EEL002_trifásicos_total

Prévia do material em texto

Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
 
 
 
EEL002 
CONVERSÃO 
ELETROMECÂNICA DE 
ENERGIA 
 
TEORIA 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
1 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
 
CIRCUITOS TRIFÁSICOS 
 
 
1 Geração de F.E.M.s Senoidais 
 
1.1 Monofásicas 
 
Da física tem-se que, quando um condutor é colocado em um campo magnético, desde 
que haja uma variação deste campo no condutor, será induzida no mesmo uma força 
eletromotriz - f.e.m. - dada pela equação: 
 
( tEe MÁX ⋅⋅= )ωsen (1) 
onde: 
ωBSEMÁX = 
sendo: 
B - Indução ou Densidade de fluxo 
S - Área da espira 
ω - freqüência angular 
 
 Esta situação fica melhor esclarecida através da figura abaixo: 
 
 
Figura 1 – Geração de f.e.m. senoidal. 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
2 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
 No caso da figura 1 a variação do campo magnético se dá pelo fato do condutor estar 
girando embora os pólos indutores (N e S) permaneçam fixos. 
 
Mas no caso de geradores reais, pode ocorrer que o condutor esteja fixo e os pólos 
serem girantes, havendo, portanto, como anteriormente, uma variação de campo 
magnético sobre o condutor. A figura 2 ilustra: 
 
ω
-
+
a a'
N S
a a' - representa o
condutor (ou espira)
 
Figura 2 - Esquemático de um gerador monofásico. 
 
Em realidade no gerador monofásico real não existe um único condutor, mas uma série 
deles ligados entre si, de forma que tenhamos dois terminais, o que caracteriza o sistema 
monofásico. 
 
 
1 Trifásicas 
 
As f.e.m.s trifásicas são geradas da mesma forma que as monofásicas. Um sistema 
trifásico nada mais é que um conjunto de três sistemas monofásicos que estão defasados 
entre si de 120º elétricos (defasagem dos fasores das f.e.m.s); para tanto os condutores 
(espiras) estão conectados convenientemente como mostra a figura 3 a seguir. 
Pelo sentido de giro dos pólos indutores (NS) na figura 3, teremos que na espira bb’ 
haverá a indução de f.e.m. cujo valor máximo ocorre 120º após a ocorrência do valor 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
3 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
máximo da f.e.m. da espira aa' e o valor máximo da f.e.m. da espira cc' ocorrerá 240º 
após o da f.e.m. da espira aa', de forma que pode-se escrever: 
-
+
a
N
S
b'
c
a'
b
c'
ω
 
Figura 3 - Esquemático de um gerador trifásico. 
 
 
)
3
4sen(
)
3
2sen(
)sen(
'
'
'
πω
πω
ω
−⋅=
−⋅=
⋅=
tEe
tEe
tEe
MÁXcc
MÁXbb
MÁXaa
 (2) 
ou 
)
3
2sen(
)
3
2sen(
)sen(
'
'
'
πω
πω
ω
+⋅=
−⋅=
⋅=
tEe
tEe
tEe
MÁXcc
MÁXbb
MÁXaa
 (3) 
 
Nota: Atente-se ao fato de que nos geradores trifásicos reais aa', bb' e cc' são bobinas 
constituídas de diversas espiras e que ocupam todo o espaço, diferentemente daquilo 
mostrado no modelo da Figura 3. 
 
A partir do conjunto de equações (2) ou (3) pode-se fazer a representação fasorial das 
f.e.m.s como a seguir: 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
4 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
D0
'
j
aa EeE =
•
 
120
'
j
bbE Ee
• −= D (4) 
240 120
'
j j
ccE Ee Ee
• −= =D D 
onde: 2
MAXEE = 
 
2 Seqüência de Fases 
 
O conjunto de equações (2) e (3) são válidas para o indutor (pólos indutores) girando no 
sentido indicado na figura 3. Entretanto o mesmo poderia girar em sentido contrário e 
então 
)
3
2sen(
)
3
2sen(
)sen(
'
'
'
πω
πω
ω
−⋅=
+⋅=
⋅=
tEe
tEe
tEe
MÁXcc
MÁXbb
MÁXaa
 (5) 
cujos fasores seriam: 
D0
'
j
aa EeE =
•
 (6) 
D120
'
j
bb EeE =
•
120
'
j
ccE Ee
• −= D
Fazendo , têm-se os seguintes diagramas fasoriais, 
correspondendo a chamada seqüência de fases direta ou positiva - equações (4) - e 
seqüência de fases inversa ou negativa - equações (6): 
3'2'1' ,,
•••••• === EEEEEE ccbbaa
 
Figura 4 - Seqüência de fases. 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
5 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
 
3 F.E.M.s de Fase e de Linha 
 
3.1 F.E.M.s Geradas por Gerador Conectado em Y (Estrela) 
 
Como foi dito anteriormente o sistema trifásico nada mais é que a combinação de três 
sistemas monofásicos defasados entre si de 120º. A representação de tal assertiva pode 
ser feita como abaixo: 
a
a'
b
b'
c
c'
 
Figura 5 - Três sistemas monofásicos. 
 
Em termos práticos é interessante, todavia, que, por exemplo, ligue-se os 
terminais a', b' e c' entre si resultando em: 
 
 a' ≡ b' ≡ c'
 fase c
fase a
 fase b
a
c
b
neutro
 
Figura 6 - Gerador Trifásico em Y. 
 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
6 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
À conexão da figura 6 dá-se o nome de conexão Estrela e representa-se por Y. Ainda 
mais, o ponto de coincidência entre a', b' e c' é chamado de ponto neutro e o condutor 
dali retirado é chamado de fio neutro ou simplesmente neutro. Os condutores retirados 
dos terminais a, b e c, são chamados de, respectivamente, fase a, fase b e fase c. 
A partir daí pode-se construir o diagrama de fasores das f.e.m.s geradas em cada bobina, 
ou seja: 
 
 
 
Figura 7 - Diagrama fasorial para as f.e.m.s de fase. 
OBS.: A seqüência de fases 
adotada é a direta 
Ean
Ecn
Ebn
 
As f.e.m.s acima representadas são aquelas entre fase e neutro, ou seja são as f.e.m.s nas 
próprias bobinas. Entretanto, em termos práticos é bastante comum o interesse e a 
necessidade das f.e.m.s entre, por exemplo, a fase a e a fase b, daí pode-se obter: 
abE
•
 - f.e.m. entre as fases a e b 
caE
•
 - f.e.m. entre as fa
E agora define-se: 
cnbnan EeEE
•••
, - f.e.m.s entre fase e neutro
cabcab EeEE
•••
, - f.e.m.s entre fases ou f.e.
 
 
 
 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida 
 
7 / 110 
 - f.e.m. entre as fases bcE
•
b e c
ses c e a
 ou f.e.m.s DE FASE 
m.s DE LINHA 
 Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
Por outro lado, a análise da Figura 6 mostra: 
abbanbnabnan
nbbn
naan
EEEEEEEEE
EEE
EEE
•••••••••
•••
•••
−
=−=+−−=−
−−=
−=
)( 
 
Logo: 
 
bnanab EEE
••• −= 
 
Analogamente: 
 
cnbnbc EEE
••• −= e ancnca EEE ••• −=
 
Como 
 
cnncbnnbanna EEeEEEE
•••••• −=−=−= , então pode-se escrever: 
ab an nb
bc bn nc
ca cn na
E E E
E E E
E E E
• • •
• • •
• • •
= +
= +
= +
 (7) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
8 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
 
 
A união do conjunto de equações (7) com a figura 7, leva-nos a:E 
 E 
 E 
 E 
 E 
 E E E 
 E 
ca cn nb ab
an
nc
bn
na 
bc
Figura 8 – Diagrama Fasorial para as f.e.m.s de fase e de linha - Conexão Y. 
 
Se se tomar, de acordo com a figura 8, as f.e.m.s de fase como sendo: 
 
º120
º120
º0
j
cn
j
bn
j
an
eEE
eEE
eEE
=
=
=
•
−•
•
 
 
Tem-se, por exemplo: 
 
[ ]
[ ]
0º 60º
30º
cos 0º sen 0º cos 60º sen 60º
1 3 3 3 3 11 0 3
2 2 2 2 2 2
3 cos30º sen 30º
3
j j
ab an nb
j
ab
E E E E e E e E j j
E j j E j E j
E j
E Ee
• • •
•
= + = + = + + +
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + = + = + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= +
=
∴ =
 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
9 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
 
 
Desenvolvimentos análogos levariam a: 
º150
º90
3
3
j
ca
j
bc
eEE
eEE
=
=
•
−•
 
 
Portanto: 
 
"F.e.m.s de linha são, na conexão Y, 3 vezes maior que as de fase e estão 
desfasadas das mesmas, na seqüência de fases direta, de 30º ”, ou 
 
º303 jfL eEE +
•• = (8) 
 
onde: - f.e.m. de linha LE
•
fE
•
 - f.e.m. de fase correspondente 
 
 
3.2 F.E.M.S Geradas por Gerador Conectado em ∆ (Delta ou Triângulo) 
 
Agora, poder-se-ia tomar as três bobinas da figura 5 e ligá-las da seguinte forma: 
 
 a(≡b')
 b(≡c')
 c(≡a')
 fase c
 fase a
 fase b 
Figura 9 – Gerador Trifásico ligado em ∆ 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
10 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
À conexão da figura 9 dá-se o nome de conexão Triângulo ou Delta e representa-
se por ∆. Note que as f.e.m.s de linha, neste caso, são as próprias f.e.m.s geradas 
nas bobinas, logo: 
 
"F.e.m.s de linha são, na conexão ∆, as próprias f.e.m.s de fase" 
 
Pode-se , por exemplo, fazer a seguinte representação fasorial, tomando na 
referência: 
abE
•
 E
 E
 E
ca
ab
bc 
Figura 10 – Diagrama Fasorial para as f.e.m.s de fase e de linha – Conexão ∆ 
 
 
4 Cargas Trifásicas 
 
As cargas elétricas podem ser classificadas segundo diversas formas, a saber: 
 
4.1 Tipos de Carga Quanto ao Ângulo 
º0,) ==→ ϕϕjeZZa 
Sendo ϕ = 0º, não haverá defasagem entre a tensão aplicada a esta 
impedância e a corrente que por ela circula, tem-se então a chamada carga 
Puramente Resistiva. 
ϕϕ sencos jZZZ +=→ 
fazendo Z cosϕ = R 
Z senϕ = X, 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
11 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
 
logo jXRZ +=→
entretanto ϕ = 0º, portanto R = Z e X = 0, logo: 
RZ =→ 
º90,) ==→ ϕϕjeZZb 
Sendo ϕ = 90º a corrente na impedância estará defasada de 90º em atraso com 
relação à tensão aplicada à mesma, tem-se então a chamada carga Puramente 
Indutiva. 
ϕϕ sencos jZZZ +=→ 
sendo Z cosϕ = R 
Z senϕ = X, vem jXRZ +=→
Como ϕ = 90º, tem-se R = 0 e X = Z, portanto: 
jXZ =→ 
 
º90,) −==→ ϕϕjeZZc 
Sendo ϕ = -90º, a corrente nesta impedância estará defasada de 90º adiantada 
com relação à tensão na impedância, tem-se então a chamada carga Puramente 
Capacitiva. 
ϕϕ sencos jZZZ +=→ 
sendo Z cosϕ = R e Z senϕ = X, vem jXRZ +=→
Porém, sendo ϕ = -90º, tem-se R = 0 e -X = Z, portanto: 
 jXZ −=→
º90º0,) <<=→ ϕϕjeZZd 
 
Neste caso, a impedância faz com que haja um defasamento da corrente para a 
tensão de –90º < ϕ < 0º, portanto a carga é do tipo Resistiva e Indutiva. 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
12 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
ϕϕ sencos jZZZ +=→ jXRZ +=∴ → 
R - parte Resistiva X - parte Indutiva 
Como 0º< ϕ < 90º, vem: 
jXRZ +=→ 
 
º0º90,) <<−=→ ϕϕjeZZe 
Agora o defasamento da corrente com relação a tensão será de 0º < ϕ < 90º,. 
logo a carga é do tipo: Resistiva e Capacitiva. 
ϕϕ sencos jZZZ +=→ jXRZ +=→
Como -90º< ϕ < 0º: 
jXRZ −=→ 
R - parte Resistiva X - parte Capacitiva 
 
f) Carga com R, L, C 
Este caso não é independente dos outros, pois dependendo das particularidades 
da impedância em estudo tem-se ou o caso a) ou o d) ou o e).
 
 
f.1) R, L, C com equivalência de aspectos. 
Se o aspecto indutivo da carga for equivalente a seu aspecto capacitivo, 
tem-se a chamada ressonância, e então a carga será "vista" como sendo 
simplesmente uma resistência, logo tem-se o caso a). 
 
f.2) R,L,C, com preponderância do aspecto indutivo. 
Se o aspecto indutivo da carga for preponderante ao aspecto capacitivo, a 
carga será "vista" como sendo resistiva e indutiva e portanto aplica-se o 
caso d). 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
13 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
 
f.3) R,L,C, com preponderância do aspecto capacitivo. 
Por outro lado, se o aspecto capacitivo da carga for preponderante ao 
indutivo, a mesma será "vista” como sendo resistiva e capacitiva, logo 
tem-se o caso e). 
 
Todos estes casos são melhores visualizados através dos diagramas de 
fasores de tensões e correntes: 
I
R Z = RV
V
I
Caso a
 
 
I
L Z = j XLV
V
I
Caso b
 
 
 
 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
14 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
I
C Z = - j XC
V
V
ICaso c
 
I
L Z = j X
L
V
V
I
Caso d
R Z = R ϕ
ϕ = tg -1 X
R
 
I
V
V
I
Caso e
R Z = R
ϕ
C Z = -jXC
 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
15 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
 
 
 
4.2 Tipos de Cargas Quanto à Conexão 
 
No item anterior, viu-se todos os tipos de cargas possíveis, quanto a variação do 
ângulo da impedância. Agora , dependendo da forma como são conectadas, tem-se 
as possibilidades existentes nos sistemas trifásicos. 
Tomadas três impedâncias quaisquer, estas podem ser ligadas como a seguir: 
 
a) Carga em Delta ou Triângulo (∆) 
b
c
a
Z3 Z1
Z2
a cb
Z3 Z1 Z2ou
 
Figura 12 - Carga trifásica ligada em ∆. 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
16 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
ou como abaixo: 
 
b) Carga em Estrela (Y) 
b
c
a
Z3
Z1
Z2
a cb
Z3 Z1 Z2ou
n
n
 
Figura 13 - Carga trifásica ligada em Y. 
 
 
4.3 Tipos de Cargas Quanto à Igualdade ou não das Impedâncias - Cargas 
Equilibradas e Desequilibradas 
 
Se as três impedâncias das figuras 12 ou 13, forem de tal forma que: 
321
→→→ == ZZZ - diz-se que a carga é Equilibrada. 
 
Por outro lado, se: 
 
321
→→→ ≠≠ ZZZ ou ou ou , diz-se que 
a Carga é Desequilibrada. 
321
→→→ =≠ ZZZ 321 →→→ ≠= ZZZ 231 →→→ ≠= ZZZ
 
OBS.: Para os objetivos deste trabalho, sempre serão consideradas carga 
equilibradas. 
 
 
 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
17 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidadeda Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
 
5 Correntes de Linha e de Fase 
 
Seja um gerador alimentando uma carga como na figura a seguir, 
ZC
ZCZC
Ic
Ib Ia
a
b
c
C
A
Zg
Zg
Zg
B
Gerador Carga
IA
IB
IC
INN
 
Figura 14 - Gerador em Y alimentando carga em Y. 
 
Na figura 14, tem-se: 
- Gerador Trifásico Y 
- Carga Trifásica Y 
- Zc - Impedância da carga 
- Zg - Impedância do gerador 
- - correntes do gerador para a carga (correntes de linha) CBA III
•••
,,
- - corrente da carga para o gerador nI
•
- - correntes na carga (correntes de fase) cba III
•••
,,
 
As correntes nas linhas que chegam à carga , são chamadas de correntes de 
linha 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ •••
CBA III ,,
As correntes nas impedâncias da carga , são chamadas de correntes de fase ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ •••
cba III ,,
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
18 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
 
5.1 Correntes de Linha e de Fase em uma Carga Ligada em Y 
Pela figura 14 observa-se que é a própria corrente , o mesmo acontecendo 
com e e , e com e , ou seja para a carga em Y as correntes de linha são 
as próprias correntes de fase. 
AI
•
aI
•
BI
•
bI
•
CI
•
cI
•
 
 
Cálculo das Correntes 
C
an
a
Z
VI →
•
• = 
C
bn
b
Z
VI →
•
• = 
C
cn
c
Z
VI →
•
• = 
 
 
Como não se considerou impedâncias para as linhas Aa, Bb e Cc (Vide figura 14), 
pode-se dizer que: 
CNcnBNbnANan VVVVVV
•••••• === 
1) diferem das f.e.m.s pelas quedas de tensão 
internas ao gerador e são chamadas de tensões. Para a fase A, p.ex., poderia ser 
escrito: , onde: 
CNBNAN VeVV
•••
, CNBNAN EeEE
•••
,
•→•• ⋅+= AgANAN IZVE
ANE
•
 - f.e.m. gerada 
ANV
•
 - Tensão nos terminais A e N 
•→ ⋅ Ag IZ - Queda de tensão no gerador 
 
Logo: 
c
AN
aA
Z
VII →
•
•• == 
c
BN
bB
Z
VII →
•
•• == 
c
CN
cC
Z
VII →
•
•• == 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
19 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
 
Por outro lado, suponha-se que os terminais A, B, C e N do gerador estejam 
curto-circuitados, então : 
g
AN
A
Z
EI →
•
• = 
g
BN
B
Z
EI →
•
• = 
g
CN
C
Z
EI →
•
• = 
 
Como tem mesmo módulo e estão defasadas entre si de 120º e 
a impedância é sempre a mesma, pode-se afirmar que: têm mesmo 
módulo e estão defasados entre si de 120º. 
CNBNAN EeEE
•••
,
CBA IeII
•••
,
Por extensão do raciocínio e portanto estariam 
também defasados de 120º e teriam mesmo módulo, respectivamente. 
CNBNAN VeVV
•••
, anbnan VeVV
•••
,
 
 
Cálculo das Correntes 
Seja: 
αj
c
j
cn
j
bn
j
an
eZZ
eVVeVVeVV
=
===
→
+•−•• º120º120º0
 
Então: 
 
αα jj
a eIe
Z
VI −−
• == ( ) )120(120 αα +−+−• == jjb eIe
Z
VI 
 (120 ) (120 )j jc
VI e I e
Z
α α• − −= = 
 
Na figura 14, tem-se: 
 
cban IIII
•••• ++= 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
20 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
 
logo: 
=−+++
+−−−+−=
=−+−++−++−=•
}º120cossencosº120sensenº120sencosº120cos
º120cossencosº120sensenº120sencosº120cossen{cos
)]}º120sen()º120[cos()]º120sen()º120[cos()sen{(cos
αααα
αααααα
αααααα
jj
jjjI
jjjII n
 
{cos sen 2cos120cos 2 sen cos120}
1 1cos sen 2 cos 2 sen
2
{cos sen cos sen } {0}
0n
I j j
I j j
I j j I
I
2
α α α α
α α α α
α α α α
•
= − + −
⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + ⋅ − ⋅ − ⋅ −⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭
= − − + =
=
=
=
 (9) 
 
Conclusão: "Se a carga for equilibrada, a corrente no neutro da Y, será nula". 
Pode-se, então fazer o seguinte quadro para a conexão Y: 
º303 jfLjf eVVeVV ±
••• == β (1) 
(1) ±30º, dependendo então da seqüência de fases tomada. No caso da 
seqüência direta temos +30º, e no caso da seqüência inversa tem-se -30º. 
0=
=
=
•
••
•
n
fL
j
f
I
II
eII γ
 (10) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
21 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
 
5.2 Correntes de Linha e de Fase em uma Carga Ligada em ∆ 
 
Seja e figura 15 abaixo: 
 
ZC
ZCZC
I bc
I ab
I ca
a
b
c
C
A
Zg
Zg
Zg
B
Gerador
Carga
IA
IB
IC
N
 
Figura 15 - Gerador em Y alimentando carga em ∆ 
 
Na figura 15, tem-se: 
- Gerador trifásico em Y 
- Carga trifásica em ∆ 
- Zc - impedância de carga 
- - correntes de linha CBA III
•••
,,
- - correntes de fase cabcab III
•••
,,
 
Cálculo das Correntes de Fase 
Seja: 
(120 ) (120 )j j
ab bc caV V e V V e V V e jϕ ϕ ϕ
• • •− − += = = 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
22 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
então, sendo , vem: ϕjeZZ =→
 
º120º120º120º120º0º0 jj
ca
jj
bc
jj
ab eIe
Z
VIeIe
Z
VIeIe
Z
VI ====== •−−••
 
 
Cálculo das Correntes de Linha 
 
Aplicando Kirchoff à carga da figura 15, vem: 
bccaCabbcBcaabA IIIIIIIII
••••••••• −=−=−= 
 
Calcule-se então. por exemplo : AI
•
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−+=
=−−+=
=−=−= •••
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
101
]º120senº120cosº0senº0[cos
º120º0
jI
JIjjI
jjI
eIeIIII jjcaabA
 
 
Multiplicando e dividindo por 3 , vem: 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=•
2
1
2
33 jII A como )º30cos(
2
3 ±= e )º210º30sen(
2
1 ou−= 
Vem: 
º303 jA eII −
• = 
 
 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
23 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
Analogamente: 
 
º90º150 33 jCjB eIIeII +
•−• == 
 
ou seja: 
"Na conexão ∆, as correntes de linha são 3 vezes maior que as correntes de 
fase e estão defasadas das respectivas correntes de fase de ±30º (1)” 
 
(1) ±30º dependendo aqui também, da seqüência de fases adotada. No caso 
desenvolvido –30º que é de seqüência de fases direta. 
Com isso, pode-se fazer o seguinte quadro para a conexão 
º303 jfLjffLjf eIIeIIVVeVV ±
•••••• ==== γβ (11) 
 
Conclusão Final 
Supondo três impedâncias em Y de valor , tem-se o seguinte Diagrama 
Fasorial para a Seqüência de Fases Direta: 
ψjeZZ =→
 
V
V
V
VV
V
ca cn ab
an
bn
bc
I C
I A
BI
30°
30°
30°
ϕ
ϕ
ϕ
 
Figura 16 – Diagrama Fasorial de tensões e correntes para carga equilibrada em Y. 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
24 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
Se as impedâncias estivessem agora em ∆, ter-se-ia: 
 V V
 V
ca ab
bc
 I c
 I a
b I
30°
30°
30°
ϕϕ
ϕ
ab I
 I ca
 I bc
 
Figura 17 – Diagrama Fasorial de tensões e correntes para carga equilibrada em ∆. 
 
6 Conversão ∆-Y e Y-∆ 
 
Por vezes é muito útil transformar uma carga ∆ em uma equivalente em Y e vice-versa. 
Neste caso, a equivalência de cargas significa dizer que: estando as cargas equivalentes 
em ∆ ou Y, as tensões e correntes de linha não são alterados, ou seja, continuam as 
mesmas. 
 
C
B
A
Z3 Z1
Z2
Z5 Z4
Z6
A
B
C
I A
IB
IC
IA
I B
I C
Sejam as cargas como as da figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 18 - Cargas Equilibradas.Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
25 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
Para a carga em Y, pode-se escrever: 
BNANAB VVV
••• −= 
BAAB IZIZV
•→•→• −=∴ 54 (A) 
 
Para a carga em ∆, tem-se: 
0AB BC CA AB BC CAV V V V V V
• • • • • •+ + = = − − 
CABCAB IZIZV
•→•→• −−= 32 (B) 
 
Mas: B BC A
BC B AB
BI I I
I I I
• • •
• • •
= −
= +
 (C) 
 
CAABA III
••• −= 
AABCA III
••• −= (D) 
 
Substituindo (C) e (D) em (B), vem: 
AABABBAB IZIZIZIZV
•→•→•→•→• −−−−= 3322 
 
Da figura 18, tem-se: 
1
→
•
• =
Z
VI ABAB , logo: 
BAAB
BAAB
A
ABAB
BAB
IZIZ
Z
ZZZV
IZIZ
Z
Z
Z
ZV
IZ
Z
VZ
Z
VZIZV
•→•→
→
→→→•
•→•→
→
→
→
→•
•→
→
•→
→
•→•→•
−=++∴
−=⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
++∴
+−−−=
23
1
321
23
1
3
1
2
3
1
3
1
22
1 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
26 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
BAAB I
ZZZ
ZZI
ZZZ
ZZV
•
→→→
→→
•
→→→
→→
•
++
−
++
∴
321
21
321
31 (E) 
 
Comparando (A) e (E), vem: 
321
31
4 →→→
→→
→
++
=
ZZZ
ZZZ (F) 
321
21
5 →→→
→→
→
++
=
ZZZ
ZZZ 
 
Por analogia: 
321
32
6 →→→
→→
→
++
=
ZZZ
ZZZ 
Como (carga em ∆, equilibrada) e (carga em ∆, 
equilibrada), pode-se fazer: 
321
→→→ == ZZZ 654 →→→ == ZZZ
∆
→→→→ === ZZZZ 321 
YZZZZ
→→→→ === 654 , donde a partir, por exemplo, de (F), vem: 
∆
→
∆
→
∆
→
∆
→
∆
→
∆
→
∆
→
→ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=
++
=
Z
Z
ZZZ
ZZZ Y
3
2
 
 
3
∆
→
→ =∴ ZZ Y (12) 
 
por outro lado: 
YZZ
→
∆
→ = 3 (13) 
 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
27 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
7 Circuito Monofásico Equivalente a um Circuito Trifásico 
 
Desde que a carga do sistema trifásico seja equilibrada, uma simplificação pode ser 
operada nos sistemas trifásicos. Uma vez que em sendo a carga equilibrada as correntes 
e as tensões apenas diferem entre si quanto ao angulo de fase, pode-se calcular uma 
grandeza e obter as outras duas através de defasagem de ±120º. 
 
 
7.1 Carga em Y 
 
Seja e carga Y a seguir: 
C
A
B
Z Z Z
I A IB IC
N
 
Sendo 
ψjj
CA
j
BC
j
AB eZZeVVeVVeVV ==== →+•−•• º120º120º0 
 
Tem-se: 
(30 )º (150 )º (90 )º
3 3 3
j j
A B C
V V VI e I e I e
Z Z
j
Z
ψ ψ ψ• • •− + − + −= = = 
Ora, bastava calcular, por exemplo, e com ±120º obtém-se e . pode 
ser obtido do seguinte circuito: 
AI
•
BI
•
CI
•
AI
•
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
28 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
 
 
Z
I L
VL
√3 e
-j30°
 
 
 
 
 
 
 
 
Como º30
3
jAB
AN e
VV −
•
• = , poder-se-ia para a Seqüência de Fases Direta, fazer: 
 
Figura 19 - Circuito 1∅ Equivalente, com carga em Y e SF Direta 
 
 
7.2 Carga em ∆ 
 
No item anterior viu-se a equivalência ∆-Y, portanto a simplificação desenvolvida 
no sub-item 7.1 pode ser agora aplicada para carga em ∆, como aquela a seguir: 
 
Z Z
Z
C
B
A
I A
IB I C
IAB
I CA
IBC
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
29 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
 
 
Supondo: 
αjj
CA
j
BC
j
AB eZZeVVeVVeVV ==== →•−•• º120º120º0 
Vem: )120()120( ααα −
•+−•−• === jCAjBCjAB e
Z
VIe
Z
VIe
Z
VI 
 
E portanto: 
)90()150()30( 333 ααα −
•+−•+−• === jCjBjA e
Z
VIe
Z
VIe
Z
VI 
 
Podemos simplificar a partir de: 
 
Z
IA
~ V AN 3
Z Z
Z
C
B
A
I A
I B I C
I ABI CA
I BC
C
A
B
Z Z Z
I A I B I C
N
3 3 3
 
e portanto equivale a, por exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
30 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
º30º30
33
jjAB
AN e
VeVV −−
•
• == 
logo: 
)º30()º30( 3
3
3
αα +−+−• ⋅=
⋅
= jjA e
Z
VeZ
VI 
e º120)º30(3 jjB ee
Z
VI −+−
• ⋅= α º120)º30(3 jjC ee
Z
VI α+−
• ⋅= 
Donde: )º015(3 α+−
• ⋅= jB e
Z
VI )º09(3 α+
• ⋅= jC e
Z
VI 
 
Portanto, para SF direta e carga em ∆, tem-se: 
Z
IL
VL
√3 e
-j30°
3
 
Figura 20 - Circuito 1∅ equivalente com carga em ∆ e SF direta. 
 
 
 
De posse dos conhecimentos para o cálculo das correntes e das tensões em cargas 
trifásicas, em Y ou ∆, resta agora o cálculo e a medição da potência nos sistemas 
trifásicos. 
 
 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
31 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
8 Cálculo e Medição de Potência em Sistemas Trifásicos 
 
Seja uma carga ligada a um sistema monofásico como na figura 21 
Z = Z e
I
V jϕ
 
Figura 21 - Circuito monofásico. 
 
A potência "consumida” pela carga 
→
Z é dada por: 
 
a) Potência Ativa, Real ou Wattada 
ϕcosVIP = (14) 
 
Onde ϕ além de ser o ângulo da carga é também o ângulo de defasagem entre a 
tensão aplicada à carga e a corrente na carga. 
 
b) Potência Reativa ou Dewattada 
ϕsenVIQ = (15) 
 
c) Potência Aparente 
VIS = (16) 
 
Sendo as unidades: 
| P | = W, kW, MW, etc. 
| Q | = VAr, kVAr, MVAr, etc. 
| S | = VA, kVA, MVA, etc. 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
32 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
Das equações (14), (15) e (16) pode-se montar o chamado triângulo de Potências: 
 
ϕ
Q
P
S = VI
 
Figura 22 - Triângulo de Potências. 
 
Por outro lado considerando uma carga do tipo onde ϕjeZjXRZ =+=→
R
Xtg 1−=ϕ , vem: 
ϕ
X
R
Z
 
Figura 23 - Triângulo de Impedâncias. 
 
Das figuras 22 e 23, temos: 
Z
RVIP
Z
RZRVIP ==== ϕϕϕ coscoscos 
Como 
Z
VI = , vem: 
RIIP = 2RIP = * (17) 
 
E 
ϕsenVIQ = ϕsenZX = 
Z
X=ϕsen 
Z
XVIQ = 
Como 
Z
VI = , vem: 
XIIQ = * (18) 2XIQ =
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
33 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
E mais: 
VIS = (19) IIZS = 2ZIS =
 
Resumindo: 
ϕcosVIP = 2RIP = * 
ϕsenVIQ = * (20) 2XIQ =
VIS = 2ZIS =
 
* Desde que R e X estejam em série. 
 
8.1 Potências para Carga em Y 
 
Seja agora uma carga trifásica, por exemplo, ligada em Y. 
Z Z Z
N
I A I B I C
A B C
 
Figura 24 – Circuito Trifásico em Y. 
 
Na seqüência de fases direta tem-se: 
º90º150,º30 ∠=−∠=−∠= ••• VVeVVVV CNBNAN , logo: 
 
)90()120()30( ααα +
→
•
•+−
→
•
•+−
→
•
• ====== jCNCjBNBjANA e
Z
V
Z
VIe
Z
V
Z
VIe
Z
V
Z
VI 
fazendo I
Z
V = e de acordo com o que foi mostrado para circuito monofásico, vem: 
ααα coscoscos VIPVIPVIP CBA === 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
34 / 110Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
 
onde: 
PA - potência ativa consumida pela impedância da fase A; 
PB - potência ativa consumida pela impedância da fase B; 
PC - potência ativa consumida pela impedância da fase C; 
α - É sempre o ângulo entre a tensão na impedância (tensão de fase) e, a corrente na 
impedância (corrente de fase) (Vide ângulo entre ) que 
é o próprio ângulo da impedância. 
CCNBBNAAN IeVIeVIeV
••••••
,,
 
A potência ativa total consumida pelas três impedâncias é: 
αcos3VIPTOT = (21) 
Como V é o módulo de e CNBNAN VeVV
•••
, I é o módulo de pode-se 
rescrever: 
CBA IeII
•••
,
αcos3 ffTOT IVP = (22) 
 
Onde: 
 
fV - tensão de fase - corrente de fasefI
 
Portanto: 
A potência ativa total é dada por três vezes o produto entre o módulo da tensão de 
fase, o módulo da corrente de fase e o cosseno do ângulo entre o fasor tensão de fase 
e o fasor corrente de fase. 
 
Analogamente: 
αsenVIQA = αsenVIQB = αsenVIQC = 
αsen3VIQTOT = (23) 
 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
35 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
 
Ou 
αsen3 ffTOT IVQ = (24) 
 
E mais: 
VISVISVIS CBA === 
VISTOT 3= (25) 
 
Ou 
ffTOT IVS 3= (26) 
 
Por outro lado, na conexão estrela, tem-se: 
fLfL IIVV == 3 
 
Logo em (22) temos: 
αα cos
3
33cos
3
3 LLLLTOT I
VIVP == 
αcos3 LLTOT IVP = (27) 
 
Na equação (23), tem-se: 
αα sen
3
33sen
3
3 LLLLTOT I
VIVQ == 
αsen3 LLTOT IVQ = (28) 
 
Finalmente na equação (26), vem: 
L
L
L
L
TOT I
VIVS
3
33
3
3 == 
LLTOT IVS 3= (29) 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
36 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
 
 
Atenção: Como para a conexão Y, a tensão de linha está defasada da tensão de fase, 
o ângulo α não é, nas equações (27) e (28), o ângulo entre . LL IeV ••
 
 
8.2 Potências para Carga em ∆ 
 
Se a carga agora estiver em ∆, tem-se: 
A CB
Z Z Z
I A I B I C
I BCIABI CA
 
Figura 25 – Circuito Trifásico em ∆. 
 
Para este caso: 
)120(
)120(
α
α
α
−
→
••
+−
→
••
−
→
••
==
==
==
jCA
CA
jBC
BC
jAB
AB
e
Z
V
Z
VI
e
Z
V
Z
VI
e
Z
V
Z
VI
 
Fazendo IZ
V = e de acordo com o que foi mostrando para circuito monofásico, 
tem-se: 
ααα coscoscos VIPVIPVIP CBA === 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
37 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
 
Note que α é sempre o ângulo entre tensão na impedância (tensão de fase) e 
corrente na impedância (corrente de fase), veja o ângulo entre e , e 
, e . 
ABV
•
ABI
•
BCV
•
BCI
•
CAV
•
CAI
•
 
Logo: 
αcos3VIPTOT = (30) 
 
Ou ainda 
αcos3 ffTOT IVP = (31) 
 
E mais: 
αsen3VIQTOT = (32) 
 
ou 
αsen3 ffTOT IVQ = (33) 
 
E 
VISTOT 3= (34) 
 
Ou 
ffTOT IVS 3= (35) 
 
Por outro lado na conexão ∆, tem-se: 
fL
fL
II
VV
3=
=
 
 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
38 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
 
 
Logo em (31) vem: 
αα cos
3
33cos
3
3 LLLLTOT
IVIVP == 
αcos3 LLTOT IVP = (36) 
 
Em (33), vem: 
αα sen
3
33sen
3
3 LLLLTOT
IVIVQ == 
αsen3 LLTOT IVQ = (37) 
 
Finalmente em (35), vem: 
3
33
3
3 LLLLTOT
IVIVS == 
LLTOT IVS 3= (38) 
 
ATENÇÃO: Como para a conexão ∆, a corrente de linha está defasada da corrente 
de fase, o ângulo α não é, nas equações (36) e (37), o ângulo entre e . LV
•
LI
•
 
 
8.3 Medição de Potência 
 
Uma vez que já foi mostrado o cálculo das potências em sistemas trifásicos, 
mostrar-se-á agora como efetuar as medições. 
Apresenta-se direto ao uso de dois wattímetros, conhecido como Conexão Aron 
ou Processo de Blondel. 
 
A conexão Aron é efetuada como a seguir: 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
39 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C
B
A W
W
W
WA
B
C
C
B
W
W
A
ou
ou
(a)
(b)
(c)
Figura 26 – Formas de medição de potência com dois wattímetros. 
 
 
8.3.a Medição para carga em Y 
 
Supondo a medição sendo efetuada como da forma abaixo: 
C
B
A W1
W2 N
Z
Z
Z
I A
I B
I C
a
b
c
 
 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
40 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
O wattímetro W1 indicará: 
)cos(1 AACAAC IVIVW
••••= 
 
)cos(1 AACAAC IVIVW
••=∴ 
 
Seja: 
º900,º0 <<== →• ϕϕjjLAB eZZeVV 
 
Logo: 
VAB
VCN
BCV
CAV
ANVBNV
ACV
I C
AI
BI
ϕ
ϕ ϕ
 
Do Diagrama Fasorial, tem-se: 
º60º300º180 j
LAC
j
LAC
j
ACCA eVVoueVVeVV −
•••• ==∴= 
 
Logo: 
º60=•• ABAC VV ϕ+=•• º30ABA VI
 
Portanto: 
30ºAACV I ϕ• • = − 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
41 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
 
Então, como e LAC VV = LA II = , vem: 
)º30cos(1 ϕ−= LL IVW (39) 
 
Já o wattímetro W2 indicará: 
)cos(2 BBCBBC IVIVW
••••= 
)cos(2 BBCBBC IVIVW
••= 
 
Do Diagrama Fasorial, vem: 
º30=•• BNBC VV ϕ=•• BBN IV ϕ+=•• º30BBC IV
 
Como LBLBC IIeVV == , vem: 
2 cos(30º )L LW V I ϕ= + (40) 
 
 
8.3.b Medição para carga em ∆ 
 
Supondo a medição sendo efetuada como a seguir: 
C
B
A W1
W2
Z
Z
Z
IA
IB
IC
a
b
c
I ab
I bc
I ca
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
42 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
O wattímetro W1 indicará: 
)cos(1 AACAAC IVIVW
••••= )cos(1 AACAAC IVIVW
••=
Se º0jLAB eVV =
•
 
, 0 90ºjZ Z e ϕ ϕ→ = < < , vem 
 VAB
BC V
CA V
AC V
AI
BI Iab
Ica
I bc
ϕ
ϕ
ϕ
 
 
Do Diagrama Fasorial, vem: 
 
ϕ+=•• º30AAB IV 
 º60º180 jL
j
CAAC eVeVV == •• º60=•• ABAC VV 
 
Logo: 
ϕ−=•• º30AAC IV 
Como e LAC VV = LA II = , vem: 
)º30cos(1 ϕ−= LL IVW (41) 
O wattímetro W2, por sua vez, indicará: 
)cos(2 BBCBBC IVIVW
••••= )cos(2 BBCBBC IVIVW
••=
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
43 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
 
Do Diagrama Fasorial, tem-se: 
ϕ=•• BCbc VI º30=•• bcB II
ϕ+=∴ •• º30BBC IV 
 
Como e LBC VV = LB II = , vem: 
2 cos(30º )L LW V I ϕ= + (42) 
 
Das equações (39), (40) ou (41), (42), vem: 
[ ]
[ ]
[ ]ϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕ
cosº30cos2
senº30sencosº30cossenº30sencosº30cos
)º30cos()º30cos(21
LL
LL
LL
IV
IV
IVWW
=
=−++=
=++−=+
 
ϕϕ cos3cos
2
3221 LLLL IVIVWW =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=+∴ 
ϕcos311LLIVWW =+∴ (43) 
 
Comparando-se a equação (43) com as equações (27) e (36), conclui-se: 
 
“A soma algébrica – adiante ver-se-á porque algébrica – das indicações dos 
dois wattímetros em conexão Aron é igual a potência ativa total da carga 
trifásica”. 
 
 
8.3.c Particularidades da Conexão Aron 
 
c.1 Carga ôhmica - ϕ = 0º 
º30cos
º30cos
2
1
LL
LL
IVW
IVW
=
=
 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
44 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
 
Ou seja: 21 WW = 
 
Conclusão: Os dois instrumentos indicam o mesmo valor, portanto bastaria 
o uso de um só, e multiplicar sua indicação por dois 
 
c.2 Carga indutiva - ϕ = 30º 
º60cos
º0cos
2
1
LL
LL
IVW
IVW
=
=
 
Logo: LLIVW =1 LLIVW 2
1
2 = 
 
Conclusão: Um dos wattímetros acusa o dobro do outro. 
 
c.3 Carga indutiva - ϕ = 60º 
º90cos
)º30cos(
2
1
LL
LL
IVW
IVW
=
−=
 
 
Logo: 
LLIVW 2
3
1 = 02 =W 
 
Conclusão: Um dos instrumentos tem indicação nula. Aumentando-se o 
ângulo acima de 60º, o instrumento que indicava zero, respectivo a 
cos(30º+ϕ), passará a indicar valores negativos; POR ISSO 
ANTERIORMENTE AFIRMOU-SE: SOMA ALGÉBRICA. 
 
c.4 Carga indutiva - ϕ = 90º 
º120cos
)º60cos(
2
1
LL
LL
IVW
IVW
=
−=
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
45 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
 
 
Logo: 
LLIVW 2
1
1 = LLIVW 2
1
2 −= 
 
Conclusão: Os dois wattímetros indicam os mesmos valores, porém com 
sinais contrários, o que resulta em WTOT = 0, que é coerente pois ϕ = 90º é 
para carga puramente indutiva, ou seja, não consome potência ativa. 
 
 
8.3.d Potência Reativa 
 
Das equações anteriores temos: 
)º30cos()º30cos( 21 ψψ +=−= LLLL IVWIVW 
 
Então: 
[ ]ψψψψ senº30sencosº30cossenº30sencosº30cos21 +−+=− LLIVWW 
 
Então: 
ψ
ψ
sen
)senº30sen2(
21
21
LL
LL
IVWW
IVWW
=−
=−
 
 
Portanto: 
ψsen3)(3 21 LLIVWW =− 
Como QIV LL =ψsen3 , vem: 
)(3 21 WWQ −= (44) 
 
Conclusão: Com a indicação dos dois wattímetros da Conexão Aron pode-se 
também obter a potência reativa “consumida” pela carga equilibrada. 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
46 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
 
 
9 Correção do Fator de Potência 
 
9.1 Definição 
 
O fator de potência é a relação entre a potência ativa e a potência aparente num 
sistema, ou seja: 
S
PPF =.. 
No triângulo de potências de um sistema (figura 27), vê-se que o fator de potência 
nada mais é que o cosseno do ângulo (ϕ) entre a potência ativa e a potência 
aparente. 
 
 
ϕ
Q
P
S
 
Figura 27 - Triângulo de Potências. 
 
 
9.2 O porquê do aumento do F.P. 
 
Veja alguns dos motivos que fazem com que haja a preocupação em aumentar 
(melhorar) o f.p. (cosϕ) de um sistema. 
 
 
 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
47 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
 
9.2.1 Sobrecarga nos Cabos 
 
Na figura 28, observa-se que, para uma mesma potência ativa (produtora de 
trabalho), existem dois valores de potência aparente (S1) e (S2). 
ϕ1 Q1
P
ϕ2
Q2
S 1
 
2S 
Figura 28 - Comparação para cosϕ1>cosϕ2.
 
Ora observemos que para ϕ1 < ϕ2, temos S1 < S2, portanto Q1 < Q2 e P1 = P2. 
Logo o ideal é transmitir S1, pois: 
11 VIS = e 22 VIS = 
Como S1 < S2, tem-se que: 21 II < 
Ou seja sendo maior que , ou todos os cabos estão sobrecarregados (foram 
dimensionados levando em conta ) ou o seu custo foi mais alto (foram 
dimensionados levando em conta ). 
2I 1I
1I
2I
Portanto: 
"Para uma mesma tensão, quanto menor o f.p.., maior será a corrente", o que não 
é desejável. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida 
 
 Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
48 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
 
 
9.2.2 Aumento das quedas de Tensão 
 
Com relação a figura 29 pode-se escrever o seguinte: 
ZpIS
~Eg VP Carga
 
Figura 29 - Ilustração para aumento de quedas. 
 
spgp IZEV
•→•• −= 
 
Onde: 
pV
•
- tensão em qualquer ponto do sistema (neste caso nos terminais de carga) 
gE
•
 - f.e.m. da geração 
sI
•
- corrente na sistema 
pZ
→
 impedância total até a carga 
 
Bem, é óbvio que quanto maior for a corrente, maiores serão as quedas de tensão 
 (Vide figura 29). Então é interesse diminuir o valor de . sp IZ
•→
sI
•
 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
49 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
 
 
9.2.3 Sobretaxa nas contas a pagar 
 
Uma vez que os problemas resultantes do exposto nos itens 9.2.1 e 9.2.2, afetam 
diretamente as concessionárias, as mesmas exigem que o f.p. mínimo de cada 
instalação seja 0,92. 
Se o f.p. de um determinado consumidor estiver abaixo desse mínimo o mesmo é 
obrigado a pagar uma sobretaxa às concessionárias. 
 
Isto faz com que os consumidores procurem melhorar (corrigir) o fator de 
potência de sua instalação. 
 
 
9.3 Causas de Baixo Fator de Potência 
 
As causas mais comuns que fazem com que o f.p. de uma determinada instalação 
seja baixo, são: 
- nível de tensão elevada (acima do valor nominal); 
- motores que trabalham, sem justa causa, grande parte do tempo a vazio (sem 
carga); 
- transformadores de grande potência alimentando, durante longo período, 
pequenas cargas; 
- transformadores que ficam por longo período a vazio (sem carga); 
- motores superdimensionados para os respectivos acionamentos; 
- luminárias com reator (quando usados reatores de baixo f.p.). 
 
 
 
 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
50 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
 
 
9.4 Como Corrigir (melhorar) o Fator de Potência 
 
9.4.1 Introdução 
 
Seja a instalação mostrada na figura 30.a, que tem o triângulo de potências 
mostrado na Figura 30.b. 
M1 M2
P1 + j Q1 P2 + j Q2
P = P1 + P2
Q= Q1 + Q2
S = P + j Q
ϕ
 
(a) (b) 
Figura 30 - Configuração de uma instalação e seu triângulo de potências. 
 
Se: 
92,0cos <=
S
Pϕ 
ou seja: f.p. < 0,92 
É conveniente que se melhore o f.p. (ou seja diminuir ϕ). Como as cargas 
de uma maneira geral são do tipo indutivas (transformadores, reatores, 
motores, etc.), para que se diminua ϕ basta que se coloque junto a esses 
equipamentos, outros que tenham sob o aspecto da correntes, efeito 
contrário. ou seja "cargas" do tipo capacitivas. A figura 31 esclarece. 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
51 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
ϕ1 Q1
P
S2
ϕ 2
Q2
S1
QC
 
Figura 31 - Correção do f.p.. 
 
Supôs-se que uma carga indutiva "puxe " do sistema a potência S2 = P + 
jQ2, e que o f.p. (cosϕ2) estava abaixo do desejável. Colocou-se então 
cargas capacitivascuja potência era Qc, de forma que o f.p. (cosϕ1) 
melhorou com relação ao anterior. 
Para que se evite problemas futuros é importante que se mostre o novo 
jogo de potências: 
Q2 - potência reativa necessária à carga (indutiva); 
Qc - potência reativa imposta pela nova carga (capacitiva); 
Q1 - potência reativa entregue pelo sistema à carga, após a melhoria do f.p. 
 
Importante: "A carga do sistema sempre precisa de Q2 quando não há 
correção, Q2 é fornecido pelo sistema. Quando há a correção Q2 é parte 
fornecido pelo sistema (Q1) e parte pela carga capacitiva corretora (Qc). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
52 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
9.4.2 Cálculo de Qc
 
Observe-se na figura 31 que: 
11
1
1
22
2
2
ϕϕ
ϕϕ
tgPQ
P
Qtg
tgPQ
P
Qtg
=∴=
=∴=
 
Ora: cQQQ =− 12 
 
Portanto: 
2 1( )cQ P tg tgϕ ϕ= − 
Nota: Há tabelas que dado o cosϕ2 (f.p. a ser corrigido) e o cosϕ1 (f.p. 
desejado) nos dão diretamente o valor de (tgϕ2-tgϕ1). Basta então 
multiplicar por P 
 
 
9.4.3 Tipos de "cargas capacitivas" usadas para o fornecimento de Qc
 
Fundamentalmente há dois tipos de equipamentos usados para correção do 
f.p., sejam: 
- capacitores estáticos 
- motores síncronos superexcitados 
Os capacitores estáticos constituem a solução mais prática para as 
indústrias em geral, pois os condensadores síncronos (motores síncronos 
superexcitados) a par das suas vantagens, têm pelo menos uma 
desvantagem muito grande, qual seja: contribuem para o curto-circuito 
(quando de sua ocorrência) no sistema. 
 
 
 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
53 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
 
9.4.4 Como Ligar 
 
Deve-se ligar os capacitores em paralelo com a carga, pois em série 
acarretariam quedas de tensão entre a linha e a carga. No caso de sistemas 
trifásicos, a conexão triângulo (∆) é mais vantajosa que a conexão estrela 
(Y) (Vide observação no final). Seja: 
 
VIQ
VIQ
c
c
3
1senº90sen3
=
=⇒== ϕϕϕ
 
 
Conexão Y: 
XC XC XC
V
 
 
 
 
cX
VI
3
= 
c
yC X
VVQ
3
3= 
c
yC X
VQ
2
= 
 
 
 
 
 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
54 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
 
Conexão ∆: 
XC
XC
XC
V
 
c
f X
VI = 
c
fL X
VII 33 == 
cc
c X
V
X
VVQ
2333 == 
Portanto: Sob o aspecto de potência a conexão ∆ é melhor que a conexão 
Y. 
OBS: Entretanto, a tensão aplicada ao capacitor no sistema ∆ é 3 vezes 
maior que no sistema Y e portanto sob o aspecto de isolamento há o 
encarecimento do capacitor. Logo deve-se ter uma solução de 
compromisso!!! 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
55 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
 
Tabela com os valores de (tgϕ2- tgϕ1) em função de cosϕ2 e cosϕ1
cosϕ1 desejado cosϕ1 desejado cosϕ2 
a ser 
corrig
ido 
 
Cosϕ2 
a ser 
corrig
ido 
 
0,20 4,899 4,570 4,415 4,279 4,149 0,61 1,299 0,970 0,815 0,679 0,549 
0,21 4,656 4,327 4,171 4,036 3,906 0,62 1,266 0,937 0,781 0,646 0,515 
0,22 4,433 4,104 3,949 3,813 3,683 0,63 1,233 0,904 0,748 0,613 0,482 
0,23 4,231 3,902 3,747 3,611 3,481 0,64 1,201 0,872 0,716 0,581 0,450 
0,24 4,045 3,716 3,561 3,425 3,295 0,65 1,169 0,840 0,685 0,549 0,419 
0,25 3,873 3,544 3,389 3,253 3,123 0,66 1,138 0,810 0,654 0,518 0,388 
0,26 3,714 3,385 3,299 3,094 2,964 0,67 1,108 0,779 0,624 0,488 0,358 
0,27 3,566 3,238 3,082 2,946 2,816 0,68 1,078 0,750 0,594 0,458 0,328 
0,28 3,429 3,100 2,944 2,809 2,679 0,69 1,049 0,720 0,565 0,429 0,298 
0,29 3,300 2,971 2,816 2,680 2,550 0,70 1,020 0,691 0,536 0,400 0,270 
0,30 3,180 2,851 2,696 2,560 2,420 0,71 0,992 0,663 0,507 0,372 0,241 
0,31 3,067 2,738 2,583 2,447 2,317 0,72 0,964 0,635 0,480 0,344 0,214 
0,32 2,961 2,632 2,476 2,341 2,211 0,73 0,936 0,608 0,452 0,316 0,186 
0,33 2,851 2,532 2,376 2,241 2,111 0,74 0,909 0,580 0,425 0,289 0,158 
0,34 2,766 2,437 2,282 2,146 2,016 0,75 0,882 0,553 0,398 0,262 0,132 
0,35 2,676 2,347 2,192 2,056 1,926 0,76 0,855 0,527 0,371 0,235 0,105 
0,36 2,592 2,263 2,107 1,972 1,842 0,77 0,829 0,500 0,344 0,209 0,078 
0,37 2,511 2,182 2,027 1,891 1,761 0,78 0,802 0,474 0,318 0,182 0,052 
0,38 2,434 2,105 1,950 1,814 1,684 0,79 0,776 0,447 0,292 0,156 0,026 
0,39 2,361 2,032 1,877 1,741 1,611 0,80 0,750 0,421 0,266 0,130 - 
0,40 2,291 1,963 1,807 1,671 1,541 0,81 0,724 0,395 0,240 0,104 - 
0,41 2,225 1,896 1,740 1,605 1,475 0,82 0,698 0,369 0,214 0,078 - 
0,42 2,161 1,832 1,676 1,541 1,410 0,83 0,672 0,343 0,188 0,052 - 
0,43 2,100 1,771 1,615 1,480 1,349 0,84 0,646 0,317 0,162 0,026 - 
0,44 2,041 1,712 1,557 1,421 1,291 0,85 0,602 0,291 0,136 - - 
0,45 1,985 1,656 1,501 1,365 1,235 0,86 0,593 0,265 0,109 - - 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
56 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
0,46 1,930 1,602 1,446 1,310 1,180 0,87 0,567 0,238 0,082 - - 
0,47 1,877 1,548 1,392 1,257 1,128 0,88 0,540 0,211 0,056 - - 
0,48 1,826 1,499 1,343 1,208 1,077 0,89 0,512 0,183 0,028 - - 
0,49 1,779 1,450 1,295 1,159 1,029 0,90 0,484 0,155 - - - 
0,50 1,732 1,403 1,248 1,112 0,982 0,91 0,456 0,127 - - - 
0,51 1,687 1,358 1,202 1,067 0,936 0,92 0,426 0,097 - - - 
0,52 1,643 1,314 1,158 1,23 0,892 0,93 0,395 0,066 - - - 
0,53 1,600 1,271 1,116 0,980 0,850 0,94 0,363 0,034 - - - 
0,54 1,559 1,230 1,074 0,939 0,808 0,95 0,329 - - - - 
0,55 1,518 1,189 1,034 0,898 0,768 0,96 0,292 - - - - 
0,56 1,479 1,150 0,995 0,859 0,729 0,97 0,251 - - - - 
0,57 1,442 1,113 0,957 0,822 0,691 0,98 0,203 - - - - 
0,58 1,405 1,076 0,920 0,785 0,654 0,99 0,142 - - - - 
0,59 1,368 1,040 0,884 0,748 0,618 1,00 - - - - - 
0,60 1,333 1,004 0,849 0,713 0,583 - - - - - - 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
57 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
 
 
 
 
 
EEL002 
CONVERSÃO 
ELETROMECÂNICA DE 
ENERGIA 
 
EXERCÍCIOS 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
58 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
 
 
Exemplo 1: Dadas as tensões 
.
12V 6 30= º , . 23V 2 0= º , . 24V 6 60= − º e . 15V 4 90= º , determinar as 
tensões: 
 
a) 
.
14V
b) 
.
43V
c) 
.
35V
 
 
Solução: Apenas com o objetivo de facilitar o acompanhamento da solução, foi construído o diagrama 
mostrado na figura 7, pois ele não é necessário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7 
2
.
12V
.
23V
.
35V
.
15V
.
14V . 43V
.
24V
3
5
4
1
 
a) 
.
. .
2414 12V V V 6 30º 6 60º= + = + − 
5,196 j3,000+3,000 j5,196
8,196 j2,196 8,485 15º
= + −
= − = − 
 
b) 
. . . . .
43 23 42 23 24V V V V V 2 0º 6 60º 2 0º 6 120= + = − = − − = + º 
2 j0 3,000+j5,196 1,000 j5,196
5,291100,89º
= + − = − +
= 
 
 
Também poderia ter sido tomado 
 
. . . . . . .
43 23 12 41 23 12 14V V V V V V V= + + = + − 
 
c) Há várias possibilidades no cálculode , por exemplo: 
.
35V
 
. . . . . . .
35 15 21 32 15 12 23V V V V V V V= + + = − − 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
59 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
. . . . . . . . .
35 15 21 42 35 15 12 24 43
. . . . . . . . .
35 15 41 24 32 15 14 24 23
V V V V V V V V V
V V V V V V V V V
= + + + = − − −
= + + + = − + −
 
 
Mas, a melhor delas, porque menos trabalhosa, é: 
 
. . . . . . .
35 15 41 34 15 14 43V V V V V V V= + + = − − 
4 90º 8,485 15º 5,291100,89
(0 j4) (8,196 j2,196) ( 1,000 j5,196)
7,196 j1,000 7,265172,09º
= − − −
= + − − − − +
= − + =
 
 
 
Especificação e Rendimento 
 
Exemplo 2: Achar o rendimento de operação de um motor elétrico que desenvolve 1 [CV], enquanto 
absorve uma potência de 900 [W]. 
 
 
Solução: 
[ ] [ ]
[ ]saidaentrada
1 CV x736 W/CVPn .100 .100 81,8%
P 900 W
= = = 
 
 
Exemplo 3: Achar a potência absorvida por um motor de 5 [CV], completamente carregado – a plena 
carga, que opera com um rendimento de 80%. 
 
 
Solução: 
[ ] [ ] [ ]saidaentrada 5 CV x736 W/CVPP 4600[W] 4,6 KWn 0,8= = = = 
 
 
 
Exemplo 4: Um motor elétrico ca aciona um gerador cc. Se o motor operar com um rendimento de 90% e 
o gerador com um rendimento de 80%, e se a potência absorvida pelo motor for de 5 [KW], 
qual a potência desenvolvida pelo gerador? 
 
 
Solução: 
[ ]
saida
M G
entrada
saida M G entrada
Pn n .n
P
P n .n .P 0,9x0,8x5 3,6 KW
= =
= = =
 
 
Exemplo 5: Um motor elétrico desenvolve ½ [CV], enquanto está operando com um rendimento de 85%. 
Achar o custo para operá-lo continuamente durante um dia se o custo da energia (livre de 
impostos, taxa de iluminação pública, etc) é de CR$ 0,64 por KWh. 
 
 
Solução: A potência de entrada do motor é: 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
60 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
[ ]e 0,5x0,736P K0,85= W 
 
O consumo de energia durante 1 dia (24 horas) é: 
 
[ ]E e 0,5x0,736x24W P x24 KW0,85= 
 
E o custo total da energia é: 
 [ ]ECusto W x0,80 R$
portanto,
0,5x0,736x24x0,8Custo $8,31
0,85
R
=
= =
 
 
 
Seqüência de Fases 
 
 
Exemplo 6: Qual é a seqüência de fases de um alternador trifásico ligado em Y para o qual 
[ ]. ANE 7200 20º V= e [ ]. CNE 7200 100º V= − ? E também , quanto vale ? . BNE
 
Solução: Visto que se atrasa em relação a em 120º, e que os primeiros subscritos são C e A, 
respectivamente, C segue A na seqüência de fases. Portanto, a seqüência de fases é ACB, a seqüência 
de fases negativa ou inversa. Obviamente , avança em 120º, mas tem o mesmo módulo (valor 
eficaz). Então, 
.
CNE
.
ANE
.
BNE
[ ]. BNE 7200 20º 120º 7200140º V= + = . A figura 30 ilustra a presente situação. 
 
 
.
BNE
.
ANE
.
CNE
100º−
140º
20º
REFERÊNCIA R
w 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 30 
 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
61 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
 
 
 
 
 
Exemplo 7: Qual é a seqüência de fases de um circuito trifásico no qual [ ]. ABV 13.800 10º V= − e 
[ ]. BCV 13.800110º V= ? Que tensão de linha tem um ângulo que difere de 120º dos 
ângulos dos ângulos destas tensões? 
 
 
Solução: A seqüência de fases pode ser encontrada dos ângulos das tensões e dos primeiros (ou dos 
ângulos) subscritos. Visto que avança em 120º, e visto que os primeiros subscritos são B e A, 
respectivamente, B está imediatamente à frente de A na seqüência de fases. Portanto, a seqüência de 
fases tem que ser BAC ou, equivalente, ACB, a seqüência de fases negativa. 
.
BCV
.
ABV
A terceira tensão de linha é ou ou , porque apenas A e C de A-B-C não foram usadas juntas 
nos subscritos. A terceira tensão de linha correta, aquela que tem um ângulo diferindo em 120º daqueles 
de e , é , visto que duas tensões de linha de um grupo trifásico equilibrado não podem 
ter subscritos começando com a mesma letra, como seria o caso se fosse usado. Assim, 
.
CAV
.
ACV
.
ABV
.
BCV
.
CAV
.
ACV
[ ]. CAV 13.800 130º V= − . Este resultado também pode ser obtido calculando e : . ACV . CAV
 
 
. . .
AC AB BCV V V 13.800 10º 13.800 110º= + = − + 
 
( )
( )
( ) [ ]
13.800 cos10º jsen10º cos110º jsen110º
13.800 0,9848 j0,1736 0,3420 j0,9397
13.800 0,6428 j0,7661 13.800 50º V
= − + +
= − − +
= + =
 
 
 
.
ACV difere de e em 60º, e não pode mesmo se a resposta. 
.
ABV
.
BCV
Por outro lado, 
[ ]. . . . . .CA CB BA BC AB ACV V V V V V 13.800 50º 13.800 130º V= + = − − = − = − = − 
 
 
NOTA: No caso de alternador trifásico ligado em delta ou triângulo ( )∆ , as f.e.ms. de linha são iguais às 
f.e.ms. de fase. 
 
 
 
 
 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
62 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
Cargas Trifásicas 
 
 
Exemplo 8: Converter o ∆ mostrado na figura 38 (a) no Y da figura 37 (a) para: 
 
a) [ ]1Z 3 j5= + Ω , [ ]2Z 60 20º= Ω e [ ]3Z 4 30º= − Ω 
 
b) [ ]1 2 3Z Z Z Z 12 36º∆= = = = Ω 
 
 
 
 
B
C
A
1Z
2Z
3Z
 
 
Figura 38 (a) 
 
 
 
A
B
C
A
B
C
N
AZ
BZ
CZ
(a)
(b)
 
Figura 37 
 
 
Solução: a) Todas as três fórmulas da conversão Y∆ − tem o mesmo denominador, que é : 
 
( ) [ ]1 2 3Z Z Z 3 j5 6 20º 4 30º 13,1 22,66º+ + = + + + − = Ω 
 
 
Então: 
( ) ( ) [ ]1 3A
1 2 3
23,3 29,04º3 j5 . 4 30ºZ ZZ 1,78 6,38º
Z Z Z 13,1 22,66º 13,1 22,66º
+ −= = = =+ + Ω 
 
 ( ) ( ) [ ]1 2B
1 2 3
35 79,04º3 j5 . 6 20ºZ ZZ 2
Z Z Z 13,1 22,66º 13,1 22,66º
+= = = =+ + ,67 56, 4º Ω 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
63 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
( ) ( ) [ ]2 3C
1 2 3
6 20º . 4 30ºZ Z 24 10ºZ 1
Z Z Z 13,1 22,66º 13,1 22,66º
− −= = = = −+ + ,83 32,7º Ω 
 
 
b) Sendo todas as três impedâncias do ∆ iguais, todas as três impedâncias do Y são iguais e 
cada uma vale um terço da impedância comum do ∆ : 
 
[ ]A B C Y Z 12 36ºZ Z Z Z 4 36º3 3∆= = = = = = Ω 
Exemplo 9: Converter o Y mostrado na figura 37 a no ∆ da figura 38 a para: 
 
 
a) [ ]AZ 10= Ω , [ ]BZ 6 j8= − Ω , [ ]CZ 9 30º= Ω 
 
b) [ ]A B C YZ Z Z Z 4 j7= = = = − Ω 
 
 
B
C
A
B
C
(a) (b)
1Z
2Z
3Z
3Z
2Z
1Z
 
 
Figura 38 
 
 
Solução: a) Todas as três fórmulas da conversão Y − ∆ tem o mesmo numerador, que é 
 
( ) ( )( ) ( ) [ ]A B B C A CZ Z Z Z Z Z 10 6 j8 6 j8 9 30º 10 9 30º 231,6 17,7º+ + = + + + + = − Ω 
 
 
Então, 
 
 
[ ]A B B C A C1
C
231,6 17,7ºZ Z Z Z Z ZZ 25,7 47,7º
Z 9 30º
−+ += = = − Ω 
 
 
[ ]A B B C A C2
A
231,6 17,7ºZ Z Z Z Z ZZ 23,2 17,7º
Z 10
−+ += = = − Ω 
 
 
[ ]A B B C A C3
B
231,6 17,7º 231,6 17,7ºZ Z Z Z Z ZZ 2
Z 6 J8 10 53,1º
3, 2 35, 4º
− −+ += = = =− − Ω 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
64 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
 
b) Sendo todas as três impedâncias de Y iguais, todas as três impedâncias do são iguais e 
cada uma é igual ao triplo da impedância comum de Y. Portanto, 
∆
( ) [ ]1 2 3 Y YZ Z Z Z Z 3Z 3 12 j7 12 j21=24,2 -60,3º∆= = = = = = − = − Ω 
 
Exemplo 10: Converter o Y indicado na figura 40 num equivalente ∆ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura40 Figura 41 
A
B
C
Z
N
Z A
B
C
Z
N Z
 
 
Solução: Pelas fórmulas da conversão Y − ∆ , 
 
A B B C A C
1
C
Z Z Z Z Z Z 0 0 Z.ZZ Z
Z Z
+ + + += = = 
 
 
A B B C A C
2
A
Z Z Z Z Z Z 0 0 Z.ZZ Z
Z Z
+ + + += = = 
 
 
A B B C A C
3
B
Z Z Z Z Z Z 0 0 Z.ZZ
Z 0
+ + + += = = ∞ (circuito aberto) 
 
 
O circuito equivalente está mostrado na figura 41. E uma rápida comparação das figuras 40 e 41 
revelam que as mesmas são iguais. 
∆
 
 
 
Cargas em Paralelo 
 
 
Exemplo 11: Determinar a estrela equivalente das cargas em estrela paralela ao delta das 
cargas para: 
A BZ , Z Ze C
1 2 3Z , Z Ze
 
 
a) [ ]AZ 10= Ω , [ ]BZ 6 j8= − Ω , [ ]CZ 9 30º= Ω 
 [ ]1Z 3 j5= + Ω , [ ]2Z 6 20º= Ω , [ ]3Z 4 30º= − Ω 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
65 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
b) [ ]A B C YZ Z Z Z 4 j7= = = = − Ω 
 [ ]1 2 3Z Z Z Z 12 36º∆= = = = Ω 
 
Solução: a) Como as cargas são desequilibradas, a conexão em Y deve ser primeiramente convertida 
num equivalente. Esta conversão, no entanto, já foi realizada no exemplo 9, dando os 
valores seguintes: 
∆
 [ ]
[ ]
[ ]
'
'
'
1
2
3
Z 25,7 47,7º
Z 23,2 17,7º
Z 23,2 35,4º
= − Ω
= −
= Ω
Ω 
 
 
Agora as duas cargas em estão em paralelo, como indicado na figura 45∆ a, e podem ser convertidas 
num único equivalente (figura 45 b), combinando-se as impedâncias ligadas em paralelo, a saber: 
com com e com , para produzir , e , respectivamente. Então, 
∆ '
1
Z
'1
2
Z , Z 2Z '
3
Z 3Z "
1
Z "
2
Z "
3
Z
 
 
( ) ( ) [ ]'"
'
1
1
1 1
1
Z .Z 3 j5 . 25,7 47,7º
Z 6,08 45,95º
Z Z 3 j5+25,7 47,7º
+ −= = =+ + − Ω 
 
 
( ) ( ) [ ]'"
'
2
2
2 2
2
Z .Z 6 20º . 23,2 17,7º
Z 4
Z Z 6 20º+23,2 17,7º
−= = =+ − ,94 12,52º Ω 
 
 
( ) ( ) [ ]'"
'
3
3
3 3
3
Z .Z 4 30º . 23,2 35,4º
Z 3
Z Z 4 30º+23,2 35,4º
−= = = −+ − ,69 92,48º Ω 
 
A
B
C
1Z 3Z
2Z
(a)
1Z 3Z
2Z
 
 
Figura 45 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
66 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
 
 
 A
B
C
"
1
Z "
3
Z
"
2
Z (b)
A
B
C
(c)
'
B
Z
'
A
Z
'
C
Z
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 45 
 
 
Finalmente, o da figura 45b é convertido no Y equivalente mostrado na figura 45c, onde∆ " "' 1 3"A
Z .Z
Z
Z
= ∑ , 
" "
'
1 2
"B
Z .Z
Z
Z
= ∑ e 
" "
'
2 3
"C
Z .Z
Z
Z
= ∑ 
 
 
Sendo 
 
" " "
"
1 2 3
Z Z Z Z 6,08 45,95º 4,94 12,52º 3,69 92, 48º 9,062 11,16º∑ = + + = + + − = 
 
 
Portanto, 
 ( ) ( ) [ ]'
A
6,08 45,95º . 3,69 92,48º
Z 2,48 57,7º
9,06211,16º
−= = − Ω
 
 ( ) ( ) [ ]'
B
6,08 45,95º . 4,94 12,52º
Z 3,31 47,3º
9,062 11,16º
= = Ω 
 
 ( ) ( ) [ ]'
C
4,9412,52º . 3,69 92,48º
Z 2
9,06211,16º
−= = ,01 91,1º− Ω
 
 
 
 
 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
67 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
 
c) Agora as cargas são equilibradas e o ∆ deve ser inicialmente convertido num Y equilibrado 
equivalente. Esta conversão foi efetuada no exemplo 8 dando: 
 ( ) ( ) [ ]'" Y YY '
Y Y
32, 249 24, 26º4 j7 . 4 36ºZ .ZZ 3
Z Z 4 j7 4 36º 8,601 32,72º
,75 8, 46º
−−= = = =+ − + − Ω . 
 
 
Exemplo 12: Uma carga trifásica equilibrada em Y tem uma tensão de fase [ ]. CNV 127 50º V= . Se a 
seqüência de fases é ACB, achar as tensões , e . 
.
CAV
.
ABV
.
BCV
 
 
Solução: Fazendo-se o diagrama fasorial para a seqüência de fases inversa ou negativa, e das tensões 
de linha especificadas, pode-se notar que a tensão de linha têm um ângulo de 30º em 
atraso com relação a tensão de fase . Obviamente, seu módulo é maior por um fator igual 
a 
.
CAV
.
CNV
3 . Portanto, [ ]. CAV 127 3 50º 30º 220 20º V= − = . Da mesma forma, considerando que 
 está 120º em avanço relativamente a , porque seu primeiro subscrito A está 
imediatamente à frente do primeiro subscrito C de na seqüência de fases ACB, 
.
ABV
.
CAV
.
CAV
[ ]. ABV 220 20º 120º 220140º V= + = . Da mesma forma, deve atrasar em 120º. 
Logo, 
.
BCV
.
CAV
[ ]. BCV 220 20º 120º 220 100º V= − = − . 
 
Exemplo 13: Quais são as tensões de fase para uma carga trifásica em estrela, equilibrada, na qual 
[ ]. BAV 13.800 40º V= − ? A seqüência de fases é ABC. 
 
Solução: Partindo do diagrama fasorial para a seqüência de fases ABC, e do grupo de tensões de linha 
que inclui , pode-se notar que avança em 30º. Obviamente, o módulo de 
 é menor por um fator 
.
ABV
.
BNV
.
BAV
.
BNV 3 . Portanto, [ ]. BN 13.800V 40 30º 7.967 10º V
3
= − + = − 
 
Da seqüência de fases e da relação do primeiro subscrito, avança em 120º, e atrasa-se 
de em 120º. Assim, 
.
ANV
.
BNV
.
CNV
.
BNV
 
[ ]. ANV 7.967 10º 120º 7.967 110º V= − + = 
 
[ ]. CNV 7.967 10º 120º 7.967 130º V= − − = − 
 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
68 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
Carga em ∆ Equilibrada-Correntes de Linha e de Fase 
 
 
Exemplo 14: Uma carga trifásica equilibrada ligada em estrela tem a tensão de fase [ ]CNV 254 45º V= . 
Se a seqüência de fases é ACB (negativa), achar as tensões de linha , e 
. 
.
CAV
.
ABV
.
BCV
 
 
Solução: Do diagrama fasorial para uma carga equilibrada ligada em Y com seqüência ACB, pode-se 
notar que a tensão em atrasa-se de 30º em relação a tensão de fase . E também, 
que seu módulo é maior pelo fator 
.
CAV
.
CNV
3 . Portanto, do fato de que tem um avanço de 120º 
relativamente a , porque seu primeiro subscrito A está imediatamente à frente do primeiro 
subscrito C de na seqüência de fases inversa ACB, 
.
ABV
.
CAV
.
CAV
[ ]ABV 440 45º 120º 440 135º V= + = . Da mesma forma, deve atrasar-se de em 
120º. Logo, 
.
BCV
.
CAV
[ ]BCV 440 15º 120º 440 105º V= − = − . 
 
 
 
Exemplo 15: Quais são as tensões de fase para uma carga trifásica equilibrada ligada em estrela se 
[. ABV 13,8 30º KV= − ] , com seqüência de fases direta? 
 
 
Solução: De açordo com o diagrama fasorial para uma carga Y com seqüência de fases positivas (ABC), 
e do grupo de tensões de linha que inclui , pode-se notar que avança em 30º. 
Obviamente, o módulo de é menor por um fator igual a 
.
BAV
.
BNV
.
BAV
.
BNV 3 . Portanto, 
[ ]. BN 13.800V 30º 30º 7.967 0º V
3
= − + = . 
Da seqüência de fases e da relação do primeiro subscrito, avança em 120º. Logo: 
.
ANV
.
BNV
 
 
[ ]. ANV 7.967,43120º V= e [ ]. CNV 7.967,43 120º V= − 
 
 
Exemplo 16: Num circuito trifásico trifilar, achar as correntes fasoriais de linha para uma carga 
equilibrada ligada em estrela na qual cada impedância de fase é [ ]YZ 30 20º= Ω . A 
seqüência de fases é ABC e [ ]. ANV 120 35º V= . 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
69 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
Solução: A corrente de linha é obtida pelo quociente da tensão da fase pela impedância da 
fase : 
.
AI
.
ANV
YZ
[ ]. A 120 35ºI 41
30 20º
= = 5º A 
 
As outras correntes de linha podem ser determinadas de e da seqüência de fases. Elas 
tem o mesmo módulo de e, para a seqüência de fases ABC dada, atrasam e avançam 
em 120º. Portanto, 
.
AI
.
AI
.
AI
 
[ ]
[ ]
.
B
.
C
I 415º 120º 4 105º A
I 415º 120º 4135º A
= − = −
= + =
 
 
 
Exemplo 17: Num circuito trifilar trifásico,equilibrado, com seqüência de fases ABC, a corrente de linha 
[ ]. BI 40 20º A= . Achar as outras correntes de linha. 
 
 
Solução: Estando o circuito equilibrado, todas as três correntes de linha tem o mesmo módulo: 40 [A]. E 
sendo a seqüência de fases a direta (ABC), com A precedendo B, avança em 120º. 
Pela mesma razão (C segue B), atrasa em relação a em 120º. Conseqüentemente, 
.
AI
.
BI
.
CI
.
BI
 
[ ]. AI 40 20º 120º 40140º A= + = 
[ ]. CI 40 20º 120º 40 100º A= − = − 
 
 
Exemplo 18: Qual é a corrente de linha num circuito trifilar trifásico, desequilibrado, no qual 
.
AI
[ ]. BI 40 85º A= e [ ]. CI 70 230º A ? 
 
 
Solução: De acordo com a lei de Kirchhoff, a soma das três correntes de linha é zero, isto é: 
 
. . .
A B CI I I+ + = 0 
 
Então, 
 
[ ]. . .A B CI I I 40 85º 70 230º 43,7418,4º A= − − = − − = 
 
 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
70 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
 
Exemplo 19: Cada fase de um alternador trifásico ligado em estrela (figura 15) libera uma corrente de 
25[A] para uma tensão de fase de 220[V] e um fator de potência ( )cosφ de 80% indutivo. 
Qual é a tensão no terminal do gerador? Qual a potência desenvolvida em cada fase? 
Qual a potência trifásica (total) desenvolvida? 
 
 
.
abE
.
bnE
.
cnE
.
AI
.
BI
.
CI
.
caE
.
bcE
.
anE
n
a
bc
.
nI
 
 
Figura 15 
 
 
Solução: A tensão no terminal do gerador é a tensão de linha: 
 
[ ]L FV 3.V 381 V= = 
 
 
A potência desenvolvida em cada fase é dada por : 
 
F F FP V .I .cosφ= [ ] [ ]220x25x0,8 4.400 W 4, 4 KW= = = 
 
A potência trifásica é a soma das potências liberadas pelas três fases do alternador. Como a 
potência liberada em cada fase é a mesma, 
 [ ] [ ]T FP 3.P 3x4.400=13.200 W 13, 2 K W= = = . 
 
 
Exemplo 20: Uma carga ligada em Y, equilibrada, de impedâncias [ ]YZ 50 30º= − Ω é excitada por 
uma fonte de 12.470 [V], trifilar trifásica. Achar a corrente (eficaz) de linha. 
 
 
Solução: Cada corrente de linha é igual a tensão de fase da carga [ ]12.470 / 3 7200 V= dividida pelo 
módulo da impedância de fase: [ ]YZ 50= Ω . Portanto, [ ]LI 7200 / 50 144 A= = . 
 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
71 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
Exemplo 21: Achar as correntes fasoriais de linha para uma carga equilibrada ligada em Y, constituída 
de impedâncias [ ]YZ 60 20º= Ω , excitada por uma fonte trifásica. Uma das tensões de 
fase é [ ]. BNV 120 35º V= e a seqüência de fases é positiva (ABC). 
 
 
Solução: A corrente de linha pode ser encontrada dividindo-se a tensão da fase pela 
impedância de fase . E as outras correntes de linha podem ser encontradas de coma a 
ajuda de fases. Portanto, 
.
BI
.
BNV
YZ
.
BI
 
[ ]
.
. BN
B
Y
V 120 35ºI 2 15º A
Z 60 20º
= = = 
 
 
Visto que a sequência de fases é ABC, o ângulo de é 120º a mais que o de . 
Obviamente, os módulos das correntes são iguais. Logo, 
.
AI
.
BI
[ ]. AI 215º 120º 2135º A= + = . Da 
mesma forma, o ângulo de é 120º menor : 
.
CI [ ]. CI 215º 120º 2 105º A= − = − . 
 
 
Exemplo 22: Achar as correntes fasoriais de linha para uma carga ligada em Y, equilibrada, constituída 
de impedâncias [ ]YZ 50 35º= − Ω , alimentada por um sistema trifilar no qual 
[ ]. CBV 220 60º V= . A seqüência de fases é ABC. 
 
 
Solução: De acordo com a figura 37, a tensão de fase tem um ângulo que é 30º maior do que 
aquele de e um módulo que é menor por um fator de 
.
CNV
.
CBV 1/ 3 . Portanto, 
 
[ ]. CN 220 60º 30ºV 127 90º V
3
+= = 
 
 
A corrente de linha é 
.
CI
 
[ ]
.
. CN
C
Y
V 127 90ºI 2,54 125º A
Z 50 35º
= = =− 
 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
72 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
A
B
C
A
B
C
N
AZ
BZ
CZ
(a)
(b)
 
Figura 37 
 
Visto que A segue C na seqüência de fases (...ABCA...), atrasa com relação a em 120º. 
Donde 
.
AI
.
CI
[ ]. AI 2,54125º 120º 2,54 5º A= − = Como B precede C na seqüência de fases, 
avança em relação a em 120º. Logo: 
.
BI
.
CI
[ ]. BI 2,54125º 120º 2,54 245º 2,54 115º A= + = = − . 
 
 
Exemplo 23: Qual é a seqüência de fases de um circuito trifásico equilibrado com uma carga ∆ na qual 
duas das correntes de fase são [ ]. BAI 12 20º A= − e [ ]. CBI 12100º A= ? Quanto vale 
? 
.
ACI
 
 
Solução: Visto que , com primeiro subscrito C, tem um ângulo 120º maior que aquele de , com o 
primeiro subscrito B, a letra C precede a letra B na seqüência de fases. Logo, a seqüência de 
fases tem que ser ACB, a seqüência de fases negativa. Nesta seqüência, , com primeiro 
subscrito A, tem um ângulo que é 120º menor do que aquele de . Obviamente, o módulo é 
o mesmo: 
.
CBI
.
BAI
.
ACI
.
BAI
[ ]. ACI 12 20º 120º 12 140º A= − − = − . 
 
 
Exemplo 24: Achar as correntes de fase , e de uma carga trifásica equilibrada ligada em 
.
BCI
.
ABI
.
CAI ∆ 
sabendo que uma corrente de linha é [ ]. BI 75 45º A= − e que a sequência de fases é 
ABC. 
 
 
Solução: De acordo com a figura 49, que é para a seqüência de fases ABC e para o grupo de correntes 
de fase em especificado, pode-se notar que tem um ângulo que é 30º maior do que 
aquele de , e tem módulo menor por um fator de 
∆ . BCI
.
BI 1/ 3 . Conseqüentemente, 
 
[ ]. BC 75 45º 30ºI 43,3 15º A
3
− += = − 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
73 / 110 
 Grupo de Estudos da Qualidade da Energia Elétrica Prof. José Policarpo 
GQEEGQEE
30º30º
30ºφ
φ
φ
. . .
C CA BCI I I= −
. . .
A AB CAI I I= −
. . .
B BC ABI I I= −
.
CAV
.
BCV
.
ABV
I .
ABI
.
ACI.
BCI
.
BAI
.
CBI
.
CAI
Re
Figura 49 
Da mesma figura 49, ou do fato de que tem um ângulo que é maior em 120º ao de , 
porque seu primeiro subscrito A está imediatamente à frente do primeiro subscrito B de , 
na seqüência de fases ABC, 
.
ABI
.
BCI
.
BCI
[ ]. ABI 43,3 15º 120º 43,3105º A= − + = . 
Assim [ ]. CAI 43,3 15º 120º 43,3135º A= − − = 
 
 
Exemplo 25: Uma carga trifásica equilibrada ligada em ∆ tem uma corrente de fase [ ]. BAI 2010º A= . A 
seqüência de fases é ACB. Achar as outras correntes de fase e as correntes de linha. 
 
 
Solução: As outras correntes de fase procuradas são aquelas que tem ângulos diferindo 120º daquele de 
. Elas tem que ser e , como se pode obter da relação dos subscritos: Duas 
correntes não podem ter as mesmas letras como primeiros ou como segundos 
subscritos; a mesma letra só pode aparecer uma vez como primeiro subscrito e uma vez 
como segundo subscrito. Visto que a seqüência de fases é ACB, ou inversa, deve 
avançar e, 120º, porque na seqüência de fases a letra C (primeiro subscrito de ) 
precede a letra B (primeiro subscrito de ). Conseqüentemente, 
.
BAI
.
ACI
.
CBI
.
CBI
.
BAI
.
CBI
.
BAI
[ ]. CBI 20 10º 120º 20130º A= + = . Então deve se atrasar com relação a em 120º: . ACI . BAI
[ ]. ACI 2010º 120º 20 110º A= − = − . Na figura 50, atrasa com relação a em 30º, e 
visto que ela tem módulo 
.
AI
.
ACI
3 vezes maior, [ ]. AI 20 3 110º 30º 34,64 140º A= − − = − . 
Sendo a seqüência de fases ACB, as correntes e , respectivamente, avançam e atrasam 
de em 120º: 
.
BI
.
CI
.
AI
[ ]. BI 34,64 140º 120º 34,64 20º A= − + = − 
Revisão: José Eugenio L. Almeida Colaboração: Thiago Clé e William Carneiro 
 
74 / 110