Buscar

FICHAALGA

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 27 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 6, do total de 27 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 9, do total de 27 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

1
Álgebra Linear
1.1 Noção e operações com matrizes
1) Considere a matriz
A=

1 0 0 6 −3
0 1 0 2 7
0 0 1 −3 −2
4 1 −5 −10 4
1 2 3 4 5
5 2 −6 1 5

(a) Qual é o tipo e quantos elementos tem A;
(b) Escreva os elementos da terceira coluna;
(c) Escreva os elementos da quinta linha;
(d) Escreva os elementos (3, 5), (5, 5), (1, 3) e (2, 1).
2) Considere a matriz
A=

1 2 3 4 5
4 3 −1 2 5
−1 0 0 1 2
3 4 5 6 7
0 2 −1 −2 4

(a) Qual é o tipo e quantos elementos tem B;
(b) Escreva os elementos da quarta coluna;
(c) Escreva os elementos da segunda linha;
(d) Escreva os elementos (2, 3), (4, 4), (3, 1) e (5, 4).
(e) Escreva os elementos da diagonal principal.
3) Dadas as matrizes A=
[
1 x
3 4
]
e B=
[
x y − z
3 z
]
. Deremine x , y e z de modo que A = B .
4) Achar x e y , se
[
3x y
y x
]
= 2 ·
[
x y
−y x
]
−
[
y −x
3 −y
]
.
5) Dadas as matrizes A=
[
2 4
1 2
]
;B=
[
−2 3
1 −2
]
;C=
[
2 3
6 9
]
e D=
[
1 1
1 3
]
.
Calcule:
(a) A+B; (b) 3 ·A; (c) 3 ·A+ 2 ·B − 2 ·C +D.
6) Dadas as matrizes A=
 1 2 35 6 7
0 1 0
 e B=
 −2 3 41 −6 2
3 1 0
 . Calcule:
(a) A transposta de B;
(b) A+B;
(c) (A+B)T ;
(d) B −A;
(e) BT −AT .
4
Álgebra Linear e Geometria Analítica 5
7) Calcular A− 2B + 3C , se:
(a) A=
[
1 2
2 3
]
; B=
[
−1 2
0 4
]
e C=
[
0 1
−2 1
]
;
(b) A=
[
−1 0
1 3
]
; B=
[
−2 1
3 0
]
e C=
[
3 2
1 1
]
;
(c) A=
[
1 2
−1 3
]
; B=
[
−1 2 0
0 4 0
]
e C=
[
0 1
1 0
]
;
(d) A=
 1 2 33 2 1
1 4 2
 ; B=
 −1 3 01 2 −1
0 1 4
 e C=
 1 3 22 1 4
1 −1 5
 ;
(e) A=
 1 2 3 40 1 2 3
−1 0 1 2
 ; B=
 −2 −3 −4 −50 1 0 1
1 0 1 0
 e C=
 2 3 −1 00 1 −1 2
0 1 −1 3
 .
8) Achar A ·B , se:
(a) A=
[
1 −1 2
]
e B=
 13
4

(b) A=
 13
4
 e B= [ 1 −1 2 ]
(c) A=
 1 −1 20 1 3
2 1 4
 e B=
 1−1
2

(d) A=
 2 −1 11 0 −1
2 1 1
 e B=
 1−2
2

(e) A=
[
2 1
4 −2
]
e B=
[
1 3
−2 0
]
(f) A=
[
1 3
−2 0
]
e B=
[
2 1
4 −2
]
(g) A=
 0 2 −1−2 −1 2
3 −2 −1
 e B=
 4 3 13 2 1
1 3 5

(h) A=
 0 2 −1−2 −1 2
3 −2 −1
 e B=
 1 −3 23 −4 1
2 3 5

(i) A=
 4 1 4−1 −2 −1
2 −1 −2
 e B=
 3 0 1−1 2 0
0 0 2

(j) A=
 1 2 0 31 2 −1 1
0 1 2 1
 e B=

1 −1
2 −2
−1 1
−2 2
 .
9) Sejam A=
 1 −1 01 3 2
1 2 1
 e B=
 1 22 3
0 1

Calcule se possível:
(a) A ·B;
(b) AT ·B;
(c) B ·A;
(d) A ·AT ;
(e) B ·BT ;
(f) BT ·A.
10) Determine os valores de a , b e c , para que as matrizes A e B sejam simétricas:
A=
 1 −1 ba 3 2
0 c 1
 e B=
 1 2 b−1 a 1
3 c 0
 .
11) Demonstre que uma matriz simétrica é matriz quadrada.
12) Prove que o produto de uma matriz pela sua transposta é uma matriz simétrica.
Álgebra Linear e Geometria Analítica 6
13) Demonstre que a soma de duas matrizes simétricas da mesma ordem é também simétrica.
14) Demonstre que se A é matriz quadrada, então B =
1
2
(A+AT ) é simétrica, onde AT é matriz
transposta de A .
1.2 Característica duma matriz
1) Determine quais das matrizes têm forma escalonada reduzida e quais têm forma escalonada.
(a)
 1 0 0 00 1 0 0
0 0 1 1
 (b)
 1 0 1 00 1 1 0
0 0 0 1
 (c)

1 0 1 0
0 1 1 0
0 0 0 0
0 0 0 1
 (d)

1 1 0 1 1
0 2 0 2 2
0 0 0 0 3
0 0 0 0 4

(e)
 1 1 0 10 0 1 1
0 0 0 0
 (f)
 1 1 0 00 1 1 0
0 0 1 1
 (g)

1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
 (h)

0 1 1 1 1
0 0 2 2 2
0 0 0 0 3
0 0 0 0 0
 .
2) Transforme as matrizes abaixos para forma escalonada reduzida:
(a)
 1 2 3 45 6 7 8
6 7 8 7
 (b)
 1 3 5 72 4 6 8
3 5 7 9
 (c)

1 3 0 0 3
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
 (d)

1 0 1 0 0
0 0 1 0 1
0 1 0 1 0
0 0 0 1 1
 .
3) Achar a característica das matrizes abaixo, e diga se são ou não singulares:
(a) A=
 2 3 2 21 2 1 3
3 5 3 6

(b) B=
 1 2 3 22 3 5 1
1 3 4 5
;
(c) C=
 1 2 3 44 1 2 3
3 4 1 2
;
(d) D=

1 2 1 −2 3
2 4 2 0 2
1 3 1 −1 2
1 7 1 3 −2
4 8 4 7 −3

(e) E=

2 −4 3 1 0
1 −2 1 −4 2
0 −1 1 −3 −1
4 −7 4 −4 5

(f) F=

3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14
15 16 17 18 19
.
1.3 Determinante
1) Aplicando a regra de Sarrus, calcule:
(a)
∣∣∣∣∣∣∣
1 1 −1
2 3 −2
3 −2 1
∣∣∣∣∣∣∣ (b)
∣∣∣∣∣∣∣
3 5 0
−2 1 6
4 2 −2
∣∣∣∣∣∣∣; (c)
∣∣∣∣∣∣∣
6 0 4
5 3 2
6 0 5
∣∣∣∣∣∣∣.
2) Calcule os seguintes determinantes, transformando-os previamente em um determinante tri-
angular:
(a)
∣∣∣∣∣∣∣
1 2 3
2 3 1
−4 1 5
∣∣∣∣∣∣∣ (b)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 3 2
0 3 2 2
0 −1 −2 −1
−1 −2 −3 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Álgebra Linear e Geometria Analítica 7
3) Calcule os determinantes usando o desenvolvimento segundo a primeira linha. Calcule também
os determinantes (a)-(d) usando o desenvolvimento segundo a 2a coluna:
(a)
∣∣∣∣∣∣∣
3 0 4
2 3 2
0 5 −1
∣∣∣∣∣∣∣
(b)
∣∣∣∣∣∣∣
0 5 1
4 −3 0
2 4 1
∣∣∣∣∣∣∣
(c)
∣∣∣∣∣∣∣
2 −4 3
3 1 2
1 4 −1
∣∣∣∣∣∣∣
(d)
∣∣∣∣∣∣∣
1 3 5
2 1 1
3 4 2
∣∣∣∣∣∣∣
(e)
∣∣∣∣∣∣∣
2 3 −4
4 0 5
5 1 6
∣∣∣∣∣∣∣
(f)
∣∣∣∣∣∣∣
5 −2 4
0 3 −5
2 −4 7
∣∣∣∣∣∣∣
(g)
∣∣∣∣∣∣∣
4 3 0
6 5 2
9 7 3
∣∣∣∣∣∣∣
4) Calcule os determinantes:
(a)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
6 0 0 5
1 7 2 −5
2 0 0 0
8 3 1 8
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(b)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −2 5 2
0 0 3 0
2 −6 −7 5
5 0 4 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(c)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
3 5 −8 4
0 −2 3 −7
0 0 1 5
0 0 0 2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(d)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
4 0 0 0
7 −1 0 0
2 6 3 0
5 −8 4 −3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(e)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
4 0 −7 3 5
0 0 2 0 0
7 3 −6 4 −8
5 0 5 2 −3
0 0 9 −1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(f)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
6 3 2 4 0
9 0 −4 1 0
8 −5 6 7 1
3 0 0 0 0
4 2 3 2 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
5) Determine t de modo que o determinante
∣∣∣∣∣∣∣
t− 2 1 3
1 t+ 1 −2
0 0 t− 4
∣∣∣∣∣∣∣ seja nulo.
6) Examine o efeito de aplicações das transformações elementares da matriz para o valor do
seu determinante. Em cada caso indique as operações elementares aplicadas e explique como
estas operações afectam o valor de determinante:
(a)
[
a b
c d
]
∼
[
c d
a b
]
(b)
[
a b
c d
]
∼
[
a b
kc kd
] (c)
[
3 4
5 6
]
∼
[
3 4
5 + 3k 6 + 4k
]
(d)
[
a b
c d
]
∼
[
a+ kc b+ kd
c d
]
7) Demonstre que
∣∣∣∣∣∣∣
a b ax+ by + c
d e dx+ ey + f
g h gx+ hy + i
∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣
a b c
d e f
g h i
∣∣∣∣∣∣∣
8) Verifique que det(AE) = (detA)(detE) , se A =
[
a b
c d
]
e E é a matriz elementar seguinte:
(a) E =
[
0 1
1 0
]
(b) E =
[
1 0
0 k
]
(c) E =
[
1 k
0 1
]
(d) E =
[
1 0
k 1
]
9) A =
[
3 1
4 2
]
. Escreva a matriz 5A . Será que det(5A) = 5detA?
10) Calcule determinantes seguintes pela transformação á forma escalonada:
Álgebra Linear e Geometria Analítica 8
(a)
∣∣∣∣∣∣∣
1 5 −6
−1 −4 4
−2 −7 9
∣∣∣∣∣∣∣
(b)
∣∣∣∣∣∣∣
1 5 −3
3 −3 3
2 13 −7
∣∣∣∣∣∣∣
(c)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 3 0 2
−2 −5 7 4
3 5 2 1
1 −1 −2 3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(d)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 3 3 −4
0 1 2 −5
2 5 4 −3
−3 −7 −5 2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(e)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −1 3 0
0 1 5 4
−1 2 8 5
3 −1 −2 3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
11) Calcule determinantes seguintes usando combinação de transformações elementares das linhas
e de desenvolvimento segundo linha ou coluna:
(a)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
2 5 −3 −1
3 0 1 −3
−6 0 −4 9
4 10 −4 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (b)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−1 2 3 0
3 4 3 0
5 4 6 6
4 2 4 3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
12) Calcule determinantes das matrizes:
(a)
∣∣∣∣∣∣∣
1 0 0
0 1 0
0 k 0
∣∣∣∣∣∣∣
(b)
∣∣∣∣∣∣∣
1 0 0
0 1 0
k 0 0
∣∣∣∣∣∣∣
(c)
∣∣∣∣∣∣∣
k 0 0
0 1 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣
(d)
∣∣∣∣∣∣∣
1 0 0
0 k 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣
(e)
∣∣∣∣∣∣∣
0 1 0
1 0 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣
(f)
∣∣∣∣∣∣∣
0 0 1
0 1 0
1 0 0
∣∣∣∣∣∣∣
1.4 Matriz inversa
1) Verifique se as matrizes abaixo são invertíveis:
(a) A=
 1 2 1 03 1 5 6
1 4 −1 0
; (b) B=
 1 2 10 1 a
1 3 −1
; (c) C=

1 2 1 0
−1 2 3 5
0 −1 2 −4
0 3 6 1
.
2) Verifique se a matriz A é inversa da matriz B :
(a) A =
[
1 3
2 5
]
;
B =
[
−5 3
2 −1
]
;
(b) A =
 1 2 10 1 0
1 2 −1
;
B=
 −1 0 10 1 2
1 2 −1
;
(c) A =
 2 −1 00 1 1
2 0 3

B
 34 12 −1234 34 −12
−14 −
1
2
1
2
.
3) Usando o algorítimo de Jordan1- Gauss2, achar a matriz inversa de A , verifique o resultado a
partir de A ·A−1 , sendo:
1CamilleJordan (1838–1922) — matemático francês
2Carl Friedrich Gauss (1777–1855) — matemático alemão
Álgebra Linear e Geometria Analítica 9
(a) A=
[
3 1
4 2
]
(b) A=
[
1 −2
3 4
]
(c) A=
[
1 2
2 5
]
(d) A=
[
2 5
1 3
]
(e) A=
 1 2 −30 1 0
0 0 1

(f) A=
 2 2 31 −1 0
−1 2 1

(g) A=
 1 −2 70 1 −2
0 0 1

(h) A=
 1 −4 −31 −5 −3
−1 6 4

(i) A=

1 3 −5 7
0 1 2 −3
0 0 1 2
0 0 0 1

(j) A=

1 2 3 4
1 1 2 3
1 1 1 2
1 1 1 1

(k) A=

−1 1 0 1
1 −2 1 0
0 1 −2 1
0 0 1 −1

(l) A=

1 1 1 1
0 1 1 1
0 0 1 1
0 0 0 1

4) Resolva o exercício anterior usando o método dos determinantes.
1.5 Sistemas de equações
1.5.1 Sistemas Lineares não Homogêneos
1) Considere os sistemas, ache:
(a)
{
2x + y = 5
x − 3y = 6
(b)

x + 2y + 3z = 0
2x + 3y + 3z = 1
3x + 2y + z = 0
;
(c)

x − y + z − w = 0
x + 2y − 2z + 2w = 3
x + 2y + 3z − 3w = 3
x − 2y + 3z − 4w = −2
.
i. A matriz ampliada;
iv. A matriz reduzida;
ii. A matriz coluna das incógnitas;
iii. A matriz coluna do segundo membro;
2) Resolva os sistemas usando transformação á forma escalonada:
(a)
{
x + 7y = 4
−2x − 9y = 2
(b)
{
2x + 6y = −6
5x + 7y = 1
(c)
{
x − 3y = 4
−3x + 9y = 8
(d)
{
4y = 6
x − 6y = 3
(e)

x + y + z = 6
2x + y − z = 1
3x − y + z = 4
;
(f)

x − y + z = 1
2x − y + z = 4
x − 2y + 2z = 0
;
(g)

x − y + z − t = 0
x + 2y − 2z + 2t = 3
x + 2y + 3z − 3t = 3
x − 2y + 3z − 4t = −2
;
(h)

2x − y + z − t = 4
3x + 2y − z + 2t = 1
2x − y − z − t = 0
5x + 2t = 1
.
3) Usando o método de eliminação de Gauss3- Jordan4, resolva os sistemas abaixo:
3Carl Friedrich Gauss (1777–1855) — matemático alemão
4Camille Jordan (1838–1922) — matemático francês
Álgebra Linear e Geometria Analítica 10
(a)

x − 2y + 3z = 5
2x + 3y − 4z = 6
−x + y + 2z = 1
(b)

x − y + z = 2
2x + 3y − 4z = 8
x − 3y + 2z = −1
(c)

x − y + 2z = 5
y + 2z − x = 7
2z − 3x + y = 5
(d)

7x − 5y − 2z = 8
9x + 3y + 5z = 16
4x + 7y + 3z = 3
(e)

x + y + z + w = 6
x + 2y + 2z + 2w = 11
x + 2y + 3z + 3w = 1
x + 2y + 3z + 4w = 17
(f)

x − y + z − w = 0
x + 2y − 2z + 2w = 3
x + 2y + 3z − 3w = 3
x − 2y + 3z − 4w = −2
(g)

2x + 5y − 2w = 5
−2x − 3y + 2z − 5w = −8
x + 3y − 2z + 2w = 4
−x − 6y + 4z + 3w = 0
(h)

x + y + z + w = 0
x + y + z − w = 4
x + y − z + w = −4
x − y + z + w = 2
4) Resolva o exercício anterior, recorrendo à matriz inversa e à regra de Cramer5.
5) Ache as soluções gerais dos sistemas cujas matrizes têm forma:
(a)
[
1 3 4 7
3 9 7 6
]
;
(b)
[
1 4 0 7
2 7 0 10
]
;
(c)
[
1 −2 −1 3
3 −6 −2 2
]
;
(d)
 3 −4 2 0−9 12 −6 0
−6 8 −4 0
;
(e)
 1 −7 0 6 50 0 1 −2 −3
−1 7 −4 2 7
;
(f)

1 −3 0 −1 0 2
0 1 0 0 −4 1
0 0 0 1 9 4
0 0 0 0 0 0
;
(g)

1 2 −5 −6 0 −5
0 1 −6 −3 0 2
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0
.
6) Seja que as matrizes correspondem aos sistemas lineares • representa o número não nulo e
∗ é qualquer número real. Determine se sistemas são compatíveis. Caso sim determine se a
solução é única.
(a)
 • ∗ ∗ ∗0 • ∗ ∗
0 0 • 0
; (b)
 0 • ∗ ∗ ∗0 0 • ∗ ∗
0 0 0 0 •
; (c)
 • ∗ ∗0 • ∗
0 0 0
; (d)
 • ∗ ∗ ∗ ∗0 0 • ∗ ∗
0 0 0 • ∗
.
Determine os valores de h para que o sistema correspondente seja compatível:
(a)
[
1 −3 h
−2 6 −5
]
; (b)
[
1 4 −2
3 h −6
]
; (c)
[
1 h −2
−4 2 10
]
; (d)
[
2 −6 −3
−4 12 h
]
.
7) Determine os valores de h , k para que os sistemas abaixos sejam incompatíveis, tenham uma
única solução tenha várias soluções:
(a)
{
x + hy = 1
2x + 3y = k
; (b)
{
x − 3y = 1
2x + hy = k
8) Usando o método de eliminação de Gauss resolva o sistema
{
2x − 3y + z = 0
x + y − z = 0
5Gabriel Cramer (1704–1752)—matem?tico su??o
Álgebra Linear e Geometria Analítica 11
9) Dado o sistema

5x + 8y + 6z = 7
3x + 5y + 4z = 5
7x + 9y + 4z = 1
2x + 3y + 2z = 2
verifique se ele é consistente e ache as soluções
caso sua resposta seja afirmativa.
10) Dado o sistema

x + 3y + 5z + 7u + 9w = 1
x − 2y + 3z − 4u + 5w = 2
2x + 11y + 12z + 25u + 22w = 4
5y + 2z + 11u + 4w = −1
verifique se ele é con-
sistente e ache as soluções caso sua resposta seja afirmativa.
11) Resolva: (a)

2x+ 3y = 3
x− 2y = 5
3x+ 2y = 1
(b)

x+ 2y − 3z + 2w = 7
2x+ 5y − 8z + 6w = 5
2x− 5y + 3z + 2w = 4
(c)

x+ 2y − z + 3w = 3
2x+ 4y + 4z + 3w = 9
3x+ 6y − z + 8w = 10
12) Resolva: (a)

x + 2y + 2z = 2
3x − 2y − z = 5
2x − 5y + 3z = −4
x + 4y + 6z = 0
(b)

x + 5y + 4z − 13w = 3
3x − y + 2z + 5w = 2
2x + 2y + 3z − 4w = 1
13) Determine os valores de k tais que o sistema nas incógnitas x, y e z tenha: (i) solução única,
(ii) nenhuma solução (iii) mais de uma solução.
(a)
{
x + 2y + kz = 1
2x + ky + 8z = 3
(b)

x + y + kz = 2
3x + 4y + 2z = k
2x + 3y − z = 1
(c)

x − 3z = −3
2x + ky − z = −2
x + 2y + kz = 1
(d)

kx + y + z = 1
x + ky + z = 1
x + y + kz = 0
14) Determine as condições em a, b e c para que o sistema de incógnitas x, y e z tenha solução:
(a)

x + 2y − 3z = a
3x − y + 2z = b
x − 5y + 8z = c
(b)

x + 2y + 4z = a
2x + 3y − z = b
3x + y + 2z = c
1.5.2 Sistemas Lineares Homogêneos
1) Determine se cada sistema tem solução única:
(a)

x + 3y − 2z = 0
x − 8y + 8z = 0
3x − 2y + 4z = 0
(b)

x + 3y − 2z = 0
2x − 3y + z = 0
3x − 2y + 2z = 0
(c)

x + 2y − 5z + 4w = 0
2x − 3y + 2z + 3w = 0
4x − 7y + z − 6w = 0
2) Determine se cada sistema, tem solução não nula:
(a)

x − 2y + 2z = 0
2x + y − 2z = 0
3x + 4y − 6z = 0
3x − 11y + 12z = 0
(b)

2x − 4y + 7z + 4v − 5w = 0
9x + 3y + 2z − 7v + w = 0
5x + 2y − 3z + v + 3w = 0
6x − 5y + 4z − 3v − 2w = 0
2
Álgebra Vectorial
2.1 Noção e operações com vectores
1) Calcular as coordenadas dos vectores
−−→
AB e
−−→
BA sabendo que:
(a) A(0, 2) e B(2, 0); (b) A(3,−1, 2) e B(−1, 2, 1)
2) Determinar o ponto B , sabendo que:
(a)
−−→
AB = (2, 3) e A(0, 1); (b)
−−→
AB = (3,−1, 4) e A(1, 2,−3).
3) Calcule −→a +
−→
b , −→a −
−→
b , 2−→a + 3
−→
b , −5−→a + 3
2
−→
b , se −→a = (2,−1) e
−→
b = (3, 4) .
4) Sejam −→a = (1, 2, 2) ,
−→
b = (0, 0,−3) , −→c = (−2, 4,−3) , ache:
(a) −→a +
−→
b +−→c ; (b) −→a − 2
−→
b + 2−→c ; (c) 3−→a + 2
−→
b − 3−→c ; (d) −−→a −
1
3
−→
b −−→c .
5) Sejam −→a = (5,−1) e
−→
b = (−2, 4) . Efectue as operações −→a +
−→
b e −1
2
−→a , ilustrando com
vectores cujos iniciais se encontram na origem.
6) Considere os vectores −→a e
−→
b . Represente geometricamente os vectores 2−→a , −3
−→
b , 2−→a +3
−→
b ,
2
−→
b −
−→
b e
1
2
−→a −
−→
b .
7) Determine a origem do segmento que representa o vector −→a = (2, 3,−1) , sendo que a extre-
midade é o ponto B(0, 4, 2) .
8) Se 3(x, y, z) + 5(−1, 2, 3) = (4, 1, 3) , ache x , y e z .
9) Determinar os vectores −→a e
−→
b , sendo
−→a = (x+ y, 3x− y) ,
−→
b = (2x, y − 2x) , −→a +
−→
b = (5, 1) .
10) Sendo −→a = (2, 3, 4) e
−→
b = (−2, x, z) . Determine x e z , sabendo que:
(a) −→a +
−→
b = (0, 3,−2) ; (b) 2−→a −
−→
b = (6, 0, 0) ; (c) −−→a + 3
−→
b = (−8,−5, 2) .
11) Sendo A , B , C , D e O pontos quaisquer no espaço, simplifique as seguintes expressões:
(a)
−−→
AB +
−−→
BO +
−→
OA ; (b)
−−→
BC +
−→
OA−
−−→
OC ; (c)
−→
OA+
−−→
BC +
−−→
DO −
−−→
BA .
12) Sejam A e B dois pontos quaisquer e P o ponto médio do segmento AB .
Demonstre que
−−→
MA+
−−→
MB = 2
−−→
MP , para qualquer ponto M .
13) Sejam AM , BN , e CP as medianas do triângulo ABC . Exprima os vectores
−−→
AM ,
−−→
BN e
−−→
CP em função dos vectores −→a =
−−→
BC e −→c =
−→
CA .
12
Álgebra Linear e Geometria Analítica 13
14) Sejam A , B , C e D pontos quaisquer. E e F os pontos médios dos segmentos AB e
CD .Demonstre que
−−→
EF =
1
2
(
−−→
BC +
−−→
AD) .
15) Dado o triângulo ABC , e sendo −→a =
−→
CA ,
−→
b = AB , I e J os pontos médios de BC e AC .
Determine os seguintes vectores em função de −→a e
−→
b :
(a)
−→
AI ; (b)
−→
BI ; (c)
−→
IC ; (d)
−→IJ ; (e)
−→
BJ .
16) Dados os pontos A(−1, 2) , B(4,−2) , C(1, 3) , determine:
(a) As coordenadas do ponto M de tal modo que 2
−−→
MA+
−−→
AB +
−−→
MC = 0 ;
(b) As coordenadas do ponto M de tal modo que ABCM seja um paralelogramo;
(c) O comprimento de cada um dos lados do triângulo ABC .
17) Calcular o comprimento dos vectores:
(a) −→a = (−1, 1); (b)
−→
b = (2,−4, 3).
18) Sendo A , B , C , D vértices consecutivos de umparalelogramo, calcular as coordenadas do
vértice D se, A(1, 3) , B(5, 11) e C(6, 15) .
19) Seja ABDC um paralelogramo de vértices consecutivos na ordem escrita
Achar o vértice A , sabendo-se que B(0, 1, 3) , C(2, 3, 5) e D(−1, 0, 2) .
20) Dado o triângulo ABC e sabendo que −→a =
−→
CA ,
−→
b =
−−→
CB , os pontos M e N dividem o
lado AB em três partes iguais.
21) Conhecendo três vértices do paralelogramo A , B , C , achar as coordenadas do vértice D ,
sendo A(1,−2, 3) , B(3, 2, 1) , C(6, 4, 4) .
22) Demonstrar que ABCD é um paralelogramo, sendo A(2, 1, 0) , B(5, 3, 3) , C(3,−1, 5) e
D(0,−3, 2) .
23) Sejam dados |−→a | = 11 , |
−→
b | = 23 e |−→a −
−→
b | = 20 , determine |−→a +
−→
b | .
2.2 Ângulo de dois vectores. Produto Interno (ou Escalar)
1) Designando a e b os comprimentos dos vectores −→a e
−→
b , respectivamente, calcule −→a ·
−→
b nos
seguintes casos:
(a) a = 2, b = 4, (−→a ,
−→
b ) = 45◦;
(b) a = 1, 5, b = 4, (−→a ,
−→
b ) = 60◦;
(c) a = 3, b = 2, −→a e
−→
b têm sentidos opostos;
(d) a = 3, b = 2, −→a e
−→
b têm mesmo sentido.
2) calcule (−→a ,−→a ) e (−→a ,
−→
b ) , se:
(a) −→a = (2,−1) e
−→
b = (3, 4); (b) −→a = (2, 2, 0) e
−→
b = (−1, 1, 0).
3) Calcule o produto escalar dos vectores 3−→a − 2
−→
b e −→a + 2
−→
b , se os vectores −→a e
−→
b formam
um ângulo de α =
π
4
.
4) Dados os vértices do triângulo A(−1,−2, 4) , B(−4,−2,−0) e C(3,−2, 1) . Determine:
(a) O ângulo ABC; (b) O perímetro Do triângulo ABC.
Álgebra Linear e Geometria Analítica 14
5) Designando a , b os comprimentos dos vectores −→a e
−→
b , respectivamente, determine o ângulo
formado por −→a e
−→
b , sabendo que:
(a) −→a ·
−→
b = a · b; (b) −→a ·
−→
b = −a · b; (c) −→a ·
−→
b =
1
2
a · b.
6) Sendo |−→u | = 4 , |−→v | = 5 e (−→u ,−→v ) = 120◦ , calcule |−→u +−→v | .
7) Usando a definição de produto interno, demonstre que num triângulo rectângulo, a altura
relativa á hipotenusa é média geométrica entre as projecções dos catetos sobre a hipotenusa.
8) Seja ABC um triângulo equilátero de lado igual a 2cm . M é o ponto médio de BC . Calcule:
(a)
−−→
AB ·
−→
AC; (b)
−−→
AB ·
−−→
BC; (c)
−−→
AB ·
−−→
MA.
9) Seja ABCD um rectângulo em que |AB| = 2 e |AD| = 3 . M é o ponto médio de BC .
Calcule:
(a)
−→
AC ·
−−→
AD; (b)
−−→
AM ·
−−→
AB; (c)
−−→
AM ·
−−→
DC.
10) Determine −→a ·
−→
b e o ângulo entre −→a e
−→
b , sabendo que :
(a) −→a = (5, 2),
−→
b = (−3, 6);
(b) −→a = (4, 3),
−→
b = (1, 7);
(c) −→a = (6,−8),
−→
b = (12, 9);
(d) −→a = (3,−5),
−→
b = (7, 4).
11) Sejam A(1, 1) , B(4, 2) e C(3, x) . Determine x de modo que o triângulo ABC seja rectângulo.
12) No triângulo ABC , −→a =
−−→
BC ,
−→
b =
−→
CA e −→c =
−−→
AB . Demonstre que −→a ·
−→
b +−→·−→+−→·−→ =
−1
2
(a2 + b2 + c2) .
13) Demonstre que se a = b , então −→a +
−→
b e −→a −
−→
b são perpendiculares entre si.
2.3 Produto Externo (ou Vectorial)
1) Calcule |−→a ×
−→
b | se:
(a) |−→a | = 1, |
−→
b | = 2 e (−→a ,
−→
b ) = 120◦; (b) |−→a | = 10, |
−→
b | = 2 e −→a ·
−→
b = 12.
2) Ache as coordenadas do vector (−→a ×
−→
b )×
−→
b , se −→a = (3,−1,−2) e
−→
b = (1, 2,−1) .
3) Calcule |(2−→a +
−→
b )× (−→a + 2
−→
b )| e |(−→a − 3
−→
b )× (3−→a −
−→
b )| , sabendo que |−→a | = 1 , |
−→
b | = 2
e (−→a ,
−→
b ) = 120◦ .
4) Calcule −→a ·
−→
b , se |−→a | = 3 , |
−→
b | = 26 e |−→a ×
−→
b | = 72 .
5) Sejam −→a = (3,−1,−2) e
−→
b = (1, 2,−1) . Determine −→a ×
−→
b .
6) Sejam −→a = (2,−3, 1) ,
−→
b = (−3, 1, 2) e −→c = (−1,−2, 2) . Determine:
(a) (−→a ×
−→
b )×−→c ; (b)
−→
b × (−→a ×
−→
b ); (c)
−→
b · (−→a ×
−→
b ).
7) Demonstre que (−→a ×
−→
b )2 + (−→a ·
−→
b )2 = |−→a |2 · |
−→
b |2 .
8) Se −→a ⊥
−→
b e −→a ⊥ −→c , mostre que −→a × (
−→
b ×−→c ) = −→0 .
9) Calcule a área do paralelogramo construido pelos vectores:
(a) −→a = 6−→i + 3−→j − 2
−→
k e
−→
b = 3
−→
i − 2−→j + 6
−→
k ; (b) −→a = −→i e
−→
b =
−→
j −
−→
k .
10) Determine a área e as alturas do triângulo ABC , se:
(a) A(1,−1, 2), B(5,−6, 2) e C(1, 3,−1); (b) A(1, 2, 0), B(3, 0,−3) e C(5, 2, 6).
Álgebra Linear e Geometria Analítica 15
11) Calcule a área do quadrilátero com os vértices: A(−5, 0) , B(−3, 2) , C(1, 2) e D(4,−4) .
12) Calcular a área do paralelogramo construido por vectores −→a +
−→
b e 3−→a + b , sendo |−→a | =
|
−→
b | = 1 e o ângulo entre −→a e
−→
b é de 300 .
13) Calcular a área do triângulo ABC , se A(2, 2, 2) , B(4, 0, 3) e C(0, 1, 0) .
14) Determine o ângulo entre −→a e
−→
b , se −→a ·
−→
b = 9 e −→a ×
−→
b = 3
−→
i − 6−→j + 6
−→
k .
2.4 Produto misto
1) Sabendo que −→c é perpendicular aos vectores −→a e
−→
b , (−→a ,
−→
b ) = 30◦ , |−→a | = 6 , |
−→
b | = 3 e
|−→c | = 3 . Calcule (−→a ,
−→
b ,−→c ) .
2) −→a ,
−→
b , −→c são perpendiculares dois a dois e formam um triedro direito, |−→a | = 4 , |
−→
b | = 2 e
|−→c | = 3 . Calcule (−→a ,
−→
b ,−→c ) .
3) sejam −→a = (1,−1, 3) ,
−→
b = (−2, 2, 1) e −→c = (3,−2, 5) , calcule:
(a) (−→a ,
−→
b ,−→c ); (b) (
−→
b ,−→a ,−→c ); (c) (−→c ,
−→
b ,−→a ).
4) Sejam −→a = (1, 2, 2) ,
−→
b = (0, 0,−3) e −→c = (−2, 4,−3) , calcule:
(a) (−→a ,
−→
b ,−→c ); (b) (
−→
b ,−→a ,−→c ); (c) (−→c ,
−→
b ,−→a ).
5) Prove que: (a) (−→a ,
−→
b ,−→c ) = −(−→a ,−→c ,
−→
b ) ; (b) (−→a +
−→
b ,
−→
b +−→c ,−→c +−→a ) = 2(−→a ,
−→
b ,−→c ) .
6) Calcule o volume do paralelopípedo cujos lados são os vectores: −→a = (1,−3, 1) ,
−→
b = (2, 1,−3)
e −→c = (1, 2, 1) .
7) calcule o volume do tetraedro ABCD onde:
(a) A(2, 3, 1) , B(4, 1,−2) , C(6, 3, 7) , D(−5,−4, 8) .
(b) A(2,−1, 1) , B(5, 5, 4) , C(3, 2,−1) , D(4, 1, 1) .
8) Dados os pontos A(2, 1,−1) , B(3, 0, 1) e C(2,−1, 3) . O volume do tetraedro ABCD é igual
a 5. O vértice D está no eixo OY . Achar as coordenadas do vértice D .
9) Mostrar que os vectores−→a = 7−→i − 3−→j + 2
−→
k ,
−→
b = 3
−→
i − 7−→j + 8
−→
k e −→c = −→i −−→j +
−→
k são
complanares.
10) Calcule o volume da pirâmide triangular que tem vértices A(0, 0, 1) , B(2, 3, 5) , C(6, 2, 3) e
D(3, 7, 2) .
11) Verifique se são coplanares os seguintes vectores:
(a) −→a = (2, 3,−1) ,
−→
b = (1,−1, 3) e −→c = (1, 9,−11) ;
(b) −→a = (3,−2, 1) ,
−→
b = (2, 1, 2) e −→c = (3,−2,−1) ;
(c) −→a = (2,−1, 2) ,
−→
b = (1, 2,−3) e −→c = (3,−4, 7) .
12) Determine o(s) valor(es) de x para que os pontos A(5, x, 2) , B(3, 1,−1) , C(9, 4,−4) e
D(1, 5, 0) sejam coplanares.
3
Números Complexos
1) Calcule: (a) i8 ; (b) i11 ; (c) i42 ; (d)i105 .
2) Em cada alínea, esboce o ponto e o vector correspondente ao dado número complexo.
(a) 2 + 3i (b) −4 (c) −3− 2i (d) 5i
3) Expresse cada número complexo do exercício anterior como um par ordenado de números
reais.
4) Expresse os seguintes números complexos na forma x+ iy :
(a) 1 + 2i+ 3i2 + 4i3 + 5i4 + 6i5
(b) (3 + 5i) + (−2 + i);
(c) (−3 + 4i)− (1− 2i);
(d) (3 + 5i) + (−2 + i);
(e) (−3 + 4i)− (1− 2i);
(f) (3− 5i)(−2− 4i);
(g) (3− 5i)(−2− 4i);
(h) (1 + i)(1− i);
(i) (2 + 3i)2.
(j) (1 + i)(2 + 3i)2;
(k)
1 + i
5 + 2i
;
(l)
(
1 + i
1− i
)3
−
(
1− i
1 + i
)3
;
(m)
(
1 +
i
3
)(
−6
5
+ 3i
)
;
5) Em cada alínea, encontre |z| :
(a) z = i (b) z = −7i (c) z = −3− 4i (d) z = 1 + i (e) z − 8 .
6) Escreva a parte real e a parte imaginária e o módulo dos seguintes números complexos:
(a) z = 2− 3i;
(b) z = −3 + i;
(c) z = −1 + i
√
2;
(d) z = (5− i)(4 + i);
(e) z = (−1 + i)(3− i);
(f) z = (1 + i)(1− i) + i(1 + 2i).
(g) z = (1− i)(
√
3 + i);
(h) z =
3− 4i
1 + 3i
;
(i) z =
1 + i
3− 2i
;
(j) z =
1
i
+
3
1 + i
.
7) Para cada número complexo dado, encontre z
(a) z = 2 + 7i (b) z = −3− 5i (c) z = 5i (d) z = −i (e) z = −9 .
8) Em cada parte, encontre Re(z) e Im(z) :
(a) z =3eiπ (b) z = 3e−iπ (c) z =
√
2e
i
2
π (d) z = 3e2iπ
9) Expressa na forma x+ iy , os números: (a) e2+i ; (b) e3−i .
10) Reduza à forma reiθ cada um dos números complexos abaixos e represente-os geometrica-
mente:
16
Álgebra Linear e Geometria Analítica 17
(a) 1 + i;
(b) −2(1− i);
(c)
√
3− 3i;
(d) −1− i√
3
;
(e) −1 + i
√
3;
(f) −3.
11) Represente graficamente os números complexos z1 , z2 , z1z2 e
z1
z2
nos seguintes casos:
(a) z1 = 1 + 2i, z2 = 2− i;
(b) z1 = 3− i, z2 = 3−
i
2
;
(c) z1 = 3 + 4i, z2 =
1− i
5
√
2
;
(d) z1 =
1 + i
√
3
2
; z2 =
√
3 + i
2
.
12) Sejam z = 2− i e w = 1− 4i . Determine:
(a) z + w;
(b) z − w;
(c) z̄ − w;
(d) z · w;
(e) z · w̄;
(f) z̄ · w̄.
13) Sejam z = 2− i e w = (1− i)(3i+ 1) . Determine:
(a)
z
w
; (b)
w
z
; (c) w · z
14) Seja w = 2 + 3i . Determine o número complexo z sabendo que z + w = i .
15) Sabendo que z̄ = 1− i , z − w = (2− i)(3 + i) , determine o número complexo w .
16) Seja w = −1 + i . Determine a parte real e a imaginária do número complexo z , sabendo que
z · w = 1− 4i .
17) Sabendo que z = −1 + 2i e z
w
= i , determine o número complexo w .
18) Ache o número complexo z com módulo igual a 1 que satisfaz a igualdade |1 + iz| = 1 .
19) Mostre que se z é um número complexo com módulo igual a 1, então
∣∣∣∣2z − 1z − 2
∣∣∣∣ = 1 .
20) Determine o argumento dos números polares seguintes, escreva-os na forma polar e represente
geometricamente:
(a) −7i;
(b) z = −2 + 2i;
(c) z =
√
3− i;
(d) z = 1− i;
(e) z = −1− i;
(f) z =
−3 + 3i
1 + i
√
3
. (g) z =
1 + i
√
3
1− i
√
3
.
21) Mostre que:
(a) cos 3θ = cos3 θ − 3 cos θ sin2 θ; (b) sin 3θ = − sin3 θ − 3 cos2 θ sin θ.
22) Dados os números complexos z1 = 8
(
cos
2π
3
+ i sin
2π
3
)
e z2 = 2(cos
π
6
+i sin
π
6
) . Determine:
(a) z1 + z2,
(b) z1 · z2
(c)
z1
z2
(d) z3;
Represente
(e) z1 + z2,
(f) z1 · z2
(g)
z1
z2
(h) z3 na forma algébrica x+ iy.
23) Escreva na forma x+ iy os seguintes números:
(a) (
√
3 + 3i)18 ; (b) (i− 1)−11 (c) (1 + i)12 (d) (i+
√
3)7;
(e) (1− i
√
3)−10 ; (f) (i+1)8 (g)
(
1√
2
− 1√
2
)−5
(h) (−2
√
3+2i)−9.
Álgebra Linear e Geometria Analítica 18
24) Determine as raízes a seguir e represente-as geometricamente:
(a)
√
−4;
(b) (1 + i
√
3)
1
2 ;
(c) 3
√
i;
(d) 3
√
−i;
(e) (−1 + i
√
3)
1
4 ;
(f)
√
−1− i
√
3;
25) Resolva as seguintes equações:
(a) z4 = 1;
(b) z3 − 4 = 0;
(c) z5 − 2 = 0;
(d) z6 + 8 = 0;
(e) z4 + i = 0;
(f) z2 − 2z + 2 = 0;
(g) z2 − 3z + 4 = 0;
(h) 2z2 + z + 1 = 0;
(i) (x− 1)4 = 1.
(j) z2 + (1− 2i)z + (1 + 5i) = 0;
(k) z4 + (1− i)z2 + 2(1− i) = 0.
(l) 5x2 − x+ 1
2
= 0;
26) Escreva a equação da recta como equação polar 2x− 3y = 5 .
27) Escreva a equação da circunferência x2 + y2 = r2 como uma equação polar.
28) Escreva a equação
x2
a2
+
y2
b2
= 1 como equação polar.
29) Esboce as figuras dadas pelas expressões:
(a) |z − 1| = 2
(b) |z + 2| > 3
(c) |(1 + i)z − 4| < 2
√
2;
(d) Re(z) > 0;
(e) |Im(z)| ≤ 1;
(f) z2 = −1.
4
Geometria Analítica
4.1 Estudo da recta no plano
1) Escreva a equação da recta que passa pelo ponto P e é perpendicular ao vector −→n , onde:
(a) P (3,−1), −→n = (1, 2); (b) P (3, 1), −→n = (0, 2); P (−2, 1), −→n = (1, 0).
2) Escreva a equação da recta que passa pelo ponto P e é paralelo ao vector −→v , onde:
(a) P (3,−1), −→v = (1, 2); (b) P (1,−1), −→v = (1,−1); (c) P (−2, 2), −→v = (1, 0).
3) Escreva a equação da recta que passa por dois pontos P e Q , onde:
(a) P (−1, 5) e Q(2, 0); (b) P (1, 0) e Q(0, 3); (c) P (2, 3) e Q(−5, 3)
4) Escreva a equação da recta que passa pelo ponto P e é paralelo à recta r :
(a) P (2, 3),
{
x = 1 + 2t
y = 3− t
; (b) P (1,−5), r : 2x− y = 3; (c) P (0, 1) 1− x
2
=
y + 3
3
5) Determine o ponto da recta r :
{
x = 3 + t
y = 1 + t
que tem:
(a) Ordenada igual 5; (b) Abcissa igual a −8.
6) O ponto A(0, y) pertence á recta determinada pelos pontos P (1, 2) e Q(2, 3) . Determine o
ponto A .
7) Determine o vector direccão, o vector normal, a equação geral, a equação paramétrica, a
equação canónica e a equação axial da recta que passa por dois pontos A e B , sendo:
(a) A(−6, 8) e B(−1, 2); (b) A(4, 0) e B(0, 3).
8) Os lados dum triângulo são dados pelas equaões: 4x+ 3y − 5 = 0 , x = 2 e x− 3y + 10 = 0 .
(a) Determine coordenadas dos seus vértices;
(b) Calcule as medidas das alturas deste triângulo.
9) Calcule a área do paralelogramo ABCD sabendo que: D(6, 4) , a equação dum lado é:
x− 2y = 0 e a equação do lado BC é x− y − 1 = 0 .
10) Ache as coordenadas dos vértices do losango ABCD sabendo que: a equação do lado AB
é x + 2y = 4 , a equação do lado CD é x + 2y = 10 e que a equação de uma diagonal é
y = x+ 2 .
19
Álgebra Linear e Geometria Analítica 20
11) Determine os valores m e n para os quais as rectas r : mx+ 8y+n = 0 e s : 2x+my− 1 = 0
são:
(a) Paralelas; (b) Perpendiculares; (c) Secantes no ponto A(1,−2); (d) Coincidentes.
12) Determine a distância do ponto A(2, 3) ás rectas seguintes:
(a) 3x+ 4y = −2; (b)
{
x = 2− t
y = −3 + 3t
; (c)
x− 1
2
=
y + 3
4
13) Determine a distância entre duas rectas r e s , onde:
(a) r : 2x− y = 0; s : 2x− y = 5;
(b) r :
{
x = 2t
y = −1− t
e s :
{
x = 1 + 2t
y = −2− t
;
(c) r :
x+ 3
2
=
y
−3
e s :
x− 2
2
=
y − 1
−3
.
14) Determine as coordenadas do ponto Q é simétrico ao ponto P (−8, 12) , em relação:
(a) Ao eixo OX;
(b) Ao eixo OY ;
(c) Á recta x− y = 0;
(d) Á recta 2x+ y − 1 = 0.
15) Ache as coordenadas do ponto P (−8, 12) sobre:
(a) O eixo OX ;
(b) O eixo OY ;
(c) A recta que passa pelos pontos A(2,−3) e B(−5, 1) ;
(d) A recta que passa pelo ponto A(−3, 4) e é paralela à recta 4x− 3y + 1 = 0 ;
(e) A recta que passa pelo ponto A(−3, 4) e é perpendicular à recat 4x− 3y + 1 = 0 .
16) Ache as equações das bissectrizes das recta r : x− 2y + 1 = 0 e s : −2x+ y = 0 .
17) Ache as equações das bissectrizes e as coordenadas do centro da circunferência inscrita no
triângulo ABC , se:
(a) A(1,−2), B(−2,−2) e C(−2, 2); (b) A(1, 1), B(1, 4) e C(4, 1).
4.2 Estudo do plano
1) Escreva a equação do plano que passa pelo ponto P e é perpendicular ao vector −→n , onde:
(a) P (−3, 4, 7), −→n = (1,−2, 6);
(b) P (1,−2, 3), −→n = (4, 2,−1);
(c) P (1, 0,−3), −→n = (0, 2, 0).
2) Escreva a equação do plano que passa pelo ponto B(4, 5, 0) e é perpendicular ao vector
−−→
AB ,
sendo A(2,−1, 3) .
3) Determine o vector normal e construa o plano (α) dado por:
(a) 3x+ 2y + 6z − 12 = 0; (b) 2y + 3 = 0; (c) 3z − 4 = 0.
4) No triângulo de vértices P (−5, 2, 7) , Q(5, 0, 6) e R(0,−1, 2) , traçou-se a mediana PM (M
está situado no lado QR).
Escreva a equação do plano que passa por M e é perpendicular à mediana PM .
5) Escreva a equação do plano mediador (mediatriz) do segmento AB , sendo:
(a) A(1,−2, 4), B(3,−6, 0); (b) A(0, 1, 3), B(2, 3, 7).
Álgebra Linear e Geometria Analítica 21
6) Escreva a equação do plano que passa pelos pontos A(1, 2,−3) , B(4, 0, 1) , C(2, 1, 1) .
7) Escreva a equação do plano que passa pelo ponto A e é paralelo a (α) :
(a) A(0, 1, 1) , (α) passa por B(7, 0, 0) e D(9, 2, 0) ;
(b) A(1, 1, 1) , (α) é o plano XOZ ;
(c) A(−2, 1, 4) (α) é o plano XOZ .
8) Escreva a equação do plano que passa por dois pontos A e B
e é perpendicular ao plano (α) :
(a) A(1, 1, 1) , B(2, 2, 2) , (α) é o plano XOZ ;
(b) A(1, 1, 1) , B(2, 2, 2) , (α) é o plano que passa por M(1, 0, 1) , N(2, 1, 1) e P (−1,−1, 1) .
9) Escreva a equação do plano β , que passa pelo ponto A , é paralelo ao vector −→v e é perpen-
dicular ao plano (α) :
(a) A(1, 2, 1) , −→v = (1, 2, 4) , (α) : x− y + 3 = 0 ;
(b) A(2,−1, 3) , −→v = (1, 0, 2) , (α) : 2x− y + z = 0 .
10) Ache os valores de m e n para que os planos α e β sejam paralelos entre si:
(a) (α) : 2x+my + 3z − 5 = 0 e (β) : nx− 6y − 6z + 2 = 0 ;
(b) (α) : mx+ 2y + z − 1 = 0 e (β) : 2x+my + nz + 1 = 0 .
11) Ache os valores de m e n para que os planos α e β sejam perpendiculares entre si:
(a) (α) : mx+ 2y − 3z + 1 = 0 e (β) : nx− 6y − 6z + 2 = 0 ;
(b) (α) : x+m2y − z + 3 = 0 e (β) : mx+ y + 20z + 3 = 0 .
12) Determine o ângulo entreos planos:
(a) (α) : 3x− z = 0 e (β) : 2y + z = 0 ;
(b) (α) : x+ 2y + 2z − 3 = 0 e (β) : 16x+ 12y − 15z + 4 = 0 .
13) Ache a distância do ponto A ao plano (α) :
(a) A(3, 1,−1) , (α) : 22x+ 4y − 20z − 45 = 0 ;
(b) a(1, 1, 1) , (α) : 4x+ 3y − 12 = 0
14) Determine a distância entre os planos paralelos (α) : x−2y−2z−12 = 0 e (β) : x−2y−2z−6 =
0 .
15) No eixo OY ache os pontos cuja distância até ao plano x+ 2y − 2z = 2 seja igual a 4 .
16) Escreva as equações dos planos que são paralelos (α) : 2x− 2y − z − 3 = 0 e cuja distância
até o plano (α) é igual a 5 .
Álgebra Linear e Geometria Analítica 22
4.3 Estudo da recta no espaço
1) Escreva a equação paramétrica da recta que passa pelo ponto P (−3, 2, 4) e cujo vector directo
é −→v = (2,−5, 3) .
2) Escreva a equação da recta de intersecção de dois planos (α) e (β) :
(a) (α) : 3x+y−z+1 = 0 e (β) : é o plano que passa pelo ponto A(1, 1, 1) e é perpendicular
ao vector −→n = (−2, 1, 3) ;
(b) (α) : é o plano que passa pelo eixo OX e pelo ponto B(4,−3,−1) e (β) é o plano que
passa pelo ponto C(3, 2,−7) e é paralelo ao plano XOZ .
3) Escreva a equação da recta que:
(a) Passa por B(2, 1, 4) e é paralelo ao eixo OY ;
(b) Passa por P (2, 1, 1) e é paralela à recta
x− 1
2
=
y + 3
4
= 5− z ;
(c) Passa por A(1, 2, 3) e B(2, 1, 5) ;
(d) Passa por P (2, 3, 5) e é perpendicular ao plano 2x− y + z − 1 = 0
4) Escreva a equação da recta que passa pelos pontos P (−4, 1,−3) e Q(−5, 0, 3) .
5) Sejam dados os vértices do triângulo A(3, 6,−7) , B(−5, 2, 3) e C(4,−7,−2) . Escreva:
(a) A equação da mediana partindo de A , do triângulo ABC ;
(b) A equação da linha média que é paralela ao lado BC .
6) Escreva a equação da recta r que passa pelo ponto A e é paralela à recta s , onde:
(a) A(0, 1, 4) e s :
{
3x− y + 2z − 7 = 0
3x− 5y + 2z + 1 = 0
; (b) A(1, 1, 1) e s :
{
x− 2y + 3z − 4 = 0
3x+ 2y − 5z − 4 = 0
.
7) Mostre que as rectas r e s são paralelas:
(a) r :
x+ 2
3
=
y − 1
−2
= z e s :
{
x+ y − z = 0
x− y − 5z − 8 = 0
;
(b) r :

x = 5 + 2t
y = 2− t
z = −7 + t
e s :
{
x+ 3y + z + 2 = 0
3x+ 2y − 5z − 4 = 0
.
8) Ache m para que a recta r :
{
2x+ 3y − z + 7 = 0
3x− 5y +mz − 1 = 0
seja perpendicular à recta s :{
x+ 2y − z − 6 = 0
2x− y + z + 1 = 0
.
9) Demonstre que a s rectas r e s se intersectam. Ache o ponto de intersecção:
(a) r :

x = 2t− 3
y = 3t− 2
z = −4t+ 6
e s :

x = 5 + t
y = −1− 4t
z = t− 4
;
(b) r :
{
5x+ 3y − 11z + 72 = 0
4x− 5y + 7z + 26 = 0
e s :
{
x+ y + 10 = 0
6x+ 11y − 3z + 66 = 0
.
Álgebra Linear e Geometria Analítica 23
10) Determine o ângulo entre as rectas:
(a) r : x− 3 = −(y + 2) = z√
2
e s : x+ 2 = y − 3 = z + 5√
2
;
(b) r :
{
x− y − 4z − 5 = 0
2x+ y − 2z − 4 = 0
e s :
{
x− 6y − 6z + 2 = 0
2x+ 2y + 9z − 1 = 0
.
11) Escreva a equação da recta que passa pelo ponto A(−1, 2,−3) e é perpendicular ao vector
−→n = (6,−2,−3) e intersecta a recta x− 1
3
=
y + 1
2
=
z − 3
−5
.
12) Demonstre que
x− 1
2
=
y + 2
−3
=
z − 3
4
e s :

x = 3t+ 7
y = 2t+ 2
z = 1− 2t
são perpendiculares.
13) Escreva a equação do plano que passa pelas rectas paralelas r :
x− 2
3
=
y + 1
2
=
z − 3
−2
e
s :
x− 1
3
=
y − 2
2
=
z + 3
−2
14) Escreva a equação do plano que passa pelo ponto M(1,−2, 1) e é perpendicular à recta
s :
{
x− 2y + z − 3 = 0
x+ y − z + 2 = 0
.
15) Escreva a equação do plano que passa por dois pontos A(3, 5, 1) e B(3, 3, 3) e é paralela à
recta s :
{
2x+ 2y + z − 1 = 0
3x+ 4y − z + 4 = 0
16) Ache a distância do ponto P à recta r :
(a) P (2,−1, 3) e r :

x = 3t
y = 5t− 7
z = 2t+ 2
; (b) P (1,−1, 2) e r :
{
2x+ 2y + z − 1 = 0
3x+ 4y − z − 10 = 0
17) Dadas as rectas
x
1
=
y − 1
0
=
z − 1
1
e
x− 1
1
=
y − 2
1
=
z − 1
2
, calcular:
(a) a ditância entre as rectas r1 e r2 .
(b) a recta n , perpendicular comum ás rectas r1 e r2 .
18) Sendo r1 :
{
x + z − 2 = 0
y − 1 = 0
e r2 :
{
x − 2y − 1 = 0
z − 10 = 0
calcu-
lar:
(a) a distância entre as rectas r1 e r2 .
(b) os pés da normal comum.
(c) a normal comum ás rectas r1 e r2 .
19) Analise as seguintes rectas, quanto à sua posição relativa:
(a) r :
x− 2
2
=
y − 4
3
=
z − 4
1
e s :
x− 3
−1
=
y + 1
2
=
z − 3
3
;
(b) r :
x− 4
1
=
y − 2
−3
=
z − 8
2
e s :
{
x+ y − z = 0
x− y − 5z − 8 = 0
;
Álgebra Linear e Geometria Analítica 24
(c) r :

x = 3 + 2t
y = 3− 8t
z = 7 + 4t
e s :

x = 2− t
y = 5 + t
z = 7 + t
.
4.4 Curvas e superfícies da segunda ordem
4.4.1 Circunferência
1) Escreva a equação da circunferência de centro C e de raios r , onde :
(a) C está situado na origem
das coordenadas e r = 7
(b) C(−2, 1), r = 3
(c) C(4, 2), r = 6
(d) C(4, 2), r = m arbitrário
(e) C(2,−1) r =
√
2
2) Dadas as seguintes equações verifique se elas representam circunferências. Em caso afirma-
tivo, indique o valor do seu raio e as coordenadas do seu centro:
(a) x2 + y2 − x− y − 4 = 0
(b) 4x2 + 4y2 − 4x+ 8y − 31 = 0
(c) 4x2 + 4y2 = 6
(d) x2 + y2 − 2x+ 2y = 1
(e) x2 − y2 − x+ y − 8 = 0
(f) x2 + y2 + 2xy + 8 = 0
3) Escreva a equação da circunferência que passa por três pontos A , B e C onde:
(a) A(1, 1), B(1,−1), C(2, 2)
(b) A(0, 0), B(2, 2), C(−1, 1)
(c) A(−1, 5), B(−2,−2), C(5, 5)
4) Escreva a equação da circunferência de centro P e que passa pelo ponto A :
(a) P (−1, 2), A(0, 2) (b) P (0, 0), A(3, 4) (c) P (0,−2), A(1, 4)
5) Escreva a equação da circunferência de centro em C e que é tangente à recta r .
(a) C(1,−1) r : 5x− 12y + 9 = 0
(b) C(0, 0) r : 3x+ 4y + 20 = 0
(c) C(−1,−1) r : passa por A(2,−1),
e B(−1, 3)
6) Escreva a equação da circunferência que passa por dois pontos A e B e cujo centro está
situado na recta r .
(a) A(3, 1), B(1,−1) r : 2x+ y = 3 (b) A(3, 1), B(3, 5), r : x+ 2y = 0
7) Escreva a equação do diâmetro da circunferência x2 +y2 = 25 , o qual é perpendicular à recta
4x+ 3y − 25 .
8) Escreva a equação da circunferência inscrita no triângulo ABC , sendo: A(0,−3) , B(0, 3) e
C(4, 0) .
9) Construa as linhas determinadas pelas equações
(a) y =
√
9− x2; (b) y = 15−
√
64− x2; (c) x = −
√
4− y2; (d) x = −2 +
√
9− y2.
4.4.2 Elipse
1) Ache a equação canónica da elipse que passa pelo ponto M(1, 1) e tenha excentricidade
e = 0, 6 .
2) Ache a equação canónica da elipse cujo semi-eixo menor é igual a 2
√
6 e a distância focal é
igual a 8.
3) Ache a excentricidade da elipse, se a distância focal seja igual a distância entre os vértices de
semi-eixo maior e semi-eixo menor.
Álgebra Linear e Geometria Analítica 25
4) Mostre que as equações seguintes de elipse. Para cada caso, determine as coordenadas dos
focos e a distância focal:
(a) 36x2 + 100y2 − 3600 = 0; (b) 7x2 + 16y2 − 112 = 0.
5) Escreva a equação da elipse com focos (±2, 0) e cujo diâmetro principal maior é igual a 5.
Calcule as coordenadas dos vértices, os diâmetros principais, a excentricidade e as directrizes
desta elipse.
6) Sabendo que a excentricidade da elipse E é igual a
1
3
e que os seus focos são (0,±) , dê a
equação de (E) , dê a equação de (E) e das suas directrizes.
7) Escreva a equação canónica da elipse de excentricidade
3
5
, recta OY e directrizes y = ±5 .
8) Escreva a equação canónica da elipse sabendo que :
(a) a distância focal é igual a 8 e a elipse passa pelo ponto A(
√
15,−1) .
(b) a elipse passa por dois pontos A(4,−
√
3) .
(c) a elipse passa pelo ponto
(
2,−5
3
)
e a sua excentricidades é igual a
2
3
.
9) Ache os semi-eixos, os focos, a excentricidade e as equações das directrizes da elipse dada
pela equação
(a) 9x2 + 25y2 = 225. (b) 9x2 + 5y2 = 45.
10) Ache os pontos de intercecção da recta 2x− y − 9 = 0 com a elipse de focos (±2
√
6, 0) e de
excentricidade e =
√
6
3
.
11) Ache os pontos de intersecção da elipse de vértices (±5, 0) e (0,±1) , com a circunferência de
raio 2 e de centro na origem.
12) Calcule a área dum quadrilátero em que dois dos seus vértices se encontram nos focos da elipse
9x2 + 25y2 = 225 e os outros dois coincidem com os extremos do seu eixo menor.
13) Desenhe as linhas determinadas pelas seguintes equações
(a) y =3
4
√
16− x2; (b) y = −5
3
√
9− x2; (c) x = 2
3
√
9− y2; (d) x = 1
7
√
49− y2.
14) Determine a parte do plano determinada por:
(a)
{
x2
4 +
y2
9 ≤ 1
y ≥ x
(b)
{
x2
9 +
y2
3 ≥ 1
x2
16 +
y2
9 ≤ 1
4.4.3 Hipérbole
1) Ache a equação canónica da hipérbole que passe pelo ponto M(
√
3,
√
2) e tenha excentricidade
e =
√
2 .
2) Escreva a equação da hipérbole que tenha:
(a) assimpltotas mesma que tem a hipébole
x2
16
− y
2
1
, mas distância focal mais curta 5 vezes.
(b) Os mesmos focos que tem a hipérbole
x2
a2
− y
2
b2
= 1 , mas assimptotas y = ±a
b
x .
Álgebra Linear e Geometria Analítica 26
3) Ache a equção da hipérbole cujos focos coincidem com os da elipse
x2
25
+
y2
9
= 1 , se a
excentricidade da hipérbole seja igual 2.
4) Mostre que as seguintes equações são equações de hipérboles. Ache as coordenadas dos seus
focos:
(a) 20x2 − 29y2 = 580; (b) 11x2 − 25y2 − 275 = 0; (c) 9x2 − 16y2 − 144 = 0.
5) Escreva a equação da hipérbole cujos focos estão situados no eixo OX simetricamente em
relação á origem do sistema de coordenadas e satisfazem às seguintes condições:
(a) o eixo real e o eixo transverso são iguais a 10 e a 8, respectivamente;
(b) a distância focal é igual a 10 e o eixo transverso é igual a 4;
(c) a distância focal é igual a 6 e a excentricidade é igual a 1, 5 .
(d) a distância focal é igual a 20, e as equações de assimptotas: y = ±4
3
x ;
(e) a distância focal é igual a 14 e a distância entre dois vértices é de 12.
(f) o eixo transverso é igual a
√
15 e a hipérbole passa pelo ponto A(5,−2) .
(g) a hipérbole passa pelo ponto A(10,−3
√
3) e as equações das assimptotas são: y = ±3
5
x .
6) Dê a equação da hipérbole de focos (0,±3) e a distância focal igual a 2. Determine os vértices,
a excentricidade e as assimptotas desta hipérbole.
7) Determine os focos, os vertices e as assimptotas da hiperbole dada pelas seguintes equações:
(a) 16x2 − 9y2 = 144; (b) 16x2 − 9y2 = −144; (c) 2x2 − 3y2 = 4; (d) y2 − 4x2 = 5.
Construa cada uma destas hipérboles.
8) Ache os pontos de intersecção da recta x− y + 2 = 0 com a hipérbole x
2
4
− y
2
8
= 1 .
9) calcule a área do triângulo cujos lados estão situados nas assimptotas da hipérbole 4x2−y2 =
16 e na recta y = 4x− 12 .
10) Escreva a equação canónica da hipérbole, sabendo que o seu foco se encontra no ponto
(−5
√
2, 0) e que ela corta o eixo das abcissas no ponto (6, 0) .
11) Determine os pontos de intersecção das linhas
x2
9
+
y2
4
= 1 e
x2
4
− y
2
9
= 1 .
12) Os focos duma hiperbole coincidem com os focos da elipse 9x2 + 25y2 − 225 = 0 . Escreva a
equação da hipérbole sabendo que a sua excentricidade é igual a 2.
4.4.4 Parábola
1) Ache a equação canónica da parábola que passa pelo ponto A(6, 3) . R: x2 = 12y .
2) Escreva a equação da parábola cuja directriz é a recta r , cujo foco é o ponto F e cujo vértice
é a origem;
(a) r : x = −5
(b) r : x = 5
(c) F (2, 0)
(d) F (−2, 0)
(e) r : y = −3
(f) r : y = 3
(g) F (0, 2)
(h) F (0,−2)
Álgebra Linear e Geometria Analítica 27
3) Escreva a equação da parábola com vértices na origem, simétrica ao eixo dado e que passa
pelo ponto dado:
(a) OX, A(9, 6) (b) OX, B(−1, 3) (c) OY , C(1, 1) (d) OY , D(4,−8)
4) Construa as parábolas seguintes e determine os seus focos e as equações das suas directrizes:
(a) 4x2 − y = 0; (b) 2y2 = 13x; (c) y2 + 4x = 0; (d) 2x2 + 5y = 0.
5) Determine o foco e a equação da directriz da parábola dada pela equação:
(a) y − 4x2 = 0 (b) y + 6x2 = 0 (c) 2y2 + 13x = 0 (d) 4y2 − 16x = 0
6) Determine os pontos de intersecção das linhas:
(a) y2 = 16x e x = 8 (b) x2 = 2y e 2x2 + y2 = 1
7) Numa figura, indique a parte do plano OXY determine por:
(a)
{
y2 ≤ 4x
2x − y −4 ≤ 0
(b)
{
y2 ≤ 2x
x2
9 +
y2
6 ≤ 1
4.5 Formas Quadráticas e Canonização Delas
4.5.1 Forma Canónica
1) Ache a forma canónica das formas quadráticas abaixo:
(a) f(x, y) = 27x2 − 10xy + 3y2
(b) f(x, y) = 2x2 + 8xy + 8y2
(c) f(x, y) = x2 − 2xy + y2
(d) f(x, y) = 5x2 + 4xy + 2y2
(e) f(x, y, z) = 3x2 + 2y2 + z2 + 4xy + 4yz
(f) f(x, y, z) = 6x2 + 3y2 + 3z2 + 4xy + 4xz − 8yz
(g) f(x, y, z) = x2 − 2xy + y2 − z2
(h) f(x, y, z) = 3x2 + 5y2 + 2z2 + 4yz
4.5.2 Equação Canónica
1) Ache a equação canónica das curvas abaixo:
(a) 36x2 + 36y2 − 36x− 24y − 23 = 0
(b) 16x2 + 25y2 − 32x+ 50y − 359 = 0
(c) x2 + 4y2 − 4x− 8y + 8 = 0
(d) 5x2 + 4xy + 8y2 − 32x− 56y + 80 = 0
(e) 5x2 + 6xy + 5y2 − 16x− 16y − 16 = 0
(f) 7x2 + 16xy − 23y2 − 14x− 16y − 218 = 0
(g) 9x2 + 24xy − 230x+ 110y − 225 = 0
4.6 Superfícies da segunda ordem
1) Determine o tipo de superfície:
(a)
x2
2
+
y2
3
= z
(b)
x2
2
=
y2
3
(c) x2 − 2y2 + z2 = 1
(d) x2 + y2 = z
(e) x2 + y2 + z2 = 0
(f) x2 − y2 − z2 = 1
(g) x2 − y2 + z = 1
2) Determine o tipo de superfícies e ache as coordenadas do centro dela;
(a) x2 + z2 − 4z − 4x+ 4 = 0
(b) x2 + y2 − z2 − 2y + 2z = 0
(c) 4x2 + y2 − z2 − 2y + 2z + 35 = 0
(d) x2 + y2 − z2 − 2x− 2y + 2z + 2 = 0
3) Determine o tipo de superfície e ache as equações canónicas respectivas:
(a) 3x2 + 5y2 + 3z2 − 2xy + 2xz − 2yz − 12x− 10 = 0
Álgebra Linear e Geometria Analítica 28
(b) x2 + 5y2 + z2 + 2xy + 6xz + 2yz − 6 = 0
(c) x2 + 4y2 + 9z2 + 12yz + 6xz + 4xy − 4x− 8y − 12z + 3 = 0
(d) 4x2 + 9y2 + 36z2 − 8x− 18y − 72z + 13 = 0
(e) 4x2 − y2 + 4z2 − 8x+ 4y + 8z + 4 = 0
(f) x2 − y2 − 4x+ 8y − 2z = 0
4) Determine o tipo de superfície:
(a)
x2
2
+
y2
3
= z;
(b) x2 − 2y2 + z2 = 1;
(c) x2 − y2 + z = 1;
(d) x2 + y + z2 = 0;
(e) x2 − y2 − z2 = 1.
5) Ache o tipo de superfícies e ache as equações canónicas respectivas:
(a) −5y2 + 2xy − 8xy − 8xz + 2yz = 0 ;
(b) y2 + 2z2 + 2
√
3yz = 0 ;
(c) 9x2 + 16y2 + 25z2 + 24xy − 40x+ 30y = 0 .
(d) x2 + z2 − 4z + 4x+ 4 = 0 ;
(e) 4x2 + y2 − z2 − 24x− 4y + 3z + 35 = 0 ;
(f) x2 + y2 − z2 − 2x− 2y + 2z = 0 .
Programa de aulas práticas
Aula Exercícios propostos
1 1.1: 2; 4; 6; 7: a; d; 8: a; b; c; e; g; j.
2 1.1: 9: b; d; e; f; 10 1.2: 1; 2: a; d; 3: a; d.
3 1.3: 1: a; c; 2: b; 3: a; b; c; 4: a; c; e.
4 1.3: 5; 6; 8; 9; 10: a; c; e; 12.
5 1.4: 1: a; b; 2: a; b; 3: a; f; k.
6 1.5.1: 1: c; 2: a; c; d; 3: a; b; e; f; 4: a; b; e; f; 13: a; b; 14: a;
1.5.1: 1: a; c; 2: a; b.
7 2.1: 1: a; b; 2: a; b; 3; 4: a; b; c; 5; 7; 8; 11; 13; 17: b; 19; 21; 23.
8 2.2: 1: a; c; d; 2: a; 4; 5: a; c; 6; 8: a; 9: c; 2.3: 1: a; b; 3; 4; 5; 7;
9: a; 10: a; 11; 13; 14; 2.4: 1; 2; 3: a; b; 5: b; 6; 7: a; 8; 9; 10; 12.
9 3.1: 1: a; b; 4: a; b; c; 6: a; b; c; 10: a; c; d; e; 11: a; b; 12: c; e;
f; 13: a; b; 20: a; b; c; e; 22: a; b; c; 23: a; b; 24: a; b; c; e.
10 -
11 -
12 4.1: 1: a; 2: a; 3: a; 4; 5; 6; 8; 10; 12: b; c; 13: b; c; 15: a; b; c;
d; 17.
13 4.2: 1: a; 3: a; c; 4; 5; 7: a; b; 8: a; b; 9: b; 12: a; 13: a; 14; 16.
14 4.3: 2: a; b; 3: b; c; d; 5: b; 6: a; 7: b; 9: a; 10: b; 11; 14; 15; 16:
b; 18; 19.
15 4.4.1: 1: a; c; d; 2: d; e; f; 3: c; 4: c; 5: c; 6: b; 9: a; b; 4.4.2:
2; 4: b; 5; 6; 9: b; 13: a; b;; 14: b; 4.4.3: 1; 3; 4: a; 6; 8; 9; 10.
4.4.4: 1; 2: a; c; e; 3: b; c; 4: c; d; 5: c; 6: a; 7: b.
16 4.5.1: 1: a; e; f; g; h; 4.5.2: 1: a; b; e; f; g; 4.6: 1; 2: a; c; 3: a;
b;c.
29
Bibliografia
[1] C. J. Mataca, Manual de Álgebra Linear e Geometria Analítica , ISPSongo.
[2] M. Alberto, et all M. Ferreira, Álgebra Linear VOL.1– Matrizes e Determinantes,
Editora LTC, 2a Edição 1983.
[3] D. Poole, Álgebra Linear, Cengage learning Edições Ltda, Brasil 2004 .
[4] I. Cabral, et all Álgebra Linear– Teoria, Exercícios resolvidos e Exercćios propostos
com soluções, Escolar Editora, Lisboa 2009.
[5] E. M. da Silva, Estatística. Volume I , 1996– 2a Edição Ṡão Paulo.
[6] T. Taguirov, et all, Exercícios e Problemas de Álgebra Linear e Geometria Analítica ,
Núcleo Editorial da UEM, Maputo 1985.
[7] D. Lay, Linear Algebra and its Applications, Addison Wesley, Londres, 2003.
[8] R. Adams, Calculus, a Complete Course, 5th edition, Addison Wesley Longman, Toronto,
2003.
[9] S. Lipschutz e M. Lipss, Schaum’s Outline of Linear Algebra, Editora McGraw–Hill, New
York 3a edição 1996.
[10] H. Anton, Elementary Linear Álgebra, John Willeyand Sons, 8a Edição Londres, 2000.
[11] V. A. Ilin, E.G. Pozniak, Geometria Analítica, Editora "Nauka", MOscovo, 1971.
[12] V.A Volkov, Exercícios Práticos de Geometria Analítica e Álgebra Superior, Editora
"Leningrad State University", 1986.
30

Outros materiais