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Conteúdo do exercício 1. Pergunta 1 Analise a figura a seguir: O teorema de Stokes trata de campos vetoriais em três dimensões, sendo o teorema de Green uma particularidade bidimensional do teorema de Stokes. No campo da geometria diferencial, é uma teoria sobre a integração de formas diferenciais. De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema de Stokes, calcule a circulação do campo F: yi + xzj + x2k, dado que a curva C corresponde à fronteira do triângulo cortado a partir do plano x + y + z = 1, no sentido anti-horário no primeiro octante. Considerando esses dados, pode-se afirmar que a circulação do campo equivale a: Ocultar opções de resposta A. 9/2. B. −5/6. Resposta correta C. 4/3. D. 5/7. E. 10/7. 2. Pergunta 2 Analise a figura a seguir: Figuras geométricas podem ser geradas a partir do modelamento baseado em equações matemáticas. Na figura apresentada, é possível observar um vaso de manjerico. Tal sólido limita o volume da forma, V= (x2 + y2 < z, 1 < z < 4), considerando o campo vetorial F(x, y, z) = (xz2, yz2, z3). De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema de Stokes, calcule o fluxo do rotacional F por meio da parede lateral do vaso, referente à superfície S = (x2 + y2 = z, 1 < z < 4). Considerando esses dados, pode-se afirmar que o fluxo do rotacional corresponde a: Ocultar opções de resposta A. π. B. π/2. C. 2. D. 0. Resposta correta E. 1 3. Pergunta 3 Leia o excerto a seguir: “O trabalho mecânico é uma grandeza vetorial que permite calcular a variação de energia sofrida por um corpo ou a quantidade de energia que um corpo possui. Ele pode ser calculado pelo produto entre a força e o deslocamento. ”Fonte: TEIXEIRA, M. M. “O que é trabalho mecânico?”; Brasil Escola. Disponível em: <https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/fisica/o-que-e-trabalho-mecanico.htm>. Acesso em: 1 set. 2019. O teorema de Green é usado para calcular o trabalho realizado por campos de força, que movimentam partículas, por exemplo. De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema de Green, calcule o trabalho realizado sobre uma partícula que está sob ação do campo de força F(x,y) = (−3y, 3x) e se movimenta ao longo de uma elipse equivalente a 4x2 + 25= 100, no sentido anti-horário. Considerando esses dados, pode-se afirmar que o trabalho equivale a: Ocultar opções de resposta A. 30. B. 30 π. C. 60 π. Resposta correta D. 60. E. 120 π. 4. Pergunta 4 Analise a figura a seguir: O teorema de Green é extremamente útil na aplicação de cálculo de área de figuras planas. O teorema tem esse nome, pois foi desenvolvido por George Green, em 1828, e seu princípio é utilizado em outros teoremas como, por exemplo, os teoremas de Gauss e de Stokes. De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre o tópico, dada a região D, D=(1≤ x2 + y2≤4, x>0, y>0), calcule a área da região D, sendo a curva C correspondente à fronteira da região D. Considerando esses dados, pode-se afirmar que a área da região D corresponde a: Ocultar opções de resposta A. 14/3. Resposta correta B. 19/3 C. 7/3. D. 10/3. E. 5/3. 5. Pergunta 5 O raio de convergência indica o raio em torno do centro da série no qual a série converge para algum valor. Valores superiores ao raio indicam que a série diverge, ou seja, existe um número R tal que a série converge se |x−a| < R, e diverge se |x−a| > R. De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre séries de potências, dada a série ∑(x−2)n / n, pode-se afirmar que o raio de convergência é igual a: Ocultar opções de resposta A. R = ½. B. R = 4. C. R = 1. Resposta correta D. R = 3. E. R = 2. 6. Pergunta 6 Leia o excerto e analise a figura a seguir: “Dados os pontos F1 e F2, com a distância 2c entre eles, a elipse é o conjunto dos pontos P em que é válida a seguinte igualdade: dPF1 + dPF2 = 2a. Em outras palavras, a elipse é o conjunto de pontos no qual a soma das distâncias até cada um dos focos é igual à constante 2a. ”Fonte: SILVA, L. P. M. O que é elipse? Uma figura geométrica? Brasil Escola. Disponível em: <https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-elipse.htm>. Acesso em: 5 set. 2019. São comuns forças que variam ao longo de uma trajetória. A força representada na figura é proporcional ao afastamento em relação à origem das coordenadas, descrevendo no sentido anti-horário a parte da elipse x2/4 + y2/16 = 1 no primeiro quadrante, sendo F(x,y) = −k(x,y). Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema de Green, pode-se afirmar que o trabalho realizado equivale a: Ocultar opções de resposta A. 10 k. B. 5 k. C. 16 k. D. −6 k. Resposta correta E. −12 k. 7. Pergunta 7 Leia o excerto e analise a figura a seguir: “Vamos pensar em uma roda de carro que apresenta um ponto fixo para observação. Agora, pensando nessa roda em movimento, sobre uma rua lisa, vamos observar a trajetória desse ponto fixo. A curva descrita por esse ponto é a curva cicloide.”Fonte: CORDEIRO, A. C. F. O que é a curva cicloide: ideias centrais no ensino da matemática. Trabalho de conclusão de curso (Licenciatura em matemática) – Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia, IFSP. São Paulo, p. 88. 2013. De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre o Teorema de Green, calcule a área da figura, descrita pelas curvas C1 e C2, dada a cicloide abaixo x= t − sen(t), y = 1 − cos(t). Considerando esses dados, pode-se afirmar que a área da cicloide corresponde a: Ocultar opções de resposta A. 6π. B. 3π. Resposta correta C. 9π. D. 12 π. E. −3π. 8. Pergunta 8 Suponha que desejemos encontrar o fluxo de F = (xy) I + (yz)j + (xz)k através da superfície de um cubo cortado do primeiro octante, pelos planos x =1, y=1 e z=1. Uma dica importante é resolver pela integração do divergente ao invés de realizar 6 integrais diferentes, uma para cada face do cubo. De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema de Stokes, pode-se afirmar que o fluxo da função F corresponde a: Ocultar opções de resposta A. 5. B. 3. C. 4/3. D. 1/2. E. 3/2. Resposta correta 9. Pergunta 9 O divergente de um campo vetorial corresponde a um operador que mede a magnitude de fonte de um campo vetorial em um dado ponto, ou seja, pode ser representado como um valor escalar que mede a dispersão dos vetores do campo em um ponto específico. O divergente de um campo vetorial, dado como F = M(x,y,z) I + N(x,y,z)j + P(x,y,z)k, é uma função escalar: div F = dM/dx + dN/dy + dP/dz. Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema de Stokes, dado o campo vetorial F = (2xz) I + (xy)j − (z)k, pode-se afirmar que o valor do divergente corresponde a: Ocultar opções de resposta A. a 2y − x. B. 2z − x − 1. Resposta correta C. a 2y − x −1. D. a 2x + z. E. a x + 2z. 10. Pergunta 10 Leia o excerto a seguir: “Campos vetoriais representam o fluxo de um fluído (entre muitas outras coisas). Eles também representam uma maneira de visualizar funções cujo espaço de entrada e espaço de saída têm a mesma dimensão. Além disso, um campo vetorial associa um vetor a cada ponto no espaço.”Fonte: KHAN ACADEMY. Campos vetoriais. Disponível em: <https://bit.ly/2kSojV5>. Acesso em: 1 set. 2019. (Adaptado). De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema de Green, dado o campo F(x,y) = (y3, −x3), calcule a integral do campo vetorial sob a curva C que corresponde a um círculo igual a x2 + y2 = 4. Considerando que a orientação da curva é positiva, pode-se afirmar que a integral do campo vetorial equivale a: Ocultar opções de resposta A. 16 π. B. −25 π. C. −24 π. Resposta correta D. -32 π. E. 30 π.
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