965321_Edo linear de segunda ordem

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Roney Rachide Nunes
Equações Diferenciais Lineares
de Segunda Ordem
PUC-MG
2015.1
Sumário
1 Equações Diferenciais de 2a ordem 2
1.1 Equações Homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Coeficientes Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Equação de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3 Redução de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1
Capítulo 1
Equações Diferenciais de 2a ordem
Uma equação linear de 2aª ordem é uma equação diferencial que pode ser escrita na forma
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = f(x),
onde p(x), q(x) e f(x) são funções contínuas definidas em um mesmo intervalo.
1.1 Equações Homogêneas
Uma equação linear de 2a ordem homogênea é uma equação diferencial que pode ser escrita na forma
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0,
p(x) e q(x) funções continuas definidas em um mesmo intervalo.
Teorema: Se y1 e y2 são soluções da equação y
′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0, então toda combinação linear de y1 e y2
também é solução desta edo.
Combinação linear: y = c1y1 + c2y2, c1, c2 constantes.
Prova:
O teorema acima afirma que y = c1y1 + c2y2 é solução da edo - não necessariamente a solução geral. O próximo
passo é determinar sob quais condições y = c1y1 + c2y2 será a solução geral da edo homogênea.
2
1.1. EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2A ORDEM
Teorema: Se y1, y2 são soluções da edo y
′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 e y = c1y1 + c2y2 é a solução geral desta edo,
então
∣∣∣∣∣ y1 y2y′1 y′2
∣∣∣∣∣ 6= 0
Para tal, considere o PVI {
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0;
y(x0) = y0, y
′(x0) = y′0
Assim, para determinar a solução geral de uma edo linear homogênea de 2a ordem:
1. Determine duas soluções y1, y2 da edo
2. Verifique que W [y1, y2] =
∣∣∣∣∣ y1 y2y′1 y′2
∣∣∣∣∣ (chamado Wronskiano de y1 e y2) é não nulo.
Verificadas as duas condições, temos que y = c1y1 + c2y2 é a solução geral da edo.
Exemplo Dentre as fuções y1 = x, y2 = 3x
2
, y3 = 8x, y4 = 7x
2
, y5 = e
x
, y6 = cos(x), y7 = ln(x) e y8 = x + e
x
verifique quais são soluções da edo (x − 1)y′′ − xy′ + y = 0. Em seguida, determine a solução geral desta edo e a
solução particular que satisfaz as consições y(0) = 3 e y′(0) = 7.
3 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
1.1. EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2A ORDEM
1.1.1 Coeficientes Constantes
Uma EDO homogênea de 2a ordem com coeficientes constantes é uma edo que pode ser escrita na forma
ay′′ + by′ + cy = 0
a, b, c constantes, a 6= 0.
Para a edo acima, procuramos soluções na forma y = erx, r uma constante real.
y = erx, y′ = rerx, y′′ = r2erx
Substituindo na edo, temos
erx(ar2 + br + c) = 0
Da equação acima, concluímos que
ar2 + br + c = 0 (equação característica)
Analisando a equação de segundo grau acima, temos três possibilidades:
Caso 1: Se a equação característica possui duas raízes reais e distintas r1 e r2, então y1 = e
r1x
e y2 = e
r2x
são
soluções da edo ay′′ + by′ + cy = 0.
W [y1, y2] =
Logo, a solução geral da edo é
y = c1e
r1x + c2e
r2x
Exemplo: Determine a solução geral da edo y′′ + 2y′ − 3y = 0.
4 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
1.1. EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2A ORDEM
Exemplo: Determine a solução do pvi {
y′′ + 2y′ − 8y = 0;
y(0) = 1, y′(0) = −2
Para o caso 2 (a equação característica possui raízes complexas), necessitamos lidar com a exponencial de um
número complexo. A manipulação necessária é consequência direta do próximo exercício.
Exemplo:
a) Verifique que y = c1 cos(x) + c2sen (x) é a solução geral da edo y
′′ + y = 0.
b) Verifique que y = eix é solução do PVI
{
y′′ + y = 0;
y(0) = 1, y′(0) = i
5 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
1.1. EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2A ORDEM
c) Determine os valores de c1 e c2 tais que e
ix = c1 cos(x) + c2sen (x).
eix = cos(x) + isen (x) (Fórmula de Euler)
Caso 2: Se a equação característica possui duas raízes complexas r1 = α+ iβ e r2 = α− iβ, utilizando a fórmula
de Euler temos duas soluções complexas da equação ay′′ + by′ + cy = 0:
Y1 = e
(α+iβ)x = eαx(cos(βx) + isen (βx))
Y2 = e
(α−iβ)x = eαx(cos(−βx) + isen (−βx)) = eαx(cos(βx)− isen (βx))
Estamos, porém, interessados apenas em soluções reais. Determinemos, então, soluções reais decorrentes das
soluções complexas.
Como Y = c1Y1+c2Y2 também é solução da edo, uma vez que é combinação linear de duas soluções (a demonstração
para constantes reais também se aplica para constantes complexas), basta escolhermos c1 e c2 de maneira conveniente.
Se c1 = c2 =
1
2
, temos a solução real y1 = e
αx cos(βx).
Se c1 = − i
2
e c2 =
i
2
, temos a solução real y2 = e
αxsen (βx).
W [y1, y2] =
Como y1, y2 são soluções da edo e W [y1, y2] 6= 0, então a solução geral da edo é
y = c1e
αx cos(βx) + c2e
αxsen (βx)
.
6 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
1.1. EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2A ORDEM
Exemplo: Determine a solução geral da edo y′′ + 2y′ + 5y = 0.
Exemplo: Determine a solução do pvi {
y′′ + 6y′ + 10y = 0;
y(0) = 1, y′(0) = −2
Caso 3: Se a equação característica possui duas raízes reais e iguais r.
Neste caso, temos as soluções y1 = e
rx
e y2 = xe
rx
(justificativa de y2: em breve).
W [y1, y2] =
Assim, solução geral da edo é
y = c1e
rx + c2xe
rx
Exemplo: Determine a solução geral da edo y′′ + 10y′ + 25y = 0.
7 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
1.1. EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2A ORDEM
Exemplo: Determine a solução do pvi {
y′′ + 4y′ + 4y = 0;
y(0) = 1, y′(0) = −2
Exemplo. Determine uma edo homogênea que tenha como solução geral a função dada abaixo.
a) y = c1e
2x + c2e
5x
b) y = c1e
5x + c2xe
5x
c) y = c1 cos(3x) + c2sen (3x)
d) y = c1e
−2xsen (3x) + c2e−2x cos(3x)
8 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
1.1. EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2A ORDEM
1.1.2 Equação de Euler
Uma equação de Euler é uma edo que pode ser escrita na forma
ax2y′′ + bxy′ + cy = 0
a, b, c constantes, a 6= 0.
Para a edo acima, procuramos soluções na forma y = xr, r uma constante real, e procedemos como em uma edo
homogênea de 2a ordem com coeficientes constantes.
No caso em que r é complexo, temos
xα+βi = xαxβi = xαeln(x
βi) = xαeβi ln(x) = xα[cos(βln(x)) + isen (β ln(x))]
.
No caso em que r admite um único valor real, determinamos uma segunda solução utilizando redução de ordem.
Exemplo: Determine a solução geral da edo x2y′′ + 10xy′ − 10y = 0.
Exemplo: Determine a solução geral da edo x2y′′ + 5xy′ + 4y = 0.
Exemplo: Determine a solução geral da edo x2y′′ + 7xy′ + 10y = 0.
9 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes
1.1. EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2A ORDEM
1.1.3 Redução de Ordem
Se conhecemos uma solução y1 da edo y
′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0, procuramos uma segunda solução para esta edo
na forma y2 = v(x)y1, onde v é uma função não constante.
W [y1, y2] =
Assim, y = c1y1 + c2y2 é a solução geral da edo.
Para determinar a função v(x), calculamos y′2 e y
′′
2 , substituímos na edo e utilizamos a substituição v
′ = u, v′′ = u′.
Exemplo: Verifique que y1 = t é uma solução da edo t
2y′′+2ty′− 2y = 0. Em seguida, determine a solução geral
desta edo.
Exemplo: Verifique que y1 = e
2x
é uma solução da edo y′′ − 4y′ +4y = 0. Em seguida, determine a solução geral
desta edo.
10 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes1.1. EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2A ORDEM
Exemplo: Verifique que y1 = e
x
é uma solução da edo (1− x)y′′ + xy′ − y = 0. Em seguida, determine a solução
geral desta edo.
Exemplo: Verifique que y1 = x é uma solução da edo (1− x)y′′ + xy′ − y = 0. Em seguida, determine a solução
geral desta edo.
11 Equações Diferenciais. Professor Roney Rachide Nunes