Fenômenos De Transporte - Professor Handerson Corrêa Gomes (2011)

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BURITIS / CARLOS LUZ / SILVA LOBO 
 
 
Fenômenos 
 
De 
 
Transporte 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professor: Handerson Corrêa Gomes 
2011 
 
BURITIS / CARLOS LUZ / SILVA LOBO 
 
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Disciplina: Fenômenos de Transporte 
Curso: Engenharias 
Engenharia Mecânica, Elétrica e Civil 
Prof .: Handerson Corrêa Gomes 
 
 
 
Objetivos: 
 
- Aprender os princípios básicos da Mecânica dos Fluidos e da Transferência de 
Calor; 
- Analisar as distribuições de pressão em fluidos em repouso; 
- Analisar as distribuições de força em corpos e superfícies submersas; 
- Estudar o escoamento ideal e real no interior de dutos; 
- Analisar as maneiras através das quais o calor é transmitido. 
 
Ementa: 
 
Mecânica dos Fluidos: Propriedades Físicas; Equações Gerais da Estática, Cinemática e 
Dinâmica dos Fluidos; Cálculos de Pressões Hidrostáticas, de Forças sobre Superfícies 
Submersas e de Perda de Carga; Medição de Viscosidade, Pressão e Velocidade. 
Transferência de Calor: Condução, Convecção, Radiação, Aplicações. Transferência de Massa: 
Difusão, Coeficiente de Transferência de Massa, Teoria da Camada Limite, Aplicações. 
 
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Índice 
 
1. Introdução a Mecânica dos Fluidos................................................................. 07 
1.1. Definição.................................................................................................... 07 
1.2. Objetivo...................................................................................................... 07 
1.3. Aplicação.................................................................................................... 07 
2. Definição de um Fluido.................................................................................... 07 
2.1. Introdução.................................................................................................. 07 
2.2. A Hipótese do Contínuo............................................................................. 08 
2.3. Princípio da Aderência............................................................................... 08 
3. Métodos de Análise......................................................................................... 09 
3.1. Sistema...................................................................................................... 09 
3.2. Volume de Controle................................................................................... 09 
4. Dimensões e Unidades................................................................................... 09 
4.1. Introdução.................................................................................................. 09 
4.2. Sistemas de Dimensões............................................................................ 09 
4.3. Sistemas de Unidades............................................................................... 10 
5. Propriedades Físicas dos Fluidos.................................................................... 11 
5.1. Peso Específico.......................................................................................... 11 
5.2. Volume Específico..................................................................................... 12 
5.3. Densidade Relativa.................................................................................... 12 
5.4. Massa Específica ou Densidade Absoluta................................................. 13 
5.5. Módulo da Elasticidade Volumétrico........................................................... 13 
5.5.1. Condições Isotérmicas............................................................................... 14 
5.5.2. Condições Adiabáticas............................................................................... 14 
5.6. Coeficiente de Compressibilidade (C) ....................................................... 14 
6. Campo de Velocidade...................................................................................... 15 
7. Regime Permanente e Trasiente...................................................................... 15 
7.1. Regime Permanente................................................................................... 15 
7.2. Regime Transiente..................................................................................... 15 
7.3. Campo Uniforme de Escoamento.............................................................. 16 
8. Escoamentos Uni, Bi, Tridimensional............................................................... 16 
8.1. Escoamento Unidimensional...................................................................... 16 
8.2. Escoamento Bidimensional......................................................................... 16 
 
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8.3. Linhas de Tempo, Trajetórias, Linhas de Emissão e Corrente.................. 17 
8.4. Campos de Tensão................................................................................... 21 
9. Viscosidade..................................................................................................... 22 
9.1. Viscosidade Dinâmica ou Absoluta: (µ)..................................................... 22 
9.2. Viscosidade Cinemática: (ν)...................................................................... 23 
9.3. Número de Reynolds: (Re) ....................................................................... 23 
9.4. Tipos de Escoamento................................................................................. 24 
10. Pressão............................................................................................................. 26 
10.1. Lei de Pascal.............................................................................................. 28 
11. Fluidoestática.................................................................................................... 28 
11.1. A Equação Básica da Estática dos Fluidos................................................ 29 
11.2. Pressão Manométrica................................................................................. 31 
11.3. Pressão Absoluta........................................................................................ 32 
11.4. O Barômetro de Mercúrio............................................................................ 32 
11.5. Aplicação para a Manometria...................................................................... 33 
11.6. Tipos de Manômetros.................................................................................. 35 
11.6.1. Manômetros de líquido................................................................................ 35 
11.6.2. Manômetros Metálicos................................................................................ 36 
12. Equilíbrio dos Corpos Flutuantes...................................................................... 36 
12.1. Princípio de Arquimedes............................................................................. 38 
13. Fluidodinâmica.................................................................................................. 42 
13.1. Sistema........................................................................................................ 42 
13.2. Volume de Controle..................................................................................... 42 
13.3. A Relação Entre as Derivadas do Sistema e a Formulação Para Volume de 
Controle........................................................................................................ 42 
13.4. Equação da Continuidade (de Conservação da Massa) Para um Volume de Controle 
Arbitrário....................................................................................................... 43 
13.4.1. Casos Especiais...........................................................................................44 
13.4.2. Vazão Mássica e Vazão Volumétrica........................................................... 46 
13.5. 1a Lei da Termodinâmica Aplicada ao Volume de Controle........................ 47 
13.6. Equação de Bernoulli.................................................................................... 50 
13.6.1. A Equação de Bernoulli Para Fluidos Ideais................................................ 51 
13.6.1.1. Visualização Gráfica da Equação de Bernoulli....................................... 52 
13.6.2. Aplicações da Equação de Bernoulli............................................................. 53 
13.6.2.1. Teorema de Torricelli............................................................................... 53 
 
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5 
 
13.6.2.2. Medidores de Vazão............................................................................... 54 
13.6.2.2.1. Tubo de Venturi....................................................................................... 56 
13.6.2.2.2. Tupo de Pitot.......................................................................................... 57 
13.6.2.2.3. Placa de Orifício..................................................................................... 59 
13.6.2.2.4. Pressão de Estagnação.......................................................................... 62 
13.7. Equação de Bernoulli Para Fluidos Reais – Perda de Carga....................... 63 
13.7.1. Visualização Gráfica da Equação de Bernoulli Para Fluidos 
Reais............................................................................................................. 63 
13.7.2. Tipos de Perda de Carga.............................................................................. 64 
13.7.2.1. Perdas de Carga Contínuas.................................................................... 64 
13.7.2.2. Perdas de Carga Localizadas................................................................. 69 
13.8. Potência Fornecida por uma Bomba............................................................. 76 
14. Transferência de Calor........................................................................................ 80 
14.1. Introdução...................................................................................................... 80 
14.2. Modos de Transferência de Calor................................................................. 80 
14.2.1. Condução...................................................................................................... 80 
14.2.2. Convecção..................................................................................................... 82 
14.2.3. Radiação........................................................................................................ 82 
14.3. Leis Básicas da Transferência de Calor......................................................... 83 
14.3.1. Condução....................................................................................................... 84 
14.3.2. Convecção..................................................................................................... 86 
14.3.3. Radiação........................................................................................................ 88 
15. Condução............................................................................................................. 91 
15.1. Introdução à Condução.................................................................................. 91 
15.2. Propriedades Térmicas da Matéria................................................................ 92 
15.3. Conservação de Energia em um Volume de Controle................................... 93 
15.4. Equação da Difusão de Calor......................................................................... 96 
15.4.1. Coordenadas Cartesianas.............................................................................. 96 
15.4.2. Coordenadas Cilíndricas................................................................................. 99 
15.4.3. Coordenadas Esféricas................................................................................... 99 
15.4.4. Condições de Contorno e Condição Inicial..................................................... 100 
15.5. Condução Unidimensional em Regime Permanente...................................... 103 
15.5.1. Parede Simples............................................................................................... 103 
15.5.2. Resistência Térmica....................................................................................... 104 
15.5.3. Parede Composta........................................................................................... 108 
 
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15.5.4. Parede Composta: Série-Paralelo.................................................................. 110 
15.5.5. Resistência de Contato................................................................................... 111 
15.6. Condução Unidimensional em Regime Permanente – Sistemas Radiais – 
Cilindro............................................................................................................. 114 
15.6.1. Distribuição de Temperatura........................................................................... 114 
15.6.2. Parede Cilíndrica Composta.......................................................................... 117 
15.6.3. Espessura Crítica de Isolamento................................................................... 120 
15.7. Condução Unidimensional em Regime Permanente – Sistemas Radiais – 
Esfera............................................................................................................... 124 
15.8. Condução com Geração de Energia Térmica................................................ 125 
15.8.1. Condução com Geração de Energia Térmica - Parede Plana ...................... 125 
15.8.2. Condução com Geração de Energia Térmica – Sistemas Radiais................. 127 
16. Transferência de Calor em Superfícies Expandidas – Aletas................................ 129 
16.1. Introdução....................................................................................................... 129 
16.2. Tipos de Aletas............................................................................................... 131 
16.3. Balanço de Energia para uma Aleta............................................................... 132 
16.4. Aletas com área da seção transversal constante........................................... 133 
16.5. Desempenho da Aleta.................................................................................... 138 
17. Condução Transiente............................................................................................ 141 
17.1. Introdução....................................................................................................... 141 
17.2. Método da Capacitância Global...................................................................... 141 
18. Convecção............................................................................................................. 143 
18.1. Fundamentos da Convecção.......................................................................... 143 
18.2. As Camadas Limites da Convecção............................................................... 145 
18.2.1. A Camada Limite Hidrodinâmica..................................................................... 145 
18.2.2. As Camadas Limites de Concentração........................................................... 147 
18.3. Escoamento Laminar e Turbulento................................................................. 148 
18.4. A Camada Limite Térmica............................................................................... 151 
 EXERCÍCIOS RECOMENDADOS............................................................................153 
 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS........................................................................... 202 
 Apêndice A................................................................................................................. 203 
 Apêndice B................................................................................................................. 207 
 
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1. Introdução a Mecânica dos Fluidos 
 
1.1. Definição: é a ciência que estuda o comportamento físico dos fluidos e as leis que regem 
tal comportamento. Estudo do comportamento dos fluidos em repouso (Fluidoestática) e em 
movimento (Fluidodinâmica). 
 
1.2. Objetivo: conhecer, compreender e analisar qualquer sistema no qual um fluido é o meio 
produtor de trabalho. 
 
1.3. Aplicação: máquinas de fluxo (bombas, ventiladores, compressores e turbinas), aeronaves, 
automóveis, submarinos, sistemas de aquecimento e ventilação de residências, edifícios 
comerciais, sistemas de tubulações, corpos flutuantes, medicina, etc. 
 
 
2. Definição de um Fluido 
 
2.1. Introdução: É uma sustância que se deforma continuamente sob a aplicação de uma 
tensão de cisalhamento (força tangencial), não importa sua intensidade (figura 1). Os fluidos 
compreendem as fases líquida e gasosa (ou de vapor) das formas físicas nas quais a matéria 
existe. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 – Elemento Fluido sob a Ação de Esforço Tangencial Constante. 
 
A distinção entre um fluido e o estado sólido fica clara ao ser comparado seu comportamento. 
Ao ser aplicada uma força tangencial F (fig.2a) sobre um sólido fixado entre as duas placas, o 
bloco sofre uma deformação e se estabiliza no novo formato. No regime elástico do material, ao 
cessar a aplicação da força, o sólido retorna à forma original. Repetindo a experiência para um 
 
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fluido, ele se deformará continuamente, enquanto existir uma força tangencial atuando sobre ele 
(fig.2b). 
 
Figura 2 – Comportamento de (a) um Sólido e (b) um Fluido, Sob a Ação de uma Força 
de Cisalhamento Constante. 
1a Situação: 
Figura 2a 
Mantida a Ft constante o sólido deformar-se-á até alcançar uma posição de equilíbrio estático. 
 
2a Situação: 
Figura 2b 
Sob a ação da Ft deforma-se continuamente, não se alcançando uma posição de equilíbrio 
estático. 
 
 
2.2. A Hipótese do Contínuo: Como o espaço médio entre as moléculas que compõem o fluido 
é bastante inferior às dimensões físicas dos problemas estudados, considera-se o fluido como 
uma substância que pode ser dividida ao infinito. 
 
2.3. Princípio da Aderência: “Os pontos de um fluido em contato com uma superfície sólida 
possuem a mesma velocidade dos pontos desta com os quais estão em contato; não há 
deslizamento naquelas fronteiras”. (fig.3) 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 – O Perfil de Velocidade Linear no Líquido entre Placas Paralelas Infinitas. 
 
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3. Métodos de análise 
3.1. Sistema: quantidade de massa fixa e identificável; as fronteiras do sistema separam-no do 
ambiente à volta; não há transferência de massa através das mesmas, calor e trabalho poderão 
cruzar as fronteiras, conforme mostrado na fig. 4 . 
 
Figura 4 – Conjunto Pistão-Cilindro 
 
3.2. Volume de controle: volume do espaço através do qual o fluido escoa (arbitrário), a 
fronteira geométrica é chamada superfície de controle, conforme mostrado na fig. 5. 
 
Figura 5 – Escoamento de um Fluido Através de um Tubo. 
 
4. Dimensões e unidades 
4.1. Introdução 
Dimensões: são grandezas mensuráveis (quantidades físicas: podem ser primárias (básicas) e 
secundárias (derivadas)). 
Unidades: são nomes arbitrários dados às dimensões. 
 
4.2. Sistemas de Dimensões 
Lei da Homogeneidade dimensional: “Todos os termos de uma expressão matemática, que, 
traduz um fenômeno físico, devem possuir a mesma dimensão”. 
Exemplo: 
 
 
 
 
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4.3. Sistema de Unidades 
Pode-se trabalhar com diferentes unidades para as grandezas (massa, comprimento, etc.). 
Países diferentes podem utilizar sistemas de unidades diferentes. Em 1960, instituiu-se o 
Sistema Internacional (SI), como uma tentativa de padronização. Foram definidas 7 grandezas 
básicas (massa, comprimento, tempo, temperatura, corrente elétrica, quantidade de matéria e 
intensidade luminosa) e padronizadas as suas unidades. 
A partir delas, podem ser derivadas as unidades das outras grandezas (excetuando-se as 
grandezas elétricas). No entanto, alguns países ainda adotam os antigos sistemas de unidades. 
No Sistema Britânico, as grandezas básicas são força, comprimento, temperatura e tempo. A 
massa passa a ser, portanto, uma grandeza secundária. 
 
SI absoluto: M(massa), L(comprimento), t(tempo), T(temperatura), I(corrente elétrica), 
quantidade de matéria e intensidade luminosa. Técnico inglês: F(força), L(comprimento), 
t(tempo), T(temperatura). 
 
Tabela 1 – Sistemas de Unidades. 
 
 
No Apêndice B são apresentados os fatores de conversão entre os sistemas para as diferentes 
grandezas. 
 
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A Tab. 2 apresenta prefixos utilizados em engenharia para escrever valores muitos pequenos ou 
muito grandes de uma maneira mais concisa. 
 
Tabela 2 – Principais prefixos para unidades de Engenharia. 
 
 
 
5. Propriedades físicas dos fluidos 
 
5.1. Peso especifico: (γ) 
É o peso do fluido contido em uma unidade de volume. 
 
 
 
 
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5.2. Volume específico: (ν) 
Inverso da massa específica. 
 
 
5.3. Densidade relativa: (δ,d ou SG) 
Razão entre a massa específica de uma substância e a massa específica de uma substância de 
referência. Para líquidos, o fluido de referência é a água e, para os gases, o ar. Quando se 
trabalha com densidades relativas de sólidos, é comum que a substância de referência seja a 
água. 
 
 
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5.4. Massa específica ou densidade absoluta: (β ) 
Também conhecida como densidade absoluta, é a quantidade de massa do fluido contida em 
uma unidade de volume. 
 
 
 
A densidade dos gases variam bastante quando são alteradas sua pressão, e/ou sua 
temperatura. Ao contrário, a densidade dos líquidos apresenta pequenas variações com 
alterações de pressão e temperatura, são, em sua maioria, considerados incompressíveis. Na 
Tab. A.1 (Apêndice A), são apresentados valores de massa específica para alguns fluidos, a 
20°C e 1 atm. As Tab.s A.2 e A.3 apresentam, respec tivamente, a variação da massa específica 
da água e do ar com a temperatura, para a pressão de 1 atm. 
 
5.5. Módulo da Elasticidade Volumétrico: (β) 
Razão entre uma variação de pressão e a correspondente variação de volume por unidade de 
volume. 
 
 
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Expressa a compressibilidade do fluido. A compressibilidade de uma substância é a medida da 
variação relativa de volume decorrente de aplicação de pressão. O módulo de compressibilidade 
de líquidos costuma ser obtido experimentalmente. No caso de gases, o seu valor depende do 
tipo de processo que resulta da compressão. 
 
5.5.1. Condições isotérmicas: T = constante 
 
 
5.5.2. Condições adiabáticas: 
 
 
5.6. Coeficiente de Compressibilidade: (C) 
Inverso do módulo de elasticidade volumétrico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. Campo de velocidade 
Entre as propriedades do escoamento, destaca-se o campo de velocidade. Seja o volume 
de fluido � mostrado na Fig. 6. 
 
Figura 6 – Determinação do Campo de Velocidadesem um Ponto. 
 
A velocidade instantânea do fluido no ponto C é igual à velocidade instantânea do volume 
infinitesimal que passa pelo ponto C no instante de tempo em questão. 
O campo de velocidade, , é função das coordenadas x, y e z e do tempo t. A completa 
representação do campo de velocidades é dada por: 
 = (x, y, z,t) 
O vetor velocidade, , pode ser expresso em termos de suas três componentes escalares. 
Chamando estas componentes nas direções x, y e z de, respectivamente, u, v e w, o campo de 
velocidades pode ser escrito como: 
 = uiˆ + vˆj + wkˆ, 
onde: u = u(x, y,z, t), v = v(x, y,z, t) e w = w(x, y,z, t) 
 
 
7. Regime permanente e transiente 
 
7.1. Regime Permanente: As propriedades do fluido, em cada ponto do escoamento, não 
variam com o tempo. A definição matemática do movimento permanente é: 
 
����������������QPFG��TGRTGUGPVC�WOC�RTQRTKGFCFG�SWCNSWGT�FQ�HNWKFQ��
�
7.2. Regime Transiente: As propriedades do fluido variam com o tempo. 
 
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7.3. Campo Uniforme de Escoamento: Escoamento no qual o módulo e o sentido do vetor 
velocidade são constantes, ou seja, independentes de todas as coordenadas espaciais, através 
de toda a extensão do campo. 
 
8. Escoamentos uni, bi, tridimensional. 
Os escoamentos podem ser classificados em uni-, bi- e tridimensionais de acordo com o número 
de coordenadas necessárias para se definir seu campo de velocidades. 
 
8.1. Escoamento unidimensional: 
Exemplo: 
Suponha o escoamento em regime permanente no interior de um duto de seção transversal 
constante mostrado na Fig. 7. 
 
Figura 7 – Exemplo de Escoamento Unidimensional. 
 
A partir de uma certa distância da entrada do duto, a velocidade pode ser descrita pela equação: 
 
Como o campo de velocidades depende apenas da distância radial r, o escoamento é 
unidimensional. 
 
 
8.2. Escoamento bidimensional: 
Seja agora o escoamento entre placas divergentes, de largura infinita (Fig. 8). Como o canal é 
considerado infinito na direção do eixo dos z, o campo das velocidades será idêntico em todos 
os planos perpendiculares a este eixo. Conseqüentemente, o campo de velocidades é função 
somente das coordenadas x e y. O campo do escoamento é, portanto, bidimensional. 
 
 
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Figura 8 – Exemplo de Escoamento Bidimensional. 
 
8.3. Linhas de tempo, trajetórias, linhas de emissão e linhas de corrente: 
Na análise de problemas de mecânica dos fluidos, freqüentemente é vantajoso obter uma 
representação visual de campo de escoamento. Tal representação é provida de linhas de tempo, 
de trajeto, de emissão e de corrente. 
Se num campo de escoamento uma quantidade de partículas fluidas adjacentes forem 
marcadas num dado instante, elas formarão uma linha no fluido naquele instante, esta linha é 
chamada de linha de tempo. 
Uma linha de trajeto é o caminho ou trajetória traçada por uma partícula fluida em movimento. 
Para torná-la visível, temos que identificar uma partícula fluida, num dado instante, por exemplo, 
pelo emprego de um corante; em seguida, tiramos uma fotografia de exposição prolongada do 
seu movimento subseqüente. A linha traçada pela partícula é uma trajetória Por outro lado, 
poderíamos preferir concentrar a atenção em um lugar fixo do espaço e identificar, novamente 
pelo emprego do corante, todas as partículas fluidas que passam por aquele ponto. Após um 
curto período, teríamos uma certa quantidade de partículas fluidas identificáveis no escoamento. 
Todas elas, em algum momento, teriam passado por um local fixo no espaço. A linha em que 
une as partículas fluidas, num ponto fixo no espaço, é definida como linha de emissão. 
As linhas de corrente são aquelas desenhadas no campo de escoamento, de forma que, num 
dado instante, são tangentes à direção do escoamento em cada ponto do campo. 
Como as linhas de corrente são tangentes ao vetor velocidade em cada ponto do campo, não 
pode haver escoamento através delas. 
No escoamento permanente, a velocidade em cada ponto do campo permanece constante com 
o tempo e, em conseqüência, as linhas de corrente não variam de um instante a outro. Isto 
implica que uma partícula localizada numa determinada linha de corrente permanecerá sobre a 
mesma. Além disso, partículas consecutivas passando através de um ponto fixo do espaço 
 
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estarão sobre a mesma linha de corrente e, subseqüentemente permanecerão nela. Então num 
escoamento permanente, trajetórias e linhas de emissão e de corrente são linhas idênticas no 
campo de escoamento. 
A forma das linhas de corrente pode variar de instante a instante se o escoamento for transiente. 
Neste caso, as trajetórias, as linhas de emissão e as linhas de corrente não coincidem. 
 
Exemplo: 
Considere o campo de escoamento , onde a = 0,2 s-2 e b = 3 m/s. 
 As coordenadas são medidas em metros. Para a partícula que passa pelo ponto (x, y) = (3,1) no 
instante t = 0, trace a trajetória durante o intervalo de tempo de t = 0 a t = 3 s. Compare esta 
trajetória com as linhas de corrente que passam pelo mesmo ponto nos instantes t = 0, 1 e 3 
segundos. 
 
Resolução: 
 
 
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Exemplo: 
O campo de velocidade , onde a = b = 1 s-1, pode ser interpretado como 
representando o escoamento numa curva em ângulo reto. Obtenha uma equação para as linhas 
de corrente do escoamento. Trace diversas linhas de corrente no primeiro quadrante, incluindo 
aquela que passa pelo ponto (x,y) = (0,0). 
 
Resolução: 
A inclinação das linhas de corrente no plano xy é dado por: 
 
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Para o campo de velocidade dado, as constantes a e b são fixas. As linhas de corrente são 
obtidas definindo valores diferentes para a constante de integração c. 
 
 
 
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21 
 
8.4. Campo de Tensão 
Tanto forças de superfície quanto forças de campo são encontradas no estudo da mecânica dos 
meios contínuos. As forças de superfícies atuam nas fronteiras de um meio através de um 
contato direto. As forças desenvolvidas sem contato físico e distribuídas por todo o volume do 
fluido são denominadas forças de campo. As forças gravitacionais e eletromagnéticas são 
exemplos de forças de campo. 
A força gravitacional atuando sobre um elemento de volume, dV, é dada por, onde 
ρ é a massa específica (massa por unidade de volume) e é a aceleração local da 
gravidade. Segue-se que a força de campo gravitacional é por unidade de volume e 
 por unidade de massa. 
O conceito de tensão nos dá uma forma conveniente de descrever o modo pela qual as forças 
atuantes na fronteiras do meio são transmitidas através deles. Então campo de tensões seria a 
região através da qual as forças atuantes seriam transmitidas através de toda extensão do 
material. 
Como a força e a área são ambas quantidades vetoriais, podemos prever que o campo de 
tensão não será vetorial. O campo de tensões normalmente é chamado de campo tensorial 
devido ao campo possuir nove componentes que se comportam como um tensor de 2ª ordem. 
Dividindo a magnitude de cada componente da força pela a área , δAx , e tomando o limite 
quando δAx se aproxima de zero, definimos as três componentes da tensão mostradas abaixo: 
 
Utilizamos o índice duplo para designar tensões. O primeiro índice (neste caso x) indica o plano 
no qual a tensão atua (neste caso a superfície perpendicular ao eixo x). O segundo índice indica 
a direção na qual a tensão atua. Também é necessário adotar uma convenção de sinais para a 
tensão. Uma componente da tensão é positiva quando o seu sentido e o plano no qual atua são 
ambos positivos ou ambosnegativos. 
 
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22 
 
9. Viscosidade 
9.1. Viscosidade Dinâmica ou Absoluta: (µ) 
Propriedade que determina o grau de resistência do fluido à força de cisalhamento, ou seja, a 
dificuldade do fluido em escoar. 
Seja o comportamento de um elemento fluido entre 2 placas infinitas. A placa superior move-se 
a velocidade constante (δu), sob a influência de uma força aplicada δ Fx. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9 – Deformação de um Elemento de Fluido. 
 
A tensão tangencial ou tensão de cisalhamento do elemento fluido é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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23 
 
A constante de proporcionalidade é a viscosidade absoluta ou dinâmica do fluido, µ. 
 
Os fluidos mais comuns, como a água, o ar e a gasolina, são newtonianos em condições 
normais. 
Se considerarmos as deformações de dois diferentes fluidos newtonianos, por exemplo, glicerina 
e água, verificaremos que eles irão se deformar as taxas diferentes sob a ação da mesma 
tensão de cisalhamento aplicada. A glicerina apresenta uma resistência à deformação muito 
maior do que a água. Dizemos, então, que ela é muito mais viscosa. 
A Tab. A.8 apresenta valores de viscosidade absoluta para alguns fluidos. O comportamento da 
viscosidade para alguns fluidos Newtonianos é apresentado na Fig. A.1 e. A.2. Pode-se notar 
que, para os gases, a viscosidade aumenta com a temperatura, enquanto que os líquidos 
apresentam comportamento inverso. 
 
 
9.2. Viscosidade Cinemática: (ν) 
Razão entre a viscosidade dinâmica e a massa específica. 
 
 
 
9.3. Número de Reynolds: (Re) 
Número adimensional, obtido pela razão entre as forças de inércia e as forças viscosas. 
Caracteriza o comportamento global do escoamento de um fluido. 
 
 
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24 
 
 
O número de Reynolds é o adimensional mais importante da Mecânica dos Fluidos. Ele 
determina a natureza do escoamento (laminar ou turbulento). Para escoamentos no interior de 
tubos, o valor aceito para se caracterizar a transição do escoamento laminar para turbulento é 
2300. Para escoamento sobre uma placa plana, o valor é 5x105. Deve-se ressaltar que V* e L* 
correspondem, respectivamente, à velocidade e ao comprimento característico do escoamento. 
Para escoamentos no interior de tubos, a velocidade V* é a velocidade média no interior do tubo 
e L*, o seu diâmetro. Para escoamentos sobre placas planas, V* é a velocidade da corrente livre 
e L*, o comprimento da placa. 
 
Figura 10 – Exemplo para o Cálculo do Número de Reynolds. 
 
Como a viscosidade absoluta da glicerina é 1500 vezes superior à viscosidade da água, para 
que os fluidos, escoando no interior de tubos com o mesmo diâmetro, tenham comportamentos 
semelhantes (mesmo número de Reynolds), a velocidade da glicerina deve ser 1174 vezes 
maior do que a velocidade da água. 
 
 
9.4. Tipos de escoamento: 
- Escoamento laminar ( em tubulações Re≤ 2300 ) 
- Escoamento turbulento (Re > 4000) 
 
 
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25 
 
 
Figura 11 – Possível Classificação da Mecânica dos Fluidos. 
 
O escoamento compressível ou incompressível é definido a partir de um parâmetro chamado 
número de Mach, que é definido como sendo a razão da velocidade do escoamento ( ) pela 
velocidade do som (S) do meio. 
 
 
Exemplo: 
Um eixo com diâmetro externo de 18 mm gira a 20 rotações por segundo dentro de um mancal 
de sustentação estacionário de 60 mm de comprimento. Uma película de óleo com espessura de 
0,2 mm preenche a folga anular entre o eixo e o mancal. O torque necessário para girar o eixo é 
de 0,0036 N.m. Estime a viscosidade do óleo que se encontra na folga anular, em (Pa.s) 
� Resolução: Para calcular a viscosidade do óleo devemos utilizar a fórmula de tensão de 
cisalhamento: 
 
Primeiramente devemos converter a velocidade para uma unidade na qual possamos trabalhar: 
 
BURITIS / CARLOS LUZ / SILVA LOBO 
 
26 
 
 
Assim podemos calcular o coeficiente de viscosidade dinâmico fazendo analogia à força: 
 
 
10. Pressão 
Força exercida em uma unidade de área. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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27 
 
A pressão é uma variável dinâmica muito importante na Mecânica dos Fluidos. Um escoamento 
só é possível se houver um gradiente de pressão. Para gases ideais, a pressão pode ser 
relacionada à densidade e à temperatura através da seguinte expressão: 
 
 
Onde R é a constante específica de cada gás, relacionada à constante universal dos gases 
através da massa molecular do gás MM, sendo MM dada em kg/kmol no sistema Internacional. 
A Tab. A.4 apresenta as massas moleculares de alguns gases comuns. 
 
 
A Tab. A.9 mostra as propriedades termodinâmicas de gases comuns na condição padrão ou 
“standard”. 
 
A pressão atuando na base de um recipiente contendo um fluido em repouso pode ser calculada 
da maneira mostrada a seguir: 
 
Figura 12 – Exemplo do Cálculo da Pressão na Base de um Recipiente. 
 
BURITIS / CARLOS LUZ / SILVA LOBO 
 
28 
 
 
 
10.1. Lei de Pascal: 
“No interior de um fluido em repouso, a pressão é constante em cada ponto”. 
 
Figura 13 – Fluido em Repouso. 
 
 
11. Fluidoestática 
É a parte da Mecânica dos Fluidos que estuda o comportamento dos fluidos em repouso. 
A condição de velocidade nula do fluido é denominada condição hidrostática. Em um problema 
de hidrostática, o objetivo principal é, em geral, a determinação da distribuição de forças ou 
pressões em um elemento fluido. 
 
 
BURITIS / CARLOS LUZ / SILVA LOBO 
 
29 
 
11.1. A equação básica da estática dos fluidos: 
Dois tipos genéricos de forças podem ser aplicados a um fluido: forças de corpo e forças de 
superfície. As forças de corpo, também chamadas de forças de campo, são as forças 
desenvolvidas sem contato físico com o fluido, distribuídas por todo o seu volume. É o caso das 
forças gravitacionais e eletromagnéticas. De uma maneira geral, a única força de corpo que 
deve ser considerada na maioria dos problemas de Mecânica dos Fluidos é a força gravitacional, 
ou o peso. As forças de superfície são aquelas que atuam nas fronteiras de um meio, através do 
contato direto. Se um fluido estiver em repouso, só poderão estar presentes forças normais à 
superfície (por definição, o fluido é a substância incapaz de resistir a forças de cisalhamento 
sem se deformar). A única força de superfície a ser considerada é, portanto, a força de pressão. 
Seja um volume fluido infinitesimal, de dimensões dx, dy e dz, como mostrado na Fig.14. 
 
Figura 14 – Volume de Controle Infinitesimal. 
 
 
 
 
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30 
 
 
 
A 2ª Lei de Newton estabelece que: 
 
Para um elemento fluido em repouso, a aceleração deve ser nula e o somatório de todas as 
forças deve ser zero. Assim, 
 
Esta é uma equação vetorial, que pode ser decomposta em três equações escalares, 
 
Para simplificar a equação, é conveniente adotar um sistema de eixos no qual o vetor 
gravitacional esteja alinhado com um dos eixos. Se o sistema for escolhido com o eixo z 
apontado para cima , as equações podem ser reescritas como: 
 
Se o fluido puder ser considerado incompressível, a diferença de pressão entre dois pontos do 
fluido será diretamente proporcional à diferença de altura entre eles (Fig.15). 
 
 
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31 
 
Conclusões: 
1. Não há variação de pressão na direção horizontal, ou seja, dois pontos quaisquer, situados a 
uma mesma altura e no mesmo fluido em repouso, estão submetidos à mesma pressão; 
2. A pressão variana direção vertical, sendo esta variação devida ao peso da coluna fluida 
(Equação Fundamental da Hidrostática); 
3. No limite para ∆z infinitamente pequeno (elemento tendendo a um ponto), Pz = Pn = Px, ou 
seja, a pressão em um ponto de um fluido estático é independente da orientação (Lei de 
Pascal). 
Se o fluido puder ser considerado incompressível, a diferença de pressão entre dois pontos do 
fluido será diretamente proporcional à diferença de altura entre eles - Equação Fundamental da 
Hidrostática (Fig.15). 
 
Figura 15 – Variação de Pressão em um Fluido Estático. 
 
 
Os valores de pressão devem ser estabelecidos em relação a um nível de referência. As 
maneiras de se expressar a pressão variam, portanto, com o nível de referência adotado. 
Quando o nível de referência é zero (vácuo), as pressões são denominadas absolutas. 
Quando o nível de referência é a pressão atmosférica local, as pressões são denominadas 
pressões manométricas ou efetivas. 
 
11.2. Pressão 
Pressão medida tomando-se como referência o valor da pressão atmosférica (Patm). 
Patm = 1atm = 101,325 kPa = 1,0332x104 kgf/m2 = 1,0332 kgf/cm2 = 10,332 m.c.a. = 760 mmHg 
 
 
 
 
 
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32 
 
A pressão manométrica pode assumir valores positivos, negativos ou nulos. 
Se P>Patm, Pman > 0 
Se P<Patm, Pman < 0 
Se P=Patm, Pman = 0 
 
11.3. Pressão Absoluta: 
Pressão medida a partir do zero absoluto. 
Pabs = Patm + Pman 
ou 
Pman = Pabs − Patm 
A pressão a ser utilizada em cálculos envolvendo equações de gás ideal ou outras equações de 
estado é a pressão absoluta. 
 
Figura 16 – Exemplo do Cálculo das Pressões Absoluta e Manométrica. 
 
11.4. O Barômetro de Mercúrio: 
A aplicação mais simples da lei da hidrostática é o barômetro, que é um medidor de pressão 
atmosférica. Neste dispositivo, um tubo é preenchido com um fluido de alto peso específico 
(geralmente o mercúrio), invertido e mergulhado em um reservatório contendo o mesmo fluido. 
No processo de inversão do tubo, o mercúrio desce, criando vácuo na parte superior do tubo, 
como mostrado na Fig. 17. 
 
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33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 17 – O Barômetro de Mercúrio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11.5. Aplicação para a Manometria: 
 
Uma variação na elevação é equivalente a uma variação de pressão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 18 – Variação de Pressão em uma Coluna de Múltiplos Fluidos. 
 
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34 
 
 
 
Exemplo: 
1) Determine a pressão manométrica no ponto “a”, se o líquido A tem densidade relativa dA= 
0,75, e o líquido B, dB=1,20. O líquido em volta do ponto “a” é água e o tanque à esquerda está 
aberto para a atmosfera. 
 
Figura 19 – Ilustração do exemplo acima, vasos comunicantes. 
 
Resolução: 
Para calcular a pressão no ponto´´a´´, devemos calcular a diferença de pressão do ponto em 
aberto (Patm), até chegar em ´´a´´. 
Primeiramente faremos algumas transformações para simplificar os cálculos: 
1 pol = 25,4 mm 
36 pol = 0,914 m 
15 pol = 0,381 m 
10 pol = 0,254 m 
5 pol = 0,127 m 
 
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35 
 
Calculamos as diferenças de pressão: 
 
 
Temos então como pressão no ponto “a”´: 
 Pa = 7.831,81Pa 
 
11.6. Tipos de Manômetros: 
 
11.6.1. Manômetros de líquido: São tubos transparentes e curvos, geralmente em forma de U, 
que contêm o líquido manométrico. Para medição de altas pressões, utilizam-se fluidos com 
altos pesos específicos, como o mercúrio. No caso de menores pressões, utilizam-se fluidos 
com menores pesos específicos, como água ou óleo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 20 – Manômetro de Líquido. 
 
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36 
 
 
 
Figura 21 – Manômetro de Líquido. 
 
 
Figura 22 – Manômetro de Líquido. 
 
 
 
 
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37 
 
11.6.2. Manômetros metálicos: São instrumentos usados para medir as pressões dos fluidos 
através de um tubo metálico curvo (Tubo de Bourdon) ou de um diafragma, que cobre um 
recipiente metálico. São os manômetros mais utilizados em aplicações industriais. 
 
Figura 23 – Tubo de Bourdon. Figura 24 – Manômetro de Diafragma. 
 
12. Equilíbrio dos Corpos Flutuantes 
Um corpo flutuante ou submerso em um fluido sofre um empuxo de baixo para cima de uma 
força igual ao peso do volume do fluido deslocado. 
As densidades dos líquidos podem ser determinadas observando-se a profundidade de 
flutuação de um densímetro. 
Se um corpo está imerso ou flutua em um fluido, a força que nele atua denomina-se empuxo de 
flutuação. Seja o objeto mostrado na Fig. 25, imerso em um fluido em repouso. 
 
Figura 25 – Corpo Imerso em um Fluido Estático. 
 
O empuxo vertical no cilindro elementar de volume é dado por: 
 
 
 
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38 
 
 
 
12.1. Princípio de Arquimedes: 
“Todo corpo imerso em um fluido em equilíbrio recebe, por parte do fluido, um empuxo vertical 
de baixo para cima, numericamente igual ao peso do volume deslocado pelo corpo.” 
 
O corpo pode estar, no entanto, imerso ou flutuando no fluido. 
 
Corpo Imerso: 
 
E = peso do volume de fluido deslocado 
 
 
Corpo Flutuante: 
 
E = peso do volume de fluido deslocado 
 
 
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39 
 
Situações Possíveis: 
 
• Corpo Permanece Totalmente Imerso e em Equilíbrio: 
 
 
 
• Corpo Afunda 
 
 
 
• Corpo Fica Parcialmente Imerso 
 
 
 
O ponto de aplicação do empuxo é chamado Centro de Flutuação ou de Carena (C). 
Corresponde ao centro de gravidade do volume de fluido deslocado. 
 
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40 
 
• Corpo Permanece Totalmente Imerso e em Equilíbrio: 
 
O centro de flutuação coincide com o centro de gravidade do corpo. 
 
• Corpo Afunda 
 
O centro de flutuação coincide com o centro de gravidade do corpo. 
 
• Corpo Fica Parcialmente Imerso 
 
O centro de flutuação está localizado abaixo do centro de gravidade do corpo. 
 
Quando o corpo está em equilíbrio, E e W possuem a mesma linha de ação. Se o corpo for 
afastado da condição de equilíbrio, pode ocorrer uma das seguintes situações: 
 
• Corpo imerso 
 
 
 
 
 
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41 
 
Se for aplicado um afastamento θ do equilíbrio no corpo, ele permanecerá na nova posição. 
Assim, E e W estarão sempre na mesma linha de ação. Nesta situação, o corpo está em 
equilíbrio indiferente. 
 
• Corpo flutuante 
 
Figura 26 – Cálculo do Metacentro de um Corpo Submerso. 
 
Se o corpo for inclinado de um pequeno ângulo ∆θ (Fig. 26b), o volume da parte de fluido 
deslocado irá se alterar, provocando uma mudança na posição do centro de flutuação do corpo, 
que muda de B para B'. A linha vertical passando por B' irá interceptar a linha de simetria do 
corpo no ponto M, chamado Metacentro. 
Se o metacentro estiver localizado acima do CG do corpo, haverá um momento restaurador, que 
tenderá a retornar o corpo para a sua posição de equilíbrio inicial. Neste caso, o corpo se 
encontra em equilíbrio estável. 
Se o metacentro estiver localizado abaixo do CG do corpo, o momento tenderá a afastar o corpo 
ainda mais da posição de equilíbrio inicial. Neste caso, o corpo está em equilíbrio instável. 
 
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42 
 
13. Fluidodinâmica 
Os fluidos podem ser analisados utilizando-se o conceito de sistema ou de volume de controle, 
figuras 27 e 28. 
 
13.1. Sistema: 
Quantidade fixa e definida de massa fluida. Os limites do sistema podem serfixos ou móveis, 
mas não se verifica transporte de massa através deles. 
 
Figura 27 – Conjunto Pistão-Cilindro. 
 
13.2. Volume de Controle: 
Volume arbitrário do espaço, através do qual o fluido escoa. O contorno geométrico do volume 
de controle é denominado Superfície de Controle. A superfície de controle pode ser real ou 
imaginária, e pode estar em repouso ou em movimento. 
 
Figura 28 – Escoamento de um Fluido através de um Tubo. 
 
 
13.3. A relação entre as derivadas do sistema e a formulação para volume de 
controle: 
As leis da Mecânica são escritas para um sistema. Elas estabelecem o que ocorre quando há 
uma interação entre o sistema e suas vizinhanças. No entanto, em muitos problemas de 
Mecânica dos Fluidos, é mais comum a análise dos problemas utilizando-se a formulação de 
volume de controle. O teorema de Transporte de Reynolds permite que as leis da Mecânica 
 
BURITIS / CARLOS LUZ / SILVA LOBO 
 
43 
 
sejam escritas para um volume de controle. Se N for uma propriedade extensiva arbitrária 
qualquer, o Teorema de Transporte de Reynolds estabelece que: 
 
 
 
 
13.4. Equação da continuidade (de conservação da massa) para um volume de controle 
arbitrário: 
Se este teorema for aplicado à equação de conservação da massa, 
 
BURITIS / CARLOS LUZ / SILVA LOBO 
 
44 
 
 
 
13.4.1. Casos especiais: 
Em algumas situações, é possível simplificar a equação de conservação da massa. 
 
BURITIS / CARLOS LUZ / SILVA LOBO 
 
45 
 
 
A velocidade do escoamento varia em uma dada seção. Define-se a magnitude da velocidade 
média em uma seção como sendo a razão entre a vazão volumétrica e a área da seção, ou: 
 
BURITIS / CARLOS LUZ / SILVA LOBO 
 
46 
 
 
 
13.4.2. Vazão Mássica e Vazão Volumétrica: 
Seja um escoamento unidimensional, ou seja, um escoamento que pode ser descrito por apenas 
uma coordenada espacial s, função do tempo, ou seja, por s(t). 
 
Figura 29 – Escoamento Unidimensional. 
 
Seja m a massa fluida ocupando a área A no instante de tempo t: 
 
 
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47 
 
 
A vazão mássica e a vazão volumétrica podem ser relacionadas pela expressão: 
 
 
13.5. 1a Lei da Termodinâmica aplicada ao volume de controle: 
A primeira lei da Termodinâmica é uma afirmação da conservação da energia. Sua formulação 
para sistema é: 
 
 
A fim de deduzir a formulação para volume de controle, da primeira lei da termodinâmica, 
estabelecemos: 
N = E 
 
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48 
 
 
É importante ressaltar que a dedução da equação está além do escopo desta disciplina. Para 
maiores informações, recomenda-se consultar os livros de Mecânica dos Fluidos sugeridos. Na 
equação, é qualquer taxa de trabalho de eixo (potência) realizado sobre ou pelo 
volume de controle, é qualquer taxa de trabalho não considerada, como trabalho 
produzido por forças eletromagnéticas. 
 
 
 
 
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Exemplo: 
Ar entra em compressor a 14 psia, 80ºF com velocidade desprezível e é descarregado a 70 psia, 
500ºF, com velocidade de 500 pés/s, se a potência fornecida ao compressor for 3200 hp e a 
vazão em massa 20 lbm/s, determine a taxa de transferência de calor. 
� Resolução: Para calcular a taxa de transferência de calor precisamos recorrer à seguinte 
fórmula: 
 
 
 
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13.6. Equação de Bernoulli: 
Muitas vezes, deseja-se aplicar a equação de conservação da energia para o escoamento em 
regime permanente de um fluido incompressível no interior de uma tubulação, com apenas uma 
entrada e uma saída de massa. Para esta situação, a equação da energia pode ser simplificada. 
 
 
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51 
 
 
 
13.6.1. A Equação de Bernoulli para fluidos ideais: 
Para escoamentos de fluidos incompressíveis para os quais se pode desprezar os efeitos de 
atrito (fluidos ideais), têm que: 
 
 
A energia em qualquer ponto da massa fluida em um escoamento incompressível em regime 
permanente é constante. 
 
 
 
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52 
 
13.6.1.1. Visualização gráfica da equação de Bernoulli: 
Muitas vezes, é conveniente representar o nível de energia de um escoamento por meios 
gráficos. Cada termo na equação de Bernoulli, na forma apresentada tem dimensões de 
comprimento, ou carga do fluido em escoamento. Os termos individuais são: 
 
 
Para um fluido ideal sem trabalho de eixo, a energia mecânica total se conserva. A energia total 
por unidade de peso do fluido (ou carga total do escoamento). A linha energética representa a 
altura de carga total. Conforme mostrado na equação de Bernoulli, a altura da linha energética 
permanece constante para o escoamento sem atrito, quando nenhum trabalho é realizado sobre 
ou pelo fluido. A linha piezométrica representa a soma das alturas de carga devidas à elevação 
e à pressão estática. A diferença entre as alturas da linha energética e da linha piezométrica 
representa a altura de carga dinâmica (de velocidade). 
 
Figura 30 – Linhas Energética e Piezométrica para Escoamento Unidimensional em um 
Duto. 
 
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53 
 
 
 
 
13.6.2. Aplicações da Equação de Bernoulli: 
 
13.6.2.1. Teorema de Torricelli: 
Seja um recipiente de paredes delgadas com a área da superfície livre constante, contendo um 
fluido ideal, escoando em regime permanente através de um orifício lateral. 
 
Figura 31 – Escoamento de um Fluido Ideal em um Recipiente de Paredes Delgadas. 
 
 
 
 
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54 
 
Teorema de Torricelli: “A velocidade de um líquido jorrando por um orifício através de uma 
parede delgada é igual à velocidade que teria um corpo em queda livre de uma altura h.”. 
 
13.6.2.2. Medidores de vazão: 
Freqüentemente, é necessário medir a vazão que passa por uma tubulação. Existem diferentes 
dispositivos capazes de efetuar esta medição, divididos principalmente em duas classes: 
instrumentos mecânicos e instrumentos de perda de carga. Os instrumentos mecânicos medem 
a vazão real do fluido, retendo e medindo uma certa quantidade. Os dispositivos de perda de 
carga obstruem o escoamento, causando a aceleração de uma corrente fluida, como mostra na 
fig. 32 para um bocal genérico. 
 
Figura 32 – Escoamento Interno através de um Bocal Genérico mostrando o volume de 
controle usado para análise. 
 
A separação do escoamento na borda viva da garganta do bocal provoca a formação de uma 
zona de recirculação, como mostrado pelas linhas tracejadas a jusante do bocal. A corrente 
principal do escoamento continua a se acelerar após a garganta, formando uma vena contracta 
na seção 2 e, em seguida, desacelera-se para preencher toda a seção do tubo. Na vena 
contracta, a área de escoamento é mínima e a velocidade é máxima. 
 
A vazão teórica pode ser relacionada ao gradiente de pressão através da aplicação da equação 
de Bernoulli para fluidos ideais e da equação de conservação de massa. A equação de Bernoulli 
estabelece que 
 
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56 
 
No entanto, diversos fatores limitam a utilidade da equação anterior para o cálculo da vazão 
através do medidor. A área do escoamento real na seção 2 é desconhecida quando a vena 
contracta é pronunciada. Em geral, os perfis de velocidade não podem ser considerados 
uniformes na seção. Os efeitos de atrito podem se tornar importantes quando os contornos 
medidos são abruptos. Finalmente, a localização das tomadas de pressão influencia a leitura da 
pressão diferencial.A equação teórica é ajustada pela definição de um coeficiente de descarga empírico tal que: 
 
Deve ser observado que no cálculo da vazão real a área que deve ser utilizada é a área da 
garganta, e não a área do escoamento na seção 2. 
São apresentados na literatura valores para os coeficientes dos medidores de vazão, medidos 
com distribuições de velocidades turbulentas, completamente desenvolvidas na entrada do 
medidor. 
 
13.6.2.2.1. Tubo de Venturi: 
O tubo de Venturi é um dispositivo utilizado para medição da vazão ou da velocidade em uma 
tubulação. Consiste em uma redução da seção do escoamento, provocando um aumento de 
velocidade e uma queda na pressão. Em geral, os medidores são fundidos e usinados com 
pequenas tolerâncias, de modo a reproduzir o desempenho de projeto. A perda de carga total é 
baixa. Dados experimentais mostram que os coeficientes de descarga variam de 0,98 a 0,995 
para altos números de Reynolds (maiores que 2.105). Por isso, C= 0,99 pode ser usado para 
medir a vazão em massa com cerca de 1% de erro. Para menores números de Reynolds, a 
literatura dos fabricantes deve ser consultada. 
A diferença de pressão entre um ponto no escoamento e um ponto no estrangulamento é 
medida através de um líquido manométrico, como mostrado na fig. 33 
 
Figura 33 – Tubo de Venturi. 
 
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57 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13.6.2.2.2. Tubo de Pitot: 
Assim como o tubo de Venturi, o tubo de Pitot é um dispositivo utilizado para a medição de 
vazão ou a velocidade de um escoamento. Podem ser utilizadas 2configurações. Na primeira 
(Fig. 34), um tubo é inserido no escoamento. Ao entrar no tubo, a velocidade do fluido é 
reduzida a zero, sem atrito. Aplicando-se a equação de Bernoulli: 
 
 
 
 
 
 
Figura 34 – Medição de pressão estática – Tubo de Pitot. 
 
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Na segunda configuração, é inserido um fluido manométrico, no qual será lida a diferença de 
cotas (Fig. 35). Aplicando-se a equação de Bernoulli ao fluido A, 
 
Figura 35 – Tubo de Pitot com fluido manométrico. 
 
 
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59 
 
 
 
13.6.2.2.3. Placa de orifício: 
A placa de orifício é uma placa fina que pode ser colocada entre flanges. Como a sua geometria 
é simples, é de baixo custo e de fácil instalação e reposição. As principais desvantagens são a 
sua capacidade limitada e a elevada perda de carga. As tomadas de pressão podem ser 
posicionadas em diversos locais. Como a localização das tomadas influencia o coeficiente de 
descarga, valores consistentes devem ser selecionados de manuais. A equação de correlação 
recomendada para um orifício concêntrico com tomadas de canto (fig.36) é: 
 
 
 
 
 
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60 
 
 
Figura 36 (a) – Geometria de orifício e localização de tomadas de pressão – Placa de 
orifício. 
 
Equações de correção similares estão disponíveis para placas de orifícios com tomadas de 
flange e com tomadas de pressão D e D/2. 
 
Figura 36 (b) – Placa de Orifício. 
 
 
 
 
 
 
 
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61 
 
A1 = área da seção reta do tubo. 
A3 = área da seção reta à entrada do orifício (montante). 
A2 = área da seção reta à saída do orifício (jusante). 
 
Aplicando a equação de Bernoulli entre A1 e A2, temos: 
 
 
Para obtermos a vazão real, devemos considerar o coeficiente de velocidade “CV” responsável 
pelas perdas por atrito e choques no orifício, então: 
 
 
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62 
 
 
 
 
13.6.2.2.4. Pressão de estagnação: 
É obtida quando um fluido em movimento é desacelerado até a velocidade zero por meio de um 
processo sem atrito. 
 
Figura 37 – Medições simultâneas das pressões de estagnação e estática. 
 
 
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63 
 
P: pressão estática (é a pressão termodinâmica, é aquela pressão que seria medida por um 
instrumento movendo-se com o escoamento). 
 
 
13.7. Equação de Bernoulli para fluidos reais – perda de carga: 
 
 
Este último termo é denominado perda de carga, (∆HP) que é a energia por unidade de peso do 
líquido, dissipada em forma de calor devido à viscosidade e ao desvio de massa pelos 
acessórios e, quando turbulento o regime de escoamento, pela rugosidade. 
 
13.7.1. Visualização gráfica da equação de Bernoulli para fluidos reais: 
 
 
Figura 38 – Linhas Energética e Piezométrica para Escoamento de um Fluido Real. 
 
 
BURITIS / CARLOS LUZ / SILVA LOBO 
 
64 
 
 
A perda de carga entre duas seções quaisquer do escoamento pode ser calculada através de 
relações empíricas que dependem principalmente do regime de escoamento e da rugosidade 
relativa do duto. 
 
 
13.7.2. Tipos de perda de carga: 
 
13.7.2.1. Perdas de carga contínuas: ocorre nos trechos retos. 
 
 
 
BURITIS / CARLOS LUZ / SILVA LOBO 
 
65 
 
O principal problema consiste então na determinação do fator de atrito. Basicamente, ele 
depende da rugosidade (ε) e do diâmetro da tubulação (D), da velocidade média do 
 
escoamento) e das propriedades do fluido (ρ e µ). Através da análise dimensional, 
obtém-se que o fator de atrito é função de 2 adimensionais: a rugosidade relativa (k/D ou ε/D) e 
o número de Reynolds. 
O adimensional de Reynolds, ou Re é dado por: 
 
 
 
O fator de atrito depende do regime de escoamento. Para escoamentos laminares, o fator de 
atrito pode ser calculado por: 
 
 
Para escoamentos turbulentos, a determinação do fator de atrito é mais complicada. A 
expressão mais largamente utilizada é a de Colebrook: 
 
 
No entanto, a expressão anterior é transcendental, ou seja, deve ser resolvida por um 
procedimento iterativo. Miller sugere um valor inicial para o fator de atrito (f0), dado por: 
 
 
BURITIS / CARLOS LUZ / SILVA LOBO 
 
66 
 
Substituindo-se o resultado da equação de Miller na equação de Colebrook, pode-se determinar 
um valor para o fator de atrito com cerca de 1% de erro. 
Os valores do fator de atrito, para escoamentos laminares e turbulentos, foram determinados 
experimentalmente para uma série de valores de Re e de (k/D ou ε/D) e sumarizados em um 
ábaco (Fig.38), denominado Ábaco de Moody. 
Moody apresenta também uma tabela (Tab.3) para determinação da rugosidade absoluta (ε) em 
tubos, para alguns materiais comuns de engenharia. 
 
 
 
BURITIS / CARLOS LUZ / SILVA LOBO 
 
67 
 
 
(KIWTC������‚DCEQ�FG�/QQF[��
 
BURITIS / CARLOS LUZ / SILVA LOBO 
 
68 
 
 
Figura 40 – Determinação da Rugosidade Relativa. 
 
BURITIS / CARLOS LUZ / SILVA LOBO 
 
69 
 
13.7.2.2. Perdas de carga localizadas: 
Em um sistema real, muitas vezes o escoamento é obrigado a passar por uma série de 
acessórios, conexões, curvas ou mudanças abruptas de seção e direção. Ao passar por estes 
obstáculos, o escoamento perde energia e tem sua pressão diminuída. As perdas de carga 
locais foram determinadas experimentalmente e modeladas segundo duas equações diferentes. 
 
1o método: Método direto 
 
k: é o coeficiente de perda local (característica do acessório – Fig. 41) 
 
(KIWTC����–?�8CNQTGU�CRTQZKOCFQU�FG�M��
 
BURITIS / CARLOS LUZ / SILVA LOBO 
 
70 
 
2o método: Método dos comprimentos equivalentes 
 
Consiste em transformar o acessório em trecho reto com o mesmo diâmetro e material.Figura 42 – Comprimentos Equivalentes para Tubulações de Ferro fundido e Aço. 
 
A entrada do escoamento em tubos pode causar uma perda de carga considerável, se for mal 
projetada. Na Tab. 4, são apresentadas 3 geometrias básicas de entradas. Para saídas, o 
coeficiente de perda local vale 1,0. 
 
BURITIS / CARLOS LUZ / SILVA LOBO 
 
71 
 
Tabela 4 – Coeficiente de Perda de Carga para Entrada de Tubos. 
 
Toda energia cinética do fluido é dissipada pela mistura quando o escoamento descarrega de 
um tubo em um grande reservatório ou câmara (saída submersa). Assim, para uma saída 
submersa, o coeficiente de perda é igual a α, não importando a geometria. 
Um escoamento pode ainda sofrer uma expansão ou contração abrupta. Para este caso, a Tab. 
5 apresenta os coeficientes de perda de carga, em função da razão de área AR (razão entre a 
menor e a maior área da contração ou expansão). 
 
Tabela 5 – Coeficientes de Perda de Carga para Contração e Expansão. 
 
Para uma expressão abrupta, o coeficiente de perda de carga pode ser modelado pela equação: 
 
 
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72 
 
As perdas decorrentes da variação de área podem ser reduzidas pala instalação de um bocal ou 
um difusor entre as duas seções de tubo reto. Um bocal é um dispositivo utilizado para a 
redução gradual da seção do escoamento (Fig.43). A Tab. 6 apresenta os coeficientes de perda 
de carga para bocais, para diferentes razões de área e para diferentes ângulos θ. 
 
Figura 43 – Redução de Área – Bocal. 
 
Tabela 6 – Coeficientes de Perda de Carga para Redução Suave da Seção 
 
As perdas em difusores (expansão gradual da seção do escoamento) dependem de diversas 
variáveis geométricas e do escoamento. Como um difusor provoca um aumento da pressão 
estática do escoamento (redução da velocidade média), o coeficiente de perda é comumente 
apresentado em termo de um coeficiente de recuperação de pressão, CP: 
 
O coeficiente de perda é dado por 
 
Definindo-se um coeficiente ideal de recuperação de pressão, CPi, como o coeficiente de 
recuperação que existiria se os efeitos de atrito fossem desprezados. 
 
 
 
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73 
 
A Fig. 44 apresenta os coeficientes de carga para difusores, em função do ângulo total do 
difusor. 
 
Figura 44 – Coeficiente de Perda de Carga para um Difusor. 
 
Deve ser observado que as perdas de carga são obtidas ao se multiplicar o coeficiente de perda 
por (U2/2g). No entanto, em uma redução ou aumento de seção, há duas velocidades diferentes; 
a da maior e a da menor seção. Para estes casos, sempre deve ser usado o maior valor de 
velocidade. 
As perdas de carga em escoamentos através de válvulas e conexões também podem ser 
escritas em termos de comprimentos equivalentes de tubos retos. Estes valores, para cada um 
dos acessórios, são mostrados na Tab. 7. 
Tabela 7 – Comprimento Equivalente Adimensional para Válvulas e Conexões. 
 
 
BURITIS / CARLOS LUZ / SILVA LOBO 
 
74 
 
 
Válvulas são dispositivos destinados a estabelecer, controlar e interromper a descarga de fluidos 
em tubulações. Algumas garantem a segurança da instalação e outras permitem desmontagens 
para reparos ou substituições de elementos da instalação. Existe uma grande variedade de tipos 
de válvulas, cuja escolha depende da natureza da operação a realizar, das propriedades físicas 
e químicas do fluido considerado, da pressão e da temperatura do escoamento e da forma de 
acionamento pretendida. 
As válvulas de gaveta (Fig.45) são válvulas mais empregadas para escoamento de líquidos. 
Possuem custo relativamente reduzido e permitem a redução da vazão do escoamento através 
do volante situado na parte superior do corpo da válvula. Quando o volante é girado, a válvula 
desliza para baixo na seção. 
 
Figura 45 – Válvula de gaveta. 
 
As válvulas de esfera são válvulas de uso geral, de fechamento rápido, muito usadas para ar 
comprimido, vácuo, vapor, gases e líquidos. O controle do fluxo é feito por meio de uma esfera, 
possuindo uma passagem central e localizada no corpo da válvula. O comando é, em geral, 
manual, com auxílio de uma alavanca. Estas válvulas não se aplicam, a casos em que se 
pretende variar a vazão, mas apenas abrir ou fechar totalmente a passagem do fluido. 
 
 
BURITIS / CARLOS LUZ / SILVA LOBO 
 
75 
 
As válvulas globo (Fig. 46) possuem uma haste parcialmente rosqueada em cuja extremidade 
existe um alargamento, tampão ou disco para controlar a passagem do fluido por orifício. 
Servem para regular a vazão, pois podem trabalhar com tampão da vedação do orifício em 
qualquer posição, embora acarretem grandes perdas de carga, mesmo com abertura máxima. 
 
Figura 46 – Válvula Globo. 
As válvulas de retenção (Fig.47) permitem o escoamento em um só sentido. Quando há a 
tendência de inversão no sentido do escoamento, fecham automaticamente pela diferença de 
pressão provocada. 
 
Figura 47 – Válvula de Retenção. 
Existe um número muito grande de dados experimentais para as perdas da carga localizadas. 
Os valores apresentados constituem uma compilação dos dados da literatura, proposta por Fox 
e McDonald (2001). Eles devem ser considerados como dados representativos para algumas 
situações comumente encontradas. Para válvulas, o projeto irá variar significativamente, 
dependendo do fabricante. Sempre que possível, os valores fornecidos pelos fabricantes 
deverão ser utilizados para a obtenção de dados mais precisos. Além disso, como as perdas de 
carga introduzidas por acessórios e válvulas irão variar consideravelmente, dependendo dos 
 
BURITIS / CARLOS LUZ / SILVA LOBO 
 
76 
 
cuidados tomados durante a fabricação da tubulação. Rebarbas do corte de trechos de tubos, 
por exemplo, poderão causar obstruções locais, com aumento considerável das perdas. 
 
13.8. Potência fornecida por uma bomba 
Se for necessário transportar um fluido de um ponto a outro situado em uma posição mais 
elevada, pode-se utilizar uma bomba. A bomba fornecerá ao fluido uma quantidade de energia 
por unidade de peso do fluido Hman. 
 
Figura 48 – Elevação de um Fluido com uma Bomba. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hman: é a energia por unidade de peso do fluido fornecida pela bomba (altura manométrica). É a 
energia fornecida a cada kgf de líquido para que partindo do reservatório inferior atinja o 
 
BURITIS / CARLOS LUZ / SILVA LOBO 
 
77 
 
reservatório superior, vencendo a diferença de pressão entre os reservatórios, a altura de 
desnível geométrico e a perda de carga DIM[L]. 
No entanto, a energia disponível para a bomba é diferente da energia transferida pela bomba 
para o fluido. Uma parte da energia é perdida por fugas de massa e por dissipação por atrito no 
interior da bomba. A eficiência da bomba é definida então como sendo a razão entre a energia 
disponível para o fluido e a energia disponível para a bomba, ou seja, a razão entre a potência 
real da bomba e a sua potência ideal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Um conjunto elevatório esquematizado na figura abaixo trabalha nas seguintes 
condições: 
- Vazão = 100 l.s-1 
- Material = Ferro fundido 
- Rendimento total = 75% 
- Diâmetro da tubulação de recalque = 200 mm 
- Diâmetro da tubulação de sucção = 250 mm 
 
Determinar: 
 
a) Perda de carga na linha de sucção em (m). 
b) Perda de carga na linha de recalque em (m). 
c) Altura manométrica em (m). 
d) Potência da bomba de acionamento em (cv). 
 
 
 
BURITIS / CARLOS LUZ / SILVA LOBO 
 
78 
 
 
Figura 49 – Conjunto elevatório referente ao exemplo acima 
 
Resolução: Para calcularmos os itens acima, iremos dividir em dois blocos: Sucção e Recalque.BURITIS / CARLOS LUZ / SILVA LOBO 
 
79 
 
 
* Obtenção do fator de atrito: 
Pelo fato do número de Reynolds ter sido maior que 4.000 o escoamento se caracteriza 
turbulento. 
 
BURITIS / CARLOS LUZ / SILVA LOBO 
 
80 
 
 
 
BURITIS / CARLOS LUZ / SILVA LOBO 
 
81 
 
14. Transferência de Calor 
 
14.1. Introdução 
Sempre que existir um gradiente de temperatura no interior de um sistema ou dois sistemas a 
diferentes temperaturas colocadas em contato, haverá transferência de energia por calor. 
A transferência de calor é o trânsito de energia provocado por uma diferença de temperatura, no 
sentido da temperatura mais alta para a mais baixa. 
 
Figura 50 - Transferência de calor. 
 
Os processos de transferência de calor devem obedecer às leis da Termodinâmica: 
1a Lei da Termodinâmica: A energia não pode ser criada ou destruída, mas apenas 
transformada de uma forma para outra. 
2a Lei da Termodinâmica: É impossível existir um processo cujo único resultado seja a 
transferência de calor de uma região de baixa temperatura para outra de temperatura mais alta. 
 
14.2. Modos de Transferência de Calor: 
Os diferentes processos através dos quais o calor é transmitido são chamados modos. Os 
modos de transferência de calor são: condução, convecção e radiação. 
 
14.2.1. Condução: 
Transferência de calor que ocorre em um meio estacionário, que pode ser um sólido ou um 
fluido. É um processo pelo qual o calor flui de uma região de temperatura mais alta para outra de 
temperatura mais baixa dentro de um meio (sólido, líquido ou gasoso) ou entre meios diferentes 
em contato físico direto. A energia é transferida através de comunicação molecular direta, sem 
apreciável deslocamento das moléculas. 
 
 
 
 
BURITIS / CARLOS LUZ / SILVA LOBO 
 
82 
 
 
Figura 51 – Associação da transferência de calor por condução à difusão da energia provocada 
pela atividade molecular. 
 
14.2.2. Convecção: 
Transferência de calor que ocorre entre uma superfície e um fluido em movimento, quando 
estiverem em temperaturas diferentes. É um processo de transferência de energia através da 
ação combinada de condução de calor, armazenamento de energia e movimentação da mistura. 
É importante principalmente como mecanismo de transferência de energia entre uma superfície 
sólida e um fluido. 
 
Figura 52 – Processos de transferência convectiva de calor. (a) Convecção natural. (b) 
Convecção forçada. 
14.2.3. Radiação: 
Energia emitida na forma de ondas eletromagnéticas por uma superfície a uma temperatura 
finita. É a energia emitida por toda matéria que se encontra a uma temperatura não nula. O calor 
radiante é emitido por um corpo na forma de impulsos, ou quantas de energia. 
 
BURITIS / CARLOS LUZ / SILVA LOBO 
 
83 
 
 
 
Figura 53 – Troca radiativa entre uma superfície e as suas vizinhanças. 
A radiação térmica é a energia eletromagnética propagada na velocidade da luz, emitida pelos 
corpos em virtude de sua temperatura. Os átomos, moléculas ou elétrons são excitados e 
retornam espontaneamente para os estados de menor energia. Neste processo, emitem energia 
na forma de radiação eletromagnética. Uma vez que a emissão resulta de variações nos estados 
eletrônicos, rotacional e vibracional dos átomos e moléculas, a radiação emitida é usualmente 
distribuída sobre uma faixa de comprimentos de onda. Estas faixas e os comprimentos de onda 
representando os limites aproximados são mostrados na Fig. 54. 
 
Figura 54 – Troca radiativa entre uma superfície e as suas vizinhanças. 
 
14.3. Leis Básicas da Transferência de Calor: 
 
Equações de Taxa 
 
BURITIS / CARLOS LUZ / SILVA LOBO 
 
84 
 
Todos os processos de transferência de calor podem ser quantificados através da equação de 
taxa apropriada. A equação pode ser usada para se calcular a quantidade de energia transferida 
por unidade de tempo. 
A taxa de energia é denotada por q, e tem unidade de (W – Watt) no sistema internacional. 
Outra maneira de se quantificar a transferência de energia é através do fluxo de calor, q" , que é 
a taxa de energia por unidade de área (perpendicular à direção da troca de calor). No sistema 
internacional, a unidade do fluxo é (W/m2). 
 
14.3.1. Condução 
Equação de taxa: Lei de Fourier 
 
A taxa de calor pode ser obtida multiplicando-se o fluxo de calor pela área perpendicular à 
direção da transferência de calor, 
qcond = −kA dT 
 dx 
O sinal negativo aparece porque o calor está sendo transferido na direção da temperatura 
decrescente. A lei de Fourier se aplica a todos os estados da matéria (sólidos, líquidos e gases), 
desde que estejam em repouso. 
Seja a transferência unidimensional de calor em uma parede plana (Figura 55). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 55 – Transferência de Calor em uma Parede Plana. 
 
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85 
 
Considere que, na parede mostrada na figura 55, a superfície em x = 0 se encontra a uma 
temperatura T1 e a superfície em x = L se encontra a T2. A transferência de calor é, portanto, 
unidimensional (direção x). Para regime permanente sem geração interna de calor, pode-se 
considerar que a distribuição de temperaturas no interior da parede é linear. Assim, o gradiente 
de temperatura pode ser dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
1) Uma parede de concreto, área superficial de 20 m2 e espessura de 0.30 m, separa uma sala 
de ar condicionado do ar ambiente. A temperatura da superfície interna da parede é mantida a 
25ºC, e a condutividade térmica do concreto é 1W/m.K. Determine a perda de calor através da 
parede para as temperaturas ambientes internas de – 15 ºC e 38 ºC que correspondem aos 
extremos atingidos no inverno e no verão. 
 
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14.3.2. Convecção 
Equação de taxa: Lei de Resfriamento de Newton 
 
Figura 56 – Transferência Convectiva de Calor. 
 
 
 
BURITIS / CARLOS LUZ / SILVA LOBO 
 
87 
 
 
 
 
Exemplo: 
1) Um circuito integrado (chip) quadrado com lado w = 5 mm opera em condições isotérmicas. O 
chip está alojado no interior de um substrato de modo que suas superfícies laterais e inferior 
estão bem isoladas termicamente, enquanto sua superfície superior encontra-se exposta ao 
escoamento de uma substância refrigerante a T∞ = 15ºC. 
A partir de testes de controle de qualidade, sabe-se que a temperatura do chip não deve 
exceder a T= 85ºC. Se a substância refrigerante é o ar, com coeficiente de transferência de calor 
por convecção correspondente de h= 200 W/m2.K. Determine a potência máxima que pode ser 
dissipada pelo chip. 
 
 
 
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14.3.3. Radiação 
Lei de Stefan-Boltzmann 
A radiação com comprimento de onda de aproximadamente 0,2 µm a 1000 µm é chamada 
radiação térmica e é emitida por todas as substâncias em virtude de sua temperatura. 
O fluxo máximo que pode ser emitido por uma superfície é: 
q“rad =σTs4 
 
onde: q”rad: Energia emitida por unidade de área da superfície (W/m2) 
Ts: Temperatura absoluta da superfície (K) 
σ: Constante de Stefan-Boltzmann (5,67x10-8W/m2K4) 
 
Uma superfície capaz de emitir esta quantidade de energia é chamada um radiador ideal ou um 
corpo negro. Um corpo negro pode ser definido também como um perfeito absorvedor de 
radiação. Toda a radiação incidente sobre um corpo negro (independentemente do comprimento 
de onda ou da direção) será absorvida. Embora um corpo negro não exista na natureza, alguns 
materiais se aproximam de um corpo negro. Por exemplo, uma camada fina de carbono preto 
pode absorver aproximadamente 99% da radiação térmica incidente. 
A