Lista 7

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FFI 112: Física Matemática I
Lista # 7...................08 - 04 - 13
1.- Seja fz uma função analítica no domínio |z − a| ≤ R. Demonstre a fórmula:
1
2π ∫
0
2π
fa + Re iθdθ = fa
(conhecida como ”Teorema da média ”)
2.- Seja fz uma função analítica no domínio D:|z| ≤ R. Calcule a integral:
∫∫
D
fzdxdy
3.- A função fz é analítica em todo o plano C e satisfaz a condição: |fz| ≤ M para todo
z ∈ C. Prove que fz é uma constante. (Teorema de Liouville).
Ref.: SCHAUM- pag. 124, probl.#9
4.- Calcule a integral:
1
2π ∫
0
2π
dθ
1 − 2a cosθ + a2
transformando-a em integral complexa sobre um caminho fechado. Escolhendo o
caminho |z| = R, mostre que o resultado não depende de R.
5.- Calcule as seguintes integrais, usando a Integral de Cauchy:
(1) ∫
0
2π dθ
2+cosθ (2) ∫0
2π dθ
3+sinθ+cosθ (3) ∫0
2π dθ
a+b cosθ (a > b > 1 (4) ∫0
π dθ
1+sin2θ
Use (M) para calcular as integrais complexas resultantes.
6.- Verifique o Teorema de Cauchy na versão generalizada (V.3), no caso em que:
fz = 1
z2−1
; C0 : |z| = 5; C−1 : |z + 1| = r < 1; C1 : |z − 1| = r < 1; C = C0 ∪ C−1 ∪ C1
Use (M) para calcular a integral.
7.- Use as fórmulas integrais de Cauchy para calcular as seguintes integrais:
(1) ∮ |z|=1 e
z
zn
dz; n : int > 0 (2) ∮ |z−1|=1
cosπz
z−13
dz (3) ∮ |z|=3
sinπzdz
z2+4z−13
Use (M) para calcular as integrais.
8.- Decomposição em frações parciais. Determine A, B, C, . . . de modo que:
a 1
z − az − b =
A
z − a +
B
z − b
b 1
z − az − bz − c =
A
z − a +
B
z − b +
C
z − c
Generalize:
1
z − a1z − a2. . . z − aN
=
A1
z − a1 +
A2
z − a2 +. . .+
AN
z − aN
Estude o comando MAPLE que produz frações parciais.
9.- Calcule as integrais: (1) ∮ |z|=3 dzz2−3z+2 (2) ∮ |z|=2 2z−1zz−1 dz
1
Use (M) para calcular as integrais.
10.- Prove que se fz for analítica numa região simplesmente conexa D, então a
integral
Fz = ∫
z0
z
fwdw
define uma função também analítica em D, e
F ′z = ddz ∫
z0
z
fwdw = fz
[Fz é dita uma primitiva de fz]
11.- Demonstre o Teorema de Morera: ´´Se fz for contínua em um domínio
simplesmente conexo D e se ∮
C
fzdz = 0 para toda curva regular fechada C pertencente
a D, então fz é analítica em D´´
Ref.: SCHAUM - pag.110, probl.#27
12.- Seja D ⊆ C uma região simplesmente conexa com ∂D = C : círculo de raio r
centrado em z = a. Prove a desiguladade de Cauchy:
|fna| ≤ M. n!
rn
n = 0, 1, 2, 3, . . .
Ref.: SCHAUM - pag.124, probl.#8.
13.- Determine um extremo superior para as seguintes integrais:
(1) ∮
|z|=3
dz
z2−i
(2) ∮
|z|=2
ez
z2+1
dz (3) ∫
C
e3z
1+ez dz com C :segmento R, 0 → R, 2πi
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