Ex15_Taxas_Variacao

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CÁLCULO DIFERENCIAL 
PROFESSORES: Paloma de Oliveira Campos e André Felipe de Almeida Xavier 
LISTA 15 – TAXAS DE VARIAÇÃO 
 
01) Movimento ao longo de uma reta coordenada. Nas letras de (a) até (c), dê as posições 𝑠 = 𝑓(𝑡) de um corpo 
que se desloca em um eixo coordenado, com 𝑠 em metros e 𝑡 em segundos, seguindo os três passos abaixo. 
 
PRIMEIRO PASSO = Determine o deslocamento do corpo, e a velocidade média para o intervalo dado. 
SEGUNDO PASSO = Determine o módulo da velocidade e a aceleração do corpo nas extremidades do intervalo. 
TERCEIRO PASSO = O corpo muda de direção durante o intervalo? Em caso afirmativo, quando? 
 
a) 𝑠 𝑡 = 𝑡² − 3𝑡 + 2, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2. 
b) 𝑠 𝑡 = −3𝑡³ + 3𝑡² − 3𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 3. 
c) 𝑠 𝑡 =
25
𝑡²
−
5
𝑡
, 1 ≤ 𝑡 ≤ 5. 
 
02) Movimento de uma partícula. No instante 𝑡, a posição de um corpo que se desloca ao longo do eixo 𝑠 é 
𝑠 𝑡 = 𝑡³ − 6𝑡 + 9𝑡 metros. 
 
a) Determine a aceleração do corpo toda vez que a velocidade for nula. 
b) Determine o módulo da velocidade do corpo toda vez que a aceleração for nula. 
c) Determine à distância total percorrida pelo corpo de t=0 a t=2. 
 
03) Queda livre em Marte e Júpiter. As equações para queda livre nas superfícies de Marte e de Júpiter (𝑠 em 
metros, 𝑡 em segundos) são 𝑠 𝑡 = 1,86. 𝑡² em Marte e 𝑠 𝑡 = 11,44. 𝑡² em Júpiter. Quanto tempo uma pedra 
leva, a partir do repouso, para atingir a velocidade de 27,8 𝑚/𝑠 (cerca de 100 𝑘𝑚/ℎ) em cada planeta? 
 
04) População de Bactérias. Ao adicionar um bactericida a um meio nutritivo onde bactérias estavam crescendo, a 
população de bactérias continuou a crescer por um tempo, mas depois parou de crescer e depois começou a 
diminuir. O tamanho da população no instante 𝑡 (em horas) era dado por 𝑏(𝑡) = 106 + 104 . 𝑡 − 103. 𝑡². 
Determine a taxa de crescimento para: 
 
a) 𝑡 = 0 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠. 
b) 𝑡 = 5 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠. 
c) 𝑡 = 10 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠. 
 
05) Esvaziando um tanque. Depois de aberta a válvula inferior de um tanque de armazenamento, é necessário 
esperar 12 horas para esvaziá-lo. A profundidade 𝑦 (em metros) do líquido no tanque, 𝑡 horas depois que a 
válvula foi aberta é dado por 𝑦(𝑡) = 6. 1 −
𝑡
12
 
2
𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠. Encontre a taxa 𝑑𝑦/𝑑𝑡 (m/h) de esvaziamento do 
tanque no instante 𝑡. 
 
06) Enchendo um balão. O volume 𝑉 = 
4
3
 .𝜋. 𝑟³ de um balão esférico muda de acordo com o valor do raio. Qual é 
a taxa (em m³/m) de variação do volume em relação ao raio, quando 𝑟 = 2 𝑚? 
 
07) Rendimento Marginal. Suponha que a venda de 𝑥 máquinas de lavar seja 𝑅 𝑥 = 20.000 1 −
1
𝑥
 
reais. Qual é o rendimento marginal para 100 máquinas de lavar? 
 
GABARITO 
 
01) A) 1º PASSO: –𝟐𝒎, −𝟏𝒎/𝒔; 2º PASSO: 𝟑𝒎/𝒔, 𝟏𝒎/𝒔; 𝟐𝒎/𝒔², 
𝟐𝒎/𝒔²; TERCEIRO PASSO: Muda de direção em 𝒕 = 𝟑/𝟐 s. 
B) 1º PASSO: −𝟗𝒎,−𝟑𝒎/𝒔; 2º PASSO: 𝟑𝒎/𝒔,𝟏𝟐𝒎/𝒔; 𝟔𝒎/𝒔², 
−𝟏𝟐𝒎/𝒔²; TERCEIRO PASSO: Não muda de direção. 
C) 1º PASSO: −𝟐𝟎𝒎, −𝟓𝒎/𝒔; 2º PASSO: 𝟒𝟓𝒎/𝒔, (𝟏/𝟓)𝒎/𝒔; 
𝟏𝟒𝟎𝒎/𝒔², (𝟒/𝟐𝟓)𝒎/𝒔²; TERCEIRO PASSO: Não muda de 
direção. 
 
02) A) 𝒂 𝟏 = −𝟔𝒎/𝒔², 𝒂 𝟑 = 𝟔𝒎/𝒔²; B) 𝒗 𝟐 = 𝟑𝒎/𝒔; C) 𝟔𝒎. 
 
03) Marte aprox. 𝟕,𝟓 s. e Júpiter aprox. 𝟏,𝟐 s. 
 
04) A) 𝒃′ 𝟎 = 𝟏𝟎𝟒 𝒃𝒂𝒄𝒕é𝒓𝒊𝒂𝒔/𝒉. B) 𝒃′ 𝟓 = 𝟎 𝒃𝒂𝒄𝒕é𝒓𝒊𝒂/𝒉. C) 
𝒃′ 𝟏𝟎 = −𝟏𝟎𝟒 𝒃𝒂𝒄𝒕é𝒓𝒊𝒂𝒔/𝒉. 
 
05) 
𝒅𝒚
𝒅𝒕
=
𝒕
𝟏𝟐
− 𝟏 
 
06) 
𝒅𝑽
𝒅𝒎
= 𝟏𝟔𝝅 𝒎³/𝒎. 
 
07) 
𝒅𝑹
𝒅𝒙
= 𝑹$𝟐,𝟎𝟎 por máquina.