Apostila de Matemática Financeira

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Matemática 
Financeira 
 
Professora: Cristéwany Regina Capitani 
Orientador: Gilberto Souto 
Licenciatura em Matemática 
Prática de Ensino de Matemática II – Estágio Supervisionado 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Câmpus Pato Branco 
 
 
Aos alunos 
 
Nesta apostila serão estudados dois dentre os tantos tópicos que compreendem a Ma-
temática Financeira. 
Com isso, buscamos construir estes conceitos a partir das atividades propostas, fazen-
do com que você aprenda de forma mais dinâmica e organizada. 
Façamos um bom proveito das aulas! 
 
 
Professora Cristéwany 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Não há nenhum segredo no sucesso, ele é resultado de seu esforço, com-
prometimento e dedicação” 
 
SUMÁRIO 
 
 
Capítulo 1 – Introdução ........................................................................ 3 
Capítulo 2 – Juros simples ..................................................................... 4 
Seção 2.1 – Os cálculos do pai ...................................................................................................................... 4 
Seção 2.2 – Exercícios ................................................................................................................................... 5 
Capítulo 3 – Juros compostos ................................................................. 6 
Seção 3.1 – Os cálculos da financeira ........................................................................................................ 6 
Seção 3.2 – Exercícios ................................................................................................................................... 7 
Capítulo 4 – Atividades para casa ............................................................ 8 
Capítulo 5 – Exercícios de Matemática Financeira do Enem ................................. 9 
Capítulo 6 – Conteúdos complementares ..................................................... 11 
Capítulo 7 – Referências bibliográficas ...................................................... 13 
 
~ 3 ~ 
 
Capítulo 1 – Introdução 
 
 
Pergunta: 
O que vêm a sua cabeça quando falamos em Matemática Financeira. 
 
De uma forma simplificada, podemos dizer que a Matemática Financeira é o ramo da 
Matemática Aplicada que estuda o comportamento do dinheiro no tempo. 
Veja, a seguir, alguns termos de uso frequente em Matemática Financeira. 
 
UM Unidade Monetária: real, dólar, euro ou qualquer outra moeda. 
C Capital: o valor inicial de um empréstimo, dívida ou investimento. 
i 
Taxa de juros: a letra i vem do inglês interest (“juros”), e a taxa 
é expressa na forma percentual por período. 
n Período: é o tempo em que o capital fica aplicado. 
J 
Juro: os juros correspondem ao valor obtido quando aplicamos a 
taxa sobre o capital ou sobre algum outro valor da transação. 
M 
Montante: corresponde ao capital acrescido dos juros auferidos 
na transação. 
 
Pergunta: 
Você consegue relacionar matematicamente os termos acima? 
 
Antes de relacionarmos os termos acima, precisamos nos atentar a dois detalhes. 
 
 As taxas de juros devem estar compatíveis com o tempo a ser trabalhado. Em ou-
tras palavras, se formos aplicar um Capital num período de 3 meses, a taxa deverá 
estar em meses; 
 Existem dois tipos principais de juros: os juros exatos e os juros comerciais. Os ju-
ros exatos são aqueles em que o período da aplicação for relativo ao ano civil de 
365 ou 366 dias. Já o juro comercial é aquele que leva em conta, para efeito de cál-
culo, o ano comercial, de 360 dias, com meses de 30 dias cada. 
 
Em nossas aulas, vamos utilizar o juro comercial, ou seja, vamos considerar que os me-
ses têm 30 dias. 
 
Exemplo: 
Para liquidar uma dívida, um pai de família efetuou um empréstimo de R$ 1.000,00 em uma 
financeira e se comprometeu em pagá-la após 6 meses, com uma taxa de juros de 8% ao mês. 
Porém, terminado o prazo para efetuar o pagamento o valor calculado pelo pai não coincidia 
com o valor calculado pela financeira. 
 
Os cálculos que foram feitos pelo pai e pela financeira nós vamos estudar daqui em di-
ante. 
 
 
~ 4 ~ 
 
Capítulo 2 – Juros simples 
Seção 2.1 – Os cálculos do pai 
 
A seguir, está um esquema de como o pai realizou os seus cálculos. 
 
Cálculo realizado pelo pai 
Juros 8% ao mês 
Capital R$ 1.000,00 
Juros acumulados no 1º mês 1.000,00 × 0,08 = 80,00 
Juros acumulados no 2º mês 1.000,00 × 0,08 = 80,00 
Juros acumulados no 3º mês 1.000,00 × 0,08 = 80,00 
Juros acumulados no 4º mês 1.000,00 × 0,08 = 80,00 
Juros acumulados no 5º mês 1.000,00 × 0,08 = 80,00 
Juros acumulados no 6º mês 1.000,00 × 0,08 = 80,00 
Total de juros R$ 480,00 
Valor da dívida após o prazo R$ 1.000,00 + R$ 480,00 = R$ 1.480,00 
 
O método que o pai utilizou para realizar os cálculos sobre a dívida chama-se de capita-
lização simples ou capitalização à juro simples. 
 
O que é? Capitalização a juros simples 
Os juros incidem sempre sobre o capital inicial. É mais utilizado quando o prazo é pequeno. 
 
Vamos agora observar como o pai realizou os seus cálculos para descobrirmos uma fór-
mula que represente esta capitalização em todos os casos. 
 
Deduzindo a fórmula 
Capital inicial 𝐶 = 𝑅$ 1.000,00 
1º mês 𝑀1 = 1.000 + 1 ∙ 0,08 ∙ 1.000 
2º mês 
𝑀2 = 1.000 + 1 ∙ 0,08 ∙ 1.000 + 1 ∙ 0,08 ∙ 1.000 
= 1.000 + 2 ∙ 0,08 ∙ 1.000 
3º mês 
𝑀3 = 1.000 + 1 ∙ 0,08 ∙ 1.000 + 1 ∙ 0,08 ∙ 1.000 + 1 ∙ 0,08 ∙ 1.000 
= 1.000 + 3 ∙ 0,08 ∙ 1.000 
4º mês 𝑀4 = 1.000 + 4 ∙ 0,08 ∙ 1.000 
5º mês 𝑀5 = 1.000 + 5 ∙ 0,08 ∙ 1.000 
6º mês 𝑀6 = 1.000 + 6 ∙ 0,08 ∙ 1.000 
Total 
𝑀 
𝐶 + 𝐽 
𝐽 
= 𝐶 + 𝑛 ∙ 𝑖 ∙ 𝐶 
= 𝐶 + 𝑛 ∙ 𝑖 ∙ 𝐶 
= 𝑛 ∙ 𝑖 ∙ 𝐶 
 
 
 
 
 
 
 
~ 5 ~ 
 
Vamos formalizar agora estes conceitos. 
 
O que é? Equação que representa os Juros simples 
 
𝐽 = 𝐶 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 
J = valor do juro simples 
C = valor do capital aplicado 
i = taxa de juro 
n = tempo de aplicação 
 
O que é? Equação que representa o Montante 
 
𝑀 = 𝐶 + 𝐽 = 𝐶 + 𝐶 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 = 𝐶(1 + 𝑖𝑛) 
 
Seção 2.2 – Exercícios 
 
Exercício 1: 
Um investidor quer aplicar a quantia de R$ 800,00 por três meses, a uma taxa de 8% ao mês 
em juros simples, para retirar no final deste período. Quando ele irá retirar? 
 
Exercício 2: 
Qual é a taxa mensal de juros simples que faz um capital de R$ 9.500,00 produzir um montan-
te de R$ 11.900,00 ao fim de um ano de aplicação? 
 
Exercício 3: 
Esmeraldino aplicou R$ 800,00 a juros simples, a uma taxa de 2,5% ao mês e, ao final de certo 
tempo, recebeu R$ 1.080,00. Quanto tempo ele deixou o dinheiro aplicado a essa taxa? 
 
Exercício 4: 
Calcule o juro produzido por uma aplicação de R$ 28.800,00 à taxa de 18% a.a., durante qua-
tro meses. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
~ 6 ~ 
 
Capítulo 3 – Juros compostos 
Seção 3.1 – Os cálculos da financeira 
 
A seguir, está um esquema de como a financeira realizou os seus cálculos. 
 
Juros 8% ao mês 
Capital R$ 1.000,00 
1º mês 
= 1.000,00 + 0,08 ∙ 1.000,00 
= 1.000,00 + 80,00 
= 1.080,00 
2º mês 
= 1.080,00 + 0,08 ∙ 1.080,00 
= 1.080,00 + 86,40 
= 1.166,40 
3º mês 
= 1.166,40 + 0,08 ∙ 1.166,40 
= 1.166,40 + 93,31 
= 1.259,71 
4º mês 
= 1.259,71 + 0,08 ∙ 1.259,71 
= 1.259,71 + 100,77 
= 1.360,48 
5º mês 
= 1.360,48 + 0,08 ∙ 1.360,48 
= 1.360,48 + 108,83 
= 1.469,31 
6º mês 
= 1.469,31 + 0,08 ∙ 1.469,31 
= 1.469,31 + 117,54 
= 1.586,85 
Total de juros R$ 586,85 
Valor da dívida após 
o prazo 
R$ 1.000,00 + R$ 586,85= R$ 1.586,85 
 
O método que a financeira utilizou para realizar os cálculos sobre a dívida chama-se de 
capitalização composta ou capitalização a juro composto. 
 
O que é? Capitalização a juros composto 
A taxa cobrada incide sobre cada mês, considerando o montante do mês anterior. Os cálculos 
efetuados são “juros sobre juros”. 
 
Vamos agora observar como o pai realizou os seus cálculos para descobrirmos uma fór-
mula que represente esta capitalização em todos os casos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
~ 7 ~ 
 
Deduzindo a fórmula 
Capital inicial 𝐶 = 𝑅$ 1.000,00 
1º mês 
𝑀1 = 1.000 + 0,08 ∙ 1.000 
= 𝐶 + 𝑖 ∙ 𝐶 
= 𝐶(1 + 𝑖)1 
2º mês 
𝑀2 = 1.080 + 0,08 ∙ 1.080 
= 𝑀1 + 𝑀1 ∙ 𝑖 
= 𝐶(1 + 𝑖)1 + 𝐶(1 + 𝑖)1 ∙ 𝑖 
= 𝐶(1 + 𝑖)1 ∙ (1 + 𝑖) 
= 𝐶(1 + 𝑖)2 
3º mês 
𝑀3 = 1.166,40 + 0,08 ∙ 1.166,40 
= 𝑀2 + 𝑀2 ∙ 𝑖 
= 𝐶(1 + 𝑖)2 + 𝐶(1 + 𝑖)2 ∙ 𝑖 
= 𝐶(1 + 𝑖)2 ∙ (1 + 𝑖) 
= 𝐶(1 + 𝑖)3 
4º mês 𝑀4 = 𝐶(1 + 𝑖)
4 
5º mês 𝑀5 = 𝐶(1 + 𝑖)5 
6º mês 𝑀6 = 𝐶(1 + 𝑖)
6 
Total 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛 
 
Vamos formalizar agora estes conceitos. 
 
O que é? A equação que representa o montante após um regime a Juros compostos 
 
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛 
M = montante 
C = valor do capital aplicado 
i = taxa de juro 
n = tempo de aplicação 
 
Seção 3.2 – Exercícios 
 
Exercício 1: 
Marta tomou um empréstimo de R$ 200,00 a juros de 12% ao mês. Qual será a dívida de Mar-
ta após quatro meses? 
 
Exercício 2: 
Um banco para um montante de R$ 2.500,00 a quem aplicar em um de seus títulos durante um 
ano. Sabendo que a taxa de juros é de 3% a.m., qual o valor do capital necessário neste inves-
timento? 
 
Exercício 3: 
Ana investiu R$ 1.000,00 a juros compostos pelo período de três meses, e resgatou a quantia 
de R$ 1.728,00. Qual foi a taxa mensal de juros? 
 
 
~ 8 ~ 
 
Capítulo 4 – Atividades para casa 
 
 
Atividade 1: 
Qual o capital que deve ser aplicado durante 5 meses, à taxa de 24% a.a., para obtermos 
R$ 2.000,00 de juros? 
 
Atividade 2: 
Determine o período em que ficou aplicado o capital de R$ 31.500,00 à taxa de 16% a.a., para 
render R$ 2.940,00 de juros. 
 
Atividade 3: 
Para comprar um tênis de R$ 70,00, Renato deu um cheque pré-datado de 30 dias no valor de 
R$ 74,20. Qual a taxa de juros cobrada? 
 
Atividade 4 
Calcular o montante acumulado por um capital inicial de R$ 10.000,00 aplicado durante 6 
meses a juros compostos de 5% ao mês. 
Dica: (1,05)6 ≈ 1,34 
 
Atividade 5 
Calcular o juro composto gerado por um capital inicial de R$ 4.000,00 aplicado durante 1,5 ano 
à taxa de 8% ao mês. 
Dica: (1,08)18 ≈ 3,99 
 
Atividade 6 
Apliquei R$ 1.000,00 na caderneta de poupança durante 3 anos. No primeiro ano o rendimento 
foi de 15%; no segundo, 14%; no terceiro, 20%. Qual foi o montante acumulado no final da 
aplicação? 
Dica: quando se tem taxas diferentes, usamos a fórmula aberta, ou seja, nesse caso teremos 
que o montante é dado por 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖1)(1 + 𝑖2)(1 + 𝑖3). 
 
 
 
 
 
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Capítulo 5 – Exercícios de Matemática Financeira do Enem 
 
 
Exercício 1: (Enem 2000) 
João deseja comprar um carro, cujo preço à vista, com todos os descontos possíveis, é de R$ 
21.000,00, e esse valor não será reajustado nos próximos meses. 
Ele tem R$ 20.000,00, que podem ser aplicados a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, 
e escolhe deixar todo o seu dinheiro aplicado até que o montante atinja o valor do carro. 
Para ter o carro, João deverá esperar: 
a) Dois meses, e terá a quantia exata; 
b) Três meses, e terá a quantia exata; 
c) Três meses, e ainda sobrarão, aproximadamente, R$ 225,00; 
d) Quatro meses, e terá a quantia exata; 
e) Quatro meses, e ainda sobrarão, aproximadamente, R$ 430,00. 
 
Exercício 2: (Enem 2008 - adaptado) 
A figura abaixo representa o boleto de cobrança da mensalidade de uma escola, referente ao 
mês de junho de 2008. 
Se M(x) é o valor, em reais, da mensalidade a ser paga, em que x é o número de dias de atraso, 
então 
a) M(x) = 500 + 0,4x 
b) M(x) = 500 + 10x 
c) M(x) = 510 + 0,4x 
d) M(x) = 510 + 40x 
e) M(x) = 500 + 10,4x 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 3: (Enem 2009) 
João deve 12 parcelas de R$ 150,00 referentes ao cheque especial de seu banco e cinco par-
celas de R$ 80,00 referentes ao cartão de crédito. O gerente do banco lhe ofereceu duas 
parcelas de desconto no cheque especial, caso João quitasse a dívida imediatamente ou, na 
mesma condição, isto é, quitação imediata, com 25% de desconto na dívida do cartão. João 
também poderia renegociar suas dívidas em 18 parcelas mensais de R$ 125,00. Sabendo des-
ses termos, José, amigo de João, ofereceu-lhe emprestar o dinheiro que julgasse necessário 
pelo tempo de 18 meses, com juros de 25% sobre o total emprestado. 
A opção que dá a João o menor gasto seria: 
a) Renegociar suas dívidas com o banco; 
b) Pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação das duas dívidas; 
c) Recusar o empréstimo de José e pagar todas as parcelas pendentes nos devidos pra-
zos; 
d) Pegar de José o dinheiro referente à quitação do cheque especial e pagar as presta-
ções do cartão de crédito; 
e) Pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cartão de crédito e pa-
gar as parcelas do cheque especial. 
 
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Capítulo 6 – Conteúdos complementares 
 
 
Pergunta: 
Já conhecendo os dois sistemas de capitalização, qual deles é o mais rentável? 
 
Para responder a nossa pergunta, vamos analisar o seguinte problema. 
 
Exercício: 
Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado à taxa de 10% a.m. Calcule o montante obtido, na capi-
talização simples e na capitalização composta: 
a) Quinze dias após a aplicação; 
b) Um mês após a aplicação; 
c) 45 dias após a aplicação. 
 
Utilizando as fórmulas de juro simples e composto que vimos anteriormente, vamos 
confeccionar uma tabela que represente os valores obtidos. 
 
Capitalização simples 
Período Capital Juros Montante 
15 dias R$ 1.000,00 R$ 50,00 R$ 1.050,00 
30 dias R$ 1.000,00 R$ 100,00 R$ 1.100,00 
45 dias R$ 1.000,00 R$ 150,00 R$ 1.150,00 
 
Capitalização composta 
Período Capital Juros Montante 
15 dias R$ 1.000,00 R$ 48,81 R$ 1.048,81 
30 dias R$ 1.000,00 R$ 100,00 R$ 1.100,00 
45 dias R$ 1.000,00 R$ 153,69 R$ 1.153,69 
 
Podemos resumir esses dados em apenas uma tabela. (Os juros e os montantes estão 
representados em R$). 
 
Juros de 10% a.m. sobre o capital de R$ 1.000,00 
 15 dias 30 dias 45 dias 
 Juros Montante Juros Montante Juros Montante 
Capitalização 
simples 
50,00 1.050,00 100,00 1.100,00 150,00 1.150,00 
Capitalização 
composta 
48,81 1.048,81 100,00 1.100,00 153,69 1.153,69 
 
Notamos que, em cada capitalização, conforme o tempo passa, o juro obtido varia. Em 
outras palavras, o valor do juro depende do tempo que já passou. Assim, podemos montar um 
gráfico representando o juro acumulado em relação ao tempo. Logo, obtemos a seguinte figu-
ra. 
~ 12 ~ 
 
 
Imagem ilustrativa 
 
Analisando o gráfico, podemos identificar três características importantes: 
1. O valor do juro simples é maior que o do juro composto antes que um período da taxa 
se complete; 
2. O valor do juro simples e do juro composto é igual quando se completa um período da 
taxa; 
3. O valor do juro composto é maior que o do juro simples após a primeira vez que o perí-
odo da taxa se complete. 
 
Agora, com essas informações, podemos responder a pergunta que inicia este capítulo. 
 
Pergunta: Já conhecendo os dois sistemas de capitalização, qual é o mais rentável?A resposta é: depende de quando estamos analisando. Se a taxa for capitalizada por 
mês, então antes do primeiro mês o Juro Simples é mais rentável, e depois do primeiro mês, o 
juro composto se torna mais rentável. 
O mesmo vale para quando queremos fazer um pagamento parcelado; é sempre mais 
rentável que, no cálculo de cada parcela, seja utilizado o juro simples. Porém, no comércio em 
geral, e também nos processos bancários, os juros compostos são utilizados, fazendo com que 
a dívida fique muito mais alta do que seria se o pagamento fosse realizado à vista. 
 
 
~ 13 ~ 
 
Capítulo 7 – Referências bibliográficas 
 
 
ENEM 2000 – Exame Nacional do Ensino Médio. INEP – Instituto Nacional de Estudos e 
Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. Ministério da Educação. Disponível em: 
<http://portal.inep.gov.br/web/enem/edicoes-anteriores/provas-e-gabaritos>. Acessado em 
abril de 2015. 
 
ENEM 2008 – Exame Nacional do Ensino Médio. INEP – Instituto Nacional de Estudos e 
Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. Ministério da Educação. Disponível em: 
<http://portal.inep.gov.br/web/enem/edicoes-anteriores/provas-e-gabaritos>. Acessado em 
abril de 2015. 
 
ENEM 2009 – Exame Nacional do Ensino Médio. INEP – Instituto Nacional de Estudos e 
Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. Ministério da Educação. Disponível em: 
<http://portal.inep.gov.br/web/enem/edicoes-anteriores/provas-e-gabaritos>. Acessado em 
abril de 2015. 
 
IEZZI , Gelson. Matemática: ciência e aplicações, volume 3: ensino médio / Gelson Iezzi, et. 
al. 7 ed. São Paulo: Saraiva, 2013 
 
PAIVA, Manoel. Matemática. 1 ed. – São Paulo: Moderna, 2009. 
 
ROCHA, Alex. Matemática aplicada / Alex Rocha, Luiz Roberto Dias de Macedo - Curitiba: 
IBPEX, 2004. 240 p.: 21 cm. 
 
SILVA, Angela Regina da. A matemática financeira no Ensino Médio. Secretaria de Estado 
da Educação. Disponível em: 
<http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/producoes_pde/2008
_fafipa_mat_md_angela_regina_da_silva.pdf>. Acessado em julho de 2015.