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Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral I para Economia

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1a prova de MAT 146 - Ca´lculo diferencial e integral I para Economia
1◦ semestre de 2013 - 12.4.2013 - Prova B
Docente: Prof. Dr. Pierluigi Benevieri
Nome:
N◦ USP:
Fac¸a no ma´ximo 5 dos 6 exerc´ıcios apresentados
Exerc´ıcio 1 (nota ma´xima 2). a) Deˆ a definic¸a˜o de func¸a˜o decrescente. Prove que a soma de duas
func¸o˜es decrescentes f, g : I → R e´ uma func¸a˜o decrescente.
b) Aplique a propriedade geral acima mencionada para determinar um intervalo onde h(x) = x2 + |x| e´
decrescente. (Para abordar este ponto b) do exerc´ıcio, primeiramente diga, do ponto di vista intuitivo, onde
sa˜o decrescentes x2 e |x| e use este fato junto com a parte a) do exerc´ıcio).
c) Determine a imagem do conjunto [−2,−1] pela func¸a˜o h acima. (Tente resolver esta terceira parte do
exerc´ıcio usando o fato de que h e´ decrescente e cont´ınua neste intervalo, junto com um oportuno resultado
sobre as func¸o˜es cont´ınuas, encontrado no curso. Na˜o sa˜o aceitas respostas baseadas em argumentos de tipo
“gra´fico”). (Cada passo do exercı´cio deve ser justificado.)
Exerc´ıcio 2 (nota ma´xima 2). a) Sejam dadas as func¸o˜es f(x) = x2 + 2x e g(x) =
√
x− 2. Escreva a
composic¸a˜o g ◦ f e determine qual e´ seu domı´nio.
b) Determine o conjunto dos x tais que (g ◦ f)(x) > 4 − x. (Cada passo do exercı´cio deve ser
justificado.)
Exerc´ıcio 3 (nota ma´xima 2). Calcule, se existe, o limite seguinte: lim
x→0
2x3 + x2 − x
x2 + 3x
. (Cada passo
do exercı´cio deve ser justificado.)
Exerc´ıcio 4 (nota ma´xima 2). Calcule, se existe, o limite seguinte: lim
x→+∞
cosx + 2x√
x5 + 2x3 + 1
. (Cada
passo do exercı´cio deve ser justificado.)
Exerc´ıcio 5 (nota ma´xima 2). a) Usando como ferramenta o limite limx→0
senx
x
= 1, determine para
qual valor de n, inteiro e positivo, o limite
lim
x→0
1− cos(2x)
3xn
existe e e´ um nu´mero diferente de zero.
b) Diga se existe um valor de n, inteiro e positivo, para o qual a func¸a˜o seguinte e´ cont´ınua.
f(x) =

1− cos(2x)
3xn
se x > 0
2x se x ≤ 0.
(Cada passo do exercı´cio deve ser justificado.)
Exerc´ıcio 6 (nota ma´xima 2). a) Determine o dominio de f(x) = log(|3x− 1| − 4x).
b) Em seguida, calcule a imagem inversa de [1,+∞) pela func¸a˜o f acima (Sugesta˜o: sabendo que log
e´ uma func¸a˜o crescente, determine onde f e´ crescente ou decrescente. Enfim, use o Teorema dos valores
intermeda´rios para as func¸o˜es cont´ınuas. Desenvolva nesta parte b) do exerc´ıcio os detalhes desta sugesta˜o.
Uma outra poss´ıvel abordagem a este ponto b) do exerc´ıcio e´ aplicar diretamente a definic¸a˜o de imagem
inversa e desenvolver as contas.) (Cada passo do exercı´cio deve ser justificado.)
2
1a prova de MAT 146 - Ca´lculo diferencial e integral I para Economia
1◦ semestre de 2013 - 12.4.2013 - Prova A
Docente: Prof. Dr. Pierluigi Benevieri
Nome:
N◦ USP:
Fac¸a no ma´ximo 5 dos 6 exerc´ıcios apresentados
Exerc´ıcio 1 (nota ma´xima 2). a) Deˆ a definic¸a˜o de func¸a˜o crescente. Prove que a soma de duas
func¸o˜es crescentes f, g : I → R e´ uma func¸a˜o crescente.
b) Aplique a propriedade geral acima mencionada para determinar um intervalo onde h(x) = x2 + |x| e´
crescente. (Para abordar este ponto b) do exerc´ıcio, primeiramente diga, do ponto di vista intuitivo, onde
sa˜o crescentes x2 e |x| e use este fato junto com a parte a) do exerc´ıcio).
c) Determine a imagem do conjunto [1, 2] pela func¸a˜o h acima. (Tente resolver esta terceira parte do
exerc´ıcio usando o fato de que h e´ crescente e cont´ınua neste intervalo, junto com um oportuno resultado
sobre as func¸o˜es cont´ınuas, encontrado no curso. Na˜o sa˜o aceitas respostas baseadas em argumentos de tipo
“gra´fico”). (Cada passo do exercı´cio deve ser justificado.)
Exerc´ıcio 2 (nota ma´xima 2). a) Sejam dadas as func¸o˜es f(x) = x2 + 2x e g(x) =
√
x− 1. Escreva a
composic¸a˜o g ◦ f e determine qual e´ seu domı´nio.
b) Determine o conjunto dos x tais que (g ◦ f)(x) > 3 − x. (Cada passo do exercı´cio deve ser
justificado.)
Exerc´ıcio 3 (nota ma´xima 2). Calcule, se existe, o limite seguinte: lim
x→0
x3 + 3x2 + x
x2 − 2x . (Cada passo
do exercı´cio deve ser justificado.)
Exerc´ıcio 4 (nota ma´xima 2). Calcule, se existe, o limite seguinte: lim
x→+∞
senx + x√
x4 + 2x3 − 1. (Cada
passo do exercı´cio deve ser justificado.)
Exerc´ıcio 5 (nota ma´xima 2). a) Usando como ferramenta o limite limx→0
senx
x
= 1, determine para
qual valor de n, inteiro e positivo, o limite
lim
x→0
1− cos(2x)
xn
existe e e´ um nu´mero diferente de zero.
b) Diga se existe um valor de n, inteiro e positivo, para o qual a func¸a˜o seguinte e´ cont´ınua.
f(x) =

1− cos(2x)
xn
se x 6= 0
0 se x = 0.
(Cada passo do exercı´cio deve ser justificado.)
Exerc´ıcio 6 (nota ma´xima 2). a) Determine o dominio de f(x) = log(|2x− 1| − 3x).
b) Em seguida, calcule a imagem inversa de [1,+∞) pela func¸a˜o f acima (Sugesta˜o: sabendo que log
e´ uma func¸a˜o crescente, determine onde f e´ crescente ou decrescente. Enfim, use o Teorema dos valores
intermeda´rios para as func¸o˜es cont´ınuas. Desenvolva nesta parte b) do exerc´ıcio os detalhes desta sugesta˜o.
Uma outra poss´ıvel abordagem a este ponto b) do exerc´ıcio e´ aplicar diretamente a definic¸a˜o de imagem
inversa e desenvolver as contas.) (Cada passo do exercı´cio deve ser justificado.)

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