Questão resolvida - Marque a alternativa que representa corretamente a integral Cos(xy)dxdy (sobre a região S), onde S(x,y)_(xy)_4 e x_0 - Cálculo II - ESTÁCIO

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas / WhatsAPP: (71) 9927-17449
 
• Marque a alternativa que representa corretamente a integral , cos x² + y² dxdy∫
S
∫ ( )
onde .S = x, y / x² + y² ⩽ 4 e x ⩾ 0{( ) }
 
■ 𝜌cos 𝜌 d𝜌d𝜃 ∫
𝜋
2
-
𝜋
2
2
0
∫ ( )
 □ 𝜌 d𝜃d𝜌∫
𝜋
2
𝜋
2
2
0
∫ 3
 □ 𝜌cos 𝜌 d𝜃d𝜌∫
𝜋
2
𝜋
2
2
0
∫ 2
 □ 𝜌cos 𝜌 d𝜃d𝜌
0
∫
𝜋 2
0
∫ 2
 □ cos 𝜌 d𝜃d𝜌
0
∫
𝜋
2
2
0
∫ 2
 
Resolução:
 
Veja que a primeira condição da região S é;
 
x² + y² ⩽ 4 x² + y² ⩽ 2 → ( )2
 
A equação genérica da circunferência é;
 
x² + y² = r2
 
Podemos deduzir, assim, que essa inequação representa círculos de raio menores que 2, a 
representação da região pode ser vista a seguir;
 
 
 
A segunda restrição indica que: x ⩾ 0
Fazendo a intercessão dessas 2 regiões ficamos com a seguinte região;
Agora, devemos passar as variáveis da expressão da integral para coordenadas polares, 
devemos fazer as seguintes substituições;
 
x² + y² = 𝜌 e dxdy = dA = 𝜌d𝜌d𝜃2
Com isso, a integral fica;
 
cos 𝜌 𝜌d𝜌d𝜃∫
S
∫ 2
 
 
-4 -2 2 40
-2
2
x
y
-4 -2 2 40
-2
2
x
y
Da região resultante, chegamos aos limites de integração que são em: 
 a 𝜌 0 a 2 e 𝜃→ → -
𝜋
2
𝜋
2
Finalmente, temos que integral dada sobre a região S é;
 
𝜌cos 𝜌 d𝜌d𝜃∫
𝜋
2
-
𝜋
2
2
0
∫ 2
 
 
(Resposta )