Ejercicios Resueltos álgebra 3 - Ricardo Montes

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UNJu – Facultad de Ingeniería ANÁLISIS MATEMÁTICO I – 2021 
 
 
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Funciones elementales y trascendentes –Traslaciones, Cambios 
de tamaño y Reflexiones del gráfico de una función. 
 
Cuestionario 
 
a) Si conoce el gráfico de una función dada por y = f (x ), ¿ Qué transformaciones podría hacer a dicho 
gráfico y cómo quedaría modificada la fórmula en cada caso? 
b) ¿Cuáles son las funciones elementales?. Indicar la fórmula y asociarle el gráfico correspondiente 
c) Defina cada una de las funciones trigonométricas 
d) Indicar las gráficas de las funciones trigonométricas 
e) Indicar dominio e imagen de las funciones logaritmo y exponencial. 
f) ¿Qué relación existe entre las funciones logaritmo y exponencial? 
g) ¿Cuál es el gráfico de las funciones logaritmo y exponencial? 
h) ¿Cuáles son las funciones hiperbólicas y como se definen? 
 
 
Ejercicios Resueltos 
 
1.- Representar gráficamente, indicar dominio e imagen 
a) ( )
1
y f x 3
x 1
= = −
−
 b) ( ) ( )( )3y f x ln x 2 .e= = + 
Solución: Para representar gráficamente este tipo de funciones vamos a seguir los siguientes pasos 
Paso 1: Identificar cual es la función elemental involucrada 
Paso 2: Usar los conceptos de traslación, reflexión, estiramiento y/o compresión 
Paso 3: Esbozar el gráfico y ajustarlo realizando una tabla con pocos valores 
 
a) Se observa que la variable se encuentra en el denominador con exponente unitario. La función elemental 
presente en la fórmula es 
1
y
x
= , cuyo gráfico es: 
 
Al gráfico de esta función elemental se le deben realizar los 
siguientes desplazamientos: desplazamiento horizontal de 1 unidad 
hacia la derecha y desplazamiento vertical de 3 unidades hacia 
abajo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 3 
 
UNJu – Facultad de Ingeniería ANÁLISIS MATEMÁTICO I – 2021 
 
 
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Gráfico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Para el gráfico correspondiente a: ( ) ( )( )3y f x ln x 2 .e= = + se hace un repaso de conceptos 
Definición de logaritmo: c
alog b = c a b = Siendo a > 0, a  1  b > 0 
En particular si la base del logaritmo (a) es el número irracional e 2,718281 , el logaritmo se llama natural 
o neperiano y se anota: ln 
Propiedades: 
 
( )
( )
( )
( )
A
B
ln A.B ln A ln B Logaritmo de un producto
ln A / B ln A ln B Logaritmo de un cociente
ln B A ln B Logaritmo de una potencia
1
ln A ln A Logaritmo de una raíz
B
= +
= −
=
=
 
 
Aplicando estas propiedades en la fórmula de la función dada, se tiene: 
 ( )( ) ( )3y ln x 2 .e 3 ln x 2 1= + = + + 
Al gráfico de la función elemental y ln x= , se hace un estiramiento 3 veces (al triple), se desplaza 2 unidades a 
la izquierda y una unidad hacia arriba. 
 
NOTA: Al graficar funciones, los estiramientos, compresiones del gráfico y las reflexiones con respecto a los 
ejes, se consideran antes de aplicar los desplazamientos horizontales y verticales 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Gráfico y verificación con tabla de valores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.−) Definir la función Parte Entera. Dar el gráfico, dominio e imagen. 
 
Solución Función parte entera: 
Se define ( )  f : R R / y f x x z si z x z 1 , z Z→ = = =   +  
La función parte entera asigna a cada número real, el mayor número entero que sea menor o igual que él. Por 
ejemplo      9,43 9 , 2,003 2 , 1,4 2 , 7 7 , = = − = − − = −   0,5 1− = − 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.-) Representar gráficamente, indicar dominio e imagen la función definida sectorialmente: 
 f ( x ) = 
2
x 4 x 2
x 2 x 2
 − 

+ 
 
 
Solución En este caso el gráfico que corresponde es la parábola de ecuación x2− 4 para valores de x < 2 y 
la recta de ecuación x + 2 para valores x > 2. Es decir 
 
 
 
 
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Ejercicios del TP Nº 3 para resolver en clase 
 
1.-) Escribir una ecuación de la recta que cumpla las siguientes condiciones. Graficar dicha recta 
a) Es vertical y su abscisa al origen es 3 
b) Es horizontal y pasa por ( 21 , 5 ) 
c) Tiene abscisa al origen − 5 y ordenada al origen 7 
d) Pasa por los puntos P( − 3, 4 ) y Q( 2, 0 ) 
e) Pasa por ( 3, 1) y tiene pendiente − 5 
f) Pasa por el punto P(0, − 1 ) y tiene un ángulo de inclinación de 60º 
g) Tiene pendiente 6 y corta a la recta de ecuación y = 3x , en el punto x = − 1 
h) Pasa por el punto P(−2, 2 ) y es paralela a la recta de ecuación 7x + y = 3 
 
2.-) .- El dueño de un shopping en la zona céntrica sabe por experiencias pasadas que si cobra x pesos 
por alquilar un local del mismo, el número "y" de espacios que puede alquilar está dado por la 
ecuación: y = 160 – 0,2x 
 
a) Graficar la función lineal dada por la fórmula indicada 
b) ¿Qué representa la pendiente de la recta graficada? y la intersección de la recta con ambos ejes? 
 
3.-) 
a) A partir de la gráfica de la función elemental y x= , dar la ecuación de la de la función cuyo 
gráfico se ha modificado, mediante: 
 i) Una traslación de 3 unidades hacia abajo 
 ii) Un desplazamiento de 2 unidades hacia la derecha y uno hacia abajo 
 iii) La función desplazada 3 unidades a la izquierda se comprime a la mitad 
 
 
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b) Dado el gráfico de la función cuya fórmula es y = f(x), dar las fórmulas de los gráficos desplazados 
de y representados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.-) Explicar cómo se obtiene la gráfica de la función dada por cada una de las siguientes fórmulas, a 
partir de la grafica de y = f(x) 
a) y = 3 f ( x ) d) y = f ( x − 5 ) + 9 
b) y = f (− x ) − 5 e) y = 
1
2
 f ( x ) − 3 
c) y = − f (− x ) f) y = − 2 f ( x + 4 ) − 7 
 
4.-) Representar gráficamente indicando dominio e imagen. 
a) y = 3 x 3− b) y = x2 − 4 x + 3 c) y = 
7
x 3
−
−
 
d) y = x+3 6− − e) y = − ( x + 2)3 + 3 f) y = | 2x + 4 | − 1 
g) y = 
x 3
x 9
+
−
 h) y = 
4
1
5
(x 1)
+
−
 i) y = 2 − sg (x + 2 ) 
j) y = 2 [ x + 3 ] k) ( x + 5 )2 + ( y − 1 ) 2 = 9 l) 
2 2
(x 3) (y 1)
1
4 16
− +
+ = 
 
5.-) Representar gráficamente las siguientes funciones trascendentes. Si es necesario, aplicar 
propiedades para escribir la fórmula de manera de reconocer desplazamientos, estiramientos y 
reflexiones con respecto a ejes. Dar dominio e Imagen. 
a) 
10
y log
x
 
=  
 
 b) ( )y cos x 2= − + 
c) ( )y ch x 2= +c) y=2 2x− + 
 
6.-) Estudiar la paridad de las funciones cuyas fórmulas son: 
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a) f(x) = shx tgx+ b) ( )
( )
4
ch 2x
f x
x
= 
 
7.-) En base al gráfico de la función g/ 
2x 4 si x 0
y 6
si x 0
x 2
 − 

= 

−
, hallar: 
 
 a)  x / y 0 b)  y/ x 1 − 
 
8.-) Basándose en las funciones elementales conocidas, determinar las fórmulas de las funciones 
representadas a continuación 
 
 a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicios Adicionales: Trabajo Práctico N° 3 
 
1.-) Se dan dos conjuntos de tres puntos cada uno. 
 ( ) ( ) ( )  ( ) ( ) ( ) M 4;2 , 3; 1 , 2;4 y N 2;2 , 4;2 , 0; 1= − − = − − 
Determinar si estas ternas son vértices de triángulos rectángulos. Justificar usando conceptos de 
función lineal 
 
2.-) Plantear y resolver aplicando conceptos de funciones trascendentes: 
 
 Un alumno está resolviendo ejercicios de un libro. Siguiendo sus conocimientos llega al siguiente 
resultado: ( )
x
2
2
chx ln2 sh x
1 ln 2
−
−
 
 Luego busca la respuesta en el libro y encuentra: 
x x
x 1 e e
2
1 ln2 1 ln2
−
−  
+  + − 
 
 Comprobar que las dos expresiones son equivalentes.