Regras Derivadas e Integrais

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REGRAS GERAIS DE DIFERENCIAÇÃO
Nas expressões seguintes, u, v, w são funções de x; a, b, e, n são constantes [rest .~
indicado]; e = 2,71828 ... é a base do logaritmo natural de u (isto é, o logaritmo de base e, onde se su -
u > Oe todos os ângulos estão em radianos.
13.2
13.3
13.4
13.5
13.6
i3.7
13.8
13.9
13.10
13.11
13.12
13.13
d
- (e) = Od:x
d
- (ex) = ed:x
!!... (exn) = ncx" - 1
d:x
d:x
d(u ± v +_ w +_ ) = du + dv + dw +... dx-d:x-dx-
d' du
- (eu) = e -d:x d:x
d dv du- (uv) = u - + v -
d:x ex dx
d du dv dw- (uvw) = - vw + u-w + uv-d:x d:x d:x dx
v(duldx) - u (dvldx)
v2
.!!:... (un) = nun-l du
d:x d:x
!!:Y.. _!!:Y.. du
d:x - du du (regra para função composta)
du 1----
d:x - d:xldu
!!:Y.. _ dyldu
d:x - d:xldu
DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
d 1 du-are senu= -dx ...,fI _ u2 dx
d - 1 du- eosu = -dx ...,fI _ u2 dx
d 1 du- aretgu = ---
dx 1 + u2 dx
d - 1 du13.23' - are eotg u = -- -:-
dx 1 + u2 dx
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13.15
13.16
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13.25
d du
- sen u = eos u -
dx dx
d du- eos u = - sen u -
dx dx
d 2 du-tgu= see u -
dx dx
d 2 du- eotg u = - eosee u -dx dx
d du
dx see u = eosee u tg u dx
d du
dx eosee u = - eosee u eotg u dx
[
1t - 1t]- "2 < are sen u < "2
[O < are eos u < 1t]
[ - ~ < are tg u < ~l
[O < are eotg u < 1t]
d 1 du ± 1 du- areseeu = - - -----
dx lul ...,f u2 _ 1 dx - u ...,f u2 _ 1 dx [
+ se O < are see u < 1t/2]
- se 1t/2 < are see u < 1t
d - 1 du
dx are eosee u = _I dx
lul 'Iu2 - 1
[.; O < are eosee u < 1t/2 ]
+ se - 1t/2 < are eosee u < O
DERIVADAS DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS
13.26
13.27
13.28
d logae du
- log u = -- - a> O e a;to 1
dx a u dx
d d 1 du- ln u = - log u = - -
dx dx e udx
d du- aU = a" ln a - (a > O)
dx dx
13.29
13.30
d du-eu=eu-
dx dx
d d d 1 du dv-uv = - evlnu = ev1nu - [V ln u] = VUv- - + Uv lnu-
dx dx dx dx dx
DERIVADAS DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS E
FUNÇÕES illPERBÓLICAS INVERSAS
13.31
13.32
13.33
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13.37
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13.40
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13.42
d du- senh u = eosh u -dx dx
d du
- eosh u = senh u -dx dx
d 2 du- tgh u = seeh u = -
dx dx
d 2 du- eotgh u = - eoseeh u -dx dx
d du
dx seeh u = - seeh u tgh u dx
d ~
dx eoseeh u = - eoseeh u eotg u dx
!1:.- are senh u = 1 du
dx -Vi + 1 dx
d ± 1 du
- are eosh u = ~==
dx -Vu2 _ 1 dx
d 1 du- are tgh u = ---
dx l-u2dx
d 1 du- are eotghu = ---
dx 1 _ u2 dx
[
+ se are eosh u > 0, u > 1]
- se are eosh u < 0, u > 1
[-I<u<l]
[u > 1 ou u < - 1]
d :::;::1 du
- are seeh u = -r=====
dx u -V 1 _ u2 dx
'. se are seeh u > 0, ° < u < 1]
+ se are seeh u < 0, ° < u < 1
d -1 ~
dx are eoseeh u = dx
lul "1 + u2
:::;::1 du
u "1 + u2 dx [ - se u > 0, + se u < O]
14 INTEGRAISINDEFINIDAS
DEFINIÇÃO DE UMA INTEGRAL INDEFINIDA
Se ~ = f(x), então y é a função cuja derivada éf(x) e y é chamada de antiderivada deftx) ou integral
indefinida ou primitiva de f(x), designada por f f(x) dx. Analogamente, se y = f f(u) du, então 7u = f(u).
Desde que a derivada de uma constante é zero, toda integral indefinida difere por uma constante arbitrária.
o processo de determinação de uma integral é chamado de integração ou antidiferenciação.
REGRASGERA1SDEINTEGRAÇÃO
Nas expressões seguintes, u, v, w são funções de x; a, b, p, q, n, constantes quaisquer restritas se
indicado; e = 2,71828 ... é a base natural dos logaritmos; ln u designa o logaritmo natural de u, supondo-se u >O
[em geral, na extensão das fórmulas onde u < O, substituir ln u por ln lu I]; todos os ângulos estão em radianos;
e todas as constantes de integração estão omitidas, mas implícitas.
14.1 f a dx = ax
14.2 f af(x) dx = af ftx) dx
14.3 f (u ± v ± w ± ...) dx = f u dx ± f v dx ± f w dx ±
14.4 f u dv = uv - f v du [Integração por partes]
(Ver fórmula geral em 14.48)
14.5
14.6
14.7
14.8
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14.19·
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14.29
I f(x) dx = ~ I f(u) du
J F {r(x)}dx = I F(u) ~~ du = I ;~~~du onde u = f(x)
I u" du = un + 1 n -:f::- 1 [Para n = -1, veja 1408]n + l'
I d: = 1n u para u > Oou U < O
I eUdu = eU
I aUdu = I eulnadu = e;n':a = ::u
a
' a>O, a-:f::1
I sen u du = - cos u
I eos u du = sen u
I tg u du = ln see u = - 1n eos u
I eotg u du = ln sen u
I see u du = ln (sec u + tg u) = ln tg (~ + ~)
I eosee u du = ln (eosee u - eotg u) = ln tg ~
I see2 u du = tg u
I cosec/ u du = - eotg u
I tl u du = tg u - u
I eotg2 u du = - eotg u - u
I 2 u sen 2u 1sen udu = - - -- = -eu - senu eos u)242
I 2 u sen 2u 1eos u du = "2 + -4- = "2 (u + sen u eos u)
I see u tg u du = see u
I eosee u eotg u du = - eosee u
I senh u du = eos u
I eosh u du = senh u
I tgh u du = ln eosh u
I eotgh u du = ln senh u
I sech u du = are sen (tgh u) ou 2 are tg eU
14.30
14.31
14.32
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14.35
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14.47
f eoseeh u du = ln tgh ~ ou are eotg eU
f seeh2 u du = tgh u
f coseclr' u du = - eotg u
f tgh2 u du = u - tgh u
f cotgh/ u du = u - eotgh u
f 2 senh 2 u u 1senh u du = - - = - (senh u eosh u - u)
422
f 2 senh 2u u 1eosh u du = 4 + "2 = "2 (senh u eosh u + u)
f seeh u tgh u du = - seeh u
f eoseeh u eotgh u du = eoseeh u
f du = 1are tg liu2 + a2 a a
f du = .I. 1n (u - a) = - 1 are eotgh li i > a2u2 _ a2 2a u + a a a
f du = ~ ln (a + u) = 1are tgh li i < a2a2 _ u2 2a la - u a a
f du u~=== = are sen -
-Va2 _ u2 a
f du = ln (u + -Vu2 + a2) ou are senh li
-Vu2 + a2 a
f du = ln (u + -Vu2 _ a2)
-Vu2 _ a2
f du = _ 11n [a + -Va2 - u2 )-V2 2 a u
u a - u
14.48 f P) g dx = r:: g - P-2) g' +P-3) g" - 000 (_l)n f fin) dx
Esta é a chamada fórmula generalizada da integraçâo por partes.