Raciocínio Lógico - Aula_2

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ESTÁCIO EAD

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Moisés Moura

28.06.2013

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AULA 2 – SUBCONJUNTOS E PROPRIEDADES
RACÍOCINO LÓGICO – PROF. CELSO LUIZ MOREIRA PIERONI
Rio de Janeiro, 12 de Maio de 2011
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Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Se todo elemento de A também é elemento de B, diz-se que A é um subconjunto de B, ou que A está contido em B, e usa-se a notação:
SUBCONJUNTOS 
Conjunto A, formado por todos os alunos da Estácio. 
 
Com os elementos de A podemos formar:
 
1. o conjunto B, formado por alunos de Pedagogia da Estácio; 
2. o conjunto C, formado por alunos de Letras da Estácio. 
Dizemos assim, que os conjuntos B e C são subconjuntos de A.
A  B 
Exemplo
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Podemos também dizer que:
SUBCONJUNTOS 
{2, 5, 3}  {2, 5, 3, 8, 9}
{6, 9, 6, 5}  {9, 6}
{2, 8}  {2, 8}
 Se A  B (lê-se “A está contido em B”), 
 B  A (lê-se “B contém A”).
Exemplo
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PERTINÊNCIA E INCLUSÃO
(CONCLUSÃO FINAL) 
 A relação de pertinência () é usada exclusivamente para relacionar um elemento x com um conjunto A que possui x como elemento: x  A.
 A relação de inclusão () é usada exclusivamente para relacionar um subconjunto B com um conjunto A que contém B: B  A.
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PROPRIEDADES 
 1. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto:   A,  A (para todo conjunto A)
   {1, 2, 3, 5, 7,11, 13}
 
  {x, y, z}
Exemplo
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PROPRIEDADES 
 2. Todo conjunto A está contido no próprio A, isto é, todo conjunto é subconjunto de si mesmo: 
A  A,  A (qualquer conjunto A)
 {1, 2, 3, 5, 7,11, 13}  {1, 2, 3, 5, 7,11, 13}
{x, y, z}  {x, y, z}
Exemplo
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Para indicar que um conjunto A não é subconjunto de B, escreve-se:
SUBCONJUNTOS (quando não ocorre) 
{2, 5, 3}  {2, 5, 8, 9}, pois 3  {2, 5, 8, 9}.
{11, 9, 7, 5}  {9, 6}, pois 6  {11, 9, 7, 5}
 Se A  B ( lê-se “A não está contido em B”) ou 
B  A ( lê-se “B não contém A”)
Exemplo
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CONJUNTOS FORMADOS POR CONJUNTOS 
Os elementos de um conjunto podem também ser conjuntos. 
Considere o conjunto: P = {, {a}, {b}, {a, b}}
 
 
Nesse caso,  é elemento de P e, portanto, escrevemos   P e não   P. O mesmo ocorre com os outros elementos:
 {a}  P, {b}  P, {a, b}  P.
Vejamos alguns subconjuntos de P:
 {}  P; {{a}}  P; 
 {{a, b}}  P; {{a}, {b}}  P.
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CONJUNTOS DAS PARTES DE UM CONJUNTO 
Chama-se “conjunto das partes de um conjunto A”, P(A), ao conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A. 
 
 
 Considere o conjunto A = {1, 2}. Vamos escrever os subconjuntos de A:
com nenhum elemento: 
com um elemento: {1}, {2}
com dois elementos: {1,2}
Logo, P(A) = {, {1}, {2}, {1,2}}.
Exemplo
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CONJUNTOS DAS PARTES DE UM CONJUNTO 
 
 
 Dado um conjunto A = {m, n, p}, escrevemos P(A):
com nenhum elemento: 
com um elemento: {m}, {n}, {p}
com dois elementos: {m,n}, {m,p}, {n,p}
com três elementos: {m,n,p}
Logo, P(A) = {, {m}, {n}, {p}, {m, n}, {m, p}, {n, p}, {m, n, p}}
Exemplo 2
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CONCLUSÕES 
 Observe que, no primeiro exemplo, o conjunto A tem dois elementos e obtivemos P(A) com 4 (22) elementos, isto é, A tem 4 subconjuntos. 
 No segundo exemplo, A tem três elementos e obtivemos 8 (23) subconjuntos. 
De um modo geral, se um conjunto A tem n elementos, o números de elementos de P(A) é 2n.
EXEMPLO: Se A = {2, 4, 7, 9, 3}, então P(A) terá 25 = 32 elementos.
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EXERCÍCIO 
Marque V para verdadeiro e F para Falso:
 
( ){3}{3,4} (b) ( ) 0{0,1,2}
(c) ( ) {5,6}{0,1,2,5,6} (d) ( ) 0
(e) ( ) {a} (f) ( ) {1}{{1},}
(g) ( ) {{2,3},{5,4}} (h) ( ) 0
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EXERCÍCIO 
Marque V para verdadeiro e F para Falso: (continuação)
 
(i) ( ) {{1},{2}} (j) ( ) {0,2}
(l) ( ) 0N* (m) ( ) N* N
(n) ( ) 2/3R (o) ( ) 4/5Z
(p) ( )  (q) ( ) 2{x | xé par}
(r) ( ) 1,5N (s) ( ) {x | xé impar}{3,5}
(t) ( ) {} (u) ( ){} (v) ( ) {0}
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EXERCÍCIO 
(SOLUÇÃO) 
Marque V para verdadeiro e F para Falso:
 
( F ){3}{3,4} (b) ( V ) 0{0,1,2}
(c) ( V ) {5,6}{0,1,2,5,6} (d) ( F ) 0
(e) ( F ) {a} (f) ( V ) {1}{{1},}
(g) ( V ) {{2,3},{5,4}} (h) ( F ) 0
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EXERCÍCIO (SOLUÇÃO) 
Marque V para verdadeiro e F para Falso: (continuação)
 
(i) ( F ) {{1},{2}} (j) ( V ) {0,2}
(l) ( F ) 0N* (m) ( V ) N* N
(n) ( V ) 2/3R (o) ( F ) 4/5Z
(p) ( F )  (q) ( F ) 2{x | x é par}
(r) ( F ) 1,5N (s) ( V ) {x | x é impar}{3,5}
(t) ( V ) {} (u) ( V ){} (v) ( F ) {0}
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EXERCÍCIO 
Quais letras são verdadeiras?
(a) 1{1} 
(b) {1}{1} 
(c) {{1}}{{1}} 
(d) 1{1,{1}} 
(e) {1}{1,{1}} 
(f ) {{1}}{1,{1}}
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EXERCÍCIO 
Quais letras são verdadeiras?
(a) 1{1} VERDADEIRO
(b) {1}{1} FALSO
(c) {{1}}{{1}} FALSO
(d) 1{1,{1}} VERDAEIRO
(e) {1}{1,{1}} VERDADEIRO
(f ) {{1}}{1,{1}} FALSO
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