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* Estatística Aplicada à Administração I ADM 1276 Profa. Léa Benatti Capítulo 5 – DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE 1- Variáveis Aleatórias 2- Distribuições Discretas de Probabilidade 3 – Valor Esperado, Variância e Desvio Padrão 4 – Distribuição de Probabilidade Binomial 5 – Distribuição de Poisson 6 – Distribuição de Probabilidade Hipergeométrica PUC-Rio * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade Assuntos abordados no Capítulo: - Conceitos de variáveis aleatórias e de distribuições de probabilidade Foco: Distribuições de Probabilidade Discretas (tipos: Binomial, Poisson e Hipergeométrica). Definições importantes: Experimento: Processo que gera resultados bem definidos; Espaço Amostral: Conjunto de todos os resultados experimentais (ponto amostral); Ponto Amostral: representa um elemento do espaço amostral; Evento: Conjunto específico de pontos amostrais; Probabilidade: medida numérica da possibilidade de um evento ocorrer. Usar o lançamento de dois dados para explicar no quadro * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade 1 – Variáveis Aleatórias É uma descrição numérica do resultado de um experimento; Fornece meios para descrever resultados experimentais usando valores numéricos; Associa valor numérico a cada resultado experimental possível; Assumem valores numéricos. Classificação das Variáveis Aleatórias: Discreta ou Contínua: depende dos valores numéricos que a variável assume. * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade i) Variáveis Aleatórias Discretas Podem assumir tanto um número finito de valores como uma seqüência infinita de valores (0, 1, 2, ...). Exemplos: a) Experimento: indivíduo que presta exame público para perito-contador. O exame é composto de quatro partes. X → variável aleatória, definida como o nº de partes em que o indivíduo foi aprovado no exame. Variável aleatória discreta que pode assumir o nº finito de valores: 0, 1, 2, 3 ou 4. b) Experimento: carros que chegam a um posto de pedágio. X → variável aleatória, definida como o nº de carros que chegam a um posto de pedágio durante o período de um dia. Variável aleatória discreta que pode assumir valores de uma seqüencia infinita: 0, 1, 2, 3 ... . * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade Resultados Experimentais: podem ser descritos ou não por valores numéricos. Experimentos apresentados nos exemplos anteriores (a e b): descritos por valores numéricos. Há resultados experimentais que não são descritos por valores numéricos. Neste caso, descrever este resultado numericamente definindo uma variável aleatória discreta X que os represente. Ex.: Pesquisa: solicitar a um indivíduo que relembre a mensagem de um recente comercial de Televisão. Dois resultados são possíveis e X é a variável aleatória discreta que fornece descrição numérica dos resultados. - O indivíduo não é capaz de lembrar a mensagem (X = 0); O indivíduo é capaz de lembrar a mensagem (X = 1). (Valores de X são arbitrários, poderiam ser 5 e 10, por exemplo.) * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade Exemplos de Variáveis Aleatórias Discretas: Nestes exemplos, as variáveis aleatórias discretas assumem ou um número finito de valores ou uma seqüencia infinita de valores. * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade ii) Variáveis Aleatórias Contínuas Podem assumir qualquer valor numérico em um intervalo ou em uma coleção de intervalos. Resultados experimentais baseados em escalas de medidas como tempo, peso, distância e temperatura podem ser descritos por meio de variáveis aleatórias contínuas. Exemplos: a) Companhia de Seguros. Experimento: monitoração das chamadas telefônicas feitas ao escritório de seguros da companhia. X → variável aleatória contínua, definida como o tempo, em minutos, entre as chamadas consecutivas, que pode assumir qualquer valor no intervalo de X ≥ 0. Nº infinito de valores é possível para X (1, 26 minutos; 2,751 minutos, 4,333 minutos, ...) . * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade b) Considerar um trecho de 144Km da estrada de rodagem BR-040 no estado de Minas Gerais. Para serviço de emergência de ambulâncias localizado em Belo Horizonte, pode-se definir a variável aleatória X. X → nº de quilômetros até o local do próximo acidente de trânsito ao longo do trecho da rodovia.Variável aleatória contínua que pode assumir qualquer valor no intervalo de 0 ≤ X ≤ 144. OBS.: A variável de interesse definida como X, dependendo do foco do experimento, poderá ser uma variável aleatória discreta ou uma variável aleatória contínua. * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade Exemplos de Variáveis Aleatórias Contínuas: Ex 1, 2, 3 e 4 * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade 2- DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE Distribuição de Probabilidade de uma variável aleatória Descreve como as probabilidades estão distribuídas sobre os valores da variável aleatória. Para uma variável discreta X: a distribuição de probabilidade é definida por uma função probabilidade f(x). f(x): função probabilidade: fornece a probabilidade correspondente a cada um dos valores da variável aleatória. * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade Ex.: Vendas de automóveis na LJK Motores. Últimos 300 dias de operação - dados de vendas: 54 dias: sem vendas de automóveis; 117 dias: um automóvel vendido; 72 dias: dois automóveis vendidos; 42 dias: três automóveis vendidos; 12 dias: quatro automóveis vendidos; 3 dias: cinco automóveis vendidos. Total: 300 dias Experimento: Selecionar um dia de operação na LJK Motores. Variável aleatória de interesse: X = nº de automóveis vendidos durante um dia. Variável aleatória discreta: assume valores 0, 1, 2, 3, 4 ou 5. * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade Ex.: Vendas de automóveis na LJK Motores (continuação). Função Probabilidade: f(0): fornece probabilidade de 0 (zero) automóveis vendidos; f(1): fornece probabilidade de um automóvel vendido; ... f(5): fornece probabilidade de cinco automóveis vendidos. A partir dos dados históricos tem-se: 54 dos 300 dias com zero automóveis vendidos: f(0) = 0,18 → a probabilidade de zero automóveis ter sido vendido durante um dia é de 0,18; f(1) = 117 / 300 = 0,39 → a probabilidade de um automóvel ter sido vendido durante um dia é de 0,39; ... * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade Ex.: Vendas de automóveis na LJK Motores (continuação). Tabela de distribuição de probabilidade correspondente ao nº de automóveis vendidos durante um dia na LJK Motores: Maior probabilidade: f(1) = 0,39 → nº mais provável de automóveis vendidos durante um dia é 1 (um); Há probabilidade 0,19 de ser vendidos 3 (três) ou mais automóveis durante um dia: f(3) + f(4) + f(5) = 0,19 ↓ Conclusões, obtidas com base na distribuição de probabilidade, que auxiliam o tomador de decisões a entender o processo de venda de automóveis de na empresa LJK Motores. * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade Condições necessárias para uma função probabilidade: f(x) ≥ 0 ∑ f(x) = 1 Representação Gráfica: → Condições análogas às duas exigências básicas para atribuir probabilidade aos resultados experimentais. * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade Função Probabilidade Discreta Uniforme Ex.: a) Experimento: lançamento de um dado. X → variável aleatória: nº que vai surgir N = 6 → X = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Logo: f(x) = 1/6. Probabilidades iguais para as variáveis aleatórias discretas. Probabilidade Discreta Uniforme Valores da variável aleatória e as probabilidades correspondentes * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade Função Probabilidade Discreta Ex.: b) Considere a variável aleatória X com a seguinte distribuição de probabilidade: Probabilidades diferentes para as variáveis aleatórias discretas. Calcular f(x) para determinado valor da variável aleatória fornecerá a probabilidade correspondente. → expressão matemática que define a distribuição indicada. Para X = 1, 2, 3 ou 4. → probabilidade da variável aleatória assumir um valor igual a 2. Ex 7, 8 e 9 * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade 3 – VALOR ESPERADO, VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO Valor Esperado de uma Variável Aleatória Discreta É a média ponderada dos valores que a variável aleatória pode assumir. Pesos: são as Probabilidades. Valor esperado, ou média, de uma variável aleatória é a medida da posição central da variável aleatória. Expressão Matemática: E(x) = = ∑(x . f(x)); x: valores da variável aleatória; f(x): probabilidades (pesos). E(x) ou → denotação usada para o valor esperado de uma variável aleatória. * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade Ex.: Venda de automóveis da LJK Motores. Cálculo do valor esperado para o nº de automóveis vendidos durante um dia na LJK Motores: E(x): valor esperado referente ao nº de automóveis vendidos durante um dia. A LJK pode prever a venda de uma média de 1,50 automóveis por dia. Supondo 30 dias de operação durante o mês: pode-se usar o valor esperado de 1,50 para prever vendas mensais médias → 30 x 1,50 = 45 automóveis. * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade ii) Variância de uma Variável Aleatória Discreta É a média ponderada dos desvios elevados ao quadrado que uma variável aleatória sofre a partir de sua média. Expressão Matemática: Var(x) = 2 = ∑((x- )2 . f(x)); f(x): probabilidades (pesos). Var(x) ou 2 → denotação usada para a variância de uma variável aleatória. Variância de uma variável aleatória discreta: Medida de Variabilidade (ou de dispersão) → Sintetiza a variabilidade nos valores da variável aleatória. (x - ): desvio → mede o quão distante um valor em particular da variável aleatória se encontra do valor esperado (ou média) . * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade Ex.: Venda de automóveis da LJK Motores. Cálculo da variância para o nº de automóveis vendidos durante um dia na LJK Motores: onde: = 1,50 Var(x) = 1,25 → variância para a distribuição de probabilidade do nº de automóveis vendidos. * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade iii) Desvio Padrão de uma Variável Aleatória Discreta Expressão Matemática: No Exemplo: Desvio Padrão: medido na mesma unidade da variância ( = 1,118 automóveis). Portanto, é preferido para descrever a variabilidade de uma variável aleatória. 2 (variância) → medida em unidades elevadas ao quadrado. Sendo assim, é mais difícil de ser interpretada. → desvio padrão do nº de automóveis vendidos durante um dia. Ex 15, 16 e 21 * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade 4 – DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE BINOMIAL É uma distribuição de probabilidade discreta. Está associada a um experimento de múltiplas etapas chamado experimento binomial. Propriedades do Experimento Binomial: 1) O experimento consiste em uma seqüencia de n ensaios idênticos. 2) Dois resultados são possíveis em cada ensaio. Referindo-se: um sucesso (p); um fracasso (1 – p). 3) A probabilidade de um sucesso, denotado por p, não se modifica de ensaio para ensaio. Conseqüentemente, a probabilidade de um fracasso, denotado por (1 – p), não se modifica de ensaio para ensaio. 4) Os ensaios são independentes. * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade Obs.: Se as propriedades 2, 3 e 4 ocorrem: ensaio é gerado por processo de Bernoulli; Se, além das propriedades 2, 3 e 4, a probabilidade 1 acontece: tem-se um experimento Binomial. Experimento Binomial: Interesse: nº de sucessos que ocorrem nos n ensaios. X → denota o nº de sucessos que ocorrem nos n ensaios. Assume os valores de 0, 1, 2, 3, ..., n → nº de valores finitos, portanto x é uma variável aleatória discreta. A distribuição de probabilidade associada a X é chamada distribuição de probabilidade binomial. * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade Exemplos: a) Experimento: Jogar uma moeda 5 vezes. Em cada arremesso, observar se a moeda cai com coroa ou com cara voltada para cima. Interesse: nº de caras que aparecem nos 5 arremessos. Sucesso (p): Caras. O experimento tem as propriedades de um experimento binomial? - Experimento: 5 ensaios idênticos; - Dois resultados possíveis para cada ensaio: Cara ou Coroa; - Para cada ensaio: Probabilidade Coroa e Probabilidade Cara são as mesmas → P(cara) = p = ½ = 0,50; P(coroa) = (1-p) = 0,50. - Ensaios (arremessos) são independentes. Sim, propriedades de um experimento binomial estão satisfeitas. * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade Exemplos: a) Experimento: Jogar uma moeda 5 vezes. (Continuação) Qual o valor da variável aleatória de interesse? X: o nº de caras que aparece nos 5 ensaios. Assume valores de 0, 1, 2, 3, 4 ou 5. b) Vendedor de seguros que visita 10 famílias selecionadas aleatoriamente. Resultados associados a cada visita: Sucesso (caso de compra) Fracasso: (caso de não compra). Por experiência, o vendedor sabe que a probabilidade de uma família comprar uma apólice de seguro é de 0,10. Verificar as probabilidades de um experimento binomial. * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade Exemplos: b) Vendedor de seguros (Continuação) Verificar as probabilidades de um experimento binomial. - Experimento: 10 ensaios idênticos (cada ensaio: contatar uma família). - Dois resultados possíveis para cada ensaio: a família comprar a apólice (sucesso); a família não comprar a apólice (fracasso). - Para cada ensaio: Probabilidade de compra e Probabilidade de não compra são as mesmas → p = 0,10; (1-p) = 0,90. - Ensaios são independentes (famílias selecionadas aleatoriamente). Hipóteses são satisfeitas, logo é um experimento binomial. X: variável aleatória de interesse: nº de vendas obtidas ao contatar 10 famílias. Assume valores 0, 1, 2, 3, ..., 10. * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade Observação: Propriedade 3: Hipótese estacionária (probabilidades de sucesso e de fracasso não se modificam com o ensaio); Propriedade 4: Independência dos ensaios. Propriedades 3 e 4, as vezes, se confundem. Como diferem: Considere o caso do vendedor de apólice de seguros para famílias. Se, no decorrer do dia, o vendedor se cansar e perder o entusiasmo → probabilidade de sucesso (vender uma apólice) pode cair para 0,05, por exemplo, após a décima ligação. Probabilidade 3 (imutabilidade) não seria satisfeita → não se teria um experimento binomial, mesmo que a propriedade 4 se mantivesse (decisão de compra de cada família tomada independentemente). * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade Função de Probabilidade Binomial: usada para calcular a probabilidade de X sucessos nos n ensaios. Número de resultados experimentais que fornecem exatamente X sucessos em n ensaios: Onde: n! = n (n-1) (n-2) (n-3) ... (2) (1) fornece o nº de resultados experimentais resultantes em X sucessos de uma seqüencia de n ensaios. Conta o nº de experimentos que resultam em x sucessos. Probabilidade de uma seqüencia de resultados de ensaio com X sucessos em n ensaios: * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade Eq. 1: mostra o nº de resultados em um experimento binomial com X sucessos. Eq. 2: fornece a probabilidade referente a cada seqüencia envolvendo X sucessos. Função Probabilidade Binomial → combinação das equações1 e 2: Onde: f(x): probabilidade de X sucessos em n ensaios; n = nº de ensaios; p = probabilidade de sucessos em qualquer dos ensaios; (1-p) = probabilidade de fracasso em qualquer dos ensaios; * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade Exemplos: a) Considerar as decisões de compra dos 3 clientes que entram na loja de roupas Dª Efigênia. Baseado em experiências do gerente da loja, estima-se que a probabilidade de qualquer dos clientes realizar uma compra é 0,30. Qual é a probabilidade de dois dos próximos três clientes realizarem uma compra? S: Compra (sucesso); F: não compra (fracasso); X: nº clientes que realizam a compra (sucesso); 8 resultados Interesse: resultados experimentais que envolvem 2 sucessos nos 3 ensaios (decisão de compra) * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade Exemplo a: (Continuação) Experimento envolvendo seqüencia de 3 decisões de compra é um experimento binomial? - Experimento descrito como uma seqüencia de 3 ensaios idênticos; - Dois resultados: cliente realiza a compra (sucesso); cliente não realiza a compra (fracasso). - Probabilidade considerada a mesma para todos os ensaios (clientes): p = 0,30 ou (1-p) = 0,70 - Decisão de compra de cada cliente é independente das decisões dos outros clientes. Nº resultados experimentais que fornecem X sucessos em n ensaios: 3: nº de modos de se obter x=2 sucessos nos n=3 ensaios: (S,S,F); (S,F,S); (F,S,S) * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade Exemplo a: (Continuação) Probabilidade de uma seqüencia de resultados de ensaio com X sucessos em n ensaios: px (1-p)(n-x) = 0,302 (1-0,30) = 0,063 Onde: Probabilidade de (S,S,F) ocorrer = 0,063; Probabilidade de (S,F,S) ocorrer = 0,063; Probabilidade de (F,S,S) ocorrer = 0,063. Para cada seqüencia: px (1-p)(n-x) Todos os 3 resultados experimentais com 2 sucessos têm exatamente a mesma probabilidade. * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade Exemplo a: (Continuação) Função Probabilidade Binomial: * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade b) A probabilidade de fazer exatamente 4 vendas a 10 clientes potenciais que entram em uma loja, sabendo que a probabilidade de comprar é 0,30 e não comprar é 0,70: Função Probabilidade Binomial: * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade i) Usando Tabelas de Probabilidades Binomiais Na literatura pode-se encontrar tabelas de probabilidades binomiais. Especifica-se o nº de ensaios (n), a probabilidade de sucesso (p), o nº de sucesso (x) e a tabela fornece a probabilidade de x sucessos em n ensaios para um experimento binomial. Substitui a Função Probabilidade Binomial (expressão matemática) ii) Usando Softwares de Estatística para Probabilidades Binomiais Excel, Minitab, SPSS – oferecem a capacidade de calcular probabilidades binomiais. * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade iii) Valor Esperado, Variância e Desvio Padrão da Distribuição Binomial Para casos em que a variável aleatória tem uma distribuição binomial, com n ensaios e probabilidade p de sucessos conhecidos, tem-se: Valor esperado (média ponderada) da distribuição binomial: Expressão Matemática: E(x) = = np Variância da distribuição binomial: Expressão Matemática: Var(x) = 2 = np(1-p) Desvio Padrão da distribuição binomial: Expressão Matemática: = (2 )(1/2) = ( np(1-p) )(1/2) * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade Exemplo: Loja de roupas Dª Efigênia. Três clientes na loja, calcular o nº esperado de clientes que farão uma compra. n = 3; p = 0,30 Valor esperado: E(x) = = np = 3 (0,30) = 0,90 Variância: Var(x) = 2 = np(1-p) = 3 (0,30) (0,70) = 0,63 Desvio Padrão: = (2 )(1/2) = ( np(1-p) )(1/2) = (0,63)(1/2) = 0,79 Supor que para o próximo mês a loja de roupas Dª Efigênia preveja que mil clientes entrarão na loja. Qual o nº esperado de clientes que farão compra? E(x) = ? n = 1000 (1000 ensaios idênticos); p = 0,30 E(x) = np = 1000 (0,30) = 300 * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade Notas: a) Tabelas de Distribuição Binomial são fornecidas para valores de p até 0,50 (inclusive). Probabilidade de (n-x) fracassos é também a probabilidade de x sucessos. Quando a probabilidade de sucesso é maior que p=0,50, pode-se em substituição, calcular a probabilidade de (n-x) fracassos. A probabilidade de fracasso, 1-p, será menor que 0,50 quando p>0,50. b) Na literatura, encontra-se Tabelas Binomiais Cumulativas (Probabilidades Cumulativas) Ex.: sendo n=10; p=0,10 f(x ≤ 3) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3); f(x ≥ 1) = 1 – f(0); f(x > 8) = f(9) + f(10). * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade 5 – DISTRIBUIÇÃO DE POISSON Caso de variável aleatória discreta útil para calcular o nº de ocorrências ao longo de um intervalo de tempo ou espaço específico. Exs.: Variáveis Aleatórias de interesse: X = nº de carros que chegam a um lava - rápido em uma hora. X = nº de reparos necessários em 16 quilômetros de uma rodovia. X = nº de vazamentos em 160 quilômetros de tubulação. i) Função de Probabilidade de Poisson: onde: f(x): probabilidade de x ocorrências em um intervalo; : valor esperado (nº média) de ocorrência; e = 2,71828. * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade ii) Propriedades de um Experimento de Poisson 1) A probabilidade de uma ocorrência é a mesma para dois intervalos quaisquer de igual comprimento. 2) A ocorrência ou não ocorrência de um determinado intervalo é independente da ocorrência ou não ocorrência em outro intervalo. Satisfeitas as duas propriedades: o nº de ocorrências será uma variável aleatória descrita pela função probabilidade de Poisson. Nº de ocorrência X não tem limite máximo. É uma variável aleatória discreta que pode assumir uma seqüencia infinita de valores ( x = 0, 1, 2, ...). A distribuição de Probabilidade de Poisson é usada para traçar um modelo de chegadas aleatórias em situações que recorrem a filas de espera. * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade iii) Propriedade da Distribuição de Poisson: = 2 e = ( 2)(1/2) ; onde: : média da distribuição de Poisson; 2: variância da distribuição de Poisson; : desvio padrão da distribuição de Poisson. * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade Exemplos: a) Interesse: nº de carros que chegam a um caixa automático de um banco drive-thru, durante um período de 15 minutos, nas manhãs de fins de semana. Considerar: - Probabilidade de um carro chegar é a mesma para 2 períodos quaisquer de igual duração. - O fato de carros chegarem ou não chegarem em qualquer período é independente da chegada ou não chegada de outro em qualquer outro período. Função de Probabilidade de Poisson é aplicável. Dados Históricos: nº médio de carros que chegam no período de 15 minutos é 10; = 10 (10 carros chegam a cada 15 minutos) * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade Exemplo a: (Continuação) Gerência deseja saber a probabilidade de exatamente 5 carros chegarem em 15 minutos. X: nº carros que chegam em um período de 15 min. qualquer. = 10; x = 5: : definido a cada 15 minutos. Na literatura: há tabelas de Probabilidade de distribuição de Poisson. = ( 2)(1/2) = (10)(1/2) = 3,1623 = 2 = 10 * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade Exemplo a: (Continuação) Computar a probabilidade de um carro chegar em um período de 3 minutos. Como: (10 carros / 15 minutos) = (2 carros / 3 minutos); 2/3 = 2 carros chegam em um período de 3 minutos. = 2; : definido a cada 3 minutos; x= 1 Probabilidade de 5 carros chegarem em 15 minutos: f(5) = 0,0378; Probabilidade de 1 carro chegar em 3 minutos: f(1) = 0,2707. Probabilidades diferentes Conclusão: quando se calcula uma probabilidade de Poisson para um intervalo de tempo diferente, deve-se primeiramente converter a taxa média de chegada para o período de interesse e depois calcular a probabilidade. * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade Exemplos: b) Interesse: nº de ocorrência de defeitos importantes em uma rodovia um mês depois do recapeamento. Considerar: - Probabilidade de um defeito é a mesma em 2 intervalos quaisquer de igual extensão. Na rodovia, a ocorrência ou não-ocorrência de um defeito em determinado intervalo independe da ocorrência ou não-ocorrência de um defeito em outro intervalo qualquer. Função de Probabilidade de Poisson é aplicável. Supor: defeitos importantes ocorrem um mês depois do recapeamento à taxa média de 2 defeitos por quilômetro. = 2 defeitos/Km * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade Exemplo b: (Continuação) Encontrar a probabilidade de não haver nenhum defeito importante em um trecho de 3 Km, em especial, na rodovia. Interesse: intervalo com uma extensão de 3Km. Converter o nº esperado. = 2 def./Km x 3Km = 6: nº esperado de defeitos no trecho de 3 Km de rodovia. Praticamente impossível nenhum defeito importante ocorrer no trecho de 3 Km (probabilidade zero). Sendo: P(x ≥ 1) = 1 – f(0) = 1 - 0,0025 = 0,9975 → probabilidade de, pelo menos, um defeito importante ocorrer em um trecho da rodovia. * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade 6 – DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE HIPERGEOMÉTRICA Relaciona-se com a distribuição de probabilidade binomial. Distribuições Binomial e Hipergeométrica: diferem sob 2 aspectos fundamentais. Distribuição Hipergeométrica: os ensaios não são independentes e a probabilidade de sucesso se modifica de ensaio para ensaio. Notação de distribuição Hipergeométrica: r: nº de elementos da população de tamanho N que são rotulados de sucesso; (N-r): nº de elementos da população que são rotulados de fracasso. * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade Função de Probabilidade Hipergeométrica: Usada para calcular a probabilidade de obtermos X elementos rotulados de sucesso e (n-X) elementos rotulados de fracasso em uma seleção aleatória de n elementos, selecionados sem substituição. Precisa-se obter então X sucessos dos r sucessos da população e (n-X) fracassos do (N-r) fracassos da população. Função de Probabilidade Hipergeométrica: É a probabilidade de obter X sucessos em uma amostra de tamanho n. * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade Onde: f(x): probabilidade de X sucessos em n ensaios; n : nº de ensaios; N: nº de elementos da população; r: nº de elementos da população rotulados de sucesso. * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade Exemplo: Fusíveis elétricos → embalados em caixas de 12 unidades cada uma. Controle de qualidade → seleciona aleatoriamente 3 dos 12 fusíveis contidos em uma caixa para testá-los. a) Se a caixa contém exatamente 5 fusíveis defeituosos, qual a probabilidade de o controlador de qualidade encontrar exatamente um dos três fusíveis defeituosos? Caixa: 12 fusíveis N = 12 Fusíveis defeituosos em uma caixa: 5 r = 5 Amostra selecionada aleatoriamente: 3 n = 3; X = 1 P(encontrar um fusível defeituoso) = ? → f(1) = ? * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade Exemplo: (Continuação) b) P(encontrar pelo menos um fusível defeituoso) = ? → f(X≥1) = ? f(X ≥ 1) = 1 – f(0) = 1 – 0,1591 = 0,8409 → probabilidade razoavelmente elevada do controlador de qualidades encontrar pelo menos um fusível defeituoso. Onde: Valor Esperado (média), Variância e Desvio Padrão de uma distribuição Hipergeométrica: * Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade Exemplo: (Continuação) Valor Esperado (média): Variância: Desvio Padrão: Obs.: Considerando uma distribuição hipergeométrica com n ensaios. Sendo p = (r/N) a probabilidade de um sucesso no primeiro ensaio. Se o tamanho da população for grande: (N-n)/(N-1) 1 (eq.3 (Var(x)), Assim: E(x) = np → valor esperado; Var(x) = np(1-p) → variância - similar às usadas pela distribuição binomial. Logo, quando o tamanho da população é grande: distribuição hipergeométrica pode ser aproximada por meio de uma distribuição binomial com n ensaios e uma probabilidade de p = (r/N). * Esta apresentação tem o propósito de cumprir a Tarefa 4 do Curso de Treinamento do Moodle (Sistema de Gerenciamento de Curso), realizado no Departamento de Administração da PUC-Rio. Serão mostrados: - Um breve resumo de um artigo sobre Educação à Distancia (referente à tarefa 1); E considerações Finais do debate realizado no Fórum (referente à tarefa 3). Artigo: .... Estudo sobre a importância da introdução de estratégias motivacionais de suporte ao aluno de programa de educação à distância. * Esta apresentação tem o propósito de cumprir a Tarefa 4 do Curso de Treinamento do Moodle (Sistema de Gerenciamento de Curso), realizado no Departamento de Administração da PUC-Rio. Serão mostrados: - Um breve resumo de um artigo sobre Educação à Distancia (referente à tarefa 1); E considerações Finais do debate realizado no Fórum (referente à tarefa 3). Artigo: .... Estudo sobre a importância da introdução de estratégias motivacionais de suporte ao aluno de programa de educação à distância. * Esta apresentação tem o propósito de cumprir a Tarefa 4 do Curso de Treinamento do Moodle (Sistema de Gerenciamento de Curso), realizado no Departamento de Administração da PUC-Rio. Serão mostrados: - Um breve resumo de um artigo sobre Educação à Distancia (referente à tarefa 1); E considerações Finais do debate realizado no Fórum (referente à tarefa 3). Artigo: .... Estudo sobre a importância da introdução de estratégias motivacionais de suporte ao aluno de programa de educação à distância. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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