Raciocínio Lógico - Aula_01

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AULA 1 – INTRODUÇÃO A TEORIA DE CONJUNTOS
RACIOCÍNIO LÓGICO – PROF. CELSO LUIZ MOREIRA PIERONI
Rio de Janeiro, 02 de Maio de 2011
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RACIOCÍNIO LÓGICO 
Aula 1: Introdução a Teoria de Conjuntos: Noções Iniciais, Pertinência.
 
Aula 2: Relação entre Conjuntos: Subconjuntos.
Aula 3: Operação entre Conjuntos: União, Interseção, Diferença.
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RACIOCÍNIO LÓGICO 
Aula 4: Álgebra e Aritmética: Razão e proporção
Aula 5: Álgebra e Aritmética: Regra de três
Aula 6: Aritmética: Porcentagem
Aula 7: Introdução ao Conceito de Matrizes
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RACIOCÍNIO LÓGICO 
Aula 8: Introdução a Lógica Matemática: conceito de proposições
Aula 9: Introdução a Lógica Matemática: Operações Lógicas
Aula 10: Introdução a Lógica Matemática: Tabelas-verdade.
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INTRODUÇÃO A TEORIA DE CONJUNTOS 
Conceitos Primitivos (não-definidos):
A idéia de conjunto é a mesma de coleção (possuem pelo menos uma propriedade em comum). 
 
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CONJUNTOS E ELEMENTOS 
Uma coleção de carros é um conjunto.
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Uma coleção de carros é um conjunto. 
Cada carro é um elemento desse conjunto.
CONJUNTOS E ELEMENTOS 
Elemento do conjunto
(carro)
Conjunto de carros
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CONJUNTOS E ELEMENTOS 
Uma coleção de bonecos é um conjunto.
Elemento (BONECO)
Conjunto
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REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO 
(MATEMATICAMENTE) 
Formas de representação matemática:
forma de tabela;
entre chaves { } e separados por vírgula. (usual)
 Exemplos:
 
É usual representarmos os conjuntos por letras maiúsculas A, B, C, D, ... . No caso dos elementos letras, são representados por minúsculas.
A = { x, y, z, w} Letras (consoantes)
B = { 0, 2, 4, 6} Números (pares)
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Elementos de um conjunto são representados por pontos interiores a uma região plana, limitada por uma linha fechada simples.
REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO 
(DIAGRAMAS DE VENN) 
A
B
• x
• y
• w
• z
• 0
• 4
• 2
• 6
A = { x, y, z, w} Letras (consoantes)
B = { 0, 2, 4, 6} Números (pares)
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REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO 
(PROPRIEDADES) 
Se uma propriedade p é comum a todos os elementos de um conjunto A, e somente esses elementos têm a propriedade p, então o conjunto A pode ser descrito por:
 
 
Lê-se: “A é o conjunto formado por todos os elementos x tal que x tem a propriedade p”.
A = { x | x tem propriedade p}
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REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO 
(ESCREVENDO ATRAVÉS DE PROPRIEDADE) 
O conjunto A é formado por todos os super heróis.
 
 
A = { x | x é ser um super herói } 
Exemplo 1
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A = { x | x são todos os números naturais ímpares} 
Exemplo 2
PROPRIEDADE: SER UM NÚMERO NATURAL ÍMPAR. 
Conjunto dos números naturais:
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,...} 
Conjunto dos números naturais ímpares:
A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,...} 
REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO 
(ESCREVENDO ATRAVÉS DE PROPRIEDADE) 
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RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA 
(ELEMENTO - CONJUNTO) 
 Relação entre elemento e conjunto.
Considere os conjuntos: 
A = {a, e, i, o, u} B = {1, 2, 3, 4}
 
 
u é elemento do conjunto A 
e 
não é elemento do conjunto B. 
u  A (lê-se “u pertence a A”) e 
u  B (lê-se “u não pertence a B”)
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RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA 
(ELEMENTO - CONJUNTO) 
 De um modo geral, para relacionar elemento e conjunto, devemos usar a seguinte notação (símbolos):
 
 (pertence) 
E
  (não pertence)
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Conjunto unitário é aquele formado por um único elemento.
 
TIPOS BÁSICOS DE CONJUNTOS 
(CONJUNTO UNITÁRIO) 
A = {5} 
 B = { x | x é estrela do sistema solar} = {SOL}
O conjunto dos números positivos em relação ao conjunto C={-1, -2, -5, 4, -7, -10}:
 Resposta: { 4 }
Exemplos
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Conjunto vazio é o conjunto que não possui elemento algum. Representa-se o vazio por  ou { }.
 
TIPOS BÁSICOS DE CONJUNTOS 
(CONJUNTO VAZIO) 
D = {x | x é número e x . 0 = 2} = 
E = {x | x é computador sem memória} = { }
Exemplos
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Conjunto finito é aquele que conseguimos chegar ao “fim” da contagem de seus elementos.
 
TIPOS BÁSICOS DE CONJUNTOS 
(CONJUNTO FINITO) 
A = {3, 7, 11, 15}
B = {x | x é estudante}
C = {x | x é número natural, x >2 e x < 5} ={3, 4}
Exemplos
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Conjunto infinito é aquele que, se contarmos seus elementos um a um, jamais chegaremos ao “fim” da contagem.
 
TIPOS BÁSICOS DE CONJUNTOS 
(CONJUNTO INFINITO) 
N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} 
A = { x  N | x é par} = {0, 2, 4, 6, ...}
Exemplos
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Dois ou mais conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos. 
OBSERVAÇÃO: os conjuntos possuem os mesmos elementos, não importando a ordem em que os elementos foram escritos. 
 
CONJUNTOS IGUAIS 
 Se o conjunto A é igual ao conjunto B usamos a notação: A = B. 
 Se A não é igual a B, escrevemos A  B (lê-se “A é diferente de B”).
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CONJUNTOS IGUAIS 
 A é o conjunto das letras da palavra “arte”: 
A = {e,t,r,a}
 B é o conjunto das letras da palavra “reta”:
 B = {r, e, t, a}
Exemplo
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Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Se todo elemento de A também é elemento de B, diz-se que A é um subconjunto de B, ou que A está contido em B, e usa-se a notação:
SUBCONJUNTOS 
Conjunto A, formado por todos os alunos da Estácio. 
 
Com os elementos de A podemos formar:
 
1. o conjunto B, formado por alunos de Pedagogia da Estácio; 
2. o conjunto C, formado por alunos de Letras da Estácio. 
Dizemos assim, que os conjuntos B e C são subconjuntos de A.
A  B 
Exemplo
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Podemos também dizer que:
SUBCONJUNTOS 
{2, 5, 3}  {2, 5, 3, 8, 9}
{6, 9, 6, 5}  {9, 6}
{2, 8}  {2, 8}
 Se A  B (lê-se “A está contido em B”), 
 B  A (lê-se “B contém A”).
Exemplo
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PERTINÊNCIA E INCLUSÃO
(CONCLUSÃO FINAL) 
 A relação de pertinência () é usada exclusivamente para relacionar um elemento x com um conjunto A que possui x como elemento: x  A.
 A relação de inclusão () é usada exclusivamente para relacionar um subconjunto B com um conjunto A que contém B: B  A.
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EXERCÍCIO 
Dados os conjuntos A = {0,1,4,6}, B = {0,2,3,4,5,6} e C ={0,1,2,3,4,6}, classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) cada afirmação abaixo:
a) ( ) A  B 
b) ( ) {1}  A
c) ( ) A  C 
d) ( ) B  C
e) ( ) B  C 
f) ( ) {0, 2}  B
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EXERCÍCIO
(SOLUÇÃO) 
Dados os conjuntos A = {0,1,4,6}, B = {0,2,3,4,5,6} e C ={0,1,2,3,4,6}, classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) cada afirmação abaixo:
a) ( F ) A  B , pois 1B.
b) ( V ) {1}  A
c) ( V ) A  C 
d) ( F ) B  C , pois 1B.
e) ( F ) B  C , pois 5B.
f) ( V ) {0, 2}  B
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