paralelos (α) : x−2y−2z−12 = 0 e (β) : x−2y−2z−6 = 0 . 15) No eixo OY ache os pontos cuja distância até ao plano x+ 2y − 2z = 2 seja igual a 4 . 16) Escreva as equações dos planos que são paralelos (α) : 2x− 2y − z − 3 = 0 e cuja distância até o plano (α) é igual a 5 . Álgebra Linear e Geometria Analítica 22 4.3 Estudo da recta no espaço 1) Escreva a equação paramétrica da recta que passa pelo ponto P (−3, 2, 4) e cujo vector directo é −→v = (2,−5, 3) . 2) Escreva a equação da recta de intersecção de dois planos (α) e (β) : (a) (α) : 3x+y−z+1 = 0 e (β) : é o plano que passa pelo ponto A(1, 1, 1) e é perpendicular ao vector −→n = (−2, 1, 3) ; (b) (α) : é o plano que passa pelo eixo OX e pelo ponto B(4,−3,−1) e (β) é o plano que passa pelo ponto C(3, 2,−7) e é paralelo ao plano XOZ . 3) Escreva a equação da recta que: (a) Passa por B(2, 1, 4) e é paralelo ao eixo OY ; (b) Passa por P (2, 1, 1) e é paralela à recta x− 1 2 = y + 3 4 = 5− z ; (c) Passa por A(1, 2, 3) e B(2, 1, 5) ; (d) Passa por P (2, 3, 5) e é perpendicular ao plano 2x− y + z − 1 = 0 4) Escreva a equação da recta que passa pelos pontos P (−4, 1,−3) e Q(−5, 0, 3) . 5) Sejam dados os vértices do triângulo A(3, 6,−7) , B(−5, 2, 3) e C(4,−7,−2) . Escreva: (a) A equação da mediana partindo de A , do triângulo ABC ; (b) A equação da linha média que é paralela ao lado BC . 6) Escreva a equação da recta r que passa pelo ponto A e é paralela à recta s , onde: (a) A(0, 1, 4) e s : { 3x− y + 2z − 7 = 0 3x− 5y + 2z + 1 = 0 ; (b) A(1, 1, 1) e s : { x− 2y + 3z − 4 = 0 3x+ 2y − 5z − 4 = 0 . 7) Mostre que as rectas r e s são paralelas: (a) r : x+ 2 3 = y − 1 −2 = z e s : { x+ y − z = 0 x− y − 5z − 8 = 0 ; (b) r : x = 5 + 2t y = 2− t z = −7 + t e s : { x+ 3y + z + 2 = 0 3x+ 2y − 5z − 4 = 0 . 8) Ache m para que a recta r : { 2x+ 3y − z + 7 = 0 3x− 5y +mz − 1 = 0 seja perpendicular à recta s :{ x+ 2y − z − 6 = 0 2x− y + z + 1 = 0 . 9) Demonstre que a s rectas r e s se intersectam. Ache o ponto de intersecção: (a) r : x = 2t− 3 y = 3t− 2 z = −4t+ 6 e s : x = 5 + t y = −1− 4t z = t− 4 ; (b) r : { 5x+ 3y − 11z + 72 = 0 4x− 5y + 7z + 26 = 0 e s : { x+ y + 10 = 0 6x+ 11y − 3z + 66 = 0 . Álgebra Linear e Geometria Analítica 23 10) Determine o ângulo entre as rectas: (a) r : x− 3 = −(y + 2) = z√ 2 e s : x+ 2 = y − 3 = z + 5√ 2 ; (b) r : { x− y − 4z − 5 = 0 2x+ y − 2z − 4 = 0 e s : { x− 6y − 6z + 2 = 0 2x+ 2y + 9z − 1 = 0 . 11) Escreva a equação da recta que passa pelo ponto A(−1, 2,−3) e é perpendicular ao vector −→n = (6,−2,−3) e intersecta a recta x− 1 3 = y + 1 2 = z − 3 −5 . 12) Demonstre que x− 1 2 = y + 2 −3 = z − 3 4 e s : x = 3t+ 7 y = 2t+ 2 z = 1− 2t são perpendiculares. 13) Escreva a equação do plano que passa pelas rectas paralelas r : x− 2 3 = y + 1 2 = z − 3 −2 e s : x− 1 3 = y − 2 2 = z + 3 −2 14) Escreva a equação do plano que passa pelo ponto M(1,−2, 1) e é perpendicular à recta s : { x− 2y + z − 3 = 0 x+ y − z + 2 = 0 . 15) Escreva a equação do plano que passa por dois pontos A(3, 5, 1) e B(3, 3, 3) e é paralela à recta s : { 2x+ 2y + z − 1 = 0 3x+ 4y − z + 4 = 0 16) Ache a distância do ponto P à recta r : (a) P (2,−1, 3) e r : x = 3t y = 5t− 7 z = 2t+ 2 ; (b) P (1,−1, 2) e r : { 2x+ 2y + z − 1 = 0 3x+ 4y − z − 10 = 0 17) Dadas as rectas x 1 = y − 1 0 = z − 1 1 e x− 1 1 = y − 2 1 = z − 1 2 , calcular: (a) a ditância entre as rectas r1 e r2 . (b) a recta n , perpendicular comum ás rectas r1 e r2 . 18) Sendo r1 : { x + z − 2 = 0 y − 1 = 0 e r2 : { x − 2y − 1 = 0 z − 10 = 0 calcu- lar: (a) a distância entre as rectas r1 e r2 . (b) os pés da normal comum. (c) a normal comum ás rectas r1 e r2 . 19) Analise as seguintes rectas, quanto à sua posição relativa: (a) r : x− 2 2 = y − 4 3 = z − 4 1 e s : x− 3 −1 = y + 1 2 = z − 3 3 ; (b) r : x− 4 1 = y − 2 −3 = z − 8 2 e s : { x+ y − z = 0 x− y − 5z − 8 = 0 ; Álgebra Linear e Geometria Analítica 24 (c) r : x = 3 + 2t y = 3− 8t z = 7 + 4t e s : x = 2− t y = 5 + t z = 7 + t . 4.4 Curvas e superfícies da segunda ordem 4.4.1 Circunferência 1) Escreva a equação da circunferência de centro C e de raios r , onde : (a) C está situado na origem das coordenadas e r = 7 (b) C(−2, 1), r = 3 (c) C(4, 2), r = 6 (d) C(4, 2), r = m arbitrário (e) C(2,−1) r = √ 2 2) Dadas as seguintes equações verifique se elas representam circunferências. Em caso afirma- tivo, indique o valor do seu raio e as coordenadas do seu centro: (a) x2 + y2 − x− y − 4 = 0 (b) 4x2 + 4y2 − 4x+ 8y − 31 = 0 (c) 4x2 + 4y2 = 6 (d) x2 + y2 − 2x+ 2y = 1 (e) x2 − y2 − x+ y − 8 = 0 (f) x2 + y2 + 2xy + 8 = 0 3) Escreva a equação da circunferência que passa por três pontos A , B e C onde: (a) A(1, 1), B(1,−1), C(2, 2) (b) A(0, 0), B(2, 2), C(−1, 1) (c) A(−1, 5), B(−2,−2), C(5, 5) 4) Escreva a equação da circunferência de centro P e que passa pelo ponto A : (a) P (−1, 2), A(0, 2) (b) P (0, 0), A(3, 4) (c) P (0,−2), A(1, 4) 5) Escreva a equação da circunferência de centro em C e que é tangente à recta r . (a) C(1,−1) r : 5x− 12y + 9 = 0 (b) C(0, 0) r : 3x+ 4y + 20 = 0 (c) C(−1,−1) r : passa por A(2,−1), e B(−1, 3) 6) Escreva a equação da circunferência que passa por dois pontos A e B e cujo centro está situado na recta r . (a) A(3, 1), B(1,−1) r : 2x+ y = 3 (b) A(3, 1), B(3, 5), r : x+ 2y = 0 7) Escreva a equação do diâmetro da circunferência x2 +y2 = 25 , o qual é perpendicular à recta 4x+ 3y − 25 . 8) Escreva a equação da circunferência inscrita no triângulo ABC , sendo: A(0,−3) , B(0, 3) e C(4, 0) . 9) Construa as linhas determinadas pelas equações (a) y = √ 9− x2; (b) y = 15− √ 64− x2; (c) x = − √ 4− y2; (d) x = −2 + √ 9− y2. 4.4.2 Elipse 1) Ache a equação canónica da elipse que passa pelo ponto M(1, 1) e tenha excentricidade e = 0, 6 . 2) Ache a equação canónica da elipse cujo semi-eixo menor é igual a 2 √ 6 e a distância focal é igual a 8. 3) Ache a excentricidade da elipse, se a distância focal seja igual a distância entre os vértices de semi-eixo maior e semi-eixo menor. Álgebra Linear e Geometria Analítica 25 4) Mostre que as equações seguintes de elipse. Para cada caso, determine as coordenadas dos focos e a distância focal: (a) 36x2 + 100y2 − 3600 = 0; (b) 7x2 + 16y2 − 112 = 0. 5) Escreva a equação da elipse com focos (±2, 0) e cujo diâmetro principal maior é igual a 5. Calcule as coordenadas dos vértices, os diâmetros principais, a excentricidade e as directrizes desta elipse. 6) Sabendo que a excentricidade da elipse E é igual a 1 3 e que os seus focos são (0,±) , dê a equação de (E) , dê a equação de (E) e das suas directrizes. 7) Escreva a equação canónica da elipse de excentricidade 3 5 , recta OY e directrizes y = ±5 . 8) Escreva a equação canónica da elipse sabendo que : (a) a distância focal é igual a 8 e a elipse passa pelo ponto A( √ 15,−1) . (b) a elipse passa por dois pontos A(4,− √ 3) . (c) a elipse passa pelo ponto ( 2,−5 3 ) e a sua excentricidades é igual a 2 3 . 9) Ache os semi-eixos, os focos, a excentricidade e as equações das directrizes da elipse dada pela equação (a) 9x2 + 25y2 = 225. (b) 9x2 + 5y2 = 45. 10) Ache os pontos de intercecção da recta 2x− y − 9 = 0 com a elipse de focos (±2 √ 6, 0) e de excentricidade e = √ 6 3 . 11) Ache os pontos de intersecção da elipse de vértices (±5, 0) e (0,±1) , com a circunferência de raio 2 e de centro na origem. 12) Calcule a área dum quadrilátero em que dois dos seus vértices se encontram nos focos da elipse 9x2 + 25y2 = 225 e os outros dois coincidem com os extremos do seu eixo menor. 13) Desenhe as linhas determinadas pelas seguintes equações (a) y =3 4 √ 16− x2; (b) y = −5 3 √ 9− x2; (c) x = 2 3 √ 9− y2; (d) x = 1 7 √ 49− y2. 14) Determine a parte do plano determinada por: (a) { x2 4 + y2 9 ≤ 1 y ≥ x (b) { x2 9 + y2 3 ≥ 1 x2 16 + y2 9 ≤ 1 4.4.3 Hipérbole 1) Ache a equação canónica da hipérbole que passe pelo ponto M( √ 3, √ 2) e tenha excentricidade e = √ 2 . 2) Escreva a equação da hipérbole que tenha: (a) assimpltotas mesma que tem a hipébole x2 16 − y 2 1 , mas distância focal mais curta 5 vezes. (b) Os mesmos focos que tem a hipérbole x2 a2 − y 2 b2 = 1 , mas assimptotas y = ±a b x . Álgebra Linear e Geometria Analítica 26 3) Ache a equção da hipérbole cujos focos coincidem com os da elipse x2 25 + y2 9 = 1 , se a excentricidade da hipérbole seja igual 2. 4) Mostre que as seguintes equações são equações de hipérboles. Ache as coordenadas dos seus focos: (a) 20x2 − 29y2 = 580; (b) 11x2 − 25y2 − 275 = 0; (c) 9x2 − 16y2 − 144 = 0. 5) Escreva a equação da hipérbole cujos focos estão situados no eixo OX simetricamente em relação á origem do sistema de coordenadas e satisfazem às seguintes condições: (a) o eixo real e o eixo transverso são iguais a 10 e a 8, respectivamente; (b) a distância focal é igual a 10 e o eixo transverso é igual a 4; (c) a distância focal é igual a 6 e a excentricidade é igual a 1, 5 . (d) a distância focal é igual a 20, e as equações de assimptotas: y = ±4 3 x ; (e) a distância focal é igual a 14 e a distância entre dois vértices é de 12. (f) o eixo transverso é igual a √ 15 e a hipérbole passa pelo ponto A(5,−2) . (g) a hipérbole passa pelo ponto A(10,−3 √ 3) e as equações das assimptotas são: y = ±3 5 x . 6) Dê a equação da hipérbole de focos (0,±3) e a distância focal igual a 2. Determine os vértices, a excentricidade e as assimptotas desta hipérbole. 7) Determine os focos, os vertices e as assimptotas da hiperbole dada pelas seguintes equações: (a) 16x2 − 9y2 = 144; (b) 16x2 − 9y2 = −144; (c) 2x2 − 3y2 = 4; (d) y2 − 4x2 = 5. Construa cada uma destas hipérboles. 8) Ache os pontos de intersecção da recta x− y + 2 = 0 com a hipérbole x 2 4 − y 2 8 = 1 . 9) calcule a área do triângulo cujos lados estão situados nas assimptotas da hipérbole 4x2−y2 = 16 e na recta y = 4x− 12 . 10) Escreva a equação canónica da hipérbole, sabendo que o seu foco se encontra no ponto (−5 √ 2, 0) e que ela corta o eixo das abcissas no ponto (6, 0) . 11) Determine os pontos de intersecção das linhas x2 9 + y2 4 = 1 e x2 4 − y 2 9 = 1 . 12) Os focos duma hiperbole coincidem com os focos da elipse 9x2 + 25y2 − 225 = 0 . Escreva a equação da hipérbole sabendo que a sua excentricidade é igual a 2. 4.4.4 Parábola 1) Ache a equação canónica da parábola que passa pelo ponto A(6, 3) . R: x2 = 12y . 2) Escreva a equação da parábola cuja directriz é a recta r , cujo foco é o ponto F e cujo vértice é a origem; (a) r : x = −5 (b) r : x = 5 (c) F (2, 0) (d) F (−2, 0) (e) r : y = −3 (f) r : y = 3 (g) F (0, 2) (h) F (0,−2) Álgebra Linear e Geometria Analítica 27 3) Escreva a equação da parábola com vértices na origem, simétrica ao eixo dado e que passa pelo ponto dado: (a) OX, A(9, 6) (b) OX, B(−1, 3) (c) OY , C(1, 1) (d) OY , D(4,−8) 4) Construa as parábolas seguintes e determine os seus focos e as equações das suas directrizes: (a) 4x2 − y = 0; (b) 2y2 = 13x; (c) y2 + 4x = 0; (d) 2x2 + 5y = 0. 5) Determine o foco e a equação da directriz da parábola dada pela equação: (a) y − 4x2 = 0 (b) y + 6x2 = 0 (c) 2y2 + 13x = 0 (d) 4y2 − 16x = 0 6) Determine os pontos de intersecção das linhas: (a) y2 = 16x e x = 8 (b) x2 = 2y e 2x2 + y2 = 1 7) Numa figura, indique a parte do plano OXY determine por: (a) { y2 ≤ 4x 2x − y −4 ≤ 0 (b) { y2 ≤ 2x x2 9 + y2 6 ≤ 1 4.5 Formas Quadráticas e Canonização Delas 4.5.1 Forma Canónica 1) Ache a forma canónica das formas quadráticas abaixo: (a) f(x, y) = 27x2 − 10xy + 3y2 (b) f(x, y) = 2x2 + 8xy + 8y2 (c) f(x, y) = x2 − 2xy + y2 (d) f(x, y) = 5x2 + 4xy + 2y2 (e) f(x, y, z) = 3x2 + 2y2 + z2 + 4xy + 4yz (f) f(x, y, z) = 6x2 + 3y2 + 3z2 + 4xy + 4xz − 8yz (g) f(x, y, z) = x2 − 2xy + y2 − z2 (h) f(x, y, z) = 3x2 + 5y2 + 2z2 + 4yz 4.5.2 Equação Canónica 1) Ache a equação canónica das curvas abaixo: (a) 36x2 + 36y2 − 36x− 24y − 23 = 0 (b) 16x2 + 25y2 − 32x+ 50y − 359 = 0 (c) x2 + 4y2 − 4x− 8y + 8 = 0 (d) 5x2 + 4xy + 8y2 − 32x− 56y + 80 = 0 (e) 5x2 + 6xy + 5y2 − 16x− 16y − 16 = 0 (f) 7x2 + 16xy − 23y2 − 14x− 16y − 218 = 0 (g) 9x2 + 24xy − 230x+ 110y − 225 = 0 4.6 Superfícies da segunda ordem 1) Determine o tipo de superfície: (a) x2 2 + y2 3 = z (b) x2 2 = y2 3 (c) x2 − 2y2 + z2 = 1 (d) x2 + y2 = z (e) x2 + y2 + z2 = 0 (f) x2 − y2 − z2 = 1 (g) x2 − y2 + z = 1 2) Determine o tipo de superfícies e ache as coordenadas do centro dela; (a) x2 + z2 − 4z − 4x+ 4 = 0 (b) x2 + y2 − z2 − 2y + 2z = 0 (c) 4x2 + y2 − z2 − 2y + 2z + 35 = 0 (d) x2 + y2 − z2 − 2x− 2y + 2z + 2 = 0 3) Determine o tipo de superfície e ache as equações canónicas respectivas: (a) 3x2 + 5y2 + 3z2 − 2xy + 2xz − 2yz − 12x− 10 = 0 Álgebra Linear e Geometria Analítica 28 (b) x2 + 5y2 + z2 + 2xy + 6xz + 2yz − 6 = 0 (c) x2 + 4y2 + 9z2 + 12yz + 6xz + 4xy − 4x− 8y − 12z + 3 = 0 (d) 4x2 + 9y2 + 36z2 − 8x− 18y − 72z + 13 = 0 (e) 4x2 − y2 + 4z2 − 8x+ 4y + 8z + 4 = 0 (f) x2 − y2 − 4x+ 8y − 2z = 0 4) Determine o tipo de superfície: (a) x2 2 + y2 3 = z; (b) x2 − 2y2 + z2 = 1; (c) x2 − y2 + z = 1; (d) x2 + y + z2 = 0; (e) x2 − y2 − z2 = 1. 5) Ache o tipo de superfícies e ache as equações canónicas respectivas: (a) −5y2 + 2xy − 8xy − 8xz + 2yz = 0 ; (b) y2 + 2z2 + 2 √ 3yz = 0 ; (c) 9x2 + 16y2 + 25z2 + 24xy − 40x+ 30y = 0 . (d) x2 + z2 − 4z + 4x+ 4 = 0 ; (e) 4x2 + y2 − z2 − 24x− 4y + 3z + 35 = 0 ; (f) x2 + y2 − z2 − 2x− 2y + 2z = 0 . Programa de aulas práticas Aula Exercícios propostos 1 1.1: 2; 4; 6; 7: a; d; 8: a; b; c; e; g; j. 2 1.1: 9: b; d; e; f; 10 1.2: 1; 2: a; d; 3: a; d. 3 1.3: 1: a; c; 2: b; 3: a; b; c; 4: a; c; e. 4 1.3: 5; 6; 8; 9; 10: a; c; e; 12. 5 1.4: 1: a; b; 2: a; b; 3: a; f; k. 6 1.5.1: 1: c; 2: a; c; d; 3: a; b; e; f; 4: a; b; e; f; 13: a; b; 14: a; 1.5.1: 1: a; c; 2: a; b. 7 2.1: 1: a; b; 2: a; b; 3; 4: a; b; c; 5; 7; 8; 11; 13; 17: b; 19; 21; 23. 8 2.2: 1: a; c; d; 2: a; 4; 5: a; c; 6; 8: a; 9: c; 2.3: 1: a; b; 3; 4; 5; 7; 9: a; 10: a; 11; 13; 14; 2.4: 1; 2; 3: a; b; 5: b; 6; 7: a; 8; 9; 10; 12. 9 3.1: 1: a; b; 4: a; b; c; 6: a; b; c; 10: a; c; d; e; 11: a; b; 12: c; e; f; 13: a; b; 20: a; b; c; e; 22: a; b; c; 23: a; b; 24: a; b; c; e. 10 - 11 - 12 4.1: 1: a; 2: a; 3: a; 4; 5; 6; 8; 10; 12: b; c; 13: b; c; 15: a; b; c; d; 17. 13 4.2: 1: a; 3: a; c; 4; 5; 7: a; b; 8: a; b; 9: b; 12: a; 13: a; 14; 16. 14 4.3: 2: a; b; 3: b; c; d; 5: b; 6: a; 7: b; 9: a; 10: b; 11; 14; 15; 16: b; 18; 19. 15 4.4.1: 1: a; c; d; 2: d; e; f; 3: c; 4: c; 5: c; 6: b; 9: a; b; 4.4.2: 2; 4: b; 5; 6; 9: b; 13: a; b;; 14: b; 4.4.3: 1; 3; 4: a; 6; 8; 9; 10. 4.4.4: 1; 2: a; c; e; 3: b; c; 4: c; d; 5: c; 6: a; 7: b. 16 4.5.1: 1: a; e; f; g; h; 4.5.2: 1: a; b; e; f; g; 4.6: 1; 2: a; c; 3: a; b;c. 29 Bibliografia [1] C. J. Mataca, Manual de Álgebra Linear e Geometria Analítica , ISPSongo. [2] M. Alberto, et all M. Ferreira, Álgebra Linear VOL.1– Matrizes e Determinantes, Editora LTC, 2a Edição 1983. [3] D. Poole, Álgebra Linear, Cengage learning Edições Ltda, Brasil 2004 . [4] I. Cabral, et all Álgebra Linear– Teoria, Exercícios resolvidos e Exercćios propostos com soluções, Escolar Editora, Lisboa 2009. [5] E. M. da Silva, Estatística. Volume I , 1996– 2a Edição Ṡão Paulo. [6] T. Taguirov, et all, Exercícios e Problemas de Álgebra Linear e Geometria Analítica , Núcleo Editorial da UEM, Maputo 1985. [7] D. Lay, Linear Algebra and its Applications, Addison Wesley, Londres, 2003. [8] R. Adams, Calculus, a Complete Course, 5th edition, Addison Wesley Longman, Toronto, 2003. [9] S. Lipschutz e M. Lipss, Schaum’s Outline of Linear Algebra, Editora McGraw–Hill, New York 3a edição 1996. [10] H. Anton, Elementary Linear Álgebra, John Willeyand Sons, 8a Edição Londres, 2000. [11] V. A. Ilin, E.G. Pozniak, Geometria Analítica, Editora "Nauka", MOscovo, 1971. [12] V.A Volkov, Exercícios Práticos de Geometria Analítica e Álgebra Superior, Editora "Leningrad State University", 1986. 30
Compartilhar