Material Didático 3

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FFI0112: Física Matemática I
Material Didático # 3...........08 - 05 - 13
Vamos considerar a busca e a classificação de todas as singularidades da função
fz = 1
e
1
z−1 + 1
A primeira coisa a fazer é procurar pelos valores de z que anulam o denominador de
fz:
e
1
z−1 + 1 = 0
que facilmente vemos que são da forma:
1
z − 1 = ±2k + 1iπ, k = 0, 1, 2, 3, . . .
Com isso encontramos uma sequência zk de valores de z que anulam o denominador
da função fz:
zk = 1 ± 12k + 1iπ , k = 0, 1, 2, 3, . . .
Cada um desses valores de z é uma singularidade, que a seguir vamos classificar.
(1) Os zk são singularidades isoladas:
Calculemos a distância entre duas dessas singularidades consecutivas:
dzk, zk+1 = |zk − zk+1| = 1π . 22k + 12k + 3 = rk > 0
Portanto, dentro de um disco centrado em zk e de raio rk não há nenhuma outra
singularidade distinta de zk.
(2) Os zk são polos simples:
Os pontos zk que são singularidades da função fz certamente serão zeros da função
1
fz . A ordem desses zeros será a ordem das singularidades correspondentes.
Teremos:
1
fz = e
1
z−1 + 1
Certamente z = zk será um zero do segundo membro, por construção dos zk. Vamos
derivar esta expressão; para ser zero simples, z = zk não deverá anular esta derivada.
De fato:
d
dz e
1
z−1 + 1 = − 1
z − 12
e
1
z−1
que certamente não se anula para z = zk, para todo k = 0, 1, 2, 3, . . .A conclusão é
inevitável: as singularidades zk são todas elas polos simples ( polos de ordem 1).
A sequência  zk é convergente e converge para z = 1 como se vê facilmente:
lim
k→+∞
zk = limk→+∞1 ±
1
2k + 1iπ  = 1
Isso significa que z = 1 é um ponto de acumulação para a sequência  zk e assim é
uma singularidade não isolada: é um ponto de acumulação de polos simples.
1
Falta ainda verificar se z = ∞ é singularidade. Para isso fazemos na função fz a
transformação de variável
z = 1w
e investiguemos se w = 0 é uma singularidade. Teremos:
Fw = f 1w  = 1e w1−w + 1
de onde sevê que w = 0 não é singularidade: F0 = f∞ = 1/2.
Em resumo, a função dada fz apresenta as seguintes singularidades:
(i) zk = 1 ± 12k+1iπ , k = 0, 1, 2, 3, . . . todos polos simples
(ii) z = 1, singularidade não isolada, ponto de acumulação dos polos simples zk.
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