Exercicios Derivadas

Prévia do material em texto

136 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Encontrar as tangentes dos ângulos formados pelas tangentes às curvas
e ao eixo dos x positivos:
7. Y = XS• a) Para x = 1. Resp. 3. b) Para x = - 1. Resp. 3; construir o
gráfico.
1 1 ,
8. Y=x' a) Para x=~. Resp. -4 ·b) Para x=1. Resp. -1; fazer o
desenho.
9. 'C 1
Y = V x para x = 2. Resp. 2VZ'
Calcular as derivadas das funções seguintes:
@ y=x4+3x2-6. Resp, y'=4x3+6x. 11. y=6x3-x2• Resp. y'=18x2-2.r.
x5 x2 5x4 2x12. y=------x, Resp, y'=------1.
a+b a-b a+b a-b
13) y= x3- ~2 + 1 . Resp. y' = 3x2
5
2x
x2 " r 2x14. y=2ax3-T+c.Resp. y =6ax2-T'
15) y=6x7/2+4x512+2x. Resp, y'=21xfi12+10x312+2.
J
@ V-V- 1 -rf 1 116. ú= 3x..L x+-. Resp. y'=~+ .
'x 2 ~ 3 VX"2 x2
17 (x+l)3 Resp. . ~:::t1)Z li i) ~" . .~:• y 31' Y ~.,..._
«:» -=-, Z'.
x m. x2 n2 1 m 2x 2n218,. y=-+-+-+_ . Resp, y'= + .
m. x n2 x2 m x2 n2 x3
,y- V- . 2 1 1
19. s= r x2-2 x+5. Resp, Y'=;r f:X - V:X .
'ax2 b fx R 5 21 3 . 1 ..20 y=--+----- esp, y'=-ax 3 __ bx-J/2+_~-.',G
. fx X V:X V:X' 3 2 6 .~
YY=(1+4x3) (1+2x2) ..Resp. y'=4x (1+3x+10x3).
22. y=x (2x-1) (3x+2). Resp. v'==2 (9x2+x-1).
23. y=(2x-1) (x2-6x+3).Resp. y'=6x2_26x+12.
~,2x4 ' <'lx3(2b2- x2)
24.1Y=--=·b2_X2.Resp, y'- (b2-x2)2
2- (I-'X Re p I 2ao. y =--. s. V =--- -.a+x, . (a+x)2
,. t3 R ,I t2 (3+t2)
& l(t)=1+t2' esp. f (1)= (1+t2)2 .
@ 1 (8)= (:~12.Resp, l' (s)= (S-~s2~(;t 4) .
x3+1 x4-2x3-6x2-2x+1
28. V x2._.x-2· Rcsp. v' (x2-x-2)2
xP r xP-1[(p-m)xm_pamj
29. v= m' m' Resp. V . ,~,~ ..,x -a
DERIVADA E DIFERENCIAL
30. y=(2x2-3)2. Resp, y'=8x(2x2-3).
31. y=(x2+a2)5. Resp. y='iOx(x2+a2)4.
321 y= V-x2-+-a-2.Resp. y' = X •
Vx2+a2
V
-- a--3x
33. y=(a+x) a-x. Resp. y' , V
2 a-x
34. y=Yli+X . Resp. V'= Vi (
-~ (i-x) i-x2
_ 2x2-i I 1+4x235. v - . Resp. V = .
xVi+x2 x2(i+X2)3/z
,sr 2x+l
36. y= li x2+x+ 1. Resp, y' =-;:-:,::3i33í~~=:;=;:;:;:
3 li (x2-j=x+l)2
37. y=(t+f':;YResp. V'=(1+ l:x r·
38~ s=V x+ V x+ VX. Rcsp. y'= 1 x
2Vx+Vx+V:X
x [1+ 2V x~ Vx (1+ -2~-:x)] .
39. y=sen2 x, Resp.y' = sen2x.
@ y= 2 sen z + cos 3x. Resp. v' =2 cos x'-3 sen 3x.
a
41. y=tg(ax+b). Resp. y'=--2-'-
cos
sen x ,142. u= Resp. y =--
1+cosx . l+cosx
43. y=sen 2x·cos 3x, Resp, y' =2 cos 2x cos 3x-3 sen 2x sen 3x.
W y= ctg2 5x. Resp. v' = -10 ctg 5x cosect 5x.
45. y=t sent+cos t. Resp.y/~t cos t,
46. y=sen3 tcost. Resp. y'=sen2t(3cos2t-sen2t).
V
-- asen2x
47. y=a cos 2x. Resp. v' = - V' .
cos 2x
48. r=a sen3 ~ . Resp. r~=asen2 ~ cos ~ .
tg ~ + ctg ~ 2x cos x +sen 2 x ( tg ~ + ctg ~ )
49)'11 . Resp. V'= - 2 2
X ser» x
50. u=» (1-COS2 ~)2. Resp. y'=2asen3 ~c~s~ .
137
138 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
1
51. y=2tg2x. Resp. y'=tgxsec2x. 52. y=Logcosx. Resp. y'=-tgx.
53. y=Logtgx. Resp, Y'=~2 . t4. y=Logsen2x. Resp. y'=2ctgx.sen x
tgx-1
5Jy=---. Resp. y'=senx+cos",.sec x
Ir 1-l-sen,e , _1_
56. y=Log V 1 . Resp. y =cos X •-senx
57. y=Logtg (~ +;). Resp. Y'=co!x'
58. y=sen(x+a) cos (x+a). Resp. y'=cos 2 (x+ a).
, cos (Log x)59. f (x) =Sen(Log x). Resp. f (x) = .
x
C\ sec2 (Log x)~~/f(x)=tg(Logx).Resp.f'(x)- x .
L
61. f (x)=sen(cos x). Resp. t' (x)= -SeIlx cos (cos x).
"2 1 dr 4
1J. r=3'tg3cp-tgcp+cp. Resp'ã<p=tg cp.
63. f(x)=(xctgx)2. Resp.t' (x)=2x ctg x (ctgx-xCOSBC2X).
64. y=Log(ax+b). Resp.y'= a+b.ax
65. y=Ioga(x2+1). Resp. Y'=(X2+~~Loga'
(;;;\.. 1+x ,2
~y=Log1_x' Resp. y =1-x2'
7.... 2x-cos x
s: v u= log3,(x2-Sen z). Resp. y' = (x2-senx) LogS .
1+x2 ,4x
68. u= Log 1-x2' Resp, y = 1-x4 .
69. ,y =Log (x2+ x). Resp. v' = 2_x2_+_1.x +x
3x2-2
70. y=Log (x3-2x+5) . .{esp. v' x3-2x+5'
r 3 Log2 x71. y=xLogx. Resp, y'=Logx+1. 72. y=Log3x. Resp. y =----"'--
x
1
73. y=Log{x+ -V1+x2). Resp. y'= -vr::+-x
2
1
74. y=Log(Logx). Resp.y'= xLogx
-- 161 f (x)=Log V~~:·Resp. i' (x)= 1-x.2 •
..w.
DERIVADA E DIFERENCIAL 139
-V~-x 2
6. À (x)=Log / . Resp. f' (x)= - -V-
~ x2+ 1+x 1+x2
-V-- a+ 11a2+x2 1Ia
2+x2
77. y= a2+x2-a Log '. Resp. u'x x
-V-- 11x2 +a2 -V3:2+a278. u= Log (x+ x2+a2)- . Resp. v' = 2X X
'!, "cos x 1 x " 1
79. y = - 2 2 +-2 Log t,g-2 . Resp. y =-3-'sen x SeIl x
sen x , 1-t sen 2 x
80. u= 'I _~~?, _ " Resp. y = '2 cos3 x •
181. y=2tg2x+Logcosx. Resp. y'=tg3x.' 82. y=eax. Resp. y'==aeax.
íi!\ 2 28~y=e4X+5. Resp.y'=4e4:'<+5. 84. y=ax. Resp.2xa
x
Loga.
85. yc==7x2+2x• Resp. y'=2(x+1)7x2+2xLog7.
86. y=Ca2-x2• Resp. y'=_2XCa2-x2Logc.
87
l/X ,a vi 8 aR' a. y,=ae . Resp. y = -V- e. 8 • r=a. esp, r =a Log a.
2 x
• Loga L
89
Log () R ar a og a '. I. r=a • esp. de ---e r
90. y=ex (1-·x2). Resp. y'=ex (1-2x-x2).
eX-1 2ex eX 1
91. u= e
X
+1 .Resp. y' {eX-l-1)2' 92. y=Log f+ex' Resp. y'= 1+ex •
x x X x
- -- 1 - --
93. y=~ (ea_e a). Resp. y'='2 (ea+e a).
94. y=esenx. Resp. y'=esenxcosx.
95. y=atgnx. Resp. y' = natgnx sec2 nx Log a.
96. y=éosxsenx. Resp.y'=ecosx (cosx-sen2 x).
97. y=exLogSellx. Resp. y'=eX(ctgx+LogSepx).
98. y=xnesenx. Resp. v' =xn-1esenx (n+x cos x).
i
~ y=xx. Ri:Sp. y'=xX(Logx+1). G y=xx.
101. y=xLogX. Resp. y'=xLOgx-l Logx2.
~ xX xX~. y=e Resp. y'=e (1+Log x) xX.
(x)nx (x)nx( X)103. Y== r; . Resp.y'=n n 1+Log-n
1
Resp, y'=i C-~:gX)
140 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
104. y=xsenx. Resp. xs~nx (se~x +Log x eos x) .
105. y= (sene)>. Resp. (senx)X (Log sen c-]- x etg x).
106. y=(senx)tgx. Resp. y' = (seDx)tg x (1+see2 x Logsenx).
1-ex 2eX 1
107. y=tg l+ex' Resp. Y'=-(1+eX)2' 1-eX .
eos2 1+ eX
---- eos1l1-2x
108. y=sen1l1-2x.Resp.y'=- 11 2xLog2.
2 1-2X
109. !J = 10x tgx. Resp. y' = 10'"tg x Log 10 (tg x+ ---;-) .
. eoo·x
Calcular a derivada das funções depois de as ter logaritmlzado:
VX(X2+1) I 1 VX(X2+1) (1 2.x 2)110. u= (x--l)2' Resp. y ='3 (x-1)2 -x+ xL!--1- x-1
4
(x+l)3V(x 2)3 I (x+1)3{!(x-2)3
111. y = ó • Resp. y = X
V(x-3)2 V(x-3)2
( 3 3 2)X x+1+4(x-2) 5 (x--3) .
. (x+1)2 I (x+l) (5x2+14x+5)
112. !J= (x+2)3(x+3)4 . Resp.j, =- (x+2)4(X+3)5
ViX=1)2 . --161x2 + 480x- 271
113. y = 4 ,'r . Resp. y = 5 4 3
V(x--2)3 V (x-3)7 60V(x-1)3V(x-2)7 JY(x-3)IO
114 x(1+x2) R ' 1+3.x
2-2x4
• Y = -,/ . esp. y = 3
V 1-x2 -
(1_x2)2
115. y=x5 (a+3x)3 (a-2x)2. Resp, y'=5x4 (a-~-3x)2 (a-2x) (a2+2ax-12x2).
x I 1
116. y=aresen-. Resp. y V
a - a2-x2
117 ( ")2 R I 2areSenx.. u= are s••nx. esp. y = V
1(-x2
118. y=aretg(x2+1). Resp, yl=~ ... ~
119. y=aretg 1 2~x2 . Resp. y'= 1:X2 .
-2x
120. y=are eos (x2). Resp.y'= -,/_ .
V l-x4
121 are eos x R I - (x+ 1I1-x2 are eos x). !j= esp. y =
x x2 V1-x2
DERIVADA E DIFERENCIAL 141
x+1 R' 1122. y=are sen V- . esp. y,/ 22 V 1.-2x-x
123. y=xlla2-x2+a2aresen-=-. Resp. 1I'=211a2-x2.a
x -. / a-x
'124. y=Va2-x2+aareaenã' Resp, y'=V a+x'
v+a du 1
125. u=are tg-1----· Resp, -d =-1+ 2 •-av v t'
1 x 113 ,_ xL!--l
126. y= 113 aretg l-x2 • Resp. 11- x4+x2+1
x
127. y=xaresenx. Resp, y'=are senx+ V ---2'
l-x
128. ! (x) = are eos (Log x). Resp. t' (x) = - V 1L 2
X 1- og x
cos x
129. !(x)=aresenVsenx.Resp.f'(x)= V ;!2 senx-scn x
I l-eos x I 1
130. y=are tg 1/ 1 (O <: x < rt}. Resp. li ="õ)'r +cos x -
are tg x
131. y=earctgx.llesp. y'= e1+x2
eX_e-x 2
J32. !J=arc tg ') . Resp. y' = eX+e-x
(
are sen x LOgX)
1:~3. !J=xarcsenx. Resp, y'=xaresenx + ,/
x V 1-x2
eos x [ : no 1.0 e 4.° quadrante,
134. y=aresen(senx). Resp. y'= [cos z ] -no 2,0 e 3.° quadrante •.
_ _ 4senx Rese, ,= /1
13il. y--are tg '.) , ,,~os x· p Y 5+3 eos x
a, -. /-;=a I 2a3
J36.y=are tg -X+Log V x+a' Resp, y = x4-a4
1
(
1 ' x );; 1 x2
137. y=Log l' x -'2 are tg.x. Resp. y'=t=X4.
3x2-1 V-- , x5+1
138. u= 3x3 +Log 1+x2+aretgx. Resp. Y =~.
1 z+1 1 2x -1 I 1
1.39. y=-3 Log V . + , r are tg V:" . Resp. y =~
x2-x+l V 3 3 T
1+x 112+ x2 x V2 , 4 1/2
t40. y=Log +2 are tg -1----2 . Resp, y =-1+ 4 •1-x V2+x2 -x X
x2n-l R 2nlxln
141. y= are eos _,9'" , , • esp, x (x2n+1)
142 CALCULO DIFERENCIAL EINTEGRAL
Derivação das funções implícitas:
Calcular !:!L se·
dx' .
dI} 2p dy x142. y2=4px. Resp. -do =-. 143. x2+ y2=a2. Resp, _._ = .
x Y - dx Y
dy b2x144. b2x2+a2y2=a2b2. Resp. _ _ __
dx a2y
2ady145. y3-3y+2ax=0. Resp. dx
1 1 1 __
"2 "2"2 dy w/y
146 •. '/: +y =a . Resp, CiX= - V x'
222 _
"3 "3"3 dy -,3; y
147. x +y =a . Resp. CiX=-V x'
dy Y148. y2-2xy+b2=0. Resp. -do=-- .
x v-x
dy ay-.t2149. x3+y3-3axy=0. Resp. -= __ .__.
dx y2-ax"
3 (1-y2)
~ dy sen(x+y)
bO. y=cos (x+y). Resp. -d = - 1+ .' ( I )
X sen XiY
dy 1+ysen(xy)151. cos (xy)=x. Re6P. -d = . ( )
x x sen xy
Achar :~ para as funções dadas sob a forma para métrica:
dy b152. x=acost, y=bsent. ResP'-d =--ctgt.. x a
dy t153. x=a (t-Simt); y=a (1-cos z). Resp. -d =ctg?
x ~
dy b154.x=a cos3 t; y=bsen3 t , Resp. -d' = -- tg t.
x a
~~ 3al". 3at2 dy 2t
1;);). x= 1+t2 ' s= 1+t2 . Resp. dx - i-t2
ú,u
156. u=2Logctgs, v=tgs+ctgs. Mostrar que liV=tg2s.
Achar as tangentes dos ângulos da inclinação das tangentes às curvas:
1 11~157. x=cos t, y=sent no ponto x= -2' y=-i-' Fazer o desenho
1
Resp. 113'
158. x=2cost, y=sent nó ponto x=i, y=_ ~3 . Fazer o desenho
Resp.
1
2 Vã .
DERIVADA E DIFERENCIAL 143
rt
IG9. x=a (t-sen t), iJ=a (1-cos t) para t=2' Fazer o desenho. Resp 1.
I(JO.
:n;
x=acos3t, y=asen3t para t=/;. Fazer o desenho. Resp -1.
Um corpo lançado no vácuo sob um ângulo a com o horizonte descreve
sob o efeito da gravidade uma trajectória (parábola) cujas equações
2
paramétricas são: x =(vo cos a)t, y=(vo sen a) t- ;t (g = 9',8 m/s2). Para
a = 60°, vo = 50 m/s, determinar a direcção do movimento nos instantes:
i) t = 2s; 2) t = 7s. Fazer o desenho.
Rép. '1) tg <rI = 0,948, <rI = 43°30'
2) tg <r2 = - '1,012, <r2 = + 134°7'
Calcular os diferenciais das funções seguintes:
tli1.
162. y=(a2-x2i5. Resp. dy= -iOx (a2_x2)4 d»,
V-- ledx'163. u= 1+x2. Resp. dy V .
i+x2
1164. y=3 tg3 x+ tg x. Resp. dy=sec4 x dx.
x Log x Log x dx
165. y= i-x +Log (i-x). Resp, dy= (i_.(I;)2
Calcular os acréscimos e os diferenciais das funções:
166.
167.
y = 2X2 - x para' x = i, Ôx == 0,01. Rép. Ôy = 0,0302, dy = 0,03.
Seja y = x3 + 2x. Calcular Áy e dy para x = - 1, ÂX = 0,002.
Resp. Áy = 0,098808, dy = O,\. :n;:n; :n;
Seja y = sen x. Calcular dy yara x =3' ÁX=18Resp, dy =36= 0,00873.
V3 1Conhecendo sen 60° = -2- = 0,866025; cos 60° =2' calcular o valor
aproximado de sen 60° 3' e sen 60' 18'. Comparar os resultados obiídos
com os dados das tábuas. Resp. sen 600 3' ;::::0,866461; sen 60° 18';::::
;::::0,868643.
168.
169.
170. Achar o valor aproximado de tg 45° 30". Resp .. 1,00262.
171. Conhecendo log,o 200= 2,30103, calcular o valor aproximado de logtO 200,2.
Resp. 2,30146.
Derivadas de diferentes ordens. -
172. y = 3x3 - 2x2+ 5x - 1. Calcular y". Resp. 18x - 4.
12
'173 5í3 C I I '" R 42 - b. y = r .'/:. a eu ar y. esp. 125 x •
~ .
174. Y=x6• Calcular y(61. Resp. 6!.
r.: C ". n (n+ 1) C17;). u= xn . Calcular y. Resp. xn+2
144 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
a2
\76. y=Va2-x2• Calcular y". Resp.
.177.
(a2-x2) Va2-x2
,j- 15y=2 V x. Calcular y(4). Resp. ---=- .
8 Vx7
y=ax2+bx+c. Calcular y"'. Resp. O.
l(x)=Log(x+i). Calcular fIV (x). Resp.
178.
179.
180.
181.
-182.
183.
6
(X+i)4
Y = tg x. Calcular y"'. Resp. 6sec+ x -4 sec2 x.
y=Log senx. Calcular y"'. Resp. 2 ctg x cosecs x.
I (x)= Vsec 2x. Calcular i" (x). Resp. r (x)=3 [I (x)]5-1 (x).
x3 IV 4.!
u= i-x' Calcular I (x). Resp. (i-x)5
q d3p lta3
p=(q2-f-a2)arctg-. Calcular -_.Resp. ---
a dq3 (a2 + q2\2
184..
x x
~ a a -a d2y' y
18". y=T(e +e ). Calcular dx2' Resp'-aT'
186. y=co~ ax. Calcular y(n). Resp. aTocos ( ax+n ; )
187. y=ax. Calcular y(n). Resp. (Log a)n ax.
88 -L () I (n) R (1)n-1 (n-i)!• y - og i + x. Calcu ar y . esp. -. C" ~
189 - 'i-x C I I (n) R 2 (i)n n!• 11 -- i+x· a cu ar y . esp. - -. -. -r--, -, , •
190. y=exx. Calcular y(n). Resp. eX (x+n).
(n-i) I
191. y=xn-1 Log x. Calcular y(n). Resp. .
x
192. y=sen2 x. Calcular y(n). Resp. _2n-1 cos (2x + ~ n)
193. y=xsenx. Calcular y(n). Resp. xsen (x+ ~ n)-ncos (x+; 12)
194.. Se y=exsenx, demonstrar que y"-2y'+2y=0.
d2y 4a2
195. y2=4.ax. Calcular dx2 . Resp. -7.
d2y d3y b4 3b6x
196. b2x2+a2y2=a2b2. Calcular -d 2 et -d'3 Resp. ---2 3 ; --4-' .X X a y a V')
. d~y r2
197. x2+y2=r2• Calcular dx2' Resp. -ya'
d3y
198. y2-2xlI=0. Calcular dx3 .Resp. O.
d3p
199. p=tg (<p+p). Calcular dcp3. Resp.
2 (5+8p2+ 3p4)
p8
DERIVADA E DIFERENCIAL 145
"00. seeç-cos p=C: Calcular d2p. Resp. tg
2
p- tg
2
<p
d<p2 tg3 P
201. eX+:r=e'~+y. Calcular' d2y • Resp. (1-ex+y) (ex.,-eY)
dx2' (eY--l .. n
202. y3+x3-3axy=0. 'Calcular d
2
y • Resp. _ 2a
3
xydx2 (y2-ax)3
203. x=a(t-~nt), y=a(1-cost). Calcular ::; • Resp,
i
4.n sens ( ~ )
d2y
204.. x=a cos 2t, y=bsen2 t. Mostrar que -d- =0.x2
d3y
205. x == a cos i, y=a sen t, Calcular dx3' Resp.
3 cos t
a2senó t
d2n d2n+1
206. Mostrar que dx2n (shx)=shx;r.3_o.n-,-, (shx)=chx.
Equações da tangente e da normal. Comprimentos da sub-tangente e
(Ia sub-normal.
207. Formar a equação da tangente e da normal à curva y = Xli - 3x2 - X + S
no 'ponto M (3, 2). Resp, A tangente 8x - y - 22 = O; a normal x +
+ 8y - 19 = O.
208. Achar a equação da tangente e da normal, o comprimento da sub-tangente
e da sub-normal no círculo x2 + y2 = r2 no ponto M (Xl' Yt). Resp. A tan-
gente XXI + yYI =r2; a normal xiY-Yix=O; ST= I~~i I; ,
SN=I"-'Xil. i
209, Mostrar que o vértice da parábola y2 = 4px corta a sub-tangente no
centro e que o comprimento da sub-normal é constante e igual a 2p.
Fazer o desenho.
210. Achar a equação da tangente no ponto
x2. y2 _ XXi yYi . •
a2 +b2= 1. Resp, a2+ 'b2= i ,h} à hípérbole
M (x,; Yt): a) à elipse
x2 y2
a2 -b2 = 1. Resp.
~_ YY1-1
a2 b2 - •
211. Achar a equação da tangente e
ponto em que x = 2a. Resp. A= 2x - 3a.
212. Mostrar que a normal à curva 3y = 6x - Sx2, dírigida ao ponto M (i, ;,) ~
passa pela origem das coordenadas.
213. Mostrar que a tangente à curva ( : ) n+ ( ~ ) n = 2 dirigida ao ponto
x Y .
M (a, b) é a-+t =2.
8a3
da normal à curva y = 4a2 +xII no
tangente x + 2y = 4a; a normal y =
10
146 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Achar a equação da tangente à parábola y2 = 20x que forma um ângulo
214." de 45° com o eixo Ox. Resp, y = x + 5 [no ponto (5, 10)],
Achar as equações das tangentes ao círculo x2 + y2 = 52 que são paralelas
215. à recta 2x + 3y = 6. Resp. 2x + 3y ± 26 = O.
Achar as equações das tangentes à hipérbole 4x2 - 9y2 = 36, que são
216. perpendiculares à recta 2y + 5x = 10. Resp, Não há.
Mostrar que as porções da tangente à" hipérbole xy = m compreendidas
217. entre os eixos de coordenadas têm por centro o ponto de tangência.
222
218 Mostrar que as porções da tangente à astroide x3+ yã = aS compreendidas
. entre os eixos de coordenadas têm um comprimento constante.
219. Sob que ângulo se cortam ali curvas y = aX e y = bx? Resp. tg a =
Log a-Logb
= 1+Loga·Log b '
Achar o comprimento da sub-tangente, da sub-normal, da tangente e da
normal à cicloide x=a (e-sen e), y=a (1-cos 8) no ponto para o qual
O=~ . Resp, ST= Cl;SN "a; T=a V2; N=a V2.
220.
221. Calcular ST, SN; l' e' N para a hipocicloíde x=4acos3t, Y=4asen3t.
- j sên4tj~esp. ST=14asen2tcostf; SN~ 4a cõst; T=4asen2t; N=
= \4asen.2 t tg t I.
Problemas diversos
222.
Calcular as derivadas das funções:
sen » 1 .(ll X) 1y 2 2 ~-2' Logtg '-4.--2 .Resp.y'= __ ._.cos x. . cos3x
1y=arc aen223. 1
Resp. y'= -I X IVx2-1'x
224. cosx
\êõSXj
2 ,1'-y -:- . •are tg ('. a - b x )~ 'à+b tgT (a>O, b>O).
'Resp, y' = _.,-,-1=--_' _
a+b cosx
y=arc sen (senx). Resp, y'
225.
226. xy==1x j.Resp. y' -/Xí ..
I, X 1
227.
1
··y=arc senV1-x2• RCl5P. y'= -TXT V1 x2'
DERIVADA E DIFERENCIAL 147
228. Resulta das fórmulasv= ~ nr3 e 8=4nr2 para o volume e a superfície
da esfera que dv =8. Explicitar a significação geométrica deste resultado.
.dr
Achar uma relação análoga entre a superfície do círculo e o comprimento
da circunferência.
229. No triângulo ABC o lado a exprime-se em função dos outros dois lados b,
c e do ângulo A que eles formam pela fórmula a = Vb2+c2-2bccos·Ã.
Quando os lados b e c são constantes, o lado a é tunção do ângulo A.
Mostrar que :~ = ha, em que ha designa a altura do triângulo correspon-
dente à base a. Explicar o resultado com o auxílio de considerações
geométricas.
230. Utilizando a noção de diferencial, explicar a proveniência das fórmulas
V- b,8í- baproximadas a2+b"",a+-2, r a3+b"",a+~ ,em que Ibl é uma ~. .
número pequeno em relação a a.
231. O período de oscilação do pêndulo é igual a T = sr VZ/g,. Que influência
sobre o erro de cálculo do período T exercerá um erro de 1 % fora da
medida: 1) do comprimento do pêndulo I; 2) da aceleração da gravi-
dade g? Resp. 1) ~ 1/2 % ; 2) ~ 1/2 %.
232. A tractriz tem a propriedade de em cada um dos seus pontos '0 segmento
da tangente T conservar um valor constante. Demonstrar isto utilizando:
1) a equação da tractriz sob a forma
V-- a a·- Va2-y2 O)x= a2_y2 +- Log (a> ;2 a+ Va2-y2
2) as equações paramétrícas dá curva
x= a (Log tg t/2+cost) , y= a; sen t.
233•. Demonstrar-que a função y = Cte-x+C2e-2xverifica a equação y"+3y'+
+2y=O (C1 e C2 designam aqui constantes).
234. Demonstrar a igualdade y":=;2ze z"=-2y, se u= eXsen x, z=ex cos x;"
235. Mostrar que a função r= sen (m are sen x) verifica a equação (l-x2):'X
X y"-xy' +m'ly=O.
y
. - d2 (. d )2
236. Demonstrar que se (a+bx) e x = x, então x3 dx; = x.d~ - y .