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Estatistica_I_Capitulo_5_Distribuicao_Discreta_de_Probabilidade_Office_2007

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Estatística Aplicada à Administração I
ADM 1276 Profa. Léa Benatti
Capítulo 5 – DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE
1- Variáveis Aleatórias
2- Distribuições Discretas de Probabilidade
3 – Valor Esperado, Variância e Desvio Padrão
4 – Distribuição de Probabilidade Binomial
5 – Distribuição de Poisson
6 – Distribuição de Probabilidade Hipergeométrica
PUC-Rio
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
Assuntos abordados no Capítulo:
- Conceitos de variáveis aleatórias e de distribuições de probabilidade
 
 Foco: Distribuições de Probabilidade Discretas (tipos: Binomial, Poisson e Hipergeométrica).
Definições importantes:
Experimento: Processo que gera resultados bem definidos;
Espaço Amostral: Conjunto de todos os resultados experimentais (ponto amostral);
Ponto Amostral: representa um elemento do espaço amostral;
Evento: Conjunto específico de pontos amostrais;
Probabilidade: medida numérica da possibilidade de um evento ocorrer.
Usar o lançamento de dois dados para explicar no quadro
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
1 – Variáveis Aleatórias
É uma descrição numérica do resultado de um experimento;
Fornece meios para descrever resultados experimentais usando valores numéricos;
Associa valor numérico a cada resultado experimental possível;
Assumem valores numéricos.
Classificação das Variáveis Aleatórias:
 Discreta ou Contínua: depende dos valores numéricos que a variável assume.
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
i) Variáveis Aleatórias Discretas  Podem assumir tanto um número finito de valores como uma seqüência infinita de valores (0, 1, 2, ...).
Exemplos:
a) Experimento: indivíduo que presta exame público para perito-contador. O exame é composto de quatro partes.
X → variável aleatória, definida como o nº de partes em que o indivíduo foi aprovado no exame. Variável aleatória discreta que pode assumir o nº finito de valores: 0, 1, 2, 3 ou 4.
b) Experimento: carros que chegam a um posto de pedágio.
X → variável aleatória, definida como o nº de carros que chegam a um posto de pedágio durante o período de um dia. Variável aleatória discreta que pode assumir valores de uma seqüencia infinita: 0, 1, 2, 3 ... .
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
Resultados Experimentais: podem ser descritos ou não por valores numéricos.
 Experimentos apresentados nos exemplos anteriores (a e b): descritos por valores numéricos.
 Há resultados experimentais que não são descritos por valores numéricos. Neste caso, descrever este resultado numericamente definindo uma variável aleatória discreta X que os represente.
Ex.: Pesquisa: solicitar a um indivíduo que relembre a mensagem de um recente comercial de Televisão. Dois resultados são possíveis e X é a variável aleatória discreta que fornece descrição numérica dos resultados.
- O indivíduo não é capaz de lembrar a mensagem (X = 0);
O indivíduo é capaz de lembrar a mensagem (X = 1). 
(Valores de X são arbitrários, poderiam ser 5 e 10, por exemplo.)
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
Exemplos de Variáveis Aleatórias Discretas:
Nestes exemplos, as variáveis aleatórias discretas assumem ou um número finito de valores ou uma seqüencia infinita de valores.
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
ii) Variáveis Aleatórias Contínuas  Podem assumir qualquer valor numérico em um intervalo ou em uma coleção de intervalos.
Resultados experimentais baseados em escalas de medidas como tempo, peso, distância e temperatura podem ser descritos por meio de variáveis aleatórias contínuas.
Exemplos:
a) Companhia de Seguros.
Experimento: monitoração das chamadas telefônicas feitas ao escritório de seguros da companhia.
X → variável aleatória contínua, definida como o tempo, em minutos, entre as chamadas consecutivas, que pode assumir qualquer valor no intervalo de X ≥ 0.
 Nº infinito de valores é possível para X (1, 26 minutos; 2,751 minutos, 4,333 minutos, ...) .
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
b) Considerar um trecho de 144Km da estrada de rodagem BR-040 no estado de Minas Gerais. Para serviço de emergência de ambulâncias localizado em Belo Horizonte, pode-se definir a variável aleatória X.
X → nº de quilômetros até o local do próximo acidente de trânsito ao longo do trecho da rodovia.Variável aleatória contínua que pode assumir qualquer valor no intervalo de 0 ≤ X ≤ 144.
OBS.: A variável de interesse definida como X, dependendo do foco do experimento, poderá ser uma variável aleatória discreta ou uma variável aleatória contínua.
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
Exemplos de Variáveis Aleatórias Contínuas:
Ex 1, 2, 3 e 4
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
2- DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE
Distribuição de Probabilidade de uma variável aleatória
Descreve como as probabilidades estão distribuídas sobre os valores da variável aleatória.
Para uma variável discreta X: a distribuição de probabilidade é definida por uma função probabilidade f(x).
f(x): função probabilidade: fornece a probabilidade correspondente a cada um dos valores da variável aleatória.
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
Ex.: Vendas de automóveis na LJK Motores.
Últimos 300 dias de operação - dados de vendas:
54 dias: sem vendas de automóveis;
117 dias: um automóvel vendido;
72 dias: dois automóveis vendidos;
42 dias: três automóveis vendidos;
12 dias: quatro automóveis vendidos;
3 dias: cinco automóveis vendidos. Total: 300 dias
Experimento: Selecionar um dia de operação na LJK Motores.
Variável aleatória de interesse:
	X = nº de automóveis vendidos durante um dia.
	 Variável aleatória discreta: assume valores 0, 1, 2, 3, 4 ou 5.
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
Ex.: Vendas de automóveis na LJK Motores (continuação).
 Função Probabilidade:
f(0): fornece probabilidade de 0 (zero) automóveis vendidos;
f(1): fornece probabilidade de um automóvel vendido; ...
f(5): fornece probabilidade de cinco automóveis vendidos.
A partir dos dados históricos tem-se:
 54 dos 300 dias com zero automóveis vendidos:
f(0) = 0,18 → a probabilidade de zero automóveis ter sido vendido durante um dia é de 0,18;
f(1) = 117 / 300 = 0,39 → a probabilidade de um automóvel ter sido vendido durante um dia é de 0,39; ...
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
Ex.: Vendas de automóveis na LJK Motores (continuação).
Tabela de distribuição de probabilidade correspondente ao nº de automóveis vendidos durante um dia na LJK Motores:
Maior probabilidade: f(1) = 0,39 → nº mais provável de automóveis vendidos durante um dia é 1 (um);
Há probabilidade 0,19 de ser vendidos 3 (três) ou mais automóveis durante um dia: 
 f(3) + f(4) + f(5) = 0,19
 ↓
Conclusões, obtidas com base na distribuição de probabilidade, que auxiliam o tomador de decisões a entender o processo de venda de automóveis de na empresa LJK Motores.
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
Condições necessárias para uma função probabilidade:
f(x) ≥ 0 
∑ f(x) = 1
 Representação Gráfica:
→ Condições análogas às duas exigências básicas para atribuir probabilidade aos resultados experimentais.
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
Função Probabilidade Discreta Uniforme
Ex.:
a) Experimento: lançamento de um dado.
X → variável aleatória: nº que vai surgir
N = 6 → X = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Logo: f(x) = 1/6.
Probabilidades iguais para as variáveis aleatórias discretas.
 
 Probabilidade Discreta Uniforme
 
Valores da variável aleatória e as probabilidades correspondentes
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
Função Probabilidade Discreta
Ex.:
b) Considere a variável aleatória X com a seguinte distribuição de probabilidade:
 Probabilidades diferentes para as variáveis aleatórias discretas.
Calcular f(x) para determinado valor da variável aleatória fornecerá a probabilidade correspondente. 
→ expressão matemática que define a distribuição indicada.
Para X = 1, 2, 3 ou 4.
→ probabilidade da variável aleatória assumir um valor igual a 2.
Ex 7, 8 e 9
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
3 – VALOR ESPERADO, VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO
Valor Esperado de uma Variável Aleatória Discreta
É a média ponderada dos valores que a variável aleatória pode assumir. Pesos: são as Probabilidades.
Valor esperado, ou média, de uma variável aleatória é a medida da posição central da variável aleatória.
Expressão Matemática: E(x) =  = ∑(x . f(x));
			 x: valores da variável aleatória;
			 f(x): probabilidades (pesos).
E(x) ou  → denotação usada para o valor esperado de uma variável aleatória.
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
Ex.: Venda de automóveis da LJK Motores.
Cálculo do valor esperado para o nº de automóveis vendidos durante um dia na LJK Motores: 
 
E(x): valor esperado referente ao nº de automóveis vendidos durante um dia.
A LJK pode prever a venda de uma média de 1,50 automóveis por dia.
Supondo 30 dias de operação durante o mês: pode-se usar o valor esperado de 1,50 para prever vendas mensais médias → 30 x 1,50 = 45 automóveis.
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
ii) Variância de uma Variável Aleatória Discreta
É a média ponderada dos desvios elevados ao quadrado que uma variável aleatória sofre a partir de sua média.
Expressão Matemática: Var(x) = 2 = ∑((x- )2 . f(x));
			 f(x): probabilidades (pesos).
Var(x) ou 2 → denotação usada para a variância de uma variável aleatória.
Variância de uma variável aleatória discreta: Medida de Variabilidade (ou de dispersão) → Sintetiza a variabilidade nos valores da variável aleatória.
(x - ): desvio → mede o quão distante um valor em particular da variável aleatória se encontra do valor esperado (ou média) .
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
Ex.: Venda de automóveis da LJK Motores.
Cálculo da variância para o nº de automóveis vendidos durante um dia na LJK Motores: onde:  = 1,50
 
Var(x) = 1,25 → variância para a distribuição de probabilidade do nº de automóveis vendidos.
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
iii) Desvio Padrão de uma Variável Aleatória Discreta
Expressão Matemática: 
No Exemplo: 
Desvio Padrão: medido na mesma unidade da variância ( = 1,118 automóveis). Portanto, é preferido para descrever a variabilidade de uma variável aleatória.
2 (variância) → medida em unidades elevadas ao quadrado. Sendo assim, é mais difícil de ser interpretada.
→ desvio padrão do nº de automóveis vendidos durante um dia.
Ex 15, 16 e 21
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
4 – DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE BINOMIAL
É uma distribuição de probabilidade discreta.
Está associada a um experimento de múltiplas etapas  chamado experimento binomial.
 Propriedades do Experimento Binomial:
1) O experimento consiste em uma seqüencia de n ensaios idênticos.
2) Dois resultados são possíveis em cada ensaio.
	Referindo-se: um sucesso (p);
	 um fracasso (1 – p).
3) A probabilidade de um sucesso, denotado por p, não se modifica de ensaio para ensaio. Conseqüentemente, a probabilidade de um fracasso, denotado por (1 – p), não se modifica de ensaio para ensaio.
4) Os ensaios são independentes.
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
Obs.: Se as propriedades 2, 3 e 4 ocorrem: ensaio é gerado por processo de Bernoulli;
	Se, além das propriedades 2, 3 e 4, a probabilidade 1 acontece: tem-se um experimento Binomial.
Experimento Binomial:
Interesse: nº de sucessos que ocorrem nos n ensaios.
X → denota o nº de sucessos que ocorrem nos n ensaios. Assume os valores de 0, 1, 2, 3, ..., n → nº de valores finitos, portanto x é uma variável aleatória discreta.
A distribuição de probabilidade associada a X é chamada distribuição de probabilidade binomial.
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
Exemplos: 
a) Experimento: Jogar uma moeda 5 vezes. Em cada arremesso, observar se a moeda cai com coroa ou com cara voltada para cima.
Interesse: nº de caras que aparecem nos 5 arremessos.
	Sucesso (p): Caras.
 O experimento tem as propriedades de um experimento binomial? 
- Experimento: 5 ensaios idênticos;
- Dois resultados possíveis para cada ensaio: Cara ou Coroa;
- Para cada ensaio: Probabilidade Coroa e Probabilidade Cara são as mesmas → P(cara) = p = ½ = 0,50; P(coroa) = (1-p) = 0,50.
- Ensaios (arremessos) são independentes.
Sim, propriedades de um experimento binomial estão satisfeitas.
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
Exemplos: 
a) Experimento: Jogar uma moeda 5 vezes. (Continuação)
 Qual o valor da variável aleatória de interesse?
X: o nº de caras que aparece nos 5 ensaios. Assume valores de 0, 1, 2, 3, 4 ou 5.
b) Vendedor de seguros que visita 10 famílias selecionadas aleatoriamente.
Resultados associados a cada visita: Sucesso (caso de compra)
 					 Fracasso: (caso de não compra).
Por experiência, o vendedor sabe que a probabilidade de uma família comprar uma apólice de seguro é de 0,10.
 Verificar as probabilidades de um experimento binomial.
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
Exemplos: 
b) Vendedor de seguros (Continuação)
 Verificar as probabilidades de um experimento binomial.
- Experimento: 10 ensaios idênticos (cada ensaio: contatar uma família).
- Dois resultados possíveis para cada ensaio:
	 a família comprar a apólice (sucesso);
 a família não comprar a apólice (fracasso).
- Para cada ensaio: Probabilidade de compra e Probabilidade de não compra são as mesmas → p = 0,10; (1-p) = 0,90.
- Ensaios são independentes (famílias selecionadas aleatoriamente).
Hipóteses são satisfeitas, logo é um experimento binomial.
X: variável aleatória de interesse: nº de vendas obtidas ao contatar 10 famílias. Assume valores 0, 1, 2, 3, ..., 10.
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
Observação: 
Propriedade 3: Hipótese estacionária (probabilidades de sucesso e de fracasso não se modificam com o ensaio);
Propriedade 4: Independência dos ensaios.
Propriedades 3 e 4, as vezes, se confundem.
Como diferem:
Considere o caso do vendedor de apólice de seguros para famílias.
	Se, no decorrer do dia, o vendedor se cansar e perder o entusiasmo → probabilidade de sucesso (vender uma apólice) pode cair para 0,05, por exemplo, após a décima ligação.
	Probabilidade 3 (imutabilidade) não seria satisfeita → não se teria um experimento binomial, mesmo que a propriedade 4 se mantivesse (decisão de compra de cada família tomada independentemente). 
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
Função de Probabilidade Binomial: usada para calcular a probabilidade de X sucessos nos n ensaios.
Número de resultados experimentais que fornecem exatamente X sucessos em n ensaios:
Onde: n! = n (n-1) (n-2) (n-3) ... (2) (1)
 fornece o nº de resultados experimentais resultantes em X sucessos de uma seqüencia de n ensaios. Conta o nº de experimentos que resultam em x sucessos.
Probabilidade de uma seqüencia de resultados de ensaio com X sucessos em n ensaios:
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
Eq. 1: mostra o nº de resultados em um experimento binomial com X sucessos.
Eq. 2: fornece a probabilidade referente a cada seqüencia envolvendo X sucessos.
Função Probabilidade Binomial → combinação das equações1 e 2:
 
Onde: f(x): probabilidade
de X sucessos em n ensaios;
	 n = nº de ensaios;
	 p = probabilidade de sucessos em qualquer dos ensaios;
	 (1-p) = probabilidade de fracasso em qualquer dos ensaios;
	 
	 
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
Exemplos:
a) Considerar as decisões de compra dos 3 clientes que entram na loja de roupas Dª Efigênia. Baseado em experiências do gerente da loja, estima-se que a probabilidade de qualquer dos clientes realizar uma compra é 0,30. Qual é a probabilidade de dois dos próximos três clientes realizarem uma compra? 
 
	 
S: Compra (sucesso);
F: não compra (fracasso);
X: nº clientes que realizam a compra (sucesso);
8 resultados
Interesse: resultados experimentais que envolvem 2 sucessos nos 3 ensaios (decisão de compra)
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
Exemplo a: (Continuação)
Experimento envolvendo seqüencia de 3 decisões de compra é um experimento binomial?
- Experimento descrito como uma seqüencia de 3 ensaios idênticos;
- Dois resultados: cliente realiza a compra (sucesso);
			 cliente não realiza a compra (fracasso).
- Probabilidade considerada a mesma para todos os ensaios (clientes):
	 p = 0,30 ou (1-p) = 0,70
- Decisão de compra de cada cliente é independente das decisões dos outros clientes.
Nº resultados experimentais que fornecem X sucessos em n ensaios:
 
	 
3: nº de modos de se obter x=2 sucessos nos n=3 ensaios:
 (S,S,F); (S,F,S); (F,S,S)
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
Exemplo a: (Continuação)
Probabilidade de uma seqüencia de resultados de ensaio com X sucessos em n ensaios:
	 px (1-p)(n-x) = 0,302 (1-0,30) = 0,063
Onde:
 Probabilidade de (S,S,F) ocorrer = 0,063;
 Probabilidade de (S,F,S) ocorrer = 0,063;
 Probabilidade de (F,S,S) ocorrer = 0,063.
 
	 
Para cada seqüencia: px (1-p)(n-x)
Todos os 3 resultados experimentais com 2 sucessos têm exatamente a mesma probabilidade.
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
Exemplo a: (Continuação)
Função Probabilidade Binomial:
 
	 
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
b) A probabilidade de fazer exatamente 4 vendas a 10 clientes potenciais que entram em uma loja, sabendo que a probabilidade de comprar é 0,30 e não comprar é 0,70:
Função Probabilidade Binomial:
 
	 
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
i) Usando Tabelas de Probabilidades Binomiais
Na literatura pode-se encontrar tabelas de probabilidades binomiais.
Especifica-se o nº de ensaios (n), a probabilidade de sucesso (p), o nº de sucesso (x) e a tabela fornece a probabilidade de x sucessos em n ensaios para um experimento binomial.
	Substitui a Função Probabilidade Binomial (expressão matemática)
ii) Usando Softwares de Estatística para Probabilidades Binomiais
Excel, Minitab, SPSS – oferecem a capacidade de calcular probabilidades binomiais.
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
iii) Valor Esperado, Variância e Desvio Padrão da Distribuição Binomial
Para casos em que a variável aleatória tem uma distribuição binomial, com n ensaios e probabilidade p de sucessos conhecidos, tem-se:
Valor esperado (média ponderada) da distribuição binomial:
	 Expressão Matemática: E(x) =  = np
Variância da distribuição binomial:
	 Expressão Matemática: Var(x) = 2 = np(1-p)
Desvio Padrão da distribuição binomial:
	 Expressão Matemática:  = (2 )(1/2) = ( np(1-p) )(1/2) 
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
Exemplo: Loja de roupas Dª Efigênia. Três clientes na loja, calcular o nº esperado de clientes que farão uma compra.
		n = 3; p = 0,30
Valor esperado: E(x) =  = np = 3 (0,30) = 0,90
Variância: Var(x) = 2 = np(1-p) = 3 (0,30) (0,70) = 0,63
Desvio Padrão:  = (2 )(1/2) = ( np(1-p) )(1/2) = (0,63)(1/2) = 0,79
Supor que para o próximo mês a loja de roupas Dª Efigênia preveja que mil clientes entrarão na loja. Qual o nº esperado de clientes que farão compra? E(x) = ?
 n = 1000 (1000 ensaios idênticos); p = 0,30
		 E(x) = np = 1000 (0,30) = 300
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
Notas: 
a) Tabelas de Distribuição Binomial são fornecidas para valores de p até 0,50 (inclusive).
Probabilidade de (n-x) fracassos é também a probabilidade de x sucessos.
Quando a probabilidade de sucesso é maior que p=0,50, pode-se em substituição, calcular a probabilidade de (n-x) fracassos. A probabilidade de fracasso, 1-p, será menor que 0,50 quando p>0,50.
b) Na literatura, encontra-se Tabelas Binomiais Cumulativas (Probabilidades Cumulativas)
Ex.: sendo n=10; p=0,10
	 	 f(x ≤ 3) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3);
	 	 f(x ≥ 1) = 1 – f(0);
	 	f(x > 8) = f(9) + f(10).
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
5 – DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
Caso de variável aleatória discreta útil para calcular o nº de ocorrências ao longo de um intervalo de tempo ou espaço específico.
Exs.: Variáveis Aleatórias de interesse:
X = nº de carros que chegam a um lava - rápido em uma hora.
X = nº de reparos necessários em 16 quilômetros de uma rodovia.
X = nº de vazamentos em 160 quilômetros de tubulação.
i) Função de Probabilidade de Poisson:
 onde: f(x): probabilidade de x ocorrências em um intervalo; 
 : valor esperado (nº média) de ocorrência;
 e = 2,71828. 
 
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
ii) Propriedades de um Experimento de Poisson
1) A probabilidade de uma ocorrência é a mesma para dois intervalos quaisquer de igual comprimento.
2) A ocorrência ou não ocorrência de um determinado intervalo é independente da ocorrência ou não ocorrência em outro intervalo. 
Satisfeitas as duas propriedades: o nº de ocorrências será uma variável aleatória descrita pela função probabilidade de Poisson.
Nº de ocorrência X não tem limite máximo. É uma variável aleatória discreta que pode assumir uma seqüencia infinita de valores ( x = 0, 1, 2, ...).
A distribuição de Probabilidade de Poisson é usada para traçar um modelo de chegadas aleatórias em situações que recorrem a filas de espera.
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
iii) Propriedade da Distribuição de Poisson:
  = 2 e  = ( 2)(1/2) ;
 onde: : média da distribuição de Poisson;
 2: variância da distribuição de Poisson;
 : desvio padrão da distribuição de Poisson.
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
Exemplos:
a) Interesse: nº de carros que chegam a um caixa automático de um banco drive-thru, durante um período de 15 minutos, nas manhãs de fins de semana.
Considerar:
- Probabilidade de um carro chegar é a mesma para 2 períodos quaisquer de igual duração.
- O fato de carros chegarem ou não chegarem em qualquer período é independente da chegada ou não chegada de outro em qualquer outro período.
Função de Probabilidade de Poisson é aplicável.
Dados Históricos: nº médio de carros que chegam no período de 15 minutos é 10;  = 10 (10 carros chegam a cada 15 minutos)
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
Exemplo a: (Continuação)
 Gerência deseja saber a probabilidade de exatamente 5 carros chegarem em 15 minutos.
X: nº carros que chegam em um período de 15 min. qualquer.
  = 10; x = 5:
 : definido a cada 15 minutos.
Na literatura: há tabelas de Probabilidade de distribuição de Poisson.
  = ( 2)(1/2) = (10)(1/2) = 3,1623
  = 2 = 10 
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
Exemplo a: (Continuação)
 Computar a probabilidade de um carro chegar
em um período de 3 minutos.
Como: (10 carros / 15 minutos) = (2 carros / 3 minutos);
 2/3 = 2 carros chegam em um período de 3 minutos.
	  = 2; : definido a cada 3 minutos; x= 1
Probabilidade de 5 carros chegarem em 15 minutos: f(5) = 0,0378;
Probabilidade de 1 carro chegar em 3 minutos: f(1) = 0,2707.
 Probabilidades diferentes
Conclusão: quando se calcula uma probabilidade de Poisson para um intervalo de tempo diferente, deve-se primeiramente converter a taxa média de chegada para o período de interesse e depois calcular a probabilidade.
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
Exemplos:
b) Interesse: nº de ocorrência de defeitos importantes em uma rodovia um mês depois do recapeamento.
Considerar:
- Probabilidade de um defeito é a mesma em 2 intervalos quaisquer de igual extensão.
Na rodovia, a ocorrência ou não-ocorrência de um defeito em determinado intervalo independe da ocorrência ou não-ocorrência de um defeito em outro intervalo qualquer.
Função de Probabilidade de Poisson é aplicável.
Supor: defeitos importantes ocorrem um mês depois do recapeamento à taxa média de 2 defeitos por quilômetro.
	  = 2 defeitos/Km
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
Exemplo b: (Continuação)
 Encontrar a probabilidade de não haver nenhum defeito importante em um trecho de 3 Km, em especial, na rodovia.
Interesse: intervalo com uma extensão de 3Km. Converter o nº esperado.
	
 = 2 def./Km x 3Km = 6: nº esperado de defeitos no trecho de 3 Km de rodovia. 
 
Praticamente impossível nenhum defeito importante ocorrer no trecho de 3 Km (probabilidade  zero).
 Sendo: P(x ≥ 1) = 1 – f(0) = 1 - 0,0025 = 0,9975 → probabilidade de, pelo menos, um defeito importante ocorrer em um trecho da rodovia. 
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
6 – DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE HIPERGEOMÉTRICA
Relaciona-se com a distribuição de probabilidade binomial.
 Distribuições Binomial e Hipergeométrica: diferem sob 2 aspectos fundamentais.
Distribuição Hipergeométrica: os ensaios não são independentes e a probabilidade de sucesso se modifica de ensaio para ensaio.
Notação de distribuição Hipergeométrica:
r: nº de elementos da população de tamanho N que são rotulados de sucesso;
(N-r): nº de elementos da população que são rotulados de fracasso.
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
Função de Probabilidade Hipergeométrica:
Usada para calcular a probabilidade de obtermos X elementos rotulados de sucesso e (n-X) elementos rotulados de fracasso em uma seleção aleatória de n elementos, selecionados sem substituição.
Precisa-se obter então X sucessos dos r sucessos da população e (n-X) fracassos do (N-r) fracassos da população.
Função de Probabilidade Hipergeométrica:
É a probabilidade de obter X sucessos em uma amostra de tamanho n.
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
Onde:
f(x): probabilidade de X sucessos em n ensaios;
n : nº de ensaios;
N: nº de elementos da população;
r: nº de elementos da população rotulados de sucesso.
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
Exemplo:
Fusíveis elétricos → embalados em caixas de 12 unidades cada uma.
Controle de qualidade → seleciona aleatoriamente 3 dos 12 fusíveis contidos em uma caixa para testá-los. 
a) Se a caixa contém exatamente 5 fusíveis defeituosos, qual a probabilidade de o controlador de qualidade encontrar exatamente um dos três fusíveis defeituosos?
Caixa: 12 fusíveis  N = 12
Fusíveis defeituosos em uma caixa: 5  r = 5
Amostra selecionada aleatoriamente: 3  n = 3; X = 1
		P(encontrar um fusível defeituoso) = ? → f(1) = ?
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
Exemplo: (Continuação)
b) P(encontrar pelo menos um fusível defeituoso) = ? → f(X≥1) = ?
f(X ≥ 1) = 1 – f(0) = 1 – 0,1591 = 0,8409 → probabilidade razoavelmente elevada do controlador de qualidades encontrar pelo menos um fusível defeituoso.
 Onde:
Valor Esperado (média), Variância e Desvio Padrão de uma distribuição Hipergeométrica:
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Capitulo 5 – Distribuições Discretas de Probabilidade
Exemplo: (Continuação)
Valor Esperado (média):
Variância:
Desvio Padrão:
Obs.: Considerando uma distribuição hipergeométrica com n ensaios. Sendo p = (r/N) a probabilidade de um sucesso no primeiro ensaio.
Se o tamanho da população for grande: (N-n)/(N-1)  1 (eq.3 (Var(x)),
	 Assim:
	 E(x) = np → valor esperado;
	 Var(x) = np(1-p) → variância - similar às usadas pela distribuição binomial. 
Logo, quando o tamanho da população é grande: distribuição hipergeométrica pode ser aproximada por meio de uma distribuição binomial com n ensaios e uma probabilidade de p = (r/N).
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Esta apresentação tem o propósito de cumprir a Tarefa 4 do Curso de Treinamento do Moodle (Sistema de Gerenciamento de Curso), realizado no Departamento de Administração da PUC-Rio.
Serão mostrados:
- Um breve resumo de um artigo sobre Educação à Distancia (referente à tarefa 1);
E considerações Finais do debate realizado no Fórum (referente à tarefa 3).
Artigo: ....
Estudo sobre a importância da introdução de estratégias motivacionais de suporte ao aluno de programa de educação à distância. 
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Esta apresentação tem o propósito de cumprir a Tarefa 4 do Curso de Treinamento do Moodle (Sistema de Gerenciamento de Curso), realizado no Departamento de Administração da PUC-Rio.
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