2.1.3 - Velocidade e Aceleração Usando Limites - [Exercicios Resolvidos e Comentados]

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1) No instante t=0 um corpo inicia um movimento em linha reta.
Sua posição no instante t é dada por s(t) = 16t - t2.
Determinar:
a) A velocidade média no intervalo [2,4].
b) A velocidade em t=2.
c) A aceleração média no intervalo [0,4].
d) A aceleração em t=4.
Letra a)
Para responder a letra a) use a equação da velocidade média. Em um intervalo de
tempo t, vamos chamar de “b” o tempo final do intervalo e “a” o tempo inicial. A velocidade
média é definida como a posição no instante b menos a posição no instante “a” , dividido
pela diferença entre o instante b e o instanta “a”.
O problema nos diz que o intervalo vai do instante 2 até o instante 4 e que a posição
é definida pela equação s(t) = 16t - t2. Calcule a posição final, usando a equação da posição
apresentada no problema, substituindo t por 4, encontrando o resultado igual a 48.
Repita o procedimento para posição inicial, substituindo t por 2. Encontre a posição
igual a 28 .
Agora podemos aplicar a equação da velocidade média, substituindo os valores das
posições finais e iniciais assim como os instantes finais e iniciais. Realizando as operações
indicadas, encontre a velocidade média igual a 10 unidades de velocidade.
Letra b)
Calcule a velocidade em t=2.
Calcule a velocidade em um determinado instante de tempo t use um limite
semelhante ao usado para o cálculo da inclinação da reta tangente. Para o cálculo da
velocidade instantânea use o seguinte limite:
Caso ainda tenha alguma dúvida sobre o cálculo deste limite, assista a aula sobre
inclinação da reta tangente que está sendo mostrada no card. Então resolvendo de forma
direta encontramos a expressão da velocidade instantânea como v(t) = 16 - 2t.
Encontre a velocidade no instante t=2, substituindo t por dois e encontre a
velocidade igual a 12 unidades de velocidade.
Letra c)
Calcule a aceleração média no intervalo de t indo de 0 até 4.
A aceleração média é calculada de forma semelhante ao cálculo da velocidade
média, mas para aceleração ao invés de calcularmos a diferença das posições iniciais e
finais, usamos a diferença das velocidades finais e iniciais.
A velocidade final é a velocidade no instante t=4. Use a equação calculada no item
anterior, substituindo t por 4 e encontre a velocidade igual a 8.
A velocidade inicial para este exercício é calculada em t=0. Substitua t por 0 na
equação da velocidade e encontre a resposta igual a 16.
Agora de posse de todos os dados necessários, calcule a aceleração média no
intervalo de tempo indo de 0 até 4, substituindo os valores das velocidades nos instantes
iniciais e finais. Realize as operações necessárias e ache a resposta igual a - 2 unidades de
aceleração.
Letra d)
Calcule a aceleração no instante t igual a 4.
O exercício está pedindo o valor da aceleração instantânea no tempo igual a 4. A
aceleração instantânea é calculada através de um limite semelhante ao da inclinação da
reta tangente e da velocidade instantânea, definido como :
Como já comentado anteriormente, em caso de alguma dúvida quanto ao cálculo
deste limite, assista a aula sobre inclinação de reta tangente. Então resolvendo o limite de
forma direta e realizando todas as simplificações necessárias, encontre a aceleração
instantânea igual a -2.
Como o resultado foi uma constante, este valor vale para qualquer instante de
tempo. Então a aceleração para o instante t = 4 também é igual a -2.
Exercício 2
A equação do movimento de um corpo em queda livre é definida
por S=gt2/2, sendo g um valor constante. Determinar a velocidade e a
aceleração do corpo em um instante qualquer t.
O exercício pede o cálculo da velocidade e da aceleração instantânea, Vamos
começar calculando a velocidade instantânea aplicando o limite estudado no exercício
anterior, usando a equação da queda livre expressa no enunciado do problema.
Resolvendo o limite de forma direta e realizando as simplificações necessárias,
encontre o limite igual ao produto entre g e t.
Para o cálculo da aceleração instantânea use a definição da aceleração instantânea,
sabendo que a velocidade instantânea para queda livre é igual ao produto de g e t.
Aplicando o limite e realizando as operações necessárias, encontre a resposta igual
a constante g unidade de aceleração.