MATEMÁTICA EM CONTEXTOS - ANÁLISE COMBINATÓRIA (2)

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Análise combinatória, 
Probabilidade e Probabilidade e 
computaçãocomputação
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Análise combinatória, Análise combinatória, 
Probabilidade e Probabilidade e 
computaçãocomputação
1a edição, São Paulo, 2020
MANUAL DO 
PROFESSOR
Luiz Roberto Dante
Licenciado em Matemática pela Universidade Estadual Paulis-
ta “Júlio de Mesquita Filho” (Unesp-SP, Rio Claro)
Mestre em Matemática pela Universidade de São Paulo (USP)
Doutor em Psicologia da Educação pela Pontifícia Universi-
dade Católica de São Paulo (PUC-SP)
Livre-docente em Educação Matemática pela Unesp-SP, Rio 
Claro
Ex-professor do Ensino Fundamental e do Ensino Médio na 
rede pública de ensino de São Paulo
Autor de livros didáticos e paradidáticos de Matemática para 
alunos e professores da Educação Básica
Fernando Viana
Licenciado e mestre em Matemática pela Universidade Federal 
da Paraíba (UFPB)
Doutor em Engenharia Mecânica pela UFPB
Professor efetivo do Instituto Federal de Educação, Ciência 
e Tecnologia da Paraíba (IFPB)
Professor do Ensino Fundamental, do Ensino Médio e de 
cursos pré-vestibulares há mais de 20 anos
Autor de obras didáticas de Matemática para o Ensino Funda-
mental e o Ensino Médio
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Presidência: Paulo Serino
Direção editorial: Lauri Cericato
Gestão de projeto editorial: Heloisa Pimentel 
Coordenação de área: Marcela Maris e Juliana Grassmann dos Santos
Edição: Marina Muniz Campelo, Rodrigo Macena, 
Alessandra Maria Rodrigues da Silva, César Augusto Morais de Souza, 
Igor Nóbrega, Nadili L. Ribeiro, Pamela Hellebrekers Seravalli e 
Rani de Oliveira e Souza 
Assessoria técnica: Rodrigo da Cruz Fujioka
Planejamento e controle de produção: Vilma Rossi e Camila Cunha
Revisão: Rosângela Muricy (coord.), Alexandra Costa da Fonseca, 
Ana Paula C. Malfa, Ana Maria Herrera, Carlos Eduardo Sigrist, 
Flavia S. Vênezio, Heloísa Schiavo, Hires Heglan, Kátia S. Lopes Godoi, 
Luciana B. Azevedo, Luís M. Boa Nova, Luiz Gustavo Bazana, 
Patricia Cordeiro, Patrícia Travanca, Paula T. de Jesus, 
Sandra Fernandez e Sueli Bossi
Arte: Claudio Faustino (ger.), Erika Tiemi Yamauchi (coord.), 
Alexandre Miasato Uehara e Renato Akira dos Santos (edição de arte), 
WYM Design (diagramação)
Iconografia e tratamento de imagens: Roberto Silva (coord.), 
Mariana Sampaio (pesquisa iconográfica), Cesar Wolf (tratamento de imagens)
Licenciamento de conteúdos de terceiros: Fernanda Carvalho (coord.), 
Erika Ramires e Márcio Henrique (analistas adm.)
Ilustrações: Tiago Donizete Leme e WYM Design
Cartografia: Mouses Sagiorato
Design: Luis Vassallo (proj. gráfico, capa e Manual do Professor) 
Todos os direitos reservados por Editora Ática S.A.
Avenida Paulista, 901, 4o andar
Jardins – São Paulo – SP – CEP 01310-200
Tel.: 4003-3061
www.edocente.com.br
atendimento@aticascipione.com.br
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
Angélica Ilacqua - CRB-8/7057
2020
Código da obra CL 713842
CAE 729715 (AL) / 729717 (PR)
1a edição
1a impressão
De acordo com a BNCC.
Envidamos nossos melhores esforços para localizar e indicar adequadamente os créditos dos textos e imagens 
presentes nesta obra didática. Colocamo-nos à disposição para avaliação de eventuais irregularidades ou omissões 
de créditos e consequente correção nas próximas edições. As imagens e os textos constantes nesta obra que, 
eventualmente, reproduzam algum tipo de material de publicidade ou propaganda, ou a ele façam alusão, 
são aplicados para fins didáticos e não representam recomendação ou incentivo ao consumo.
Impressão e acabamento
002_V5_MATEMATICA_Dante_g21At_Iniciais_LA.indd 2002_V5_MATEMATICA_Dante_g21At_Iniciais_LA.indd 2 21/09/2020 11:0721/09/2020 11:07
Apresentação
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Caro estudante,
Ao elaborar esta coleção de Matemática e suas Tecnologias para o Ensino Médio, 
observamos o que há de mais moderno no processo de ensino e aprendizagem dessa 
área do conhecimento. 
Nosso objetivo com esta coleção é proporcionar a você condições para que pos-
sa compreender e aplicar as principais ideias e ferramentas da Matemática em seu 
nível de ensino, atribuindo significados e possibilitando a resolução de problemas 
do mundo real. Além disso, a coleção foi concebida de modo a dar espaço para que 
você seja protagonista do próprio processo de aprendizagem, desenvolvendo uma 
educação integral.
Todos os conceitos essenciais, próprios do Ensino Médio, foram explorados ao 
longo dos volumes de maneira simples, intuitiva e compreensível. As resoluções me-
canizadas e o formalismo excessivo foram evitados; mantivemos, porém, o rigor ne-
cessário, coerente com o nível para o qual a coleção é proposta. 
Na abertura de cada capítulo, apresentamos uma imagem relacionada aos con-
teúdos que o compõem, com o objetivo de lhe dar uma percepção de alguns dos 
temas que serão estudados. Esperamos que isso instigue sua curiosidade!
Em seguida, você encontra situações contextualizadas e, muitas vezes, integra-
das, que também exprimem os conteúdos e temas. Nelas você pode observar e in-
vestigar a utilização da Matemática de maneira simples, espontânea e eficiente, além 
de refletir sobre ela.
No decorrer de cada capítulo, apresentamos textos e atividades significativos, 
que abordam fatos históricos e contextualizam a construção dos conteúdos que estão 
sendo estudados, bem como expõem e promovem a resolução de problemas relacio-
nados a situações reais ou a outras áreas do conhecimento, exploram as tecnologias 
digitais – tão presentes em nossa vida – e propiciam o desenvolvimento do pensa-
mento computacional. 
Desse modo, a coleção como um todo engloba todas as competências gerais da 
Base Nacional Comum Curricular (BNCC), assim como as competências específicas e 
as habilidades da área de Matemática e suas Tecnologias que estão previstas para o 
Ensino Médio. 
Sugestões e críticas que visem ao aprimoramento deste trabalho serão sempre 
consideradas. Seja muito bem-vindo ao estudo da Matemática e suas Tecnologias 
que esta coleção lhe proporciona!
Os autores
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Conheça seu livro
Este volume está organizado em 3 capítulos. Nele você 
encontrará textos, boxes e seções. Conheça a seguir a es-
trutura deste volume.
Atleta nas Olimpíadas do Rio de Janeiro de 2016, 
na montanha do Corcovado. As Olimpíadas 
originaram-se na cidade de Olímpia, na Grécia, 
no século VIII a.C. A versão moderna dos 
Jogos Olímpicos teve a primeira edição 
sediada em Atenas, em 1896.
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s Olimpíadas são um evento esportivo que reúne atletas de todo o mundo. 
Geralmente, o evento é planejado para ocorrer a cada quatro anos; contudo, 
pode ser adiado ou cancelado devido a alguns acontecimentos. Isso ocorreu 
com os Jogos Olímpicos de Verão de 1940, que foram cancelados por causa da Segunda 
Guerra Mundial (1939-1945), e, mais recentemente, com os Jogos Olímpicos de Verão de 
2020, que foram adiados devido à pandemia de Covid-19.
As Olimpíadas têm dois símbolos principais: a bandeira e a tocha olímpica.
A bandeira dos Jogos Olímpicos tem cinco anéis entrelaçados sobre um fundo branco. Os anéis 
representam as cinco partes do mundo unidas pelos jogos: América, Europa, Ásia, África e Oceania. 
Os anéis são azul, amarelo, preto, verde e vermelho. [...]
ESCOLA BRITANNICA. Jogos Ol’mpicos. Disponível em: https://escola.britannica.com.br/artigo/
 Jogos-Olímpicos/482102. Acesso em: 10 jun. 2020.
A escolha das cores dos anéis foi feita de acordo com as cores das bandeiras dos países que participam 
das Olimpíadas. Pelo menos uma dessas cinco cores aparece na bandeira de cada um dos mais de 200 paí-
ses. A ordem correta das cores dos anéis na bandeira é azul, amarelo, preto, verde e vermelho, mas imagine 
quantas possibilidades diferentes de bandeira existiriam se pudéssemos trocar a ordem dos anéis? Situações 
como essa, de análise de possibilidades, serão o tópico de estudo deste capítulo e fazem parte de uma área 
de estudo da Matemática chamada análise combinatória.
Nos Jogos Olímpicos existem outras situações de análise e contagem de possibilidades, como as possí-
veis formações de um pódio em uma das competições esportivas que fazem parte dos Jogos Olímpicos. Nes-
sas competições, três atletas ou equipes são premiados: a equipe ou o atleta que ficar em primeiro lugar ga-
nha a medalha de ouro, o segundo lugar recebe a medalha de prata e o terceiro lugar, a medalha de bronze.
Fonte de consulta: ESCOLA BRITANNICA. Jogos Olímpicos. Disponível em: https://escola.britannica.com.br/artigo/
Jogos-Olímpicos/482102. Acesso em: 10 jun. 2020.
 a) Os Jogos Olímpicos de Verão de 2016 foram sediados no Rio de Janeiro (Brasil). Nas Olimpíadas do 
Rio, a final da categoria masculina C2 1 000 m de canoagem de velocidade tinha oito duplas de compe-
tidores, entre eles, os brasileiros Isaquias Queiroz e Erlon de Souza. Os outras duplas de competidores 
estavam representando os seguintes países: Alemanha, Ucrânia, Hungria, Rússia, Cuba, República Checa 
e Uzbequistão.
Fonte de consulta: FRICKE, Gabriel. Ao lado de Erlon, Isaquias leva a prata e se consagra nas águas da Lagoa. 
Globo Esporte, Rio de Janeiro, 20 ago. 2016. Disponível em: http://globoesporte.globo.com/olimpiadas/
canoagem/noticia/2016/08/isaquias-e-erlon-conquistam-prata.html. Acesso em: 29 jul. 2020.
 Considerando as duplas que estavam competindo pelos 8 países citados, de quantas maneiras diferen-
tes seria possível formar o pódio?
A Tocha Olímpica, um dos principais símbolos dos Jogos Olímpicos, é desenvolvida a cada edição do even-
to com base nas características do país onde os jogos devem acontecer [...].
O fogo, que é ateado na pira olímpica no palco de abertura dos jogos, é aceso 100 dias antes do começo da 
competição, em Olímpia, na Grécia, a partir da luz solar. Antes de embarcar para a cidade-sede, a tocha acesa 
passa por algumas cidades gregas e outras localidades no país que receberá os jogos.
O revezamento da tocha, que antecede a abertura dos Jogos Olímpicos, é a representação de uma lenda 
grega. Nessa lenda, Prometheus (um titã defensor da humanidade) teria roubado o fogo, que representa a di-
vindade e a sabedoria dos deuses, de Zeus e entregado aos seres humanos.
BRASIL ESCOLA. Como funciona a tocha olímpica. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/curiosidades/
como-funciona-tocha-olimpica.htm. Acesso em: 15 jun. 2020.
Não escreva no livro.
9
50º O
Boa Vista
Macapá
Belém São Luís
Fortaleza
Teresina
Natal
João
Pessoa
Recife
Maceió
Aracaju
Salvador
Manaus
Cuiabá
Campo
Grande
Saída:
Brasília
Belo
Horizonte
PalmasPorto
VelhoRio Branco
Curitiba
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Florianópolis
São Paulo
Rio de Janeiro
Vitória
Goiânia
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16000 km por avião
20000 km por terra
Percurso da tocha olímpica
Capital de país
Capital de estado
Cidade
OCEANO
PACÍFICO
OCEANO
ATLÂNTICO
Equador 0º
Trópico de Capricórnio
 b) Nas Olimpíadas de 2016, que ocorreram no Brasil, a tocha passou por cidades em 
todos os estados brasileiros. Em Santa Catarina foram escolhidas 4 cidades para 
a passagem da tocha: Blumenau, Criciúma, Florianópolis e Joinville. De quantas 
maneiras diferentes seria possível escolher o trajeto da tocha, passando por essas 
4 cidades?
 c) No estado de Goiás, a tocha passou por Anápolis, Caldas Novas e Goiânia, nessa 
ordem. Considere que existem 2 caminhos diferentes para ir de Anápolis a Caldas 
Novas; existem também 2 caminhos diferentes para ir de Caldas Novas a Goiâ-
nia. De quantas maneiras diferentes seria possível definir o caminho da tocha em 
Goiás?
 d) Considere que havia 6 candidatos para revezar na condução da tocha em um 
trecho em que devem ocorrer apenas 2 trocas. De quantas maneiras diferentes é 
possível escolher apenas 3 pessoas entre os 6 candidatos?
Fonte: Rio2016.com.
A cada competição, a tocha olímpica ganha um novo design, 
de acordo com o país sede. Em 2016, a tocha foi criada com as 
cores da bandeira brasileira para representar elementos do país.
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Não escreva no livro.
Percurso da tocha olímpica no Brasil
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CONHEÇA O CAPÍTULO
11
Objetivos
•	 Explorar situações que envolvem contagem de possibilidades.
•	 Utilizar registros como esquema, listagem, diagrama de árvore, tabela, 
desenho e diagrama para representar situações e resolver problemas de 
contagem.
•	 Resolver e elaborar problemas utilizando o princípio aditivo e o princípio 
multiplicativo (princípio fundamental da contagem).
•	 Explorar situações que envolvem a permutação simples de elementos.
•	 Resolver e elaborar problemas de permutação simples.
•	 Explorar situações que envolvem a permutação com repetição de ele-
mentos.
•	 Resolver e elaborar problemas de permutação com repetição de ele-
mentos.
•	 Explorar situações que envolvem arranjos simples de elementos.
•	 Resolver e elaborar problemas de arranjos simples.
•	 Explorar situações que envolvem a combinação simples de elementos 
em um conjunto.
•	 Resolver e elaborar problemas de combinações simples.
•	 Utilizar recursos digitais para realizar cálculos de situações com permuta-
ções, arranjos e combinações.
•	 Reconhecer e aplicar diferentes estratégias para resolver problemas de 
contagem de possibilidades.
Justificativa
Em um campeonato esportivo, é possível contar as possibilidades de pó-
dio de acordo com a organização da competição. Em um jogo, podemos 
contar as possibilidades de movimentos de acordo com as jogadas ante-
riores. Essas situações envolvem uma área da Matemática chamada análise 
combinatória.
Para analisar situações como essas, podemos utilizar diferentes estraté-
gias, que compõem a análise combinatória. Neste capítulo vamos analisar 
situações que envolvem contagem e aprender técnicas distintas que podem 
ser aplicadas em situações de permutação, arranjo e combinação.
A BNCC
No decorrer do capítulo, 
favorecemos o desenvolvimento 
das competências gerais da 
Educação Básica, bem como 
das competências específicas e 
das habilidades de Matemática 
e suas Tecnologias e de 
outras áreas do conhecimento 
indicadas a seguir. Também 
estão indicados os temas 
contemporâneos transversais 
presentes no capítulo. 
Competências gerais: CG01, 
CG03.
Competência específica 
de Matemática e suas 
Tecnologias: CEMAT03.Habilidades de Matemática 
e suas Tecnologias: 
EM13MAT310, EM13MAT311.
Habilidades de outras 
áreas do conhecimento: 
EM13LGG601, EM13LGG701.
Temas contemporâneos 
transversais:
•	Diversidade Cultural;
•	Educação Alimentar e 
Nutricional;
•	Educação para valorização 
do multiculturalismo nas 
matrizes históricas e culturais 
brasileiras. 
Algoritmos e fluxogramas
Situação 1
Situação 2
Algoritmos no cotidiano
Muitas ações do nosso dia a dia são procedimen-
tais, isto é, costumam ser realizadas por meio de uma 
sequência de ações menores e mais simples. Ir à esco-
la, por exemplo, envolve ações menores como “tomar 
banho”, “colocar o uniforme escolar”, "se alimentar", 
“sair de casa” e “utilizar um meio de transporte para 
chegar à escola”. Além de a ação “ir à escola” ser 
decomposta em etapas menores, essas etapas têm ou 
podem ter uma ordem bem definida – obviamente, 
tomar banho é algo que deve ser feito antes de colo-
car o uniforme.
Pode parecer estranho dividir essas ações em eta-
pas menores e mais simples, já que elas são tão rotineiras que nem pensamos muito 
nesses passos. Entretanto, entender essa subdivisão auxilia a compreensão de uma 
lógica parecida, que é usada na programação e no funcionamento de computadores, 
equipamentos eletrônicos, internet, jogos e programas. Uma das maneiras de registrar 
isso é utilizando algoritmos. 
Diante disso, pense nos passos que você realiza quando precisa fazer um bolo e 
responda: Que semelhanças você observa entre essa ação e os algoritmos?
Matemática e algoritmos
A Matemática é uma área do conhecimento na qual 
o uso de algoritmos é comum. Por exemplo, para calcu-
lar a medida de área de um trapézio, conhecendo algu-
mas medidas de comprimento, podemos utilizar a se-
guinte sequência de ações: identificar as medidas de 
comprimento da base maior, da base menor e da altura 
do trapézio; efetuar a adição das medidas de compri-
mento das duas bases; multiplicar esse resultado pela 
medida de altura; e, por fim, calcular a metade desse 
resultado. Essa sequência de ações está implícita na fór-
mula A 5 
2
B b h( 1 )
. 
Converse com um colega e, juntos, escolham uma prá-
tica rotineira na Matemática para identificar um algoritmo 
(ou sequência de ações) que é utilizado nessa prática.
Não escreva no livro.
Para fazer um bolo, 
costumamos utilizar 
um conjunto de 
passos específicos 
indicados na receita 
dele.
Na Matemática, mesmo sem perceber, utilizamos várias 
sequências de ações para obter soluções ou analisar 
aspectos de entes matemáticos.
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 27. Um grupo de 4 estudantes e 
3 monitores devem ocupar os 
7  lugares de uma mesa retan-
gular como na figura. Os estu-
dantes deverão se posicionar 
no lado B da mesa e os moni-
tores no lado A. Cada um dos 
lugares deve ser ocupado por 
uma única pessoa.
De quantos modos diferentes isso pode ser feito?
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ra 28. Em um jogo de bilhar, há 15 bolas numeradas de 1 a 
15 mais a bola branca, que não é numerada.
Um jogador pretende enfileirar essas bolas (inclusive a 
branca) de modo que as bolas 1 e 2 não fiquem jun-
tas. O número de maneiras distintas que isso pode ser 
feito é:
 a) 16! 2 2!
 b) 16! ? 2!
 c) 16! 2 (15! ? 2!)
 d) 16! 2 15! 2 2!
 e) 14! ? 2!
Permutações com repetição
Já vimos as permutações simples, que são aquelas em que todos os elementos permutados eram diferen-
tes. Agora vamos estudar os casos de permutação com elementos repetidos.
Explorando as permutações com repetição
1. Tulio tem 4 canecas: 1 caneca azul, 1 caneca vermelha e 2 canecas brancas. Todas as canecas são iguais e se diferenciam 
exclusivamente pelas cores.
Possível organização das canecas.
 a) Liste no caderno todas as possibilidades de organizar essas canecas em uma prateleira. Use A para a caneca azul, 
V para a caneca vermelha, B1 para uma das canecas brancas e B2 para a outra caneca branca.
 b) Quantas possibilidades de organização das canecas você listou?
2. Sabendo que as canecas brancas são iguais, responda aos itens.
 a) Reescreva no caderno a lista de todas as possibilidades de organização das canecas, mudando B1 e B2 para B.
 b) Analise essa nova lista de possibilidades de organização das canecas. Algumas possibilidades estão repetidas; 
quantas vezes cada possibilidade se repete?
 c) Considerando apenas as possibilidades diferentes de organização, quantas você listou?
3. Tulio quebrou a caneca vermelha e comprou outra caneca branca para substituí-la.
 a) Liste no caderno todas as possibilidades diferentes de organizar as canecas na prateleira. Utilize A para a caneca 
azul, e B1, B2 e B3 para as canecas brancas.
 b) Reescreva no caderno a lista de todas as organizações mudando B1, B2 e B3 para B.
 c) Analise a nova lista de organizações. Quantas vezes as possibilidades que são iguais se repetem?
 d) Considerando apenas as organizações diferentes, quantas você listou?
4. Considerando os resultados das atividades anteriores, converse com um colega e tentem explicar como calcular o 
número de organizações diferentes sem precisar listar cada uma delas.
Explore para descobrir Não escreva no livro.
Não escreva no livro.
Lado B
Lado A
As imagens não 
estão representadas 
em propor•ão
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25
Na primeira página da abertura de cada 
capítulo, mostramos uma imagem relacionada 
a um ou mais conteúdos ou temas abordados 
nele. Os textos apresentados nas demais 
páginas da abertura são acompanhados de 
perguntas que propõem reflexões sobre os 
assuntos do capítulo e buscam introduzir, 
direta ou indiretamente, os conteúdos que 
serão estudados.
No início de cada tópico dos 
capítulos, você encontra algumas 
situações e questões relacionadas 
a elas que permitem investigações 
e explorações e que o preparam 
para os conteúdos do tópico. 
No Conheça o capítulo, apresentamos os 
objetivos que devem ser atingidos no decorrer 
do capítulo e a justificativa de pertinência 
deles. Além disso, indicamos as competências 
gerais da Educação Básica, bem como as 
competências específicas e as habilidades da 
Base Nacional Comum Curricular (BNCC) da 
etapa do Ensino Médio, cujo desenvolvimento 
é favorecido no capítulo, e os temas 
contemporâneos transversais presentes nele. 
Consulte as páginas 154 a 158 para saber mais 
da BNCC e ler o descritivo das competências 
gerais, assim como o descritivo das 
competências específicas e das habilidades 
favorecidas neste volume. 
No Explore para descobrir, 
indicamos atividades de 
exploração, experimentação, 
verificação e sistematização 
dos conteúdos apresentados, 
possibilitando que você formule 
ideias e crie estratégias.
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5
	37.	Calcule:
	a) A4, 2
	b) A6, 3
	c) A8, 2
	d) A4, 4
	e) A5, 1 
	 f) A7, 0
	g) A8, 5
	h) An, 0
	38.	Determine a expressão correspondente a:
	a) Ax, 2 	b) Ax 2 3, 2 	c) A2x 1 1, 3 
	39.	Determine o valor de x nas equações:
	a) Ax 2 1, 2 5 30 	b) Ax, 3 5 x
3 2 40
	40.	Um clube tem 30 membros. A diretoria é formada por 
um presidente, um vice-presidente, um secretário e um 
tesoureiro. Se uma pessoa pode ocupar apenas um 
desses cargos, de quantas maneiras diferentes é possí-
vel formar uma diretoria? Tente resolver essa atividade 
de 2 maneiras, usando o princípio fundamental da con-
tagem e usando a fórmula para o cálculo de arranjos, 
depois compare as resoluções.
	41.	Em um sofá, como o da imagem a seguir, há lugares 
para 4 pessoas. De quantas maneiras diferentes po-
dem se sentar apenas 4 de um grupo de 6 pessoas?
Um sofá de 4 lugares é planejado para acomodar 
4 pessoas confortavelmente.
	42.	De quantas maneiras diferentes podemos escolheraleatoriamente uma pivô e uma armadora em um gru-
po de 12 jogadoras de basquete?
Seleção brasileira de basquete feminino recebendo a 
medalha de ouro nos Jogos Pan-Americanos de Lima em 
2019.
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Atividades Não escreva no livro.
	43.	Um estudante tem 6 lápis de cores diferentes. De quan-
tas maneiras diferentes ele poderá pintar os estados da 
região Sudeste do Brasil (São Paulo, Rio de Janeiro, Mi-
nas Gerais e Espírito Santo), cada um de uma cor?
	44.	De quantas maneiras diferentes podemos acomodar 4 
estudantes, cada um em uma carteira, em uma sala de 
aula que dispõem de 30 carteiras?
	45.	Dispomos de 7 cores e queremos pintar as 5 regiões 
brasileiras em um mapa do Brasil, cada uma de uma 
cor. De quantas maneiras isso pode ser feito?
	46.	Considere as regiões de um continente, um país ou um 
estado do mapa-múndi. Em seguida, elabore um pro-
blema como o anterior que use essas regiões. Depois 
troque com um colega e resolva o problema dele.
	47.	Os cargos de presidente e vice-presidente de um grê-
mio estudantil serão ocupados, respectivamente, pelo 
primeiro e segundo colocado em uma eleição na qual 
concorrem 15 estudantes. De quantas maneiras dife-
rentes é possível preencher esses cargos?
	48.	A Fórmula 1 (F1) é a competição de mais alto nível 
do mundo envolvendo motores automobilísticos. A 
origem dela se deu em 1950 e já contou com as mais 
variadas regras, como a proibição do reabastecimento 
e de pilotos da mesma equipe poderem trocar de car-
ros ao longo da corrida. Contudo, uma regra sempre 
foi a mesma, a quantidade de pilotos a subir ao pódio 
no final da corrida é sempre 3.
Fonte de consulta: ESTADÃO. Fórmula 1 elimina abastecimento 
e aumenta pontuação. Disponível em: https://esportes.estadao.
com.br/noticias/velocidade,formula-1-elimina-abastecimento-e-
aumenta-pontuacao,522209. Acesso em: 8 jun. 2020.
Se, em uma temporada, cada corrida tinha 20 pilotos 
competindo, de quantas maneiras o pódio poderia ser 
formado?
	49.	Uma família de 12 pessoas decide aproveitar as férias 
de fim de ano fazendo uma viagem em grupo. Eles 
pretendem partir do Rio de Janeiro (RJ) em direção 
a Fortaleza (CE) de ônibus. No momento da compra 
das passagens, havia 15 lugares vazios no ônibus. De 
quantas maneiras distintas é possível organizar essa fa-
mília nos 15 lugares restantes do ônibus?
	a) 
15
3
!
!
	b)	15!
 c) 12!
	d) 
15
3 12
!
! ? !
	e) 15! ? 3! 
	50.	Responda no caderno às questões:
	a) Quantos números de 4 algarismos distintos podem 
ser formados pelos algarismos 4, 5, 6, 7 e 8? 
	b) Quantos desses números formados são ímpares?
As imagens não estão 
representadas em proporção
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33
Formalizando o princípio fundamental da contagem
As análises das situações anteriores exemplificam o princípio fundamental da con-
tagem, que pode ser definido da seguinte maneira:
Um acontecimento é composto de n etapas a1, a2, », an, sucessivas e 
independentes, de maneira que
• o número de possibilidades distintas de a1 ocorrer é b1;
• para cada possibilidade da etapa a1, o número de possibilidades distintas de 
a2 ocorrer é b2;
• para cada possibilidade das etapas a1 e a2, o número de possibilidades 
distintas de a3 ocorrer é b3;
æ
• para cada possibilidade das etapas anteriores, o número de possibilidades 
distintas de an ocorrer é bn.
Então, o número de possibilidades de o acontecimento ocorrer é dado por: 
b1 ? b2 ? » ? bn
Esse é o princípio fundamental da contagem.
Analise alguns exemplos que utilizam o princípio fundamental da contagem.
	a) Com as letras A, B, C, D, E, F e G, quantos anagramas de 3 letras podemos formar?
____ ____ ____
1a letra 2a letra 3a letra
Esse acontecimento tem 3 etapas: a 1a letra, a 2a letra e a 3a letra.
Há 7 possibilidades para a 1a letra, 7 possibilidades para a 2a letra e 7 possibili-
dades para a 3a letra.
Utilizando o princípio fundamental da contagem, podemos calcular: 7 ? 7 ? 7 5 343.
Podemos formar 343 anagramas.
	b) Quantos números de 3 algarismos podemos formar com 0, 1, 2, 3, 4 e 5?
______ ______ _______
centena dezena unidade
Esse acontecimento tem 3 etapas: a centena, a dezena e a unidade.
Há 5 possibilidades para a centena (zero não é permitido), 6 para a dezena e 6 
para a unidade.
Utilizando o princípio fundamental da contagem, calculamos: 5 ? 6 ? 6 5 180.
Podemos formar 180 números.
	c) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com 0, 1, 2, 3, 4, 5 
e 6?
______ ______ _______
centena dezena unidade
Esse acontecimento tem 3 etapas: a centena, a dezena e a unidade.
 Há 6 possibilidades para a centena (o zero não é permitido), 6 para a dezena 
(todas as opções anteriores, menos uma que foi utilizada, mais o zero) e 5 para 
a unidade (todas as opções anteriores, menos uma que foi utilizada na dezena).
Utilizando o princípio fundamental da contagem, calculamos: 6 ? 6 ? 5 5 180.
Podemos formar 180 números com algarismos distintos.
Anagrama
Palavra que é formada 
mudando a ordem 
das letras da palavra 
original. Em Matemática 
consideramos todas as 
possibilidades, mesmo 
se a palavra não tiver 
sentido ou não for 
dicionarizada.
O princípio 
fundamental da 
contagem também 
pode ser chamado 
de princípio da 
multiplicação 
ou princípio 
multiplicativo.
Fique atento
O zero é excluído 
do algarismo das 
centenas, pois o 
número considerado 
deve ter 3 algarismos. 
Justifique.
Reflita
Não escreva no livro.
16
O algarismo das
unidades de x é
0, 2, 4, 6 ou 8?
Não
Sim
Início Fim
Nomeie de x o
número natural 
não nulo 
que será testado
x é um número
par
x é um número
ímpar
Algoritmos em problemas de Matemática
Diversos algoritmos são usados na Matemática, inclusive de maneira implícita. Um exemplo são os crité-
rios de divisibilidade estudados nos Anos Finais do Ensino Fundamental. Por exemplo, quando aplicamos o 
critério de divisibilidade por 2, verificamos se o algarismo das unidades de determinado número é 0, 2, 4, 6 
ou 8. Caso seja, o número é divisível por 2.
No algoritmo ao lado, a linha que começa com “Se” 
estabelece uma condição e, embaixo dela, há linhas 
indentadas (isto é, que apresentam recuo em relação 
às outras linhas). Caso a resposta seja positiva (sim), o 
algoritmo deve proceder para o conteúdo indentado 
abaixo da linha que começa com “Se”. Caso a 
resposta seja negativa (não), o algoritmo deve 
proceder para o conteúdo indentado abaixo da linha 
que começa com “Senão”.
Fique atento
Observe a seguir um algoritmo e o respectivo fluxograma que representa esse critério.
Início
	 Nomeie de x o número natural não nulo que será testado
	 Se o algarismo das unidades de x for 0, 2, 4, 6 ou 8, então
	 x é um número par
	 Senão
	 x é um número ímpar
Fim
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	 2.	O critério de divisibilidade por 3 afirma que um núme-
ro natural não nulo é divisível por 3 se, e somente se, 
a soma de todos os algarismos dele é divisível por 3.
Por exemplo, para saber se o número 728 167 é 
divisível por 3, basta adicionar os algarismos dele: 
7 1 2 1 8 1 1 1 6 1 7 5 31. Sabemos que 31 não 
é divisível por 3, mas, caso queiramos, podemos re-
petir esse procedimento até obter um número de 
um algarismo: 3 1 1 5 4 e 4 não é divisível por 3. 
Portanto, 728 167 não é divisível por 3.
	a) Utilize esse critério de divisibilidade para com-
provar que o número 9 663 459 é divisível por 3.
	b) No caderno, escreva um fluxograma que utilize 
esse método para identificar se um número é di-
visível por 3, repetindo-o até obter um número 
de 1 algarismo.
Resolu•‹o
	a) A soma dos algarismos de 9 663 459 é: 
9 1 6 1 6 1 3 1 4 1 5 1 9 5 42
Sabemos que 42 é divisível por 3, pois 42 5 14 ? 3. 
No entanto, podemos continuar esse proce-
dimento até obter um número de 1 algarismo. 
Nesse caso, teríamos que a soma dos algarismos 
de 42 é 4 1 2 5 6. Como 6 é divisível por 3, o 
número9 663 459 é divisível por 3.
	b) Veja um exemplo de fluxograma.
Início
Fim
Nomeie de x o número natural 
não nulo que será testado
x tem só 1
algarismo?
Sim
Sim
Não
Nãox é igual a 
3, a 6 ou a 9?
Calcule a 
soma dos 
algarismos 
de x e atribua
 esse
valor a x
O número dado
não é divisível 
por 3
O número dado
é divisível por 3 
Atividades resolvidas
119
Entrada e saída
Uma característica comum das linguagens de programação é a possibilidade de o 
programa ter entrada e sa’da de dados: a entrada é o conjunto de dados fornecidos 
ao programa, enquanto a saída é o conjunto de dados que o programa devolve ao 
usuário.
Por exemplo, no caso de um programa cuja função é obter o resultado da adição 
de dois números inteiros, a entrada poderá ser os dois números e a saída, a soma dos 
dois números. Observe abaixo uma relação de entrada e saída de dados para um pro-
grama como esse.
Entrada (x e y) Saída (x 1 y)
1 e 1 2
210 e 35 25
0,75 e 0,05 0,80
0 e 100 100
Perceba que, nesse exemplo, a entrada é formada por dois valores numéricos, e a 
saída, por apenas um valor numérico.
No entanto, nem todo programa precisa ter entrada ou saída; por exemplo, um 
programa que fornece a representação decimal do número p até a décima casa deci-
mal não precisa de uma entrada (pois o número p já é do conhecimento do computa-
dor, de outras programações) e a saída do programa pode ser a representação deci-
mal pedida.
Em 1985, o chinês Feng-hsiung Hsu (1959-) e o canadense Murray Campbell (1950-), então estudantes da Universidade 
Carnegie Mellon (Pensilvânia, EUA), criaram um projeto: uma máquina chamada ChipTest, que tinha como objetivo jogar 
xadrez. Em 1989, ambos entraram para uma empresa de computação que já fazia pesquisas do tipo para estudos de 
Inteligência Artificial (IA) desde 1950. Eles deram continuidade a esse trabalho junto a outros cientistas em um projeto 
chamado Deep Blue. O computador utilizava uma inteligência artificial construída por desenvolvedores que passaram anos 
levantando dados sobre a lógica utilizada no jogo. Esses dados foram, então, usados para alimentar os conhecimentos do 
Deep Blue.
Em 1997, depois de várias revanches, o supercomputador Deep Blue derrotou Garry Kasparov (nascido em 1963 no 
Azerbaijão), campeão mundial de xadrez da época. Após seis partidas, os resultados foram: duas vitórias para o computador, 
uma para Kasparov e três empates, em um duelo que levou vários dias e teve grande cobertura da mídia.
Os estudos realizados por meio do trabalho com o 
desenvolvimento do Deep Blue e de outros softwares 
abriram portas para uma evolução na área de Inteligência 
Artificial, permitindo entender melhor o funcionamento das 
IAs. Isso possibilitou o uso da habilidade de aprendizado dos 
computadores nas mais diversas áreas, como na descoberta 
de novos medicamentos, identificação de riscos em modelos 
financeiros, buscas em grandes bases de dados e cálculos de 
grande dimensão.
Para conhecer um pouco mais dessa história, sugerimos a 
leitura do artigo “O xadrez de Kasparov e o futuro do 
trabalho”, disponível em: https://epoca.globo.com/cultura/
helio-gurovitz/noticia/2017/06/o-xadrez-de-kasparov-e- 
o-futuro-do-trabalho.html (acesso em: 17 jul. 2020).
Sobre o assunto
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Foto de uma das partidas entre Garry Kasparov 
(à esquerda) e o supercomputador Deep Blue, em Nova 
York, Estados Unidos, em 4 maio de 1997. Os movimentos 
indicados pelo supercomputador eram feitos no tabuleiro 
por Murray Campbell (à direita).
126
Esses computadores eram muito diferentes dos que utilizamos atualmente; por 
exemplo, as máquinas podiam ocupar cômodos inteiros. O Mark I, construído pela 
equipe de Howard Aiken, tinha medida de massa de 5 toneladas.
O Eniac (Electrical Numerical Integrator and Computer) foi o primeiro computador 
digital eletrônico a ser construído com interesses além da esfera militar. Ele foi inven-
tado pelo engenheiro elétrico e pioneiro em computadores estadunidense John Eckert 
(1919-1995) e pelo físico estadunidense John Mauchly (1907-1980), ocupava uma área 
de medida de 180 m2 e tinha medida de massa de 30 toneladas.
O matemático húngaro John von Neumann (1903-1957) atuou como consultor no 
projeto do Eniac, propondo diversos modelos para solucionar problemas que ele en-
controu. Uma das sugestões de Neumann foi armazenar informações na memória da 
máquina, de maneira que o próprio computador fosse capaz de se automodificar e 
gerar outros programas. Além disso, ele escreveu um código computacional utilizando 
enormes sequências formadas pelos números 0 e 1, dando início ao sistema de nume-
ração binário. Você vai conhecer mais desse sistema de numeração na página 110.
Segunda geração de computadores – 1955 a 1965
A segunda geração de computadores foi marcada pela 
invenção do transistor, considerado uma das maiores desco-
bertas da história. Até esse momento, os computadores 
eram construídos utilizando válvulas, mas a criação do tran-
sistor permitiu a redução do tamanho das máquinas, bem 
como dos custos de produção, armazenamento e transporte.
Nesse mesmo período foram criadas as memórias com 
anéis ferromagnéticos, que posteriormente evoluíram para 
as fitas magnéticas, que dominariam o armazenamento se-
cundário de dados, com maior capacidade de armazena-
mento e com gravação de dados mais eficiente, quando 
comparadas com os cartões perfurados que eram utilizados.
Terceira geração de computadores – 1965 a 1980
Nos anos seguintes, pesquisadores da área de computação desenvolveram com-
putadores menores e que processavam e analisavam dados de maneira mais rápida. O 
físico estadunidense Robert Noyce (1927-1990), por exemplo, desenvolveu circuitos 
integrados, utilizando o silício como matéria-prima, capazes de integrar dezenas de 
transistores.
Nesse período teve início a multiprogramação, isto é, a possibilidade de executar 
mais de um programa ao mesmo tempo.
Quarta geração de computadores – 1980 até os dias atuais
Na quarta geração, os computadores foram reduzidos a ponto de gerar 
a produção em larga escala e a popularização das máquinas. Além disso, 
houve um aumento da capacidade de processamento com a criação de 
tecnologias como o LSI (do inglês large scale integration) e o VLSI (very 
large scale integration). Isso possibilitou a existência de milhares de com-
ponentes em um único chip. Assim, foram criados os microcomputadores.
Naquela época, os 
computadores não 
eram utilizados em 
larga escala ou para 
afazeres domésticos. 
Apenas grandes 
empresas tinham 
espaço e dinheiro 
suficientes para 
manter uma 
máquina desse 
porte. Além disso, 
somente 
pesquisadores da 
área sabiam como 
utilizar esses 
equipamentos.
Fique atento
Se os computadores 
hoje em dia fossem 
tão grandes e 
complicados de usar, 
será que muitas 
pessoas teriam acesso 
a eles? Reflita sobre 
quais características 
foram responsáveis 
pela popularização do 
computador.
Reflita
Transistor (à esquerda) e 
válvula (à direita).
Os circuitos integrados 
podem ser menores do que 
uma moeda.
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As imagens não 
estão representadas 
em propor•ão
108
Na seção Atividades, você encontra 
atividades e problemas envolvendo 
contextos cotidianos, da Matemática 
e de outras áreas do conhecimento, 
para você aplicar e aprofundar os 
conteúdos estudados. Nela também 
há atividades que visam à elaboração 
de perguntas e problemas.
Ao longo do capítulo, 
apresentamos no boxe Glossário a 
definição de algumas palavras ou 
expressões da língua portuguesa. 
Nas Atividades resolvidas, 
você acompanha a 
resolução detalhada de 
atividades e problemas 
que visa exemplificar 
estratégias de resolução.
No boxe Sobre o assunto, 
você encontra informações 
e curiosidades relacionadas 
aos conteúdos estudados, 
bem como sugestão de 
textos, vídeos, simuladores, 
museus, entre outros, para 
complementar e aprofundar 
seus estudos ou mesmorealizar pesquisas.
O boxe Fique atento 
retoma definições ou 
nomenclaturas, chama a 
atenção para algo que 
está sendo estudado no 
momento e apresenta dicas 
que podem auxiliá-lo no 
estudo.
O boxe Reflita traz 
questionamentos e 
reflexões sobre o conteúdo 
apresentado.
001a007_V5_MATEMATICA_Dante_g21At_Iniciais_LA_1.indd 5001a007_V5_MATEMATICA_Dante_g21At_Iniciais_LA_1.indd 5 9/14/20 10:08 AM9/14/20 10:08 AM
6
Algoritmos no Portugol Webstudio
Como dissemos, o software que usaremos para programar e compilar códigos em 
Portugol é o Portugol Webstudio. Ele está disponível on-line em https://portugol-
webstudio.cubos.io/ide (acesso em: 16 jul. 2020), sem a necessidade de instalação.
Acesse o site e siga as instruções a seguir para cada uma das situações trabalhadas. 
Controle do consumo de combustível
É comum que donos de automóveis busquem maneiras de conhecer melhor o gas-
to de combustível dos próprios carros, de modo a identificar eventuais desvios do 
padrão, que podem indicar problemas no automóvel.
Vamos então trabalhar com um código que informa a quilometragem média do carro 
por litro de combustível, dadas a medida de distância percorrida (em quilômetros) e a me-
dida de volume de combustível (em litros) usado para percorrer essa medida de distância.
No site, clique na opção “Novo arquivo” e transcreva o código a seguir no programa. 
programa{
	 funcao inicio (){
	 real media, quilometros, combustivel
	 escreva ("Digite a quantidade de quilômetros rodados: ")
	 leia (quilometros)
	 escreva ("Digite a quantidade de combustível usada, em litros: ")
	 leia (combustivel)
	 media = quilometros / combustivel
	 escreva ("A média de quilômetros por litro de combustível é: ")
	 escreva (media)
	 }
}
Observe que, no Portugol Webstudio, o código apresentará uma formatação especial.
Captura de tela do Portugol Webstudio.
•	Quais são as 
variáveis desse 
código? Identifique 
uma relação entre 
elas.
•	Quais tipos de 
variável foram 
utilizados nesse 
código?
Reflita
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Tecnologias digitais
Além da sala de aula
Não escreva no livro.
Possibilidades no jogo do quadrado
O jogo do quadrado é composto de um tabuleiro com 9 casas, numeradas de 1 a 9, como na figura.
1 2 3
4 5 6
7 8 9
O objetivo desse jogo é eliminar a peça do adversário ou chegar ao ponto de partida do oponente. Para 
isso, é permitido mover a peça apenas uma vez por rodada, no sentido horizontal ou vertical. 
A partida ocorre com apenas dois jogadores, cada um usa uma única peça. 
As regras do jogo são as seguintes:
•	 Por meio de um sorteio, os participantes devem decidir quem será o primeiro e quem será o segundo jogador;
•	 no início do jogo, a peça do primeiro jogador começa na casa 7, enquanto a peça do segundo jogador 
começa na casa 3;
•	 a cada rodada, o jogador pode mover a peça uma casa na vertical ou na horizontal. Contudo, não é per-
mitido voltar ao respectivo ponto de partida, isto é, a casa 7 para o primeiro jogador e a casa 3 para o 
segundo jogador;
•	 se as peças estiverem na mesma diagonal e a uma casa de distância, o próximo jogador deve eliminar a 
peça do adversário, indo para a casa em que está a peça adversária;
1 2 3
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1 2 3
4 5 6
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Se o primeiro jogador (peça verde) ocupar a casa 1 e o 
segundo jogador (peça roxa) ocupar a casa 5, então o 
primeiro jogador deve eliminar o segundo jogador.
•	 caso uma peça esteja em uma casa adjacente ao ponto de partida adversário, é obrigatório ir para essa casa;
1 2 3
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4 5 6
7 8 9
Se o primeiro jogador (peça verde) ocupar a casa 2 e o 
segundo jogador (peça roxa) ocupar a casa 8, então o 
primeiro jogador deve ir para o ponto de partida do segundo 
jogador (casa 3).
•	 o número máximo de movimentos permitidos é oito, adicionando de ambos os jogadores. Se, após o final 
do oitavo movimento, o jogo não terminar, considera-se o resultado um empate.
Fontes de consulta: AMBROSI, L. Jogos em uma sequência didática para o ensino de análise combinatória. Dissertação (Mestrado 
Profissional em Ensino de Ciências e Matemática) – Universidade de Caxias do Sul, Caxias do Sul, 2017. Disponível em: https://www.ucs.
br/site/midia/arquivos/produto-luiz-ambrozi.pdf; LOPES, José Marcos; REZENDE, Josiane de Carvalho. Um novo jogo para o estudo do 
raciocínio combinatório e do cálculo de probabilidade. Bolema: Mathematics Education Bulletin, Rio Claro, v. 23, n. 36, p. 657-682, 2010. 
Disponível em: http://hdl.handle.net/11449/71807. Acesso em: 29 jun. 2020.
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19
Vestibulares e Enem
Não escreva no livro.
	 1.	(Enem) Um procedimento padrão para aumentar a ca-
pacidade do número de senhas de banco é acrescentar 
mais caracteres a essa senha. Essa prática, além de au-
mentar as possibilidades de senha, gera um aumento na 
segurança. Deseja-se colocar dois novos caracteres na 
senha de um banco, um no início e outro no final. Deci-
diu-se que esses novos caracteres devem ser vogais e o 
sistema conseguirá diferenciar maiúsculas de minúsculas.
Com essa prática, o número de senhas possíveis ficará 
multiplicado por:
	a) 100.
	b) 90.
	c) 80.
	d) 25.
	e) 20.
	 2.	(UEFS-BA) Uma estudante ainda tem dúvidas quanto 
aos quatro últimos dígitos do número do celular de 
seu novo colega, pois não anotou quando ele lhe in-
formou, apesar de saber quais são não se lembra da 
ordem em que eles aparecem.
Nessas condições, pode-se afirmar que o número de 
possibilidades para a ordem desses quatro dígitos é
	a) 240
	b) 160
	c) 96
	d) 24
	e) 16
	 3.	(Enem) O Código de Endereçamento Postal (CEP) 
código numérico constituído por oito algarismos. Seu 
objetivo é orientar e acelerar o encaminhamento, o 
tratamento e a distribuição de objetos postados nos 
Correios. Ele está estruturado segundo o sistema mé-
trico decimal, sendo que cada um dos algarismos que 
o compõe codifica região, sub-região, setor, subsetor, 
divisor de subsetor e identificadores de distribuição 
conforme apresenta a ilustração.
Identificadores de distribuição (sufixo)
Divisor de subsetor
Subsetor
Setor
Sub-região
Região
O Brasil encontra-se dividido em dez regiões postais 
para fins de codificação. Cada região foi dividida em dez 
sub-regiões. Cada uma dessas, por sua vez, foi dividida 
em dez setores. Cada setor, dividido em dez subseto-
res. Por fim, cada subsetor foi dividido em dez diviso-
res de subsetor. Além disso, sabe-se que os três últimos 
algarismos após o hífen são denominados de sufixos e 
destinam-se à identificação individual de localidades, lo-
gradouros, códigos especiais e unidades dos Correios.
A faixa de sufixos utilizada para codificação dos logra-
douros brasileiros inicia em 000 e termina em 899.
Disponível em: www.correios.com.br 
Acesso em: 22 ago. 2017 (adaptado).
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Quantos CEPs podem ser formados para a codificação 
de logradouros no Brasil?
	a) 5 ? 0 1 9 ? 102
	b) 105 1 9 ? 102
	c) 2 ? 9 ? 107
	d) 9 ? 102
	e) 9 ? 107 
	 4.	(Famema-SP) Três tubos de ensaio, com rótulos A, B 
e C, serão colocados em um suporte que possui cinco 
lugares alinhados e encontra-se fixado em uma pare-
de. A figura mostra uma das possíveis disposições dos 
tubos.
	 	
Sabendo que o tubo com o rótulo A não pode ocupar 
as extremidades do suporte, o número de maneiras dis-
tintas de esses tubos serem colocados nesse suporte é:
	a) 12. 	b) 24. 	c) 36. 	d) 18. 	e) 30.
	 5.	(Enem) Para cadastrar-se em um site, uma pessoa pre-
cisa escolher uma senha composta por quatro caracte-
res, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou 
minúsculas). As letras e os algarismos podem estar em 
qualquer posição. Essa pessoa sabe que o alfabeto é 
composto por vinte e seis letras e que uma letra maiús-
culadifere da minúscula em uma senha.
Disponível em: www.infowester.com. Acesso em: 14 dez. 2012.
O número total de senhas possíveis para o cadastra-
mento nesse site é dado por
	a) 102 ? 262
	b) 102 ? 522
	c) 102 ? 522 ? 
4
2
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	d) 102 ? 262 ? 
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	e) 102 ? 522 ? 
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	 6.	(IFPE) Os alunos do curso de Computação Gráfica do 
campus Olinda estão desenvolvendo um vídeo com 
todos os anagramas da palavra CARNAVAL. Se cada 
anagrama é mostrado durante 0,5 s na tela, a anima-
ção completa dura:
	a) menos de 1 minuto.
	b) menos de 1 hora.
	c) menos de meia hora.
	d) menos de 10 minutos.
	e) mais de 1 hora.
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46
Conheça seu livro
Leitura e compreens‹o
Não escreva no livro.
As matemáticas da corrida espacial
No período entre 1947 e 1991, ocorreu a Guerra Fria, pro-
cesso histórico caracterizado por conflitos econômicos, ideoló-
gicos e tecnológicos entre dois blocos antagônicos que se esta-
beleceram após a Segunda Guerra Mundial: o bloco capitalista, 
liderado pelos Estados Unidos, e o bloco socialista, liderado 
pela extinta União Soviética.
Em função do alto investimento em tecnologia de ambas as 
potências durante esses conflitos, teve início a corrida espacial. 
Os soviéticos saíram na frente: em 1957, lançaram o satélite ar-
tificial Sputnik. Na sequência, em 1961, eles conseguiram enviar 
ao espaço o cosmonauta e piloto soviético Yuri Gagarin, em um 
voo que durou quase duas horas. Em resposta, os Estados Uni-
dos fundaram a National Aeronautics and Space Administration 
(Nasa) em 1958, que substituiu a National Advisory Committee 
for Aeronautics (Naca).
No início da década de 1960, a sociedade estadunidense li-
dava com a segregação racial entre brancos e negros, situação 
que afetava todas as esferas do país, até mesmo a Naca e a 
Nasa, onde funcionárias negras trabalhavam em condições infe-
riores em relação aos colegas brancos.
Entre essas funcionárias estavam as matemáticas Katherine John-
son (1918-2020), Mary Jackson (1921-2005) e Dorothy Vaughan 
(1910-2008), que atuavam na Naca junto a outros funcionários (majo-
ritariamente mulheres negras) como “computadores humanos”. Elas 
realizaram longos e complicados cálculos matemáticos para as mis-
sões da Naca até a introdução dos computadores eletrônicos, quan-
do as funções de trabalho foram adaptadas às novas tecnologias 
disponíveis.
Já na Nasa, a equipe de Johnson foi responsável pelo cálculo das 
trajetórias de voo de diversas aeronaves estadunidenses, entre elas 
a da missão Apollo 11, que em 1969 levou o engenheiro aeroespa-
cial, aviador naval e astronauta estadunidense Neil Armstrong (1930- 
-2012) à Lua.
Quando a Nasa começou a usar computadores para a missão em 
que John Glenn orbitou a Terra pela primeira vez (1962), Katherine foi 
consultada para verificar os cálculos da máquina. “Se ela diz que são 
bons, então estou pronto para ir”, disse o astronauta, segundo lem-
brou a própria Katherine.
De fato, a Nasa reconhece em seu site que “não teria sido possível fazer essas coisas 
sem Katherine Johnson e seu amor pela matemática”.
KATHERINE Johnson, matemática negra que ajudou a Nasa a ir para a Lua, morre aos 101 anos. G1, 24 fev. 
2020. Disponível em: https://g1.globo.com/ciencia-e-saude/noticia/2020/02/24/katherine-johnson- 
matematica-negra-que-ajudou-a-nasa-a-ir-para-a-lua-morre-aos-101-anos.ghtml. Acesso em: 13 jul. 2020.
Katherine Johnson, em 1971.
Sputnik foi o primeiro satélite artificial a ser 
lançado no espaço, em 4 de outubro de 1957. 
Ele ficou em órbita até abril de 1958, quando 
retornou à órbita terrestre. Na foto, réplica da 
Sputnik, disponível no Museu Nacional do Ar e 
Espaço, em Washington, D.C., Estados Unidos.
Reprodução/NASA
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As imagens não 
estão representadas 
em propor•ão
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Aplicações de probabilidade à Genética
A Genética é um dos ramos das ciências biológicas 
que mais utilizam a teoria das probabilidades. É comum 
estudar, em Genética, situações em que se pretende 
calcular previsões sobre um evento aleatório que ocor-
rerá no futuro e, sobre esse evento, são conhecidas pos-
síveis configurações que ele poderá assumir.
Para falarmos de Genética, precisamos, antes, re-
capitular alguns conceitos básicos dessa área de co-
nhecimento. O primeiro deles é o de cromossomo. Os 
cromossomos são estruturas de DNA que ficam nos 
núcleos das células dos seres vivos e que são formadas 
por um par de cromossomos homólogos.
Há trechos dos cromossomos que são responsáveis 
por características dos organismos; esses trechos são cha-
mados genes. Cada parte de um mesmo gene em um par 
de cromossomos homólogos pode ser igual ou apresentar 
pequenas diferenças, e essas variantes são chamadas alelos. Os possíveis pares de 
alelos muitas vezes ocasionam diferentes características em um indivíduo. 
Suponha que os alelos de um 
gene para determinada característi-
ca podem ocorrer em duas variantes: 
A e a. Isso significa que os indivídu-
os, em relação a esse gene, podem 
ser do tipo AA, aa ou Aa.
Na produção dos gametas, cada célula reprodutiva é dividida 
em duas, e cada uma dessas partes fica com um dos cromossomos 
homólogos; por isso, cada gameta terá um dos alelos de um gene. 
Então, no caso de um indivíduo heterozigoto Aa, haverá tantos 
gametas com o alelo A quanto gametas com o alelo a.
O zigoto gerado pela reprodução de dois indivíduos heterozigo-
tos Aa é formado de um espermatozoide (gameta masculino), que 
pode ter alelo A ou a, e por um óvulo (gameta feminino), que também 
pode ter alelo A ou a. Assumindo que a probabilidade de um gameta ser A é igual à probabilidade de ser a, ou 
seja, assumindo que esses eventos são equiprováveis, podemos montar o esquema a seguir.
pais
gametas
(50% A e 50% a)
geração F1
Aa Aa
A A
AA Aa Aa aa
a a
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1
4
1
4
1
4
Ilustração digital dos 23 pares de cromossomos de um ser 
humano do sexo masculino. Imagem não está representada 
em proporção e imagem com cores fantasia.
Esquema ilustrativo mostrando um par de 
cromossomos homólogos e as duas regiões 
desse par correspondentes a um gene genérico 
A. Imagem sem proporção e em cores fantasia.
Caso o gene seja da forma 
AA ou aa, dizemos que há 
homozigose (pois os dois 
alelos são iguais). Caso seja 
da forma Aa, dizemos que 
há heterozigose (pois os 
dois alelos são distintos).
Fique atento
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Não escreva no livro.
Conex›es
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Na seção Tecnologias digitais, 
propomos a utilização de diversas 
tecnologias, como calculadora, 
simuladores e softwares livres, para 
fazer explorações, investigações 
e simulações, calcular medidas 
estatísticas, construir e manipular 
representações gráficas, 
figuras geométricas, planilhas, 
entre outros.
Conhecimentos e saberes 
matemáticos desenvolvidos 
e utilizados por diferentes 
comunidades são 
apresentados na seção 
Além da sala de aula. 
Nela você também será 
convidado a investigar 
questões e propor ações 
que podem auxiliar a 
comunidade em que vive. 
Além disso, utilizará as 
ideias do pensamento 
computacional para analisar 
e compreender problemas, 
bem como modelar e 
automatizar resoluções.
Na seção Vestibulares e Enem, 
propomos questões do Enem e de 
vestibulares de todas as regiões do 
Brasil relacionadas aos conteúdos 
estudados no capítulo.
Na seção Leitura e compreensão, 
você é convidado a ler e 
interpretar diferentes textos que 
visam ampliar e enriquecer os 
conteúdos estudados no capítulo.
Temas relevantes e atuais que relacionam 
diferentes áreas do conhecimento são 
explorados na seção Conexões. 
As atividades apresentam oportunidades 
de interpretação, aplicação, pesquisa, 
ampliação e debate do tema da seção.
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7
Sum‡rio
Capítulo 1: Análise combinatória ........................ 8
Análise combinatória: diferentes estratégias de 
contagem ........................................................................... 12
Princípio fundamental da contagem ....................... 14
Além da sala de aula ....................................................... 19
Permutações simples ................................................... 21
Permutações com repetição ..................................... 25
Leitura e compreensão .................................................. 28
Arranjos simples ............................................................ 29
Combinações simples ................................................. 34
Além da sala de aula ....................................................... 40
Tecnologias digitais ......................................................... 42
Problemas que envolvem os vários 
tipos de agrupamentos ............................................... 44
Vestibulares e Enem ....................................................... 46
Capítulo 2: Probabilidade ..................................... 50
Noções de conjuntos ....................................................... 54
Explorando as noções de conjuntos ....................... 55
Formalizando as noções de conjuntos .................... 55
Operações entre conjuntos ........................................ 56
Probabilidade .................................................................... 60
Fenômenos aleatórios ................................................. 62
Conexões ............................................................................ 64
Espaço amostral e evento .......................................... 67
Cálculo de probabilidades ......................................... 70
Leitura e compreensão .................................................. 75
Cálculo de probabilidades com 
espaço amostral não discreto ................................... 77
Definição teórica de probabilidade 
e consequências ............................................................ 78
Probabilidade condicional ......................................... 82
Além da sala de aula ....................................................... 86
Conexões ............................................................................ 89
Leitura e compreensão .................................................. 91
Vestibulares e Enem ....................................................... 94
Capítulo 3: Computação ......................................... 96
Introdução à computação .............................................. 100
Um pouco da história dos 
computadores e da computação ............................. 101
Funcionamento de um computador ....................... 110
Leitura e compreensão .................................................. 113
Algoritmos e fluxogramas ............................................. 115
Explorando a ideia de algoritmo ............................. 116
Formalizando o conceito de algoritmo .................. 116
Exemplos de algoritmos e fluxogramas ................. 118
Leitura e compreensão .................................................. 122
Programação ..................................................................... 124
Linguagens de programação .................................... 125
Variáveis ........................................................................... 127
Estruturas condicionais ............................................... 129
Conectivos lógicos ....................................................... 131
Estruturas de repetição ............................................... 134
Exemplos de algoritmos em Portugol .................... 136
Implementando um código 
em um compilador ....................................................... 139
Tecnologias digitais ......................................................... 142
Vestibulares e Enem ....................................................... 147
Respostas ....................................................................... 148
Lista de siglas das atividades 
extraídas de provas oficiais .............................. 153
A Base Nacional Comum 
Curricular (BNCC) ....................................................... 154
Referências bibliográficas comentadas .... 159
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Atleta nas Olimpíadas do Rio de Janeiro de 2016, 
na montanha do Corcovado. As Olimpíadas 
originaram-se na cidade de Olímpia, na Grécia, 
no século VIII a.C. A versão moderna dos 
Jogos Olímpicos teve a primeira edição 
sediada em Atenas, em 1896.
Análise 
combinatória
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A
s Olimpíadas são um evento esportivo que reúne atletas de todo o mundo. 
Geralmente, o evento é planejado para ocorrer a cada quatro anos; contudo, 
pode ser adiado ou cancelado devido a alguns acontecimentos. Isso ocorreu 
com os Jogos Olímpicos de Verão de 1940, que foram cancelados por causa da Segunda 
Guerra Mundial (1939-1945), e, mais recentemente, com os Jogos Olímpicos de Verão de 
2020, que foram adiados devido à pandemia de Covid-19.
As Olimpíadas têm dois símbolos principais: a bandeira e a tocha olímpica.
A bandeira dos Jogos Olímpicos tem cinco anéis entrelaçados sobre um fundo branco. Os anéis 
representam as cinco partes do mundo unidas pelos jogos: América, Europa, Ásia, África e Oceania. 
Os anéis são azul, amarelo, preto, verde e vermelho. [...]
ESCOLA BRITANNICA. Jogos Ol’mpicos. Disponível em: https://escola.britannica.com.br/artigo/
 Jogos-Olímpicos/482102. Acesso em: 10 jun. 2020.
A escolha das cores dos anéis foi feita de acordo com as cores das bandeiras dos países que participam 
das Olimpíadas. Pelo menos uma dessas cinco cores aparece na bandeira de cada um dos mais de 200 paí-
ses. A ordem correta das cores dos anéis na bandeira é azul, amarelo, preto, verde e vermelho, mas imagine 
quantas possibilidades diferentes de bandeira existiriam se pudéssemos trocar a ordem dos anéis? Situações 
como essa, de análise de possibilidades, serão o tópico de estudo deste capítulo e fazem parte de uma área 
de estudo da Matemática chamada análise combinatória.
Nos Jogos Olímpicos existem outras situações de análise e contagem de possibilidades, como as possí-
veis formações de um pódio em uma das competições esportivas que fazem parte dos Jogos Olímpicos. Nes-
sas competições, três atletas ou equipes são premiados: a equipe ou o atleta que ficar em primeiro lugar ga-
nha a medalha de ouro, o segundo lugar recebe a medalha de prata e o terceiro lugar, a medalha de bronze.
Fonte de consulta: ESCOLA BRITANNICA. Jogos Olímpicos. Disponível em: https://escola.britannica.com.br/artigo/
Jogos-Olímpicos/482102. Acesso em: 10 jun. 2020.
	a) Os Jogos Olímpicos de Verão de 2016 foram sediados no Rio de Janeiro (Brasil). Nas Olimpíadas do 
Rio, a final da categoria masculina C2 1 000 m de canoagem de velocidade tinha oito duplas de compe-
tidores, entre eles, os brasileiros Isaquias Queiroz e Erlon de Souza. Os outras duplas de competidores 
estavam representando os seguintes países: Alemanha, Ucrânia, Hungria, Rússia, Cuba, República Checa 
e Uzbequistão.
Fonte de consulta: FRICKE, Gabriel. Ao lado de Erlon, Isaquias leva a prata e se consagra nas águas da Lagoa. 
Globo Esporte, Rio de Janeiro, 20 ago. 2016. Disponível em: http://globoesporte.globo.com/olimpiadas/
canoagem/noticia/2016/08/isaquias-e-erlon-conquistam-prata.html. Acesso em: 29 jul. 2020.
 Considerando as duplas que estavam competindo pelos 8 países citados, de quantas maneiras diferen-
tes seriapossível formar o pódio?
A Tocha Olímpica, um dos principais símbolos dos Jogos Olímpicos, é desenvolvida a cada edição do even-
to com base nas características do país onde os jogos devem acontecer [...].
O fogo, que é ateado na pira olímpica no palco de abertura dos jogos, é aceso 100 dias antes do começo da 
competição, em Olímpia, na Grécia, a partir da luz solar. Antes de embarcar para a cidade-sede, a tocha acesa 
passa por algumas cidades gregas e outras localidades no país que receberá os jogos.
O revezamento da tocha, que antecede a abertura dos Jogos Olímpicos, é a representação de uma lenda 
grega. Nessa lenda, Prometheus (um titã defensor da humanidade) teria roubado o fogo, que representa a di-
vindade e a sabedoria dos deuses, de Zeus e entregado aos seres humanos.
BRASIL ESCOLA. Como funciona a tocha olímpica. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/curiosidades/
como-funciona-tocha-olimpica.htm. Acesso em: 15 jun. 2020.
De 336 maneiras diferentes.
Professor, as sugestões para o desenvolvimento desta abertura 
encontram-se nas Orientações específicas deste Manual.
Não escreva no livro.
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50º O
Boa Vista
Macapá
Belém São Luís
Fortaleza
Teresina
Natal
João
Pessoa
Recife
Maceió
Aracaju
Salvador
Manaus
Cuiabá
Campo
Grande
Saída:
Brasília
Belo
Horizonte
PalmasPorto
VelhoRio Branco
Curitiba
Porto Alegre
Florianópolis
São Paulo
Rio de Janeiro
Vitória
Goiânia
0 310
km
16000 km por avião
20000 km por terra
Percurso da tocha olímpica
Capital de país
Capital de estado
Cidade
OCEANO
PACÍFICO
OCEANO
ATLÂNTICO
Equador 0º
Trópico de Capricórnio
	b) Nas Olimpíadas de 2016, que ocorreram no Brasil, a tocha passou por cidades em 
todos os estados brasileiros. Em Santa Catarina foram escolhidas 4 cidades para 
a passagem da tocha: Blumenau, Criciúma, Florianópolis e Joinville. De quantas 
maneiras diferentes seria possível escolher o trajeto da tocha, passando por essas 
4 cidades?
	c) No estado de Goiás, a tocha passou por Anápolis, Caldas Novas e Goiânia, nessa 
ordem. Considere que existem 2 caminhos diferentes para ir de Anápolis a Caldas 
Novas; existem também 2 caminhos diferentes para ir de Caldas Novas a Goiâ-
nia. De quantas maneiras diferentes seria possível definir o caminho da tocha em 
Goiás?
	d) Considere que havia 6 candidatos para revezar na condução da tocha em um 
trecho em que devem ocorrer apenas 2 trocas. De quantas maneiras diferentes é 
possível escolher apenas 3 pessoas entre os 6 candidatos?
De 24 maneiras diferentes.
De 4 maneiras diferentes.
De 20 maneiras diferentes.
Fonte: Rio2016.com.
A cada competição, a tocha olímpica ganha um novo design, 
de acordo com o país sede. Em 2016, a tocha foi criada com as 
cores da bandeira brasileira para representar elementos do país.
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Não escreva no livro.
Percurso da tocha olímpica no Brasil
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CONHEÇA O CAPÍTULO
11
Objetivos
•	 Explorar situações que envolvem contagem de possibilidades.
•	 Utilizar registros como esquema, listagem, diagrama de árvore, tabela, 
desenho e diagrama para representar situações e resolver problemas de 
contagem.
•	 Resolver e elaborar problemas utilizando o princípio aditivo e o princípio 
multiplicativo (princípio fundamental da contagem).
•	 Explorar situações que envolvem a permutação simples de elementos.
•	 Resolver e elaborar problemas de permutação simples.
•	 Explorar situações que envolvem a permutação com repetição de ele-
mentos.
•	 Resolver e elaborar problemas de permutação com repetição de ele-
mentos.
•	 Explorar situações que envolvem arranjos simples de elementos.
•	 Resolver e elaborar problemas de arranjos simples.
•	 Explorar situações que envolvem a combinação simples de elementos 
em um conjunto.
•	 Resolver e elaborar problemas de combinações simples.
•	 Utilizar recursos digitais para realizar cálculos de situações com permuta-
ções, arranjos e combinações.
•	 Reconhecer e aplicar diferentes estratégias para resolver problemas de 
contagem de possibilidades.
Justificativa
Em um campeonato esportivo, é possível contar as possibilidades de pó-
dio de acordo com a organização da competição. Em um jogo, podemos 
contar as possibilidades de movimentos de acordo com as jogadas ante-
riores. Essas situações envolvem uma área da Matemática chamada análise 
combinatória.
Para analisar situações como essas, podemos utilizar diferentes estraté-
gias, que compõem a análise combinatória. Neste capítulo vamos analisar 
situações que envolvem contagem e aprender técnicas distintas que podem 
ser aplicadas em situações de permutação, arranjo e combinação.
A BNCC
No decorrer do capítulo, 
favorecemos o desenvolvimento 
das competências gerais da 
Educação Básica, bem como 
das competências específicas e 
das habilidades de Matemática 
e suas Tecnologias e de 
outras áreas do conhecimento 
indicadas a seguir. Também 
estão indicados os temas 
contemporâneos transversais 
presentes no capítulo. 
Competências gerais: CG01, 
CG03.
Competência específica 
de Matemática e suas 
Tecnologias: CEMAT03.
Habilidades de Matemática 
e suas Tecnologias: 
EM13MAT310, EM13MAT311.
Habilidades de outras 
áreas do conhecimento: 
EM13LGG601, EM13LGG701.
Temas contemporâneos 
transversais:
•	Diversidade Cultural;
•	Educação Alimentar e 
Nutricional;
•	Educação para valorização 
do multiculturalismo nas 
matrizes históricas e culturais 
brasileiras. 
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Pintura da vizinhança
Em um bairro, quatro vizinhos, que têm 
casas lado a lado, resolveram pintar as fa-
chadas das casas com cores diferentes. As 
opções de cores disponíveis eram azul, 
verde, laranja e vermelho, de maneira que 
cada casa tenha uma cor diferente.
	 a) Considerando que a fachada da primei-
ra casa seja pintada de azul e a da se-
gunda casa de verde, quantas opções 
de cores sobram para a terceira casa?
	b) Considerando que a fachada da última casa seja pintada de azul, existem quantas pos-
sibilidades diferentes de escolher as cores para pintar as fachadas das 3 outras casas?
	 c) Existem quantas possibilidades diferentes de escolher as cores para pintar as facha-
das das 4 casas?
	d) Após uma conversa, os vizinhos decidiram que as fachadas de 2 casas poderiam ser 
pintadas de vermelho e as fachadas das outras 2 casas deveriam ser pintadas de 
azul e verde. Existem quantas possibilidades diferentes de escolher as cores para 
pintar as 4 casas?
2 opções de cores.
6 possibilidades diferentes.
24 possibilidades diferentes.
12 possibilidades diferentes.
Análise combinatória:
diferentes estratégias de contagem
Professor, as sugestões para o desenvolvimento deste tópico encontram-se nas Orientações específicas deste Manual. 
Situação 1
Situação 2
Guarda-roupa
Algo muito simples, que fazemos todos os dias, é escolher a roupa 
que vamos vestir. Dependendo do local e da ocasião, podemos montar 
diversos visuais com as peças de roupa. A análise combinatória é o ramo 
da Matemática que nos ajuda a descobrir o número de possibilidades em 
situações como essa.
Imagine que um jovem vai escolher uma entre três opções de camisa 
(verde, branca e azul) e uma opção de bermuda entre duas possíveis (pre-
ta e cinza).
	a) Escreva no caderno todas as maneiras possíveis de escolher as peças 
de roupa. Quantas foram as possibilidades diferentes?
	b) Qual operação matemática pode ser utilizada para obter essa quanti-
dade?
	 c) Se forem acrescentados2 pares de sapatos para que o jovem escolha um 
par, de modo que ele escolha uma camisa, uma bermuda e um par de 
sapatos, de quantas maneiras diferentes ele pode fazer essa escolha?
New Africa/Shutterstock
a) Camisa verde e bermuda preta; camisa verde e 
bermuda cinza; camisa branca e bermuda preta; camisa 
branca e bermuda cinza; camisa azul e bermuda preta; 
camisa azul e bermuda cinza.
São 6 possibilidades diferentes.
Podemos utilizar a multiplicação, uma vez que 3 3 2 5 6.
De 12 maneiras diferentes.
Há bairros e condomínios que optam 
por pintar as fachadas das casas de 
acordo com um esquema de cores que 
é definido pelos próprios moradores.
Um guarda-roupa geralmente 
permite escolher diferentes 
possibilidades de roupas.
Pixaline/pixabay.com
Não escreva no livro.
As imagens não estão 
representadas em proporção
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Situação 3
Situação 4
Sorveteria
Existem sorveterias que permitem ao cliente escolher 
como deseja montar a sobremesa. O cliente pode escolher, 
além dos sabores, outros complementos, como caldas e con-
feitos que vão na casquinha.
No cardápio de uma sorveteria há oito sabores diferentes 
de sorvete, cinco tipos de confeito e três tipos de calda. Nessa 
sorveteria as bolas são de mesmo tamanho e não é possível 
escolher uma única bola com mais de um sabor. Primeiro é 
preciso escolher a quantidade e os sabores de sorvete, depois as caldas e por último 
os confeitos. Observe que, neste caso, a ordem dos componentes faz diferença ao 
montar a sobremesa.
	a) Escolhendo 2 bolas de sorvete de sabores diferentes, sem calda e sem confeitos, 
quantas são as possibilidades diferentes de sobremesa?
	b) Escolhendo uma bola de sorvete de chocolate, nenhuma calda e 3 confeitos dife-
rentes, quantas são as possibilidades diferentes de sobremesa?
	 c) Escolhendo uma bola de sorvete de morango, nenhum confeito e 2 caldas diferen-
tes, quantas são as possibilidades diferentes de sobremesa?
	d) Escolhendo 2 bolas de sabores diferentes de sorvete, 3 confeitos diferentes e 2 
caldas diferentes, quantas são as possibilidades diferentes de sobremesa?
56 possibilidades diferentes.
60 possibilidades diferentes.
6 possibilidades diferentes.
20 160 possibilidades diferentes.
Aula de xadrez
Em um curso de xadrez, o professor precisa organizar os 
estudantes de maneira que cada um tenha a oportunidade 
de jogar com todos os outros colegas. Isso proporciona 
aos estudantes, a cada partida, uma experiência nova e 
permite que sejam desenvolvidas novas estratégias.
Considere uma turma de xadrez que tem 12 estudan-
tes. Reúna-se com um colega para responder aos itens a 
seguir no caderno.
	a) Na primeira aula, o professor divide a turma em 3 gru-
pos de 4 estudantes cada um. Escreva no caderno to-
das as duplas diferentes que é possível formar em cada 
grupo.
	b) Na segunda aula, o professor fez uma separação dife-
rente, dividindo a turma em 2 grupos com 6 estudantes 
em cada um deles. Escreva no caderno todas as duplas 
diferentes que é possível formar em cada grupo.
6 duplas diferentes: AB, AC, AD, BC, BD e CD.
São 15 duplas diferentes: AB, AC, AD, AE, AF, BC, BD, 
BE, BF, CD, CE, CF, DE, DF e EF.
É possível montar 
diferentes sobremesas 
em sorveterias, 
escolhendo os sabores 
de sorvete e os 
complementos.
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Przemek Klos/EyeEm/Getty Images
Para jogar uma partida de xadrez são necessárias 
apenas duas pessoas.
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estão representadas 
em propor•ão
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Princípio fundamental da contagem
Você acabou de explorar algumas situações que envolvem contagem de possibilidades. Vamos explorar 
situações de contagem nas quais podemos utilizar o princípio fundamental da contagem e o princípio aditivo. 
Explorando o princípio fundamental da contagem
Acompanhe a seguir algumas situações.
	a) O menu executivo de um restaurante é dividido em saladas, pratos quentes e sobremesa. Na seção de 
saladas, há 2 tipos: salada tropical e salada roxa. Além disso, são oferecidos 2 tipos de pratos quentes: 
lasanha e risoto de cogumelos. Na parte de sobremesa, há apenas uma opção: sorvete de chocolate.
 Considerando que os clientes vão escolher uma salada, um prato quente e uma sobremesa a cada re-
feição, podemos organizar todas as opções possíveis fazendo desenhos.
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Parque Mercado Farmácia
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C
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Ou podemos organizar as opções de refeições utilizando diagramas.
Sorvete de
chocolate
SobremesaPratos quentes
Salada tropical
Salada roxa
Lasanha
Risoto de
cogumelos
Saladas
	b) Uma pessoa está no parque e quer ir à farmácia, mas antes precisa passar no mercado. Essa pessoa con-
sidera 5 caminhos diferentes para chegar ao mercado, saindo do parque, e 4 caminhos diferentes para 
chegar à farmácia, saindo do mercado.
Podemos representar a situação com o seguinte esquema.
 Dessa maneira, podemos ver as possibilidades de caminhos para cada trecho e contar uma a uma.
 Escolhendo o caminho A do parque ao mercado, podemos escolher os caminhos M, N, O ou P do mer-
cado até a farmácia. São 4 possibilidades de caminhos: AM, AN, AO e AP.
 Se utilizarmos esse raciocínio para cada um dos caminhos do parque até o mercado, podemos obter 
todas as possibilidades de caminhos do parque até a farmácia, passando pelo mercado.
 Observe que esse acontecimen-
to tem 3 etapas, com 2 possibi-
lidades em 2 etapas e 1 possi-
bilidade em outra, totalizando 
4 possibilidades (2 ? 2 ? 1 5 4).
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 Outra maneira de representar essa situação é utilizando um diagrama de árvore ou árvore de 
possibilidades.
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1a etapa: Parque – mercado; 2a etapa: mercado – farmácia. 
Porque a escolha em uma etapa não influencia na escolha 
de outra etapa.
 Esse esquema recebe o nome de diagrama de árvore ou árvore de possibilidades porque se assemelha 
aos galhos de uma árvore.
 Observando a árvore de possibilidades, podemos ver que há 5 possibilidades de caminhos diferentes 
para ir do parque ao mercado e 4 possibilidades de caminhos diferentes para ir do mercado à farmácia.
Dessa maneira, o total de possibilidades de caminhos diferentes é 5 ? 4 5 20.
 Podemos concluir que existem 20 caminhos diferentes para ir do parque à farmácia, passando pelo mercado.
Podemos dizer que o caminho do parque à farmácia é um acontecimento composto de duas etapas sucessivas e 
independentes. Quais são elas? Por que elas são independentes?
Reflita
	c) Em um jogo de tabuleiro a ação do jogador é definida ao jogar 2 dados. Um deles tem 4 faces, de modo 
que cada uma delas tenha uma das letras A, B, C e D. O outro dado possui 6 faces, numeradas de 1 a 6.
Podemos montar uma tabela para indicar todas as possibilidades de resultados a cada jogada.
Possibilidades de resultados a cada jogada
Dado de 4 faces
Dado de 6 faces
A B C D
1 1A 1B 1C 1D
2 2A 2B 2C 2D
3 3A 3B 3C 3D
4 4A 4B 4C 4D
5 5A 5B 5C 5D
6 6A 6B 6C 6D
Tabela elaborada para fins didáticos.
Observe que esse acontecimento tem duas etapas, com quatro possibilidades em uma e seis possibili-
dades em outra, totalizando 24 possibilidades (pois 4 ? 6 5 24).
Podemos fazer uma lista com todas as possibilidades: 1A, 2A, 3A, 4A, 5A, 6A, 1B, 2B, 3B, 4B, 5B, 6B, 1C, 
2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 1D, 2D, 3D, 4D, 5D e 6D.
Caminhos do
parque ao mercado
Caminhos do
mercado à farmácia
Caminhos do parque à farmácia,
passando