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2a prova de MAT 146 - Ca´lculo diferencial e integral I para Economia
1◦ semestre de 2013 - 17.5.2013 - Prova B - Docente: Prof. Dr. Pierluigi Benevieri
Nome:
N◦ USP:
Fac¸a no ma´ximo 4 dos 5 exerc´ıcios apresentados
Exerc´ıcio 1 (nota ma´xima 2,5). Deˆ a definic¸a˜o de func¸a˜o deriva´vel em um ponto e a de derivada de
uma func¸a˜o. Em seguida, determine os pontos onde e´ deriva´vel a func¸a˜o seguinte, calculando tambe´m a
derivada.
f(x) =
√
x2 + 1
2x+ 2
Em seguida calcule f ′(0). A partir deste valor, diga porque f e´ invers´ıvel em um oportuno intervalo do tipo
(−δ, δ) e, chamando g a inversa de f , calcule a derivada de g no ponto f(0).
Exerc´ıcio 2 (nota ma´xima 2,5). Seja I um intervalo de R e f : I → R uma func¸a˜o deriva´vel. a) Diga
qual e´ a relac¸a˜o entre o sinal da derivada de f e o crescimento/decrescimento da func¸a˜o. b) Em particular,
diga como a estrita monotonia de f e´ ligada ao sinal da derivada. c) Tente dar a demonstrac¸a˜o de, pelo
menos, um dos resultados dos itens a e b. d) No caso que a func¸a˜o seja definida em um conjunto A que na˜o
e´ um intervalo (supondo, por exemplo, que A seja a unia˜o de dois intervalos), quais resultados dos itens a)
e b) continuam valendo e quais na˜o? tente apresentar exemplos que mostram os resultados que falham no
caso em que o domı´nio na˜o seja um intervalo.
Devido a` simetria dos resultados da teoria, o aluno pode tratar so´ o caso de func¸o˜es crescentes ou o caso
de func¸o˜es decrescentes.
(Cada passo do exercı´cio deve ser justificado.)
Exerc´ıcio 3 (nota ma´xima 2.5). Consideramos a figura ao lado. O
triaˆngulo T e´ retaˆngulo e e´ fixado, sendo a e b as medidas dos catetos.
Chamamos retaˆngulo inscrito em T um retaˆngulo cujos lados sa˜o paralelos
aos catetos de T e que tem um ve´rtice na hipotenusa de T e o ve´rtice
oposto no ve´rtice de 90 graus de T . Determine, entre todos os retaˆngulos
inscritos em T aquele de a´rea ma´xima. Diga porque na˜o existe aquele de
a´rea mı´nima. (Cada passo do exercı´cio deve ser justificado.)
b
a
Exerc´ıcio 4 (nota ma´xima 2.5). Estude a equac¸a˜o 3x4− 4x3− 36x2 + 1 = 0 dando informac¸o˜es sobre
o nu´mero e o sinal das soluc¸o˜es. (Cada passo do exercı´cio deve ser justificado.)
Exerc´ıcio 5 (nota ma´xima 2.5). Estude a func¸a˜o f(x) = x3 log |x|. Determine, em particular, o
domı´nio, os limites interessantes, as poss´ıveis ass´ıntotas, os pontos de ma´ximo e mı´nimo absoluto e relativo
(caso existam), onde a func¸a˜o e´ crescente, decrescente, convexa e coˆncava. Enfim, desenhe o gra´fico. (Cada
passo do exercı´cio deve ser justificado.)
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2a prova de MAT 146 - Ca´lculo diferencial e integral I para Economia
1◦ semestre de 2013 - 17.5.2013 - Prova A - Docente: Prof. Dr. Pierluigi Benevieri
Nome:
N◦ USP:
Fac¸a no ma´ximo 4 dos 5 exerc´ıcios apresentados
Exerc´ıcio 1 (nota ma´xima 2,5). Deˆ a definic¸a˜o de func¸a˜o deriva´vel em um ponto e a de derivada de
uma func¸a˜o. Em seguida, determine os pontos onde e´ deriva´vel a func¸a˜o seguinte, calculando tambe´m a
derivada.
f(x) = 1 + 3x+ arctg
(
x
1− x2
)
Em seguida calcule f ′(0). A partir deste valor, diga porque f e´ invers´ıvel em um oportuno intervalo do tipo
(−δ, δ) e, chamando g a inversa de f , calcule a derivada de g no ponto f(0).
Exerc´ıcio 2 (nota ma´xima 2,5). Seja I um intervalo de R e f : I → R uma func¸a˜o deriva´vel. a) Diga
qual e´ a relac¸a˜o entre o sinal da derivada de f e o crescimento/decrescimento da func¸a˜o. b) Em particular,
diga como a estrita monotonia de f e´ ligada ao sinal da derivada. c) Tente dar a demonstrac¸a˜o de, pelo
menos, um dos resultados dos itens a e b. d) No caso que a func¸a˜o seja definida em um conjunto A que na˜o
e´ um intervalo (supondo, por exemplo, que A seja a unia˜o de dois intervalos), quais resultados dos itens a)
e b) continuam valendo e quais na˜o? tente apresentar exemplos que mostram os resultados que falham no
caso em que o domı´nio na˜o seja um intervalo.
Devido a` simetria dos resultados da teoria, o aluno pode tratar so´ o caso de func¸o˜es crescentes ou o caso
de func¸o˜es decrescentes.
(Cada passo do exercı´cio deve ser justificado.)
Exerc´ıcio 3 (nota ma´xima 2.5). Consideramos a figura ao lado. O
triaˆngulo T e´ retaˆngulo e e´ fixado, sendo c1 e c2 as medidas dos catetos.
Chamamos retaˆngulo inscrito em T um retaˆngulo cujos lados sa˜o paralelos
aos catetos de T e que tem um ve´rtice na hipotenusa de T e o ve´rtice
oposto no ve´rtice de 90 graus de T . Determine, entre todos os retaˆngulos
inscritos em T aquele de a´rea ma´xima. Diga porque na˜o existe aquele de
a´rea mı´nima. (Cada passo do exercı´cio deve ser justificado.)
c1
c2
Exerc´ıcio 4 (nota ma´xima 2.5). Estude a equac¸a˜o 9x4− 16x3 + 6x2− 1 = 0 dando informac¸o˜es sobre
o nu´mero e o sinal das soluc¸o˜es. (Cada passo do exercı´cio deve ser justificado.)
Exerc´ıcio 5 (nota ma´xima 2.5). Estude a func¸a˜o f(x) = 1 − |x|e−x. Determine, em particular, o
domı´nio, os limites interessantes, as poss´ıveis ass´ıntotas, os pontos de ma´ximo e mı´nimo absoluto e relativo
(caso existam), onde a func¸a˜o e´ crescente, decrescente, convexa e coˆncava. Enfim, desenhe o gra´fico. (Cada
passo do exercı´cio deve ser justificado.)