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1a prova de MAT 146 - Ca´lculo diferencial e integral I para Economia 1◦ semestre de 2013 - 12.4.2013 - Prova B Docente: Prof. Dr. Pierluigi Benevieri Nome: N◦ USP: Fac¸a no ma´ximo 5 dos 6 exerc´ıcios apresentados Exerc´ıcio 1 (nota ma´xima 2). a) Deˆ a definic¸a˜o de func¸a˜o decrescente. Prove que a soma de duas func¸o˜es decrescentes f, g : I → R e´ uma func¸a˜o decrescente. b) Aplique a propriedade geral acima mencionada para determinar um intervalo onde h(x) = x2 + |x| e´ decrescente. (Para abordar este ponto b) do exerc´ıcio, primeiramente diga, do ponto di vista intuitivo, onde sa˜o decrescentes x2 e |x| e use este fato junto com a parte a) do exerc´ıcio). c) Determine a imagem do conjunto [−2,−1] pela func¸a˜o h acima. (Tente resolver esta terceira parte do exerc´ıcio usando o fato de que h e´ decrescente e cont´ınua neste intervalo, junto com um oportuno resultado sobre as func¸o˜es cont´ınuas, encontrado no curso. Na˜o sa˜o aceitas respostas baseadas em argumentos de tipo “gra´fico”). (Cada passo do exercı´cio deve ser justificado.) Exerc´ıcio 2 (nota ma´xima 2). a) Sejam dadas as func¸o˜es f(x) = x2 + 2x e g(x) = √ x− 2. Escreva a composic¸a˜o g ◦ f e determine qual e´ seu domı´nio. b) Determine o conjunto dos x tais que (g ◦ f)(x) > 4 − x. (Cada passo do exercı´cio deve ser justificado.) Exerc´ıcio 3 (nota ma´xima 2). Calcule, se existe, o limite seguinte: lim x→0 2x3 + x2 − x x2 + 3x . (Cada passo do exercı´cio deve ser justificado.) Exerc´ıcio 4 (nota ma´xima 2). Calcule, se existe, o limite seguinte: lim x→+∞ cosx + 2x√ x5 + 2x3 + 1 . (Cada passo do exercı´cio deve ser justificado.) Exerc´ıcio 5 (nota ma´xima 2). a) Usando como ferramenta o limite limx→0 senx x = 1, determine para qual valor de n, inteiro e positivo, o limite lim x→0 1− cos(2x) 3xn existe e e´ um nu´mero diferente de zero. b) Diga se existe um valor de n, inteiro e positivo, para o qual a func¸a˜o seguinte e´ cont´ınua. f(x) = 1− cos(2x) 3xn se x > 0 2x se x ≤ 0. (Cada passo do exercı´cio deve ser justificado.) Exerc´ıcio 6 (nota ma´xima 2). a) Determine o dominio de f(x) = log(|3x− 1| − 4x). b) Em seguida, calcule a imagem inversa de [1,+∞) pela func¸a˜o f acima (Sugesta˜o: sabendo que log e´ uma func¸a˜o crescente, determine onde f e´ crescente ou decrescente. Enfim, use o Teorema dos valores intermeda´rios para as func¸o˜es cont´ınuas. Desenvolva nesta parte b) do exerc´ıcio os detalhes desta sugesta˜o. Uma outra poss´ıvel abordagem a este ponto b) do exerc´ıcio e´ aplicar diretamente a definic¸a˜o de imagem inversa e desenvolver as contas.) (Cada passo do exercı´cio deve ser justificado.) 2 1a prova de MAT 146 - Ca´lculo diferencial e integral I para Economia 1◦ semestre de 2013 - 12.4.2013 - Prova A Docente: Prof. Dr. Pierluigi Benevieri Nome: N◦ USP: Fac¸a no ma´ximo 5 dos 6 exerc´ıcios apresentados Exerc´ıcio 1 (nota ma´xima 2). a) Deˆ a definic¸a˜o de func¸a˜o crescente. Prove que a soma de duas func¸o˜es crescentes f, g : I → R e´ uma func¸a˜o crescente. b) Aplique a propriedade geral acima mencionada para determinar um intervalo onde h(x) = x2 + |x| e´ crescente. (Para abordar este ponto b) do exerc´ıcio, primeiramente diga, do ponto di vista intuitivo, onde sa˜o crescentes x2 e |x| e use este fato junto com a parte a) do exerc´ıcio). c) Determine a imagem do conjunto [1, 2] pela func¸a˜o h acima. (Tente resolver esta terceira parte do exerc´ıcio usando o fato de que h e´ crescente e cont´ınua neste intervalo, junto com um oportuno resultado sobre as func¸o˜es cont´ınuas, encontrado no curso. Na˜o sa˜o aceitas respostas baseadas em argumentos de tipo “gra´fico”). (Cada passo do exercı´cio deve ser justificado.) Exerc´ıcio 2 (nota ma´xima 2). a) Sejam dadas as func¸o˜es f(x) = x2 + 2x e g(x) = √ x− 1. Escreva a composic¸a˜o g ◦ f e determine qual e´ seu domı´nio. b) Determine o conjunto dos x tais que (g ◦ f)(x) > 3 − x. (Cada passo do exercı´cio deve ser justificado.) Exerc´ıcio 3 (nota ma´xima 2). Calcule, se existe, o limite seguinte: lim x→0 x3 + 3x2 + x x2 − 2x . (Cada passo do exercı´cio deve ser justificado.) Exerc´ıcio 4 (nota ma´xima 2). Calcule, se existe, o limite seguinte: lim x→+∞ senx + x√ x4 + 2x3 − 1. (Cada passo do exercı´cio deve ser justificado.) Exerc´ıcio 5 (nota ma´xima 2). a) Usando como ferramenta o limite limx→0 senx x = 1, determine para qual valor de n, inteiro e positivo, o limite lim x→0 1− cos(2x) xn existe e e´ um nu´mero diferente de zero. b) Diga se existe um valor de n, inteiro e positivo, para o qual a func¸a˜o seguinte e´ cont´ınua. f(x) = 1− cos(2x) xn se x 6= 0 0 se x = 0. (Cada passo do exercı´cio deve ser justificado.) Exerc´ıcio 6 (nota ma´xima 2). a) Determine o dominio de f(x) = log(|2x− 1| − 3x). b) Em seguida, calcule a imagem inversa de [1,+∞) pela func¸a˜o f acima (Sugesta˜o: sabendo que log e´ uma func¸a˜o crescente, determine onde f e´ crescente ou decrescente. Enfim, use o Teorema dos valores intermeda´rios para as func¸o˜es cont´ınuas. Desenvolva nesta parte b) do exerc´ıcio os detalhes desta sugesta˜o. Uma outra poss´ıvel abordagem a este ponto b) do exerc´ıcio e´ aplicar diretamente a definic¸a˜o de imagem inversa e desenvolver as contas.) (Cada passo do exercı´cio deve ser justificado.)
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