Topografia PRIMEIRA PARTE

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Noções de Topografia 
 
 Alfredo Coelho ARQUITETO e URBANISTA 2013 
Topografia 
2 Alfredo Coelho – ARQUITETO E URBANISTA 
CONCEITOS 
Segundo DOMINGUES 1979: Topografia é a descrição minuciosa de um lugar. A palavra topografia é derivada das palavras gregas “topos” (lugar) e “graphen” (descrever). 
A finalidade da topografia é (sem levar em conta a curvatura que resulta da esfericidade terrestre), determinar o contorno, dimensões e posição relativa de uma porção limitada da superfície terrestre, sendo ela no fundo de um oceano, no alto de uma montanha, ou mesmo no interior de uma mina. Todo projeto de engenharia e arquitetura, seja uma residência, um loteamento, um condomínio habitacional, um aeroporto ou mesmo uma usina hidroelétrica, tem como base inicial um levantamento topográfico, o qual fornece dados do terreno facilitando o desenvolvimento do projeto de modo a assegurar uma perfeita implantação no local destinado. 
A Topografia cabe ainda, a locação, a implantação e o acompanhamento da execução de um projeto de engenharia ou arquitetura, cobrindo todas as etapas de execução da obra. 
Uma extensão, em maior escala, da Topografia é a GEODÉSIA que produz mapas representando grandes partes da superfície terrestre, levando em conta a curvatura que resulta de sua esfericidade, enquanto que a Topografia se aplica a áreas limitadas por um raio máximo 30 a 50 km extensão. A Geodésia é uma ciência muito mais abrangente. 
REPRESENTAÇÃO TOPOGRÁFICA 
A Topografia é praticada em forma de levantamentos chamados de LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO e representados por PLANTAS que são as Representações Ortogonais Cotadas, também chamadas de Superfície Topográfica, ou simplesmente PLANTA TOPOGRÁFICA (LELIS ESPARTEL, 1987) 
 
Nas plantas, os pontos levantados são desenhados através das coordenadas ݔ e ݕ, sendo ݔ na direção Leste-Oeste e ݕ na direção Norte-Sul. 
Comparando as coordenadas do desenho topográfico com as Coordenadas Geográficas (ᆞ, ᆋ), teríamos: o ݕ relacionado às LATITUDES ᆞ e o ݔ relacionado aos MERIDIANOS ᆋ, onde o eixo ݔ (ݕ = 0°) equivalente ao Paralelo ᆞ = ૙° ou Linha do Equador e o eixo ݕ (ݔ = 0°) equivalente ao Meridiano ᆋ = ૙° ou Meridiano de Greenwich. 
A Linha do Equador divide o globo terrestre em dois HEMISFÉRIOS: NORTE e SUL. 
Superfície Topográfica – Planta Topográfica _Lelis Espartel 
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As latitudes do Hemisfério NORTE, situadas acima do paralelo do Equador, associam-se aos valores positivos de ݕ e variam de 0° sobre o paralelo do equador, até 90°. 
Como exemplos, podemos citar o Trópico de Câncer com Latitude de 23°26′16"N e o Círculo Ártico que está na Latitude 66º33’44"N. 
Enquanto que as latitudes do Hemisfério SUL, situadas abaixo do paralelo do Equador associam-se aos valores negativos de ݕ e variam também de 0° sobre o paralelo do Equador, até 90°. 
Como exemplos, podemos citar o Trópico de Capricórnio com Latitude de 23°26′16"S e o Círculo Antártico que está na Latitude 66º33’44"S. 
Já o Meridiano de Greenwich divide o globo terrestre em duas partes: ORIENTE ao Leste e OCIDENTE ao Oeste. 
Os meridianos Orientais, situadas à direita do Meridiano de Greenwich associam-se aos valores positivos de ݔ e variam de 0° a 180° ao Leste de Greenwich. 
Enquanto que, os meridianos Ocidentais, situadas à esquerda do Meridiano de Greenwich associam-se aos valores negativos de ݔ e variam de 0° a 180° ao Oeste de Greenwich. 
LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
Levantamento topográfico é o conjunto de operações necessárias para a determinação de pontos e aparência do terreno, de tal modo a serem representados em planta. Deste modo, trabalha-se com MEDIDAS ANGULARES (alinhamentos) e com MEDIDAS LINEARES (distâncias) para a representação das POLIGONAIS resultantes dos levantamentos de campo. 
De acordo com os equipamentos utilizados e o nível de apresentação, podemos ter vários tipos de levantamentos: Levantamentos Rápidos, (uso apenas de balizas, trenas e nível de mangueira), chamados de Levantamentos EXPEDITOS, são levantamento de pouca precisão, mas de muita utilidade. Quando utilizamos equipamentos mais sofisticados como o Teodolito, GPS etc., temos levantamentos de precisão mais acentuada e, neste caso, de acordo com o tipo de apresentação final e a finalidade, eles podem ser de dois tipos: Planimétrico ou Planialtimétrico. 
Em campo o levantamento é único, só se diferencia no modo de apresentação. O levantamento dito planimétrico é aquele em o desenho é feito em duas dimensões, com maior ou menor precisão, sem mencionar as elevações do terreno, já o planialtimétrico, geralmente é mais rico em detalhes, representa as elevações por pontos cotados e curvas de níveis que representam os desníveis do terreno. 
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 Nesta planta só são feitas referências bidimensionais: vértices e os lados da poligonal limitante do terreno e seus vizinhos. Não há nenhuma menção às elevações no terreno. 
 Nesta planta, além dos elementos mostrados no levantamento planimétrico, são mostradas curvas de níveis que são os indicadores das elevações do terreno. 
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Mas o que foi dito não impede de citarmos outros modos de levantamento como: levantamento semicadastral, levantamento cadastral, etc. 
GRANDEZAS MEDIDAS EM TOPOGRAFIA 
Para a determinação dos alinhamentos horizontais e para as visadas verticais são utilizados, respectivamente ângulos horizontais e ângulos verticais, coletados a partir de um instrumento chamado de TEODOLITO. Mas como veremos os teodolitos são indispensáveis na determinação das medidas lineares, embora tomadas indiretamente. 
TEODOLITO 
O Teodolito é um instrumento óptico de medida utilizado na topografia, na geodesia e na agrimensura para realizar medidas de ângulos verticais e horizontais, assim como, também é usado em redes de triangulação. 
 1– TRÂNSITO: Sistema mecânico, leitura externa. 2– ÓTICO: Sistema prismático, leitura interna. 3– Eletrônico: Leitura digital 
Os teodolitos vêm evoluindo sempre, e acompanhando o desenvolvimento tecnológico, mas o esquema básico continua o mesmo. 
 
 Independente da geração este é o ESQUEMA BÁSICO de um Teodolito 
 Acima temos a representação esquemática da disposição dos círculos vertical e horizontal de um teodolito em geral. Ao lado os seus componentes básicos. 
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O Tripé é o acessório mais importante do teodolito é a sua mesa de trabalho. 
 
 
ÂNGULOS HORIZONTAIS 
AZIMUTE (Az) 
Azimute é uma medida de direção horizontal, definida em graus tomada a partir do NORTE MAGNÉTICO que variam de 0º a 360°. O azimute aumenta para a direita no sentido dos ponteiros de um relógio. Em árabe a palavra Azimute significa caminho, às vezes substituído por RUMO. 
Consideram-se a existência de três tipos de azimute: 
 Azimute magnético, que é indicado pela bússola;  Azimute geográfico medido em direção do Polo Norte;  Azimute cartográfico, medido a partir da direção das linhas verticais de uma carta. 
ÂNGULOS HORIZONTAIS (Ah) 
Num levantamento topográfico, os ângulos horizontais são os elementos que definem a inclinação relativa entre os lados da poligonal resultante do levantamento. Como veremos na ilustração os ângulos horizontais são sempre tomados para a direita do Operador do Teodolito, pois o primeiro ângulo horizontal medido num levantamento é o AZIMUTE e este é obrigatoriamente tomado para a direta, sentido horário, (para o LESTE), mesmo que este venha ocupar outro quadrante diferente, o primeiro movimento do teodolito é para o Leste, sentido dos ponteiros de um relógio. Os ângulos horizontais podem ser internos ou externos à poligonal. Quando o Topógrafo escolhe o levantamento por ângulos horizontais (o modo mais utilizado nos levantamentos) o teodolito é zerado1 para ré, na estação anterior, com exceção da primeiravisada do levantamento que é zerada no NORTE MAGNÉTICO. 
 1 Zerar o teodolito significa orientar o teodolito com um referencial, ou seja, recomeçar todas as operações como se fosse o ponto de partida. 
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A partir da segunda estação (E1) o teodolito é alinhado na estação anterior (voltada para a ré) e toma-se a direção do caminhamento seguinte. Os ângulos horizontais variam de 0° a 360°. 
Observe que na estação E0 há duas tomadas de ângulo. A primeira é o azimute, tomado no início do levantamento e, a segunda é o ângulo horizontal de fechamento da poligonal, isto é, a estação E1 é visada duas vezes, no início e no final do levantamento da poligonal. 
 
DEFLEXÕES (d) 
Nos levantamentos topográficos, para a obtenção dos alinhamentos, pode ser usado outro tipo de ângulo horizontal chamado de DEFLEXÃO. As deflexões podem ser para a direita ou para a esquerda em relação ao alinhamento anterior. Dizemos que é uma Deflexão à Direta (dD) quando ela é equivalente a um ângulo horizontal superior a 180° e que é uma Deflexão à Esquerda (dE) quando é equivalente a um ângulo horizontal inferior a 180°. Quando o Topógrafo escolhe trabalhar com deflexões: a partir da segunda estação, ele zera o teodolito para vante, com o 180° voltado para a ré (estação anterior), como se estivesse subtraindo 180° do ângulo horizontal. 
Quando o ângulo horizontal é igual a 180°, coincide com a deflexão nula 0°, isso quer dizer que o lado da poligonal tem o mesmo alinhamento do lado anterior, ou seja, o caminhamento segue em linha reta. 
Enquanto os ângulos horizontais variam de 0° a 360°, as deflexões variam de 0° a 180°, com orientação para a direita ou para a esquerda do alinhamento do lado anterior da poligonal. 
 
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Um esquema de deflexões está ilustrado na figura seguinte. 
 
ERRO ANGULAR E CORREÇÃO 
Durante o levantamento podem ocorrer diversos tipos de erro, (na instalação do equipamento no piquete, na própria visada etc.), os quais vão influir na precisão do levantamento. 
Cabe ao calculista, no escritório fazer as verificações e proceder as devidas correções, quando o erro estiver dentro de uma margem aceitável, caso contrário o levantamento deverá ser refeito, parcialmente ou até totalmente. 
CÁLCULO 
Da geometria plana sabemos que a soma dos ÂNGULOS INTERNOS de um polígono ”é igual ao número de lados subtraindo dois lados e multiplicando o resultado por cento e oitenta graus”. 
઱ۯܑ࢔ = (࢔ െ ૛) ∙ ૚ૡ૙° 
Ou que: 
A soma dos ÂNGULOS EXTERNOS de um polígono ”é igual ao número de lados somados dois lados e multiplicando o resultado por cento e oitenta graus”. 
઱ۯܑ࢔ = (࢔ + ૛) ∙ ૚ૡ૙° 
No caso de levantamento por DEFLEXÃO tomos que “a diferença entre soma das deflexões à direita e a soma das deflexões à esquerda é igual a trezentos e sessenta graus”. 
઱܌۲࢔ െ ઱܌۳࢔ = ૜૟૙° 
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CORREÇÃO 
Uma vez apurado este erro, total da POLIGONAL2, ele será dividido pelo perímetro encontrando-se o erro angular por cada metro medido na poligonal e a ser distribuído proporcionalmente por cada estação. 
ࢋ = ࢋࢀࡼ 
O erro angular por metro, será multiplicado pala DISTÂNCIA HORIZONTAL (Dh) calculada correspondente a cada lado da poligonal e o valor desse produto (L) será somado ou subtraído, (somado se o erro for para menos e subtraído se o erro for para mais), ao ângulo horizontal medido naquele lado, encontrando-se o valor do ÂNGULO HORIZONTAL CORRIGIDO. 
ࡸ = ࢋ ∙ ࡰࢎ 
Assim que corrigimos os ângulos horizontais estamos aptos para calcular os azimutes 
MEDIDAS DE ÂNGULOS VERTICAIS 
Para o caso das medidas angulares verticais são usados dois tipos ângulos: Zenitais e Verticais os quais servem para posicionar geometricamente os objetos no plano vertical. Existe um tipo de ângulo chamado Nadir que não é utilizado. 
VERTICAIS: 
Quando o instrumento é zerado no Horizonte. Neste caso a linha do horizonte fica em torno dos 0°. os ângulos variam de 0° a 90°, positivos quando o alinhamento está em aclive, ou de 0° a 90° negativos quando o alinhamento está em declive. 
ZENITAIS: 
Quando o instrumento é zerado no Zênite. Neste caso a linha do horizonte fica em torno dos 90°. Os ângulos variam de 0° a 180°, sendo que para ângulos menores que 90° subentende-se que a poligonal está em aclive. Se o ângulo é maior que 90°, quer dizer que a poligonal está em declive. NADIRAL: 
Se o instrumento fosse zerado no Nadir. O nadir está no centro terrestre. Não é comum instrumentos com esse tipo de medida angular. 
MEDIDAS LINEARES (DISTÂNCIAS) 
MEDIDAS DIRETAS 
 2 Nome dado ao polígono correspondente ao levantamento. 
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São medidas determinadas a partir da comparação com uma grandeza padrão, feitas diretamente com trenas ou diastímetros sem necessidade de cálculos para conclusão dos dados obtidos. 
Conjunto de trenas 
 
Nível de cantoneira 
 
Conjunto de Pique e Testemunha 
 
Balizas (comprimento 2,00m e diâmetro 2,00cm) 
Durante a medição de uma distância utilizando uma trena, é comum o uso de alguns acessórios como: piquetes, estacas testemunhas, balizas e níveis de cantoneira. 
Na tomada das medidas diretas, com o uso de trena e balizas temos que tomar cuidados com a horizontalidade da trena e a perpendicularidade das balizas, para que não sejam acumulados erros nas medidas horizontais. Aliás, em topografia, horizontalidade e perpendicularidade são os elementos geradores da calagem (nivelamento do instrumento), logo em qualquer situação, devemos levar em conta o NÍVEL e o PRUMO, elementos indispensáveis em qualquer atividade da engenharia. 
 
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MEDIDAS INDIRETAS 
São medidas tomadas por instrumentos indiretamente e que necessitam de cálculos com o uso de artifícios matemáticos (trigonometria) para conclusão dos dados obtidos. 
 
Na obtenção das medidas indiretas são usados os dois equipamentos mais importantes num levantamento topográfico preciso: o Teodolito e a Mira. Como mostrado na figura ao lado. Não custa lembrar que assim como as balizas as miras, também devem estar bem aprumedas, numa perfeita perpendicularidade. 
OBJETIVA DO TEODOLITO 
Na objetiva dos teodolitos vêm assinalados Fios Estadimétricos, tecnicamente chamados de retículos: 
Um retículo vertical para tomada dos alinhamentos, horizontais sobre a BALIZA, e três retículos horizontais para tomada das medidas verticais sobre a MIRA: 
Fio Superior (FS); Fio Médio (FM) e Fio Inferior (FI). 
 
O fio médio divide o eixo vertical da objetiva em duas partes iguais, de tal modo que a diferença entre o fio superior e o fio médio é igual a diferença entre o fio médio e o fio inferior. 
ࡲࡿ െ ࡲࡹ = ࡲࡹ െ ࡲࡵ ⟹ ࡲࡿ + ࡲࡵ = ૛ࡲ 
PROPRIEDADE: 
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“O dobro da altura do fio médio é igual à altura do fio superior somada a altura fio inferior”. 
LEITURA DA MIRA 
As miras estadimétricas são réguas graduadas em metros, decímetros e centímetros, cada espaço branco ou preto, é corresponde a um centímetro, os milímetros são estimados. O algarismo indicado ao lado representa os decímetros. Os pontinhos assim como a representação em romano indicam os metros. No caso do exemplo mostrado abaixo, o 1 o 2 e o 9 correspondem a 1 decímetro (10 cm), 2 decímetros (20 cm) e 9 decímetro (90 cm). O II (romano) assim como os dois pontos indicam 2,00 m, e um ponto somente indica 1,00 m. 
 
Na figura da mira apresentada acimasão lidos os três fios estadimétricos: 
Fio Superior FS = 2,111; fio médio FM = 2,072 e fio inferior FI = 2,033. O Número Gerador (g) é igual à diferença entre fio superior e o fio inferior. De onde g = FS – FI resultando, neste caso, g = 0,078. Mas se por algum motivo faltar uma das leituras podemos, pela propriedade anunciada acima, encontrar a leitura que falta. 
Exemplo: 
Suponha que faltasse a leitura do fio inferior... 
Teríamos ܨܫ 2 ∙ ܨܯ െ ܨ ⇒ ܨܫ = 2 ∙ 2,072 െ 2,111 = 2,033. E assim procederíamos em qualquer situação semelhante. 
O exemplo de OBJETIVA dado acima é de leitura direta, porém em alguns casos o teodolito é de leitura invertida, mas não muda nada. É como olhar de cabeça para baixo. Tudo inverte. 
CÁLCULO DA DISTÂNCIA HORIZONTAL 
A distância horizontal é lida geometricamente na mira e calculada de acordo com propriedades da geometria plana e da trigonometria no triângulo retângulo. Inicialmente vamos calcular a distância em terrenos planos e depois em terreno portador de inclinação. 
CÁLCULO DA DISTÂNCIA HORIZONTAL NO PLANO HORIZONTAL 
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A dedução da fórmula para o cálculo da distância horizontal (Dh), no caso em que o terreno é plano, não tem nenhuma complicação e é direta em relação à geometria plana. 
ESQUEMA GRÁFICO 
 LEGENDA: 
c Constante estadimétrica do instrumento. 
C f + c Geralmente igual a100 
D Distância do foco à mira 
Dh Distância reduzida ao horizonte (medida a ser aplicada no desenho) 
f Distância do foco (F) da lente 
A Leitura do fio superior (medida sobre a mira), FS 
M Leitura do fio médio (medida sobre a mira), FM 
B Leitura do fio inferior (medida sobre a mira), FI = B 
g Número gerador 
h Altura do instrumento (medida do piquete ao eixo vertical do instrumento) 
l Medida do fio médio (medida sobre a mira) 
FÓRMULA 
Os triângulos ∆୊ୟୠ e ∆୊୅୆ são semelhantes implica que ௙௔௕ = ஽஺஻ ⇒ D = ௙஺஻௔௕ . De onde 
verificamos D = ௙௔௕ ∙ ݃, logo Dh = D + C fica: ܦℎ = ݂ܾܽ ∙ ݃ + ܥ. O valor de é padrão fornecido pelo fabricante e, atualmente, este valor é 100. Substituindo na 
expressão acima vem ࡰࢎ = ૚ ∙ ࢍ + ࡯. O valor de ܥ, denominado de constante de Reichembach, assume o valor 0 (zero) para instrumentos com lentes analáticas e de 25 a 50 cm para instrumentos com lentes aláticas. Como a grande maioria dos Teodolitos usam lentes 
analáticas, podemos eliminar o ܥ e a fórmula final fica. ࡰࢎ = ૚૙૙ ∙ ࢍ 
CÁLCULO DA DISTÂNCIA HORIZONTAL NO PLANO INCLINADO 
Dedução das fórmulas de redução de distância ao horizonte (Dh) e a variação vertical (∆v). Calculados considerando-se o ângulo VERTICAL (i) ou ZENITAL (z). Os ângulos (i) são próximos de 0°: positivos (inclinação ascendente) negativos (inclinação descendente), já os 
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ângulos (z) estão próximos de 90°: menores que 90° (inclinação ascendente) maiores que 90°(inclinação descendente). Os ângulos verticais têm a origem 0° na linha do horizonte e os zenitais têm a origem no zênite. Volte ao tópico MEDIDAS DE ÂNGULOS VERTICAIS. 
ESQUEMA GRÁFICO 
 LEGENDA: 
c Constante estadimétrica do instrumento. Geralmente c = 100 
C f + c 
D Distância do foco à mira 
Dh Distância reduzida ao horizonte (medida a ser aplicada no desenho) 
Di Distância inclinada (medida de O a M) Di = C + D 
Dv Distância vertical 
f Distância do foco (F) da lente 
FS Leitura do fio superior (medida sobre a mira), FS = A 
FM Leitura do fio médio (medida sobre a mira), FM = M 
FI Leitura do fio inferior (medida sobre a mira), FI = B 
g Número gerador 
h Altura do instrumento (medida do piquete ao eixo vertical do instrumento) 
i Av Ângulo vertical (em torno de 0°) 
l Medida do fio médio (medida sobre a mira) 
∆v Variação vertical 
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MIRA VIRTUAL 
É uma mira fictícia tomada na perpendicular à distância inclinada no ponto de leitura do fio médio, altamente necessária para possibilitar a deduções de fórmulas taqueométricas. Como a Mira Real está perpendicular à direção horizontal o ângulo entre duas miras é igual ao ângulo (i) que a distância inclinada forma com a horizontal. 
DISTÂNCIA REDUZIDA AO HORIZONTE 
Com uma grande aproximação podemos considerar os dois pequenos triângulos ∆୑஺ᇲ஺ e 
∆୑୆஻ᇲ como sendo retângulos, com hipotenusa igual a ݃ 2ൗ cateto adjacente igual ݃′ 2ൗ . 
Os triângulos ∆୊ୟୠ e ∆୊୅’୆’ são semelhantes implica que ௙௔௕ = ஽஺ᇲ஻ᇲ ⇒ D = ௙஺ᇲ஻ᇲ௔௕ . 
Devido aos valores muito pequenos, podemos considerar os triângulos ∆୅୑஺ᇲ e ∆୆୑஻ᇲ como triângulos retângulos e daí vale a relação: ௚ᇱଶ = ௚ଶ ∙ cos(݅) ⇒ ݃ᇱ = ݃ ∙ ܿ݋ݏ (݅) como ܣᇱܤᇱ=g’=݃ ∙ ܿ݋ݏ (݅) temos D = ௙௔௕ ∙ ݃ ∙ cos (݅). Como ௙௔௕ em geral é igual a 100, valor fornecido pelo fabricante, vem: D = 100 ∙ ݃ ∙ cos (݅). 
Do triângulo ∆୓ୖ୑ retângulo em R, podemos tirar a relação: ୈ୦
ୈ୧ = cos(i) ⇒ Dh = Di ∙ cos (i): Substituindo Di, vem Dh = (D + C) ∙ cos (i), aplicando o valor de D, fica Dh = (100 ∙ g ∙ cos (i) + C) ∙ cos (i) Procedendo os cálculos: 
۲ܐ = (૚૙૙ ∙ ܏ ∙ ܋ܗܛ૛ ∙ (ܑ) + ۱ ∙ ܋ܗ ܛ(ܑ)). Com ܥ = 0, temos a fórmula final. 
۲ܐ = ૚૙૙ ∙ ܏ ∙ ܋ܗܛ ²(ܑ) 
VARIAÇÃO VERTICAL (∆v) 
Ainda levando-se em conta o triângulo retângulo, o seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto e a sua hipotenusa, logo temos: 
∆ݒ = ܦ݅ ∙ ݏ݁݊(݅) sendo ܦℎ = ܦ݅ ∙ cos(i) ∴ ܦ݅ = ஽௛ୡ୭ୱ(௜) ⇒ ܦ݅ = ଵ଴଴∙௚∙௖௢௦మ(௜)ୡ୭ୱ (௜) vem ܦ݅ = 100 ∙ ݃ ∙ ܿ݋ݏ(݅), substituindo em ∆ݒ fica ∆ݒ = 100 ∙ ݃ ∙ ܿ݋ݏ(݅) ∙ ݏ݁݊(݅) ou seja: 
∆ݒ = 100 ∙ ݃ ∙ (ܿ݋ݏ(݅) ∙ ݏ݁݊(݅)). Da trigonometria ܛ܍ܖ(૛ܑ) = ૛ܛ܍ܖ(ܑ) ∙ ܋ܗܛ(ܑ) de onde 
sen(i) ∙ cos(i) = ୱୣ୬(ଶ୧)ଶ . Agora é só substituir: ∆v = 100 ∙ ݃ ∙ ୱୣ୬(ଶ୧)ଶ Finalmente temos 
∆ܞ = ૞૙ ∙ ܏ ∙ ܛ܍ܖ(૛ܑ) 
As fórmulas foram calculadas para instrumentos com leitura de ÂNGULOS VERTICAIS, em torno de 0°. Se for utilizado instrumento com leitura de ÂNGULOS ZENITAIS usa-se as mesmas 
fórmulas trocando-se o ܥ݋ݏݏ݁݊݋ pelo ܵ݁݊݋, no caso da Dh, mantendo-se em ∆v o valor 
original calculado para (i) trocando-se apenas o ângulo de (i) para o seu suplementar (z). 
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CÁLCULO DE ∆ܞ PARA ÂNGULO ZENITAL 
Vamos fazer a demonstração usando as funções, tangente e cotangente. 
Considerando a figura abaixo, onde (i) e (z) são complementares, da trigonometria temos 
que: 
 ࢚ࢍ (࢏) = ࢉ࢕࢚ࢍ (ࢠ) 
 
1. Usando ângulo vertical (࢏): ݐ݃ (݅) = ∆v஽௛ ⟹ ∆v = ܦℎ ∙ ݐ݃ (݅). 
Como ݐ݃ (݅)=௦௘௡ (௜)ୡ୭ୱ (௜) e ܦℎ = 100 ∙ ݃ ∙ ܿ݋ݏଶ(݅) vem: 
∆ݒ = 100 ∙ ݃ ∙ ܿ݋ݏଶ(݅) ∙ ௦௘௡ (௜)ୡ୭ୱ (௜) Simplificando fica 
∆ݒ = 100 ∙ ݃ ∙ ܿ݋ݏ(݅) ∙ ݏ݁݊(݅ (I) como já vimos fica: 
∆࢜ = ૞૙ ∙ ࢍ ∙ ࢙ࢋ࢔(૛࢏) 
2. Usando ângulo zenital (ࢠ): ܿ݋ݐ݃ (ݖ) = ∆௩஽௛ ⟹ ∆ݒ = ܦℎ ∙ ܿ݋ݐ݃ (ݖ). 
Como ܿ݋ݐ݃ (ݖ)=௖௢௦ (௭)ୱୣ୬ (௭) e ܦℎ = 100 ∙ ݃ ∙ ݏ݁݊ଶ(ݖ) vem: 
∆ݒ = 100 ∙ ݃ ∙ ݏ݁݊ଶ(ݖ) ∙ ௖௢௦ (௭)ୱୣ୬ (௭) Que simplificando fica igual à expressão encontrada 
antes, apenas com a mudança do ângulo. ∆ݒ = 100 ∙ ݃ ∙ ݏ݁݊(ݖ) ∙ ܿ݋ݏ(ݖ). Que pelo 
mesmo motivo fica: 
∆࢜ = ૞૙ ∙ ࢍ ∙ ࢙ࢋ࢔(૛ࢠ). 
۲ܐ = ૚૙૙ ∙ ܏ ∙ ܛ܍ܖ ²(ܢ) e ∆ܞ = ૞૙ ∙ ܏ ∙ ܛ܍ܖ(૛ܢ) OBSERVAÇÃO: Como ࢙ࢋ࢔(૛ࢻ) = ૛࢙ࢋ࢔(ࢻ) ∙ ࢉ࢕࢙(ࢻ). Daí o valor de ݏ݁݊(ݖ) ∙ ܿ݋ݏ(ݖ)é igual a metade de ࢙ࢋ࢔(૛ࢠ) 
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MEDIDAS ANGULARES 
Anteriormente já falamos em alguns ângulos, como Azimute, Ângulo Horizontal e Deflexão. Agora vamos falar de como eles se relacionam e são calculados. Neste momento vamos definir uma direção muito importante e utilizada na topografia: O RUMO que é idêntico ao Azimute. 
RELAÇÃO ENTRE AZIMUTE E RUMO 
Assim como as deflexões se relacionam com os ângulos horizontais, os rumos se relacionam com os azimutes. Como vimos antes os azimutes são medidos de 0° a 360°, já os rumos são medidos de 0° a 90° e situados nos quadrantes Nordeste, Sudeste, Sudoeste e Noroeste da orientação geográfica. 
O rumo Nordeste (NE) é tomado do Norte (N) para o Leste (E), o rumo Sudeste (SE) é tomado do Sul (S) para o Leste (E), o rumo Sudoeste (SW) é medido doSul (S) para o Oeste (W) e o Noroeste (NW) é medido do Norte (N) para o Oeste (W). 
Como vemos cada rumo ocupa uma direção dentro de seu quadrante correspondente, isto é, todo rumo é menor ou igual a 90°. 
Quando o RUMO é igual a 0° ele a direção é Norte (N) ou é Sul (S), quando é de 90° a direção é Leste (E) ou Oeste (W). Fazendo uma comparação com o azimute veremos que o rumo 0°N corresponde ao azimute de 0°, o rumo de 90°E corresponde ao azimute de 90°, o rumo de 0°S é equivalente ao azimute de 180°, enquanto 90°W é igual ao azimute de 270°. 
CONVERTER AZIMUTE EM RUMO 
Na conversão devemos estar atentos para o quadrante em que se encontra o azimute. 
1. Azimute menor ou igual a 90° (Nordeste). ࡾ = ࡭ࢠ 2. Azimute maior do que 90° e menor ou igual a 180° (Sudeste). ࡾ = ૚ૡ૙° െ ࡭ࢠ 3. Azimute maior do que 180° e menor ou igual a 270° (Sudoeste). ࡾ = ࡭ࢠ െ ૚ૡ૙° 4. Azimute menor ou igual a 360° (Noroeste). ࡾ = ૜૟૙° െ ࡭ࢠ 
CONVERTER RUMO EM AZIMUTE 
Na conversão rumo em o procedimento é inverso ao procedimento anterior, encontrado para converte azimute em rumo. 
Topografia 
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1. Azimute menor ou igual a 90° (Nordeste). ࡭ࢠ = 2. Azimute maior do que 90° e menor ou igual a 180° (Sudeste). ࡭ࢠ = ૚ૡ ° െ ࡾ 3. Azimute maior do que 180° e menor ou igual a 270° (Sudoeste). ࡭ࢠ = ૚ૡ ° + ࡾ 4. Azimute menor ou igual a 360° (Noroeste). ࡾ = ૜૟૙° െ ࡭ࢠ 
CÁLCULO DO AZIMUTE E RUMO 
LEVANTAMENTO COM ÂNGULOS HORIZONTAIS 
Para proceder ao cálculo do azimute da estação E3 vamos utilizar graficamente a figura dada que ilustra parte de um levantamento feito através de ângulos horizontais. 
 Az2 é o azimute da estação E2, Ah3 é o ângulo horizontal lido da estação E2 para a estação E3 com ré em E1. ࡭ࢠ࢔ = ࡭ࢠ࢔ି૚ + ࡭ࢎ࢔ െ ૚ૡ૙° com ܣݖ௡ିଵ + ܣℎ௡ ൒ 180° ou ࡭ࢠ࢔ = ࡭ࢠ࢔ି૚ + ࡭ࢎ࢔ + ૚ૡ૙° com ܣݖ௡ିଵ + ܣℎ௡ ൏ 180° Se 360° ൑ ܣݖ௡ିଵ + ܣℎ௡ ൏ 540° ⟹ ࡭ࢠ࢔ = ࡭ࢠ࢔ି૚ + ࡭ࢎ࢔ െ ૜૟૙° Se 540° ൑ ܣݖ௡ିଵ + ܣℎ௡ ⟹ ࡭ࢠ࢔ = ࡭ࢠ࢔ି૚ + ࡭ࢎ࢔ െ ૞૝૙° 
LEVANTAMENTO COM DEFLEXÕES 
Como as deflexões são menores que 180°, o cálculo do azimute fica facilitado para: 
࡭ࢠ࢔ = ࡭ࢠ࢔ି૚ + ࢊࡰ࢔ ou ࡭ࢠ࢔ = ࡭ࢠ࢔ି૚ + ࢊࡱ࢔ 
 
Deflexão à direita soma-se ao azimute anterior e deflexão à esquerda subtrai-se. Se resultado for maior que 360°, subtrai-se 360°, se for menor soma-se 360°. 
Topografia 
19 Alfredo Coelho – ARQUITETO E URBANISTA 
Uma vez calculado o azimute, havendo necessidade, podemos transformá-lo em RUMO procedendo como foi visto no item CONVERTER AZIMUTE EM RUMO. 
CÁLCULO DA COTA 
As cotas são as altitudes do terreno em relação a um referencial de nível (RN) local, que pode ser o passeio do lote, a base de um poste ou mesmo um valor transportado de ponto fixo conhecido. 
 
ࡰ࢜ = ࢎ േ ∆࢜ െ ࢒ ⇒ ࡰ࢜ = (ࢎ െ ࢒) േ ∆࢜ 
࡯࢕࢔ = ࡯࢕࢔ି૚ + ࡰ࢜࢔ 
Em geral costumamos colocar a cota 100,00 na estação inicial, E0. Na imagem acima a cota de E2 seria a cota de E1 somada à Dv: 
࡯࢕ࡱ૛ = ࡯࢕ࡱ૚ + ࡰ࢜ࡱ૚ 
COORDENADAS (x, y) 
Agora, que já calculamos as distâncias horizontais, os azimutes e as cotas; podemos calcular as coordenadas (ݔ, ݕ) para executar o desenho da PLANTA TOPOGRÁFICA. 
 
A distância horizontal de cada estação se projeta ortogonalmente sobre os eixos coordenados ݔ e ݕ, mostra a figura ao lado, onde a projeção sobre o eixo dos ݔ e sobre o eixo dos ݕ são respectivamente: 
࢞ = ࡰࢎ ∙ ࢙ࢋ࢔(࡭ e ࢟ = ࡰࢎ ∙ ܋ܗܛ (࡭ ) 
De acordo com o quadrante o valor da projeção será positivo ou negativo. 
 No Primeiro quadrante de 0° a 90° (Nordeste), ambas as projeções são POSITIVAS;  No Segundo quadrante de 90° a 180° (Sudeste), a projeção ݔ é POSITIVA e a projeção ݕ NEGATIVA. 
Topografia 
20 Alfredo Coelho – ARQUITETO E URBANISTA 
 No Terceiro quadrante de 180° a 270° (Sudoeste), ambas as projeções são NEGATIVAS.  No Quarto quadrante de 270° a 360° (Noroeste), a projeção ݔ NEGATIVA é e a projeção ݕ POSITIVA. 
ERRO E CORREÇÃO 
A projeção de todos de uma poligonal se dá sobre os eixos, como temo projeções positivas e negativas, numa POLIGONAL FECHADA3, obrigatoriamente “a soma das projeções positiva com as projeções negativas tem que ser nula”. 
Ou seja: 
෍ ࢞ = ෍ ࢟ = ૙ 
Caso haja uma soma diferente de 0° (zero grau), os valores deverão ser corrigidos proporcionalmente e para tal é calculado o erro angular por metro, dividindo ambos os erros de ݁௫ e ݁௬ por ܲ (PERÍMETRO DA POLIGONAL), encontrando o valor para a correção das projeções (ܿ௫) e (ܿ௫ ) tal que: 
ܿ௫ = ௘ೣ௉ e ܿ௬ = ௘೤௉ 
Este valor da correção será somado ou subtraído ao valor encontrado originalmente para a projeção: somado se o erro for negativo e subtraído positivo. 
 
 3 Poligonal em que o levantamento termina no vértice no qual foi iniciado, e é fechada no primeiro vértice visado. 
Topografia 
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Terminada as correções vem o cálculo das coordenadas X e Y de modo e podemos fazer o desenho conforme mostrado na figura anterior. 
ࢄ࢔ = ࢄ࢔ି૚ േ ࢖࢘ çã࢕ ࢉ࢕࢘࢘࢏ࢍ࢏ࢊ ࢊࢋ ࢞ 
e 
ࢅ࢔ = ࢅ࢔ି૚ േ ࢖࢘࢕࢐ çã࢕ ࢉ࢕࢘࢘࢏ࢍ࢏ࢊࢇ ࢊࢋ ࢟ 
CÁLCULO DA ÁREA DA POLIGONAL 
A área de uma poligonal pode ser calculada de vários modos aqui vamos vê o cálculo analítico. 
O Cálculo da poligonal dada ao lado (de 0 a 4) pode ser efetuado calculando-se e somando-se as áreas dos trapézios de uns trapézios e subtraindo as áreas de outros. 
1 - ଵܵ = ௒రା௒బଶ ∙ (ܺ଴ െ ܺସ) 
2 - ܵଶ = ௒బା௒భଶ ∙ ( ଵܺ െ ܺ଴) 
3 - ܵଷ = ௒భା௒మଶ ∙ (ܺଶ െ ܺଵ) 
4 - ܵସ = ௒మା௒యଶ ∙ (ܺଷ െ ܺଶ) 
5 - ܵହ = ௒యା௒రଶ ∙ (ܺସ െ ܺଷ). Somando de 1 a 5 temos: 
ܵ = ସܻ + ଴ܻ2 ∙ (ܺ଴ െ ܺସ) + ଴ܻ
+ ଵܻ2 ∙ ( ଵܺ െ ܺ଴) + ଵܻ
+ ଶܻ2 ∙ (ܺଶ െ ଵܺ) + ଶܻ
+ ଷܻ2 ∙ (ܺଷ െ ܺଶ) + ଷܻ
+ ସܻ2 ∙ (ܺସ െ ܺଷ) 
Ou seja 
2ܵ = ( ସܻ + ଴ܻ)(ܺ଴ െ ܺସ) + ( ଴ܻ + ଵܻ)( ଵܺ െ ܺ଴) + ( ଵܻ + ଶܻ)(ܺଶ െ ଵܺ) + ( ଶܻ + ଷܻ)(ܺଷ െ ܺଶ) + ( ଷܻ + ସܻ)(ܺସ െ ܺଷ) 
EXERCÍCIOS: 1. Converta os rumos dados em azimutes: 
Rumo 35°12’30”SE 90°00’00”W S56°16’26”W 0°00’00”S 36°16’20”NE 35°12’30”NW 
Azimute 2. Complete a tabala dada abaixo: 
Altura do Instrumento Angulo Vertical FI FM FS DIF Dh Dv 1,500 5°15’ 1,300 1,600 1,900 
1,600 -12°30’ 0,825 1,700 ? 3. Num levantamento, os ângulos correspondentes às deflexões, (ângulos horizontais), entre os seus lados são, respectivamente: 235°48’15” em E1 para E2; 280°10’08” em E2 para E3 ; 134°32’30” 
Topografia 
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em E3 para E4; 308°32’17” em E4 para E5; 226°59’38” em E5 para E0 ; 253°55’06” em E0 para E1. Determine o erro angular total. 4. Converta os azimutes aos rumos correspondentes: 
Azimute 185°32’43” 310°40’25” 166°16’26” 75°00’58” 196°16’20” 135°12’30” 
Rumo 5. Sendo 1°25’ o erro angular total numa paligonal cujo perímetro é igual a 2,0 km mais 356 m calcule a correção para um lado em que mede 225,32 m. 6. Sendo um trecho de poligonal com estações E5, E6, E7 e E8. Sendo as deflexões (ângulos horizontais): 230°37’em E5 para E6; 157°35’ em E6 para E7 e 56°28’ em E7 para E8, calcule os azimutes de E6, E7 e E8 sabendo que o azimute (inicial) de E5 é 315°28’ 7. Dado o fragmento de Planilha Calcule o valor: do número gerador, da distância horizontal, da distância vertical e da cota de cada um dos pontos do fragmento de planilha. 
Esta
ção
 AI h PV 
Ângulos Estádia DH d DV v Cota C Azimute α Horizontais β Verticais θ FI FM l FS FS - FI G Lidos Corrigi. 
E0 1,500 NM 0°00' 100,00 
 E1 311°20’ ----------- 6°25’ 1,480 1,700 1,920 
E1 1,500 E0 0°00' 
 E2 239°25’ 108°15' 108°05’ 8°10’ 1,495 1,800 2,105 
E2 1,600 E1 0°00' 
 E3 154°24’ 95°08' 94°59’ -7°40’ 1,515 1,800 2,085 
E3 1,600 E2 0°00’ 
 E4 115°23’ 141°10’ 140°59’ -2°20’ 1,340 1,700 2,060 
 8. Complete a tabela dada 
Estação PV Azimute Ângulo Horizontal DH Lido Corrigido E0 NM - 00°00’ - E1 330°12’ -------- - 33,13 E1 E0 - 00°00’ -- E2 103°58’ 37,05 E2 E1 - 00°00’ - - E3 55°17 23,53 E3 E2 - 00°00’ - - E4 215°53’ 20,80 E4 E3 - 00°00’ - - E0 74°51’ 33,06 E0 E4 - 00°00’ TOTAL E1 90°15’ FECHAMENTO 
 9. Complete a tabela abaixo Altura do Instrumento Ângulo Vertical FI FM FS G DH DV 1,450 15°12’ 1,300 1,700 2,100 1,700 -10°48’ 1,025 1,700 ? 
Topografia 
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10. Verifique o erro angular e, se nulo, completa as lacunas da planilha. 
Etaç. Altura Instr. Azimute Ângulo Horizon. Ângulo Vertical FI FM FS G DH DV Cota E0 - 195°23’ - - - - - - - - 100,00 E1 1,450 265°35’ 67°52’ 1,465 1,700 1,935 E2 1,700 284°06’ 100°58’ 1,320 1,600 1,880 E3 1,500 234°55’ 117°48’ 1,364 ? 1,636 E0 1,600 295°24’ 85°30’ ? 1,800 2,080 
11. Complete a planilha: Calcule as coordenadas e a área da poligonal e desenhe na escala de 1:250. 12. Dada a planta abaixo desenhe as curva de niveis. Considerando as cotas dadas: E0_10,000, E1_15,800, E2_10,200, E3_12,300, E4_15,600. 
 13. Elaborar os perfis dos lados e um corte desta planta passando pelos pontos indicados pelas 
setas. 
a. Lado E0_E1 e o Lado E1_E2 
 b. Lado E2_E3 e o Lado E3_E4 
Topografia 
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 c. Lado E4_E0