Apostila TPE - Series Temporais 2011

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Departamento de Economia 
ECO 1800 - Técnicas de Pesquisa em Economia 
Prof.: Marco Antônio F.H. Cavalcanti 
 
 
 
 
 
 
MODELOS ARIMA: 
 
TEORIA E APLICAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ECO1800 - PUC-Rio 1 
 
 
 
 
 
Índice 
 
 
I. Introdução 
 
II. Modelos ARMA: definição 
 
III. Modelos ARMA: estacionariedade 
 
IV. Modelos ARMA: identificação 
 
V. Modelos ARMA: estimação, validação e seleção 
 
VI. Previsão com modelos ARMA 
 
VII. Multiplicadores dinâmicos 
 
VIII. Modelos não-estacionários: ARIMA 
 
IX. Modelos sazonais 
 
 
 
ECO1800 - PUC-Rio 2 
 
 
 
 
Modelos ARIMA: Teoria e aplicações 
 
 
I – Introdução 
 
A análise de séries temporais econômicas parte da idéia de que qualquer 
série observada pode ser interpretada como a realização de um processo 
estocástico, ou “mecanismo gerador de dados (MGD)” desconhecido. 
Procura-se, então, construir um modelo que represente uma aproximação 
razoável ao verdadeiro MGD para o(s) objetivo(s) em questão. 
 
Uma abordagem clássica parte da idéia de que qualquer série observada Y 
pode ser decomposta de uma das seguintes formas: 
 
Y = T + S + C + I (1a) 
 
ou 
 
Y = T * S * C * I (1b) 
 
Onde: 
 
· T = Tendência (componente que explica o valor médio em torno do 
qual a variável tende a flutuar no longo prazo) 
 
· S = Sazonalidade (componente periódico de “alta frequência”, isto é, 
que se repete em ciclos de período menor ou igual a um ano) 
 
· C = Ciclo (componente correspondente a padrões cíclicos não sazonais) 
 
· I = Irregular (componente aleatório “residual”, supostamente i.i.d.) 
 
Desta forma, uma série econômica poderia ser encarada como o resultado 
da combinação (aditiva ou multiplicativa) de componentes associados a 
diferentes características. 
 
Tais características se manifestariam com maior ou menor força em cada 
série, sendo possível, portanto, identificar as características mais marcantes 
em cada caso. 
 
Por exemplo, veja os gráficos das séries mensais de produção física 
industrial no Brasil, por categoria de uso, no período 1991.1-2005.4. Quais 
são as características mais marcantes em cada caso? 
 
ECO1800 - PUC-Rio 3 
 
40
60
80
100
120
140
160
1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004
YBCD
60
70
80
90
100
110
120
1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004
YBCND
60
70
80
90
100
110
120
1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004
YBI
60
70
80
90
100
110
120
130
140
1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004
YBK
 
 
· Visualmente, todas as séries caracterizam-se por forte sazonalidade 
na freqüência anual – que é o tipo de sazonalidade mais freqüente 
em séries econômicas. 
 
· As séries YBCD (bens de consumo duráveis) e YBK (bens de capital) 
apresentam, adicionalmente, clara tendência de crescimento no longo 
prazo e, possivelmente, ciclos de média duração. 
 
· A série YBI (produção de bens intermediários) também apresenta 
marcada tendência de crescimento no longo prazo, mas não parece 
muito afetada por ciclos. 
 
· A série YBCND (bens de consumo não duráveis) não parece possuir 
tendência relevante (especialmente a partir de 1994), mas 
possivelmente é afetada por ciclos (ainda que relativamente suaves). 
 
Ao construir um modelo, o objetivo é explicar da melhor forma possível 
cada uma dessas características – ou, pelo menos, as características mais 
marcantes da série de interesse. Se essa tarefa for bem sucedida, o modelo 
deverá revelar-se útil para previsão – desde que, evidentemente, os 
padrões observados no passado se mantenham no futuro. 
 
Há vários possíveis modelos capazes de explicar um ou mais dos 
componentes descritos acima. Neste capítulo, apresentamos uma classe de 
ECO1800 - PUC-Rio 4 
 
modelos conhecida como “modelos ARIMA”, que são apropriados para 
modelar os componentes sazonal e irregular/cíclico e, para alguns 
processos, também o componente de tendência. A sigla ARIMA denota: 
“AutoRegressive Integrated Moving Average”; veremos a seguir o 
significado preciso de cada termo. 
 
A classe de modelos ARIMA é extremamente flexível, sendo capaz de 
produzir, com pouquíssimos parâmetros, séries temporais com 
comportamentos os mais variados. Nosso objetivo será analisar e entender 
as propriedades de alguns desses modelos. Dessa forma, quando quisermos 
modelar uma série temporal econômica, poderemos comparar as 
características observadas na série real com as propriedades teóricas dos 
processos estudados. Se a série for “suficientemente parecida” com uma 
possível realização de certo processo teórico, poderemos trabalhar com o 
processo em questão como se a série efetivamente tivesse sido gerada por 
ele. Assim, por exemplo, poderemos realizar previsões de valores futuros da 
série com base no modelo por nós “identificado” como uma boa 
aproximação ao verdadeiro MGD. 
 
Inicialmente trabalharemos com um subconjunto dos modelos ARIMA, os 
modelos ARMA (“AutoRegressive Moving Average”), que se aplicam a 
dados estacionários. Em seguida, incorporaremos a possibilidade de dados 
não-estacionários, passando aos modelos ARIMA propriamente ditos. 
 
 
 
II – Modelos ARMA: definição 
 
Pode-se pensar em um modelo ARMA como uma função de regressão 
populacional para Yt em que há apenas 2 tipos de “variáveis explicativas”: 
 
(1) Valores passados de Yt ® A parte “auto-regressiva”. 
 
(2) Valores presente e passados do distúrbio (ou “inovação”) ruído 
branco ut ® A parte “médias móveis”. 
 
ECO1800 - PUC-Rio 5 
 
Forma geral da equação de um processo ARMA(p,q): 
 
qtqttptptt uuuYYY ---- ---+++= qqff ...... 1111 
 
· Hiperparâmetro p: a defasagem máxima de Yt presente na equação. 
 
· Hiperparâmetro q: a defasagem máxima de ut presente na equação. 
 
Exemplos de modelos da classe ARMA: 
 
· Modelo AR(1): ttt uYY += -11f 
 
· Modelo AR(2): tttt uYYY ++= -- 2211 ff 
 
· Modelo MA(1): 11 --= ttt uuY q 
 
· Modelo ARMA(1,1): 1111 -- -+= tttt uuYY qf 
 
Note que, independente dos hiperparâmetros p e q, sempre estarão 
presentes no modelo: 
· A variável dependente Yt sendo modelada. 
· A inovação contemporânea ut. 
 
A análise dos modelos ARMA é facilitada sobremaneira pela adoção do 
operador de defasagem B (backward shift): 
1-= tt YBY 
 
Ele nada mais é do que um símbolo para a operação de defasar uma 
unidade de tempo qualquer variável, assim como “Ö” é um símbolo para a 
operação de calcular a raiz quadrada de um número. Entretanto, o operador 
linear B pode ser tratado como se fosse uma variável (ao contrário do 
operador “Ö”, por exemplo). 
 
Ele pode ser aplicado iterativamente: 
 
( ) pttptttt YYBYBYBYBYB --- =Þ=== 212 
 
Assim, os modelos exemplificados acima podem ser rescritos (confirme!): 
ECO1800 - PUC-Rio 6 
 
 
· Modelo AR(1): ( ) tt uYB =- 11 f 
 
· Modelo AR(2): ( ) tt uYBB =-- 2211 ff 
 
· Modelo MA(1): ( ) tt uBY 11 q-= 
 
· Modelo ARMA(1,1): ( ) ( ) tt uBYB 11 11 qf -=- 
 
 
Assim, vemos que todo modelo ARMA(p,q) pode ser escrito como um 
processo AR puro ou como um processo MA puro. 
 
 
· Exemplo – AR(1): 
 
( ) ( )
...
1
1
1
2
2
111
0
1
1
1
+++=Þ
=Þ
-
=Þ=-
--
¥
=
å
tttt
i
t
i
ttttt
uuuY
uBYu
B
YuYB
ff
f
f
f
 
 
Um processo AR(1) corresponde a um MA(¥). 
 
 
 
· Exemplo – MA(1): 
 
( ) ( )
...
1
1
1
2
2
111
0
1
1
1
---=Þ
=Þ=
-
Þ-=
--
¥
=
å
tttt
t
i
t
i
tttt
YYuY
uYBuY
B
uBY
qq
q
q
q
 
 
Um processo MA(1) corresponde a um AR(¥). 
ECO1800 - PUC-Rio 7 
 
 
· Exemplo – ARMA(1,1), f1 = ½, q1 = ¼. 
 
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )
...0625,0125,025,0
...25,05,025,05,025,0
...5,05,025,01
5,025,01
5,01
1
25,01
5,01
25,01
25,015,01
321
32
2
211
2
2
1
0
++++=
+-+-+-=
+++-=
-=
-
-=
-
-
=
-=-
---
-----
--
¥
=
å
tttt
tttttt
ttt
i
t
i
t
tt
tt
uuuu
uuuuuu
uuuB
uBB
u
B
B
u
B
B
Y
uBYB
 
 
 
Um processo ARMA(1,1) corresponde a um MA(¥). 
ECO1800 - PUC-Rio 8 
 
· Exemplo – ARMA(1,1), f1 = ½, q1 = ¼. 
 
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )
tttt
tttt
ttttttttt
i
t
i
t
tt
tt
uYYY
YYYY
YYYYYY
YYYB
YBB
Y
B
B
Y
B
B
u
uBYB
+++=Þ
----=
+-+-+-=
+++-=
-=
-
-=
-
-
=
-=-
--
---
-----
--
¥
=
å
...25,025,0
...015625,00625,025,0
...5,025,05,025,05,0
...25,025,05,01
25,05,01
25,01
1
5,01
25,01
5,01
25,015,01
2
2
1
321
32
2
211
2
2
1
0
 
 
 
Um ARMA(1,1) corresponde (também) a um AR(¥). 
ECO1800 - PUC-Rio 9 
 
EM SUMA: 
 
Todo modelo linear estacionário ARMA(p,q) pode ser representado na 
forma: 
 
tt uBYB )()( qf = 
 
onde 
 
q
q
p
p
BBBBB
BBBBB
qqqqq
fffff
-----=
-----=
...1)(
...1)(
3
3
2
21
3
3
2
21
 
 
 
Alternativamente, o mesmo modelo pode ser representado como um AR(¥): 
 
ttttt uYYYY ++++= --- ...332211 ppp 
 
 
Ou ainda como um MA(¥): 
 
...332211 ++++= --- ttttt uuuuY yyy 
 
 
Note que, apesar de poderem ser representados de formas similares, um 
AR(1) continua tendo um comportamento muito diferente de um ARMA(1,1) 
ou de um MA(1)! 
 
 
III – Modelos ARMA: estacionariedade 
 
Sob que condições um processo ARMA(p,q) será fracamente 
estacionário? Lembre que essa noção de estacionariedade implica que a 
média, variância e autocovariâncias do processo não podem depender do 
tempo (isto é, não podem variar com o índice t). Logo, devemos ter, para 
todo t e s: 
 
[ ]
[ ] sstt
Yt
t
YYE
YE
YE
gmm
sm
m
=--
=-
=
- ))((
)(
)(
22 
onde sY gsm ,,
2 são constantes. 
 
ECO1800 - PUC-Rio 10 
 
Como vimos, qualquer processo ARMA(p,q) pode ser representado como um 
somatório infinito de inovações: 
 
1,
...
0
0
2211
==
+++=
å
¥
=
-
--
yy
yy
i
itit
tttt
uY
uuuY
 
 
(1) Média de Yt: 
 
( ) ( ) 0
00
==÷
ø
ö
ç
è
æ
= åå
¥
=
¥
= i
ii
i
iit uEuEYE yy 
 
Obs.: Pode-se trivialmente criar um processo com uma média constante 
diferente de zero. Basta considerar o Yt acima como um desvio da média. 
 
(2) Variância de Yt: 
 
( ) ( ) ååå
¥
=
¥
=
-
¥
=
- ==÷
ø
ö
ç
è
æ
=
0
22
0
2
0 i
iu
i
iti
i
itit uVaruVarYVar ysyy
 
(3) Autocovariância de Yt: 
 
( ) ååå
¥
=
+
¥
=
--
¥
=
-- =ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
0
2
00
,
i
siiu
j
jstj
i
itistt uuEYYCov yysyy
 
 
A partir daí, pode-se provar que a estacionariedade do processo é garantida 
pela condição: 
¥<å
¥
=0i
iy 
ECO1800 - PUC-Rio 11 
 
 
· Exemplo – Estacionariedade de um processo AR(1): 
 
( )
...
1
1
1
2
2
1 +++=
-
=
=-
-- tttt
tt
tt
uuuY
u
B
Y
uYB
ff
f
f
 
 
Logo, os pesos iy são dados por: 
i
i fy = . A condição de 
estacionariedade do processo AR(1) é então: 
 
Þ¥<= åå
¥
=
¥
= 00 i
i
i
i fy 11 +<<- f 
 
 
 
· Exemplo – Estacionariedade de um processo MA(1): 
 
1)1( --=Þ-= tttty uuYuBY qq 
 
Os pesos iy são dados por: 1,0,,1 10 >=-== jjyqyy . 
A condição de estacionariedade do processo MA(1): 
 
¥<+=å
¥
=
qy 1
0i
i 
 
Conclusão: todo processo MA(1) é trivialmente estacionário. Esse 
resultado vale para qualquer MA(q). 
 
 
Pode-se mostrar que a condição de convergência do somatório de pesos das 
inovações do processo na forma MA, que garante estacionariedade 
 
¥<å
¥
=0i
iy 
 
ECO1800 - PUC-Rio 12 
 
é equivalente à seguinte condição: 
 
 
Seja a equação característica de um processo ARMA(p,q) qualquer 
definida por 
 
0...1)( 33
2
21 =-----=
p
p BBBBB fffff 
 
A equação tem necessariamente p raízes, possivelmente complexas. 
Mostra-se que o processo é estacionário se todas as raízes têm 
módulo maior que um. 
 
 
· Se uma ou mais raízes apresentam módulo menor que um, o 
processo é explosivo. 
 
· Se uma ou mais raízes têm módulo igual a 1, e as demais raízes 
módulo maior que 1, o processo é não-estacionário, porém não 
explosivo. Esse é o caso mais comum de não-estacionariedade; por 
isso, no jargão de séries temporais, o fenômeno de não-
estacionariedade em geral é denominado “presença de raiz 
unitária”. 
 
Observe que o polinômio q(B), que determina a estrutura de defasagem das 
inovações ut não é relevante para a determinação da estacionariedade do 
processo. 
 
 
· Exemplo – Estacionariedade de um processo AR(1): 
 
Para o processo AR(1), a equação característica é: 
 
11 101 ff =Þ=- BB 
 
Assim, a raiz do processo terá módulo maior que 1 e o processo será 
estacionário se |f1|<1, como já havíamos mostrado. 
 
 
 
· Exemplo – Estacionariedade de um processo AR(2): 
 
Para o processo AR(2), a equação característica é: 
 
01)( 221 =--= BBB fff 
 
ECO1800 - PUC-Rio 13 
 
Pode-se mostrar que as 2 raízes dessa equação de 2o grau terão módulo 
> 1, e o processo será estacionário, se as seguintes condições forem 
atendidas: 
 
11
1
1
2
12
12
<<-
<-
<+
f
ff
ff
 
 
 
· Exemplo: 
 
tttt uYYY +-= -- 21 5.0 é um processo estacionário? 
 
f2 + f1 = -0.5 + 1 < 1. 
 
f2 - f1 = -0.5 – 1 > 1. 
 
-1 < f2 < 1. 
 
 
® Logo, é estacionário. 
 
 
Confirmando: 
 
Equação característica: 05.01 2 =+- BB 
 
Raízes: B1 = 1+i e B2 = 1-i. 
 
Essas duas raízes complexas têm módulo maior que 1, indicando um 
processo estacionário. 
ECO1800 - PUC-Rio 14 
 
IV –Modelos ARMA: identificação 
 
A modelagem de uma série temporal através de processos estocásticos, 
como consolidada por Box & Jenkins nos anos 70, envolve os seguintes 
passos: 
 
 
 
As principais ferramentas utilizadas nas etapas 2 (identificação) e 4 
(diagnóstico) de um modelo linear são as funções de autocorrelação e 
autocorrelação parcial. 
 
A função de autocorrelação (FAC) representa a correlação simples entre Yt e 
Yt-k em função da defasagem k. 
 
1. Postulação de uma classe geral 
de modelos (ARIMA) 
2. Identificação de um modelo a ser 
estimado 
3. Estimação dos parâmetros do 
modelo 
4. Diagnóstico de adequação do 
modelo 
Adequado 
5. Use-o para previsão e 
controle 
Inadequado 
ECO1800 - PUC-Rio 15 
 
( )
( ) ( ) 0
,
g
g
r k
ktt
ktt
k YVarYVar
YYCov
=
´
=
-
-
 
 
A função de autocorrelação parcial (FACP) representa a correlação entre Yt e 
Yt-k como uma função da defasagem k, filtrado o efeito de todas as 
defasagens intermediárias entre Yt e Yt-k. Logo, a k-ésima autocorrelação 
parcial de Y é definida como o k-ésimo coeficiente na projeção linear de Y 
em seus k valores mais recentes. 
 
Dadas as projeções: 
 
ktkktkkttt
ttttt
ttt
YYYYYE
YYYYYE
YYYE
----
----
--
++=
+=
=
dd
dd
d
...),...,|(
),|(
)|(
111
22212121
1111
 
 
os coeficientes de autocorrelação parcial são kkddd ,...,, 2211 . 
 
Como veremos adiante, cada processo da classe ARIMA tem uma 
“assinatura” em termos de suas FAC e FACP. O analista de séries temporais 
deve se familiarizar com vários desses padrões teóricos para tentar 
reconhecê-los nas FAC e FACP estimadas das séries temporais. Se uma 
série temporal apresenta um par FAC-FACP com um comportamento similar 
à de um processo estocástico teórico, então esse processo torna-se 
candidato natural para modelar a série. 
 
As mesmas duas funções são utilizadas sobre a série de resíduos do modelo 
estimado para verificar se “sobrou informação”. Se sobrou, o modelo não 
está bem especificado. 
 
· FAC e FACP do modelo AR(1) 
 
Utilizando forma MA(¥) do modelo AR(1): 
 
å
¥
=
-- =Þ+=
0
1
i
it
i
tttt uYuYY ff 
 
vemos que a variância de Yt é: 
 
( ) 2
2
0
22
0 1 f
s
fsg
-
=== å
¥
=
u
i
i
utYVar 
 
ECO1800 - PUC-Rio 16 
 
Note que a variância do processo aumenta com f até o limite f ® 1, quando 
a variância se torna infinita e o processo, não estacionário. 
 
A covariância entre duas observações defasadas é: 
 
( ) ( )
( )[ ]
( ) ( )
( )
0
1
1
1
1
,
gfg
fg
f
f
f
g
k
k
k
ktt
kttktt
kttt
kttkttk
YYE
YuEYYE
YuYE
YYEYYCov
=\
=
=
+=
+=
==
-
--
---
--
--
 
 
Logo, a FAC do AR(1), é dada por: 
 
kk
k fg
gr ==
0
 
 
Pela fórmula acima, fica claro que um processo AR(1) estacionário tem uma 
FAC que converge geometricamente para zero, podendo oscilar caso o sinal 
do coeficiente autoregressivo seja negativo. Os gráficos abaixo apresentam 
as FAC de alguns processosAR(1). 
FAC AR(1): f = 0,8
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Defasagem
A
u
to
co
rr
el
aç
ão
 
ECO1800 - PUC-Rio 17 
 
FAC AR(1): f = - 0,8
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Defasagem
A
u
to
co
rr
el
aç
ão
FAC AR(1): f = 0,5
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Defasagem
A
u
to
co
rr
el
aç
ão
FAC AR(1): f = 0,98
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Defasagem
A
u
to
co
rr
el
aç
ão
 
ECO1800 - PUC-Rio 18 
 
Note que no modelo AR(1), Yt apresentará uma correlação simples espúria 
com Yt-2, pois este último determina Yt-1, o qual por sua vez determina Yt. O 
mesmo vale para Yt-k para todo k>2. Por isso a FAC do modelo AR(1) tem 
valores diferentes de zero para todas as defasagens. 
 
A FACP do processo AR(1) é facilmente derivada como: 
 
1 para 0
11
>=
=
kkkd
fd
 
 
· FAC e FACP do modelo AR(2) 
 
Pode-se mostrar que as autocovariâncias do processo AR(2) seguem a 
mesma equação em diferenças de segunda ordem do processo original: 
 
2211 -- += kkk gfgfg k=1,2,... 
 
Evidentemente, o mesmo vale para as autocorrelações do processo. Logo, 
para k=1 temos: 
 
121
12011
 rff
rfrfr
+=
+= -
 
 
e, portanto: 
 
2
1
1 1 f
f
r
-
= 
 
e as autocorrelações para k>1 podem ser calculadas recursivamente a 
partir de: 
 
2211 -- += kkk rfrfr 
 
Assim como no caso do AR(1), as autocorrelações do AR(2) também 
convergem para zero, apresentando um padrão de decaimento exponencial 
ou oscilatório. Vale notar que, caso as raízes do polinômio característico do 
processo sejam complexas, a FAC é uma função cosenóide amortecida. 
 
ECO1800 - PUC-Rio 19 
 
Os gráficos abaixo apresentam as FAC de dois processos AR(2). 
 
FAC AR(2): f1 = 0,6; f2 = 0,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Defasagem
A
u
to
co
rr
el
aç
ão
 
FAC AR(2): f1 = 1,1; f2 = - 0,6
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Defasagem
A
u
to
co
rr
el
aç
ão
 
Fica claro que, para certas combinações específicas de parâmetros f1 e f2, a 
FAC de um modelo AR(2) pode ser muito similar à FAC de um modelo 
AR(1). Nesse caso, a única forma de diferenciar os dois processos seria 
através da FACP. 
ECO1800 - PUC-Rio 20 
 
Para um processo AR(2), a FACP é dada por: 
 
2 para 0
1 21
2
12
22
111
>=
-
-
=
=
kkkd
r
rr
d
rd
 
 
 
 
· FAC e FACP do modelo AR(p) 
 
O padrão acima se generaliza para processos AR(p): a FAC converge para 
zero, possivelmente com ciclos, e a FACP apresenta um corte na p-ésima 
defasagem. 
 
Assim, a FACP pode ser usada para identificar a ordem de um processo 
AR(p). Se ela apresentar, por exemplo, correlações parciais 
estatisticamente significativas (i.e., diferentes de zero) até 3 defasagens, 
isto significa que Yt-1, Yt-2 e Yt-3 são todos determinantes do comportamento 
de Yt. Trata-se de um AR(3). 
 
 
· FAC e FACP do modelo MA(1) 
 
Variância de Yt: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) 220
222
1
1
1
1 u
uu
tt
ttt
ttt
uVaruVar
uuVarYVar
uuY
sqg
sqs
q
q
q
+=\
+=
-+=
-=Þ
-=
-
-
-
 
 
ECO1800 - PUC-Rio 21 
 
Autocovariância: 
 
( )
( )( )[ ]
( )
( ) ( ) ( ) ( )11211
11
2
11
11
,,,,
,
--------
--------
----
-
+--=
+--=
--=
=
kttkttkttktt
kttkttkttktt
ktkttt
kttk
uuCovuuCovuuCovuuCov
uuuuuuuuE
uuuuE
YYCov
qqq
qqq
qq
g
 
 
Mas pela hipótese de descorrelação serial das inovações ut, todas essas 
covariâncias desaparecem, exceto quando k = 1. Então: 
 
1,0,21 >=-= kku gqsg 
 
Conseqüentemente, a FAC do processo MA(1) é: 
 
ï
î
ï
í
ì
>
=
+
-
=
1,0
1,
1 2
k
k
k
q
q
r
 
 
Ao contrário da FAC do processo AR(1), que decai exponencialmente, a FAC 
do processo MA(1) tem um corte na primeira defasagem. Por isso, o 
processo MA é às vezes chamado processo “sem memória”. 
 
O formato da FACP do processo MA(1) pode ser inferido pela sua 
representação AR(¥). Vimos anteriormente que: 
 
...3
3
2
2
11 ----=Þ-= ---- tttttttt YYYuYuuY qqqq 
 
Logo, no processo MA(1) todas as defasagens de Yt têm uma correlação 
parcial não espúria com Yt. Mais do que isso, essas correlações parciais 
caem exponencialmente com a defasagem k, supondo que a condição de 
inversibilidade 1<q seja satisfeita. 
 
Assim, constatamos que a FAC do processo MA(1) se comporta como a 
FACP do processo AR(1), com um corte na primeira defasagem. Em 
contrapartida, a FACP do processo MA(1) decai exponencialmente, 
exatamente como a FAC do processo AR(1). 
ECO1800 - PUC-Rio 22 
 
 
A dualidade entre os processos AR(1) e MA(1) se reproduz nas 
“assinaturas” reveladas nas FAC e FACP: 
 
 Processo AR(1) Processo MA(1) 
 
 
 
Função de autocorrelação 
(FAC) 
 
Decai 
exponencialmente: 
 
k
k fr = 
 
Corte na 1a 
defasagem: 
 
( )
1,0
1
12
1
>=
+-=
-
kkr
qqr
 
 
 
 
Função de autocorrelação parcial 
(FACP) 
 
Corte na 1a 
defasagem: 
 
1,0
11
>=
=
kkkd
fd
 
 
 
Decai 
exponencialmente: 
 
k
kk qd = 
 
 
· FAC e FACP do modelo MA(q) 
 
O padrão acima se generaliza para processos MA(q): a FACP converge para 
zero, possivelmente com ciclos, e a FAC apresenta um corte na q-ésima 
defasagem. 
 
Assim, ao contrário do que ocorre com processos AR, no caso de modelos 
MA usa-se a FAC, e não a FACP, para identificar a ordem do processo. 
 
 
· FAC e FACP do modelo ARMA(p,q) 
 
No caso de modelos ARMA(p,q), a FAC e FACP resultam de uma combinação 
das características dos processos AR e MA puros. Como regra geral, 
observamos que, para modelos ARMA(p,q): 
 
(a) A FAC apresenta decaimento (exponencial ou oscilatório) a partir da 
defasagem q. Ou seja, a partir da defasagem q, a FAC se comporta 
de acordo com a parte autoregressiva do processo. 
 
(b) A FACP apresenta decaimento (exponencial ou oscilatório) a partir da 
defasagem p. Ou seja, a partir da defasagem p, a FACP se comporta 
de acordo com a parte “média móvel” do processo. 
 
ECO1800 - PUC-Rio 23 
 
Veja abaixo a FAC de alguns processos ARMA(1,1). 
 
FAC ARMA(1,1): f = 0,5; q = - 0,8
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Defasagem
A
u
to
co
rr
el
aç
ão
 
 
FAC ARMA(1,1): f = - 0,8; q = 0,8
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Defasagem
A
u
to
co
rr
el
aç
ão
 
ECO1800 - PUC-Rio 24 
 
 
· Estimação e significância estatística da FAC e da FACP 
 
O processo de identificação de um processo ARMA adequado à modelagem 
de determinada série temporal consiste nos seguintes passos: 
 
1. Estimação da FAC e FACP da série temporal de interesse. 
 
As autocorrelações amostrais são obtidas a partir de: 
 
å
å
=
+=
-
-
--
= T
t
t
T
kt
ktt
k
YY
YYYY
r
1
2
1
)(
))((
 k=1,2,... 
 
As autocorrelações parciais amostrais kkdˆ são obtidas a partir de: 
 
tktkktkt YYYYYY edd ˆ)(ˆ...)(ˆ 11 +-++-=- -- k=1,2,... 
 
2. Identificação de um processo ARMA com par FAC-FACP similar ao par 
estimado para a série temporal. 
 
(i) Se a FAC (estimada) decai geometricamente e a FACP (estimada) 
apresenta um corte, há indícios de que um AR puro pode ser 
adequado. A defasagem do corte na FACP ajuda a determinar a 
ordem do processo. 
 
(ii) Se a FAC apresenta um corte abrupto depois de poucas defasagens 
e a FACP decai geometricamente, um processo MA pode ser 
indicado. A defasagem do corte na FAC ajuda a determinar a ordem 
do processo. 
 
(iii) Se ambas a FAC e FACP apresentam decaimento geométrico, é 
provável que um processo ARMA misto seja mais adequado. A 
determinação da ordem do processo, porém, não é trivial. 
 
(iv) Se a FAC ou FACP apresentam valores elevados em defasagens 
específicas, como a 12a. para dados mensais,é provável que um 
modelo sazonal seja adequado. Trataremos desse tópico mais 
adiante. 
 
Evidentemente, a FAC e FACP estimadas são variáveis aleatórias que podem 
diferir de seus valores verdadeiros por simples variabilidade amostral. 
Assim, é necessário efetuar testes de significância para verificar se os 
valores estimados da FAC e FACP são estatisticamente diferentes de zero. 
 
ECO1800 - PUC-Rio 25 
 
Para grandes amostras, pode-se mostrar que, sob a hipótese de que as 
autocorrelações “verdadeiras” são nulas: 
 
( )
)1,0(~ˆ:
1 )21(,0
1 )1,0(
~: 1
1
2
TNFACP
kTrN
kTN
rFAC
kk
k
j j
k
d
ïî
ï
í
ì
>+
=
å -=
 
 
 
Assim, um intervalo de confiança de aproximadamente 95% para a 
autocorrelação de primeira ordem ou para a autocorrelação parcial é dado 
por T/2± . Se rk ou kkdˆ estiver fora do intervalo, é uma indicação de 
processo AR ou MA presente. 
 
Vamos ilustrar o processo de identificação através da modelagem de um 
processo ARMA para a série de pessoal ocupado no comércio de Recife. O 
gráfico da variável e de suas FAC e FACP estimadas encontram-se abaixo. 
 
260000
270000
280000
290000
300000
310000
320000
330000
340000
350000
1999 2000 2001 2002 2003 2004
PESSRCOM
 
 
ECO1800 - PUC-Rio 26 
 
 
 
 
O processo natural para modelar a série parece ser um AR(1) estacionário, 
a julgar pelo formato declinante da FAC e corte na FACP na primeira 
defasagem. Além disso, o valor estimado da autocorrelação de primeira 
ordem sugere que o coeficiente do AR(1) deveria estar próximo de 0,7. 
 
ECO1800 - PUC-Rio 27 
 
 
V –Modelos ARMA: estimação, validação e seleção 
 
· Estimação do modelo ARMA(p,q) identificado 
 
1. Modelos AR(p): 
 
Para esses modelos, dispomos dos valores tanto da variável dependente 
(Yt) quanto das “variáveis independentes” (Yt-1, Yt-2, etc.). 
 
Modelos auto-regressivos puros são estimados através de mínimos 
quadrados ordinários. Mostra-se que os estimadores são consistentes. 
 
 
2. Modelos ARMA(p,q) com q ¹0: 
 
A estimação de modelos que envolvem termos MA não pode ser feita por 
MQO. 
 
A situação neste caso é mais complicada porque não temos a priori os 
valores dos regressores MA: ut-1, ut-2, etc. Por isso, devemos usar em seu 
lugar os resíduos ût-1, ût-2, etc. Mas para calcular os resíduos, precisamos do 
modelo estimado! 
 
Essa circularidade é resolvida através de métodos iterativos (back-forecast) 
e otimização não-linear. A maioria dos softwares estatísticos hoje está 
equipada para estimar modelos ARMA(p,q), inclusive com desvios padrões 
para as estimativas. 
 
 
· Diagnóstico do modelo estimado 
 
Após identificado e estimado um modelo, o último passo é diagnosticar sua 
adequação. Isso em geral se faz examinando a série de resíduos gerada 
pelo modelo, buscando alguma estrutura de autocorrelação nela. Se for 
encontrado algum “padrão” na evolução dos resíduos, há evidência de que o 
modelo não capturou toda a informação contida na série original. 
 
A primeira coisa a se fazer é examinar a FAC e a FACP estimadas da série 
de resíduos, como se esta fosse uma série temporal qualquer. Se houver 
estrutura identificável, então o modelo é rejeitado. 
 
Ljung e Box desenvolveram a seguinte estatística para testar a significância 
conjunta das autocorrelações residuais até a K-ésima defasagem: 
 
( )å
= -
+=
K
k
krkT
TTQ
1
212
 
 
ECO1800 - PUC-Rio 28 
 
Sob a hipótese nula de que o modelo ARMA(p,q) está corretamente 
especificado, Q é assintoticamente distribuída como uma qui-quadrado com 
K-p-q graus de liberdade. 
 
O teste LB tem 2 problemas: 
 
(1) Para valores elevados de K, o teste pode apresentar baixa potência; 
 
(2) O teste apenas indica se o modelo é inadequado, mas não sugere 
como o modelo deveria ser modificado. 
 
Uma alternativa é o teste do Multiplicador de Lagrange de Breusch-Godfrey 
que, segundo alguns estudos, parece ser mais potente do que o teste LB, 
além de fornecer indicações sobre como o modelo deveria ser corrigido, 
caso necessário. 
 
Esse teste é facilmente implementável. Suponha que um modelo AR(p) 
tenha sido estimado. Para testar essa especificação contra uma 
especificação AR(p+s) ou ARMA(p,s) deve-se estimar: 
 
tstsptpptptt vyy ++++++= -+-+-- eaeaaae ˆ...ˆ...ˆ 1111
 
 
onde teˆ são os resíduos estimados do modelo AR(p). 
 
Sob a hipótese nula de que o modelo AR(p) é adequado, 
)(~ 22 snR c 
onde n é o número de observações e R2 é o coeficiente de determinação da 
equação acima. 
 
Para ilustrar o processo de estimação e validação de modelos ARMA, vamos 
prosseguir com o exemplo referente à série de pessoal ocupado analisada 
anteriormente, para a qual sugerimos um processo AR(1). Estimando o 
modelo sugerido, obtemos o seguinte resultado: 
ECO1800 - PUC-Rio 29 
 
 
 
Dependent Variable: PESSRCOM 
Method: Least Squares 
Date: 07/07/05 Time: 06:27 
Sample (adjusted): 1999M02 2005M02 
Included observations: 73 after adjustments 
Convergence achieved after 4 iterations 
 
 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
 
 C 313664.8 4833.077 64.89961 0.0000 
AR(1) 0.715494 0.078214 9.147862 0.0000 
 
 R-squared 0.540998 Mean dependent var 312028.0 
Adjusted R-squared 0.534533 S.D. dependent var 17073.62 
S.E. of regression 11648.50 Akaike info criterion 21.59076 
Sum squared resid 9.63E+09 Schwarz criterion 21.65351 
Log likelihood -786.0627 F-statistic 83.68338 
Durbin-Watson stat 2.308010 Prob(F-statistic) 0.000000 
 
 Inverted AR Roots .72 
 
 
 
 
Ademais, o correlograma do resíduo da equação parece, “grosso modo”, 
compatível com um ruído branco, conforme vemos no gráfico a seguir: 
 
ECO1800 - PUC-Rio 30 
 
 
 
Entretanto, talvez haja um motivo para preocupação: o p-valor 
relativamente baixo do teste Q de Llung-Box para a autocorrelação de 
segunda ordem, que pode ser visto na última coluna. A realização do teste 
LM de autocorrelação serial do resíduo da equação para duas defasagens 
não rejeita a hipótese nula de ausência de correlação serial – note que os p-
valores das duas versões do teste (a versão-F e a versão Qui-quadrado) 
indicam que a hipótese nula não deve ser rejeitada – e, portanto, que não 
há autocorrelação serial. [Para que a hipótese nula fosse rejeitada, o p-
valor deveria ser relativamente baixo – menor que 0,10 para um teste a 
10% de significância, menor do que 0,05 para um nível de significância de 
5% etc.] 
ECO1800 - PUC-Rio 31 
 
 
Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: 
 
 F-statistic 1.733718 Prob. F(2,69) 0.184231 
Obs*R-squared 3.492918 Prob. Chi-Square(2) 0.174390 
 
 
Test Equation: 
Dependent Variable: RESID 
Method: Least Squares 
Date: 07/07/05 Time: 06:36 
Sample: 1999M02 2005M02 
Included observations: 73 
Presample missing value lagged residuals set to zero. 
 
 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
 
 C 684.6801 4858.626 0.140921 0.8883 
AR(1) 0.091944 0.132971 0.691456 0.4916 
RESID(-1) -0.244545 0.190129 -1.286207 0.2027 
RESID(-2) 0.056763 0.154665 0.367005 0.7147 
 
 R-squared 0.047848 Mean dependent var 4.40E-05 
Adjusted R-squared 0.006450 S.D. dependent var 11567.33 
S.E. of regression 11529.96 Akaike info criterion 21.59652 
Sum squared resid 9.17E+09 Schwarz criterion 21.72203 
Log likelihood -784.2730 F-statistic 1.155812 
Durbin-Watson stat 1.974197 Prob(F-statistic) 0.332973 
 
 
 
Mas o teste LM de correlação serial rejeita a hipótese nula sob uma 
defasagem ao nível de 10%. Logo, talvez um modelo AR(2) ou ARMA(1,1) 
seja mais adequado. A estimação dessa segunda opção gera o seguinte 
resultado: 
ECO1800 - PUC-Rio 32 
 
 
Dependent Variable: PESSRCOM 
Method: Least Squares 
Date: 07/07/05 Time: 07:14 
Sample (adjusted): 1999M02 2005M02 
Included observations: 73 after adjustments 
Convergence achieved after 8 iterations 
Backcast: 1999M01Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
 
 C 314993.8 5674.480 55.51060 0.0000 
AR(1) 0.812605 0.081336 9.990716 0.0000 
MA(1) -0.241959 0.149528 -1.618152 0.1101 
 
 R-squared 0.559039 Mean dependent var 312028.0 
Adjusted R-squared 0.546440 S.D. dependent var 17073.62 
S.E. of regression 11498.54 Akaike info criterion 21.57806 
Sum squared resid 9.26E+09 Schwarz criterion 21.67218 
Log likelihood -784.5991 F-statistic 44.37213 
Durbin-Watson stat 2.010866 Prob(F-statistic) 0.000000 
 
 
Inverted AR Roots .81 
Inverted MA Roots .24 
 
 
 
· Quebras estruturais 
 
Muitas vezes, conseguimos identificar quebras estruturais na série que 
estamos estudando ao olhar para o gráfico da série. Em particular, na série 
de pessoal ocupado no comércio em Recife, ao comparar os dados até 2002 
com os dados dos anos seguintes, podemos ter a impressão de que, talvez, 
os dois grupos de dados tenham sido gerados por processos diferentes – 
p.ex., processos com médias ou padrões de autocorrelação distintos. 
 
Porém, em muitos outros casos, podemos ter mais dificuldades em enunciar 
potenciais quebras estruturais somente olhando para as séries estudadas. 
Voltando ao exemplo de pessoal ocupado no comércio em Recife, não há 
como afirmar se a quebra estrutural é significante. Nesse estágio de 
diagnóstico do modelo, muitas vezes, conseguimos elaborar testes para 
identificar tais quebras estruturais. 
 
Mais especificamente, suponha, por simplicidade, que estimamos e 
selecionamos pelos procedimentos anteriormente listados o seguinte AR(1): 
yt = g0 + g1y t-1 + ut 
 
Adicionalmente, suponha que acreditamos ser razoável o seguinte modelo 
com quebra estrutural: 
ECO1800 - PUC-Rio 33 
 
y t = a0 + a1y t-1 + ut se t £ T
y t = b0 + b1y t-1 + ut se t > T
 
 
(onde conhecemos T). Suponha também que ainda não estimamos esse 
modelo com quebra estrutural. Se o modelo com quebra estrutural for de 
fato o modelo que deveríamos ter estimado, a série dos resíduos do nosso 
modelo AR(1) sem quebra estrutural não será normal: tipicamente, a média 
dos resíduos para t £ T pode ser diferente da média dos resíduos para t>T. 
Alternativamente, a variância dos resíduos pode mudar com o tempo. 
Finalmente, os resíduos podem ter alguma tendência ao longo do tempo. De 
forma mais geral, se percebemos que a distribuição dos resíduos estimados 
pelo nosso modelo não é constante ao longo do tempo, temos bons motivos 
para acreditar que existem quebras estruturais nos nossos dados. 
 
Podemos enunciar também um teste formal (“Teste de Chow”)para a 
hipótese de quebra estrutural. Compute para o AR(1) sem quebra estrutural 
a sua soma dos quadrados dos resíduos, denotada aqui por SQR. 
Adicionalmente, rode um modelo AR(1) na amostra com t £ T, e outro AR(1) 
na amostra com t>T (isso nos dará uma estimativa do modelo com quebra 
estrutural). Seja SQR1 a soma dos quadrados dos resíduos do modelo 
rodado na amostra com t £ T. Chamaremos de SQR2 a soma dos quadrados 
dos resíduos do modelo na amostra com t>T. Para testar a hipótese nula de 
que o modelo sem quebra estrutural é tão bom quanto o modelo com 
quebra estrutural (em oposição à hipótese alternativa de que o modelo com 
quebra estrutural é melhor), compute a seguinte estatística: 
 
1 2
1 2
2
SQR SQR SQR
nF
SQR SQR
N n
- -
=
+
-
 (*) 
 
onde N é o tamanho da amostra e n é o número de parâmetros estimados 
no modelo sem quebra estrutural (dado que estamos supondo que só há 
uma quebra estrutural na amostra, o número de parâmetros estimados no 
modelo com quebra estrutural é 2n). A estatística acima tem distribuição 
assintótica F com (n,N-2n) graus de liberdade. Ou seja, se ela for “grande 
o suficiente” (isto é, se F > valor crítico ao nível de significância desejado), 
rejeitamos a hipótese nula de que a nossa série não tem quebras 
estruturais (ou, o modelo com quebras estruturais explica os dados melhor 
do que o modelo sem quebras estruturais). Por outro lado, se a estatística 
computada acima for “pequena o suficiente” (isto é, se F < valor crítico ao 
nível de significância desejado), não rejeitamos a hipótese nula de que a 
nossa série não tem quebras estruturais (ou seja, o modelo sem quebras 
estruturais é tão bom para explicar os dados quanto o modelo com quebras 
estruturais). 
 
O principal problema do teste acima é que sua implementação requer que 
se defina arbitrariamente a data T na qual suspeitamos que possa ter 
ocorrido uma quebra estrutural. Isso é válido quando temos alguma razão 
ECO1800 - PUC-Rio 34 
 
teórica para acreditar que em certa data T ocorreu um evento importante 
que pode ter modificado o processo gerador da série em questão; por 
exemplo, é razoável imaginar que a implementação do regime de metas de 
inflação no Brasil em junho/1999 tenha modificado o processo gerador da 
inflação no país, de modo que podemos testar: 
 
· H0: não houve quebra estrutural no processo gerador da inf lação em junho 
1999 
 
contra: 
 
· H1: houve quebra estrutural no processo gerador da inflação em junho 1999 
 
através do teste acima. 
 
Mas como devemos proceder se não temos idéia precisa da data em que 
pode ter ocorrido uma quebra estrutural? Ou seja, se queremos testar uma 
hipótese do tipo: 
 
· H0: não houve quebra estrutural no processo gerador da inf lação (no 
período amostral considerado) 
 
contra: 
 
· H1: houve quebra estrutural no processo gerador da inf lação (no período 
amostral considerado) 
 
como devemos proceder? 
 
Uma possibilidade é proceder da seguinte forma (às vezes chamado de 
“Teste da razão de verossimilhança de Quandt”- “QLR” em inglês): 
 
(i) Defina um intervalo da amostra (T1, T2) dentro do qual 
testaremos a ocorrência de uma quebra estrutural. 
Geralmente, esse intervalo é definido de modo a compreender 
70% das observações amostrais – ou seja, 15% das 
observações ocorrem antes de T1 e 15% após T2. 
 
(ii) Calcule a estatística F em (*) para todos os períodos 
compreendidos entre T1 e T2. 
 
(iii) Escolha a maior estatística F calculada, e compare-a com o 
valor crítico apropriado da tabela abaixo. Se F > valor crítico, 
rejeita-se H0. 
 
Número de restrições (n) Valor crítico a 10% Valor crítico a 5% 
1 7,12 8,68 
2 5,00 5,86 
3 4,09 4,71 
4 3,59 4,09 
5 3,26 3,66 
10 2,48 2,71 
20 1,99 2,13 
ECO1800 - PUC-Rio 35 
 
 
 
· Seleção de modelos 
 
Muitas vezes, o processo de identificação-estimação-diagnóstico conduz não 
a um, mas a uma lista de possíveis modelos. 
 
Para selecionar entre tais modelos, pode-se usar critérios de informação, 
que fornecem medidas de ajuste dos modelos que penalizam o aumento do 
número de regressores. Os mais populares, que já vimos anteriormente, 
são: 
 
- Akaike (AIC) 
 
kRSSnkAIC 2)ln()( += 
 
- Schwarz (SIC) 
 
)ln()ln()( nkRSSnkSIC += 
 
onde n = número de observações 
 k = número de parâmetros estimados 
 RSS = soma dos quadrados dos resíduos 
 
Deve-se escolher o modelo com os menores AIC e SIC. 
 
 
VI – Previsão com modelos ARMA 
 
Suponha que se identificou, estimou e aceitou um modelo sobre uma série 
de valores conhecidos y1, y2,..., yN. Veremos agora como prever valores 
futuros de Y para os casos particulares AR(1) e MA(1). Para o modelo 
genérico ARMA(p,q), os resultados são facilmente generalizáveis. 
 
· Modelo AR(1): ttt uYY ++= -1fd 
 
(1) Previsão 1 passo à frente: NN yy fd ˆˆˆ 1 +=+ 
 
Valor de y a ser efetivamente verificado no período N+1 (supondo 
que o modelo AR(1) estimado seja o modelo “verdadeiro”): 
11 ++ ++= NNN uyy fd 
 
Erro de previsão (ignorando a incerteza sobre os coeficientes 
estimados): 
1111 ˆ ++++ =-= NNNN uyye 
 
ECO1800 - PUC-Rio 36 
 
Variância do erro de previsão (ignorando a incerteza sobre os 
coeficientes estimados): 
( ) ( ) 211 ˆuNN uVareVar s== ++ 
 
Supondo normalidade do erro u, um intervalo de confiança a 95% 
para a previsão 1 passo à frente seria, portanto: 
 
 uNuN yyIC sfds ˆ)96,1()ˆˆ(ˆ)96,1(ˆ:%951 ±+=±+ 
 
(2) Previsão 2 passos à frente: 12 ˆˆˆˆ ++ += NN yy fd 
 
Erro de previsão e variância do erro de previsão: 
 
( ) ( )
( ) ( )22212
121222
ˆ1ˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
fsf
fdfd
+=Þ+=
+-++=-=
+++
++++++
uNNN
NNNNNN
eVaruu
yuyyye
 
 
Intervalo de confiança a 95% para a previsão: 
2/12
2 )ˆ1(ˆ)96,1(ˆ:%95 fs +±+ uNyIC 
ECO1800 - PUC-Rio 37 
 
 
(3) Previsão h passos à frente: 1ˆˆˆˆ -++ += hNhN yy fd 
 
Variância do erro de previsão: 
 
( ) ( )( )12422 ˆ...ˆˆ1ˆ -+ ++++= huhNeVar fffs 
 
Intervalo de confiança a 95% para a previsão: 
2/1)1(22 )ˆ...ˆ1(ˆ)96,1(ˆ:%95 -+ +++±
h
uhNyIC ffs 
 
Obs.: A previsão converge assintoticamente para a média do 
processo, e a variância do erro de previsão para a variância do 
processo. 
 
· Modelo MA(1): 1--+= ttt uuY qd 
 
(1) Previsão 1 passo à frente: 
NN uy ˆˆˆˆ 1 qd -=+ 
 
Valor de y a ser efetivamente verificado no período N+1 (supondo 
que o modelo MA(1) estimado seja o modelo “verdadeiro”): 
NNN uuy ˆˆˆ 11 qd -+= ++ 
 
Erro de previsão e variância do erro de previsão: 
1111 ˆ ++++ =-= NNNN uyye 
( ) 21 ˆuNeVar s=+ 
 
(2) Previsão 2 passos à frente: 
dˆˆ 2 =+Ny 
 
Erro de previsão e variância do erro de previsão: 
( ) ( )222122 ˆ1ˆˆ qsq +=Þ-= ++++ uNNNN eVaruue 
 
(3) Previsão h passos à frente: Para o modelo MA, mostra-se que a 
previsão e o erro de previsão são constantes para h > 1. 
 
 
Obs.: Os intervalos de confiança seriam calculados de modo análogo ao 
feito acima.
ECO1800 - PUC-Rio 38 
 
 
· Avaliação da capacidade preditiva 
 
A avaliação da capacidade preditiva de um modelo deve estar baseada em 
observações fora da amostra. Suponha que você disponha de N 
observações da variável de interesse. 
 
(1) Estima-se o modelo até determinado período T, deixando de lado as 
últimas N – T observações 
 
(2) Realizam-se previsões para as últimas N – T observações 
 
(3) Comparam-se os valores previstos com os observados 
 
As medidas de capacidade preditiva estão baseadas no erro de previsão 
ttt YYe ˆ-= . Algumas medidas usuais: 
 
· Erro percentual absoluto médio: 
 
å÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
+=
N
Tt t
t
Y
e
TN
MAPE
1
1
 
 
· Raiz do erro quadrático médio: 
 
å÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
+=
N
Tt
teTN
RMSE
1
21
 
 
O erro quadrático médio (MSE) pode ser decomposto da seguinte forma: 
 
( )
( ) ( )
( ) YYYYttt ssssYTN
Y
TN
YY
ˆ
2
ˆ
22
)1(2
ˆˆ
r-+-+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
-
=
-
- åå
 
onde os termos do lado direito indicam as parcelas do MSE associadas a, 
respectivamente: 
 
(i) erros na previsão da média da variável; 
(ii) erros na previsão da variabilidade da variável; 
(iii) erros de previsão “não-sistemáticos”. 
 
Quanto maior a proporção do MSE associada a erros de previsão “não-
sistemáticos”, melhores são as previsões. 
 
ECO1800 - PUC-Rio 39 
 
VII – Multiplicadores dinâmicos 
 
Uma das informações relevantes que se pode extrair de modelos de séries 
temporais diz respeito aos chamados “multiplicadores dinâmicos” 
 
A expressão “multiplicador” é frequentemente usada para denotar o efeito 
de uma variável X sobre outra variável Y. 
 
Quando estamos analisando séries temporais, porém, esse conceito é 
relativamente impreciso. Afinal, de que “efeito” estamos falando? Trata-se 
do efeito contemporâneo de X sobre Y? Ou do efeito após 1 período? Ou do 
efeito após um número grande de períodos? 
 
Um “multiplicador dinâmico” denota justamente o efeito de uma variação 
em X, ceteris paribus, sobre Y ao longo do tempo; ou seja, o efeito de uma 
variação de X no período t sobre Y no período t+j, para qualquer j possível: 
 
t
jt
j X
Y
¶
¶
= +m j = 0, 1, 2, ... 
 
Multiplicadores dinâmicos também são conhecidos como “funções de 
resposta a impulso”, pois expressam a resposta de uma certa variável (Y, 
no caso) a um “choque”, ou “impulso”, em outra variável (X, no caso). 
 
No caso de modelos univariados, quando falamos de multiplicadores 
dinâmicos nos referimos aos efeitos dos choques (u) do modelo sobre o 
nível de Y. 
 
Para encontrar tais multiplicadores dinâmicos, a forma mais fácil é 
escrevendo a equação do processo em função de todos os u’s defasados. Os 
coeficientes de cada u defasado nos informa, assim, o efeito de um choque 
naquele período sobre o valor corrente de Y. 
 
No caso de modelos MA(q), os próprios coeficientes do MA já nos informam 
tais multiplicadores. No caso de modelos AR ou ARMA(p,q), vimos acima 
como reescrever tais processos em função de todos os u’s passados. 
ECO1800 - PUC-Rio 40 
 
VIII – Modelos não-estacionários: ARIMA 
 
Os modelos ARMA vistos acima são apropriados para modelar processos 
não-estacionários. Entretanto, sabe-se que a maioria das séries econômicas 
encontradas na prática apresenta alguma forma de não-
estacionariedade. Isso significa que modelos ARMA são pouco úteis na 
prática? 
 
A resposta é, evidentemente, não – caso contrário, não teríamos perdido 
tanto tempo discutindo essa classe de modelos! 
 
A estratégia geral no tratamento de séries não-estacionárias é aplicar 
alguma transformação sobre a série que a torne estacionária, e depois 
estimar um modelo ARMA(p,q) sobre a série transformada. Evidentemente, 
para tanto é necessário conhecer (ou inferir corretamente) a natureza da 
não estacionariedade de um processo (tendência determinística ou 
estocástica), a fim de aplicar a transformação adequada. 
 
Caso a série se caracterize por uma tendência determinística, a técnica de 
“eliminação de tendência” adequada é a regressão da série em uma função 
determinística do tempo. Conforme visto anteriormente, na prática a função 
determinística mais comum é uma simples tendência linear: 
 
tt utY ++= da 
 
O resíduo dessa regressão será uma série “sem tendência” e, portanto, 
adequada à modelagem através de processos ARMA segundo as técnicas 
vistas nas seções anteriores. 
 
Se a não-estacionariedade estiver associada à presença de uma tendência 
estocástica, a transformação adequada é a operação de diferença e o 
processo é um ARIMA propriamente dito. Vejamos porquê. 
 
Inicialmente, suponhamos que a equação característica do processo ARIMA 
em questão tenha p+d raízes r1, r2,..., rp+d. Note que ela pode ser fatorada 
em função de suas raízes: 
 
))...()(()( 21 BrBrBrB dp ---= +f 
 
Dividindo sucessivamente por r1, r2,..., rp+d: 
 
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-ú
û
ù
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-ú
û
ù
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-=
+
B
r
B
r
B
r
B
dp
1
1...
1
1
1
1)(
21
f 
 
 
 
ECO1800 - PUC-Rio 41 
 
Se a equação característica possui d raízes unitárias e p raízes com módulo 
maior que 1, então ela pode ser expressa como: 
 
d
p
p
BBGBG
BBBGBGB
)1)(1)...(1( 
)1)...(1()1)...(1()(
1
1raízes d
1
---=
----=
=
44 344 21f
 
 
onde Gi são as inversas das p raízes da equação característica com módulo 
maior que 1. 
 
Como exemplo, considere o processo AR(2) tttt uYYY +-= -- 21 5,05,1 que 
tem a equação característica 
25,05,11)( BBB +-=f , com raízes 1 e 
2. Logo, ( )( )BBB --= 15,01)(f . O processo é não-estacionário (mas 
não explosivo), pois uma das duas raízes tem módulo igual a 1, e a outra 
módulo maior do que 1. 
 
Dessa forma, qualquer processo da classe ARIMA pode ser expresso como: 
 
( )( ) ( )( ) ttdp uBYBBGBGBG )(11...11 21 q=---- 
 
Observe que se definirmos uma nova variável Wt como: 
 
( ) tdt YBW -= 1 
 
O processo ARIMA acima, que é não-estacionário em Yt, é obviamente 
estacionário em Wt, pois as raízes têm todas módulo maior que 1 por 
hipótese: 
 
( )( ) ( ) ttp uBWBGBGBG )(1...11 21 q=--- 
 
Isso sugere imediatamente a criação de um operador Ñ: 
 
B-ºÑ 1 
 
Quando aplicado a um processo qualquer, esse operador gera a sua 
primeira diferença. Exemplos: 
 
( ) 11 --=-=Ñ tttt YYYBY 
( ) ( ) 21222 2211 -- +-=+-=-=Ñ tttttt YYYYBBYBY 
ECO1800 - PUC-Rio 42 
 
 
Se Yt representa um processo não-estacionário com d raízes unitárias, ÑdYt 
é um processo estacionário. 
 
Assim, a representação geral dos modelos ARIMA(p,d,q), em que o 
hiperparâmetrod simboliza o número de raízes unitárias no processo, é: 
 
tt
d uBYB )()( qf =Ñ 
 
onde (como antes) f(B) e q(B) representam polinômios em B de graus p e q 
respectivamente, cujas raízes têm todas módulo maior que 1. 
 
 
· Exemplo: O processo AR(2) do exemplo anterior, 
 
( )( ) tt uYBB =-- 15,01 
 
pode ser rescrito como: 
 
( ) tt uYB =Ñ- 5,01 
 
o qual é um processo estacionário – e portanto passível de ser estimado – 
na nova variável ÑYt. Trata-se de um ARIMA(1,1,0). 
 
Note que, como séries com raiz unitária precisam ser “diferenciadas” 
(através do operador Ñ) para tornarem-se estacionárias, dizemos que elas 
são séries (ou processos) integrados, já que “integração” é a operação 
inversa. 
 
O grau de integração d corresponde ao número de vezes que o operador de 
diferença deve ser aplicado a fim de tornar o processo estacionário. Em 
séries econômicas, em geral d = 1 ou 0; dificilmente se verá um grau de 
integração d maior do que 1. 
 
Se algum teste de raiz unitária (como os que veremos a seguir) indicar a 
presença de raíz(es) unitária(s), aplica-se a operação de diferença 1 ou 2 
vezes sobre a série original, até chegar-se a uma série estacionária. Depois 
então, identifica-se e estima-se um modelo ARMA sobre a série 
transformada. 
 
· Testes de raiz unitária 
 
Muitas vezes o gráfico de uma série temporal nos deixa na dúvida sobre a 
presença de raízes unitárias no processo gerador. Coloca-se então a 
questão: dada uma série temporal qualquer, como saber se ela é realização 
de um processo não-estacionário de raiz unitária? 
 
ECO1800 - PUC-Rio 43 
 
O primeiro exame que se deve fazer é a análise da FAC da série: séries com 
raiz unitária são caracterizadas por uma FAC que decai lenta e linearmente, 
ao contrário dos processos AR (decaimento rápido exponencial) e MA (corte 
em lag q) estacionários. 
 
 
· Exemplo: FAC estimada de um passeio aleatório (500 obs.) 
0
0 ,1
0 ,2
0 ,3
0 ,4
0 ,5
0 ,6
0 ,7
0 ,8
0 ,9
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 3 0 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6
 
 
Entretanto, FAC´s semelhantes a essa podem estar associadas a processos 
estacionários com uma raiz característica próxima de 1 ou a processos com 
tendência determinística. Além do exame do gráfico da série e de sua FAC 
estimada, é importante, portanto, testar formalmente a presença de raiz 
unitária no processo, a fim de certificar-se da adequação da operação de 
diferença. 
 
Um dos testes mais populares de raiz unitária é o teste de Dickey-Fuller 
(DF). Para testar se a variável Yt possui uma raiz unitária, estima-se a 
seguinte equação: 
 
ttt uYtY +++=Ñ -121 gaa (*) 
 
Onde a1 é uma constante e t representa uma tendência determinística 
(possivelmente a1 = 0 e/ou a2 = 0). 
 
As hipóteses nula e alternativa do teste são: 
 
 tica)determinís iaou tendênc riedade(estaciona 0:
unitária) (raiz 0:
1
0
¹
=
g
g
H
H
 
 
ECO1800 - PUC-Rio 44 
 
Note que o teste refere-se à presença (ou não) de raiz unitária na série Yt, 
mas na regressão do teste a variável dependente é a primeira diferença de 
Yt. 
 
Para entender por que g = 0 implica a existência de uma raiz unitária, 
suponha, para simplificar, que a1 = 0 e a2 = 0 (ou seja, a equação não 
inclui constante nem tendência determinística). Se g = 0, a equação pode 
ser reescrita como: 
 
( )
ttt
ttt
uYY
uYY
+=
=-
-
-
1
1
 
 
que representa um processo AR(1) com coeficiente unitário – que, como 
vimos, tem uma raiz unitária. 
 
Se, por outro lado, tivéssemos (por exemplo) g = -0,5, a equação poderia 
ser reescrita assim: 
 
( )
ttt
ttt
tttt
uYY
uYY
uYYY
+=
+-=
+-=-
-
-
--
1
1
11
5,0
)5,01(
5,0
 
 
que representa um processo AR(1) com coeficiente menor que 1 – que, 
como vimos, é estacionário. 
 
Note que a rejeição da hipótese nula não implica necessariamente que a 
série seja estacionária, pois podemos ter uma série não estacionária mas 
com tendência determinística – também denominada estacionária em 
torno de uma tendência. 
 
De fato, suponha que g = -1 e a2 ¹ 0. Nesse caso, a equação poderia ser 
reescrita assim: 
 
tt
tttt
utY
uYtYY
+=
+-=- --
2
121
a
a
 
 
que corresponde a um processo não estacionário com tendência 
determinística. 
 
Essa constatação é importante: dependendo da presença ou ausência da 
constante e/ou da tendência determinística na equação de teste (*), o 
comportamento suposto para a variável Yt sob a hipótese alternativa muda. 
Em particular: 
 
ECO1800 - PUC-Rio 45 
 
§ Se a equação de teste não inclui constante nem tendência, o teste 
consiste na escolha entre a hipótese nula de raiz unitária versus a 
hipótese alternativa de processo estacionário com média zero, como 
forma de descrever o processo que gera Yt. 
 
§ Se a equação inclui uma tendência determinística, o teste procura 
discriminar entre um processo com raiz unitária (H0) e um processo 
que possivelmente apresente tendência determinística (H1). 
 
§ Se a equação inclui a constante mas não inclui a tendência, o teste 
procura discriminar entre um processo com raiz unitária (H0) e um 
processo estacionário com média possivelmente diferente de 
zero (H1). 
 
Da mesma forma, as características do processo sob a hipótese nula 
também variam com a inclusão da constante e/ou tendência. 
 
A decisão de incluir ou não a constante é, portanto, crucial para o resultado 
do teste. Qual deve ser, então, a especificação da equação de teste? 
Devemos incluir os regressores determinísticos (constante e tendência) ou 
não? 
 
Uma possível resposta seria: “É melhor usar a especificação mais geral, 
incluindo os regressores determinísticos. Afinal, em geral é melhor incluir 
variáveis irrelevantes na regressão do que omitir variáveis relevantes.” 
 
Essa abordagem apresenta, porém, um problema: 
 
§ Os parâmetros adicionais a serem estimados implicam perda de graus 
de liberdade. 
 
§ O teste DF (assim como outros testes de raiz unitária) apresenta baixa 
potência. 
 
§ Logo, a inclusão incorreta dos regressores determinísticos pode levar à 
aceitação incorreta da hipótese de raiz unitária. 
 
Infelizmente, não há procedimento capaz de determinar com precisão quais 
regressores determinísticos devam ser incluídos. É comum (e aconselhável) 
realizar o teste para diferentes especificações da regressão (*) e comparar 
os resultados. Mas há algumas regras que podem nos auxiliar: 
 
§ É recomendável a inclusão da constante, a menos que argumentos 
teóricos indiquem que, sob a hipótese alternativa, a série deveria ter 
média igual a zero (por exemplo, quando a série é o resíduo de uma 
regressão) 
 
§ Se o teste rejeita a presença de raiz unitária usando a especificação 
mais geral (com constante e tendência), então é provável que a série 
realmente não tenha uma raiz unitária (lembre que o teste tem baixa 
potência). Logo, é recomendável aceitar a hipótese alternativa. 
 
ECO1800 - PUC-Rio 46 
 
W.Enders (Applied Econometric Time Series, Cap.4) apresenta um 
procedimento seqüencial que pode ser usado para testar simultaneamente a 
presença de raiz unitária e a inclusão dos regressores determinísticos: 
 
 
 
Observações: 
 
§ A estatística de teste sobre g não segue uma distribuição t de Student. 
Os valores críticos foram tabelados por Dickey, Fuller e MacKinnon em 
vários artigos, e estão disponíveis em softwares atuais. 
 
§ Os valores críticos do teste variam de acordo com a especificação – isto 
é, se a regressão inclui constante e/ou tendência. 
 
· O teste como especificado acima é o teste clássico de Dickey-Fuller. Ele 
se baseia numa especificação AR(1) dos distúrbios de uma equação 
trend stationary. Para expandir essa especificação para AR(p), criou-se o 
teste ADF (Augmented DF), cuja equação inclui defasagens de ÑYt: 
 
ttttt uYYYtY ++Ñ+Ñ+++=Ñ --- ...2211121 bbgaa 
 
ECO1800 - PUC-Rio 47 
 
Incluem-se tantas defasagens quantas necessárias para se produzir 
resíduos (pelo menos aproximadamente)serialmente descorrelatados e 
procede-se ao teste da forma usual. 
 
 
IX – Modelos sazonais 
 
Os modelos ARIMA podem simular também padrões sazonais, que são 
freqüentes em séries econômicas. Nesse caso, é comum chamá-los de 
modelos SARIMA (“seasonal autoregressive...”). 
 
Os métodos de identificação de modelos sazonais são semelhantes aos 
vistos acima, estando baseados na análise da FAC e FACP estimadas e sua 
comparação com as funções teóricas de processos conhecidos. A principal 
diferença refere-se ao fato de que, na presença de sazonalidade com 
período s, as defasagens relevantes na FAC e FACP são: s, 2s, 3s etc., e 
não mais 1, 2, 3, etc. 
 
Por exemplo, dois processos puramente sazonais para dados mensais 
seriam: 
 
1212
1212
-
-
-=
+=
ttt
ttt
uuY
uYY
q
f
 
 
Para o primeiro processo, a FAC seria: 
 
( )
î
í
ì
=
contrário caso0
no.inteiro é 12/ se12/12 k
k
k
f
r
 
 
e, para o segundo processo, a FAC apresentaria um único valor não-nulo na 
defasagem 12. 
 
Na prática, o processo de identificação é complicado pelo fato de que o 
padrão sazonal interage e se confunde com o padrão de autocorrelação 
não-sazonal. Por exemplo, poderíamos ter o modelo: 
 
tttt uYYY ++= -- 121211 ff 
 
cujas FAC e FACP refletiriam os elementos sazonais e não-sazonais do 
processo. 
 
O modelo acima é um exemplo de sazonalidade “aditiva”: adiciona-se a um 
modelo AR “padrão” um coeficiente no período sazonal. Na prática, porém, 
os modelos mais usados caracterizam-se por sazonalidade 
multiplicativa, denotados pela sigla ARIMA(p,d,q)(P,D,Q), onde p,d,q 
referem-se à ordem de defasagens e grau de integração da parte não-
sazonal do processo, e P,D,Q referem-se à parte sazonal. 
ECO1800 - PUC-Rio 48 
 
Alguns exemplos: 
 
 
· Modelo ARIMA(1,0,0)x(1,0,0)12: 
 
( )( )
ttttt
tt
uYYYY
uYBB
+-+=Þ
=--
--- 13121121211
12
121 11
ffff
ff
 
 
A sigla (1,0,0)x(1,0,0)12 reflete a presença de um termo autoregressivo não 
sazonal e um termo autoregressivo sazonal (multiplicativo). Note que o 
modelo sazonal multiplicativo inclui um termo cuja defasagem é 1+12=13. 
 
 
· Modelo ARIMA(1,0,1)x(0,0,1)12: 
 
Esse modelo demonstra uma das atratividades da especificação 
multiplicativa da sazonalidade: com apenas 3 parâmetros, captura-se o 
efeito de um termo autoregressivo e os efeitos de termos média móvel nas 
defasagens 1, 12 e 13. 
 
( ) ( )( )
1312112121111
12
1211 111
---- +--=-Þ
--=-
tttttt
tt
uuuuYY
uBBYB
qqqqf
qqf
 
 
 
· Modelo ARIMA(0,1,1)x(0,1,0)12: 
 
Esse modelo é comum: a série é não estacionária tanto de mês a mês 
quanto na sazonalidade anual. Após uma transformação, “sobra” um 
processo MA(1) residual: 
 
( )( ) ( )
113121
12 111
---- -=+--Þ
-=--
tttttt
tt
uuYYYY
uBYBB
q
q