Material Didático 6

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FFI 112: Física Matemática I
Material Didático # 6........10 - 06 - 13
Teoremas da Convolução
A - Para a Transformada de Laplace:
Lf ∗ g = Fs. Gs
Prova:
O produto de convolução de duas funções fx e gx é definido do seguinte modo:
f ∗ gx = ∫
0
x
dx´fx − x´gx´dx´
Mas as funções que entram na transformada de Laplace são definidas de modo tal que
fx = 0 sempre que x < 0. Com base nisso, o produto de convolução também pode ser
expresso como
f ∗ gx = ∫
0
+∞
dx´fx − x´gx´dx´
A seguir, calculamos a transformada do produto de convolução
Lf ∗ g = ∫
0
+∞
e−sx ∫
0
+∞
dx´fx − x´gx´dx´dx
Invertendo a ordem das integrações, obtemos
∫
0
+∞
e−sx ∫
0
+∞
dx´fx − x´gx´dx´dx = ∫
0
+∞
dx´gx´. ∫
0
+∞
e−sxfx − x´dx
Na última integral fazemos uma mudança de variável de integração: x − x´ = u , de
modo que a integral se transforma em
∫
0
+∞
e−sxfx − x´dx = ∫
−x´
+∞
e−su+x´fudu = ∫
0
+∞
e−su+x´fudu = e−sx´ ∫
0
+∞
e−sufudu
onde mais uma vez invocamos a propriedade de que fx = 0 sempre que x < 0.
Introduzindo este resultado na integral original, obtemos
∫
0
+∞
dx´gx´. ∫
0
+∞
e−sxfx − x´dx = ∫
0
+∞
dx´e−sx´gx´. ∫
0
+∞
e−sufudu = Gs. Fs
Com isso, fica demonstrado que
Lf ∗ g = Fs. Gs
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